2024-2025學年福建省廈門市高二上冊期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年福建省廈門市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選凃其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效3．考試結束后，將答題卡交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的一個方向向量為，平面的一個法向量為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【正確答案】B【分析】由題意可知，結合向量垂直的坐標運算求解.【詳解】因為，則，可得，解得.故選：B.2.三角形的三個頂點為，則的中線的長為（）A.3 B.5 C.9 D.25【正確答案】B【分析】求出邊的中點坐標，根據(jù)兩點間的距離公式即可求得答案.【詳解】設邊的中點為D，則D點坐標為，即，故的中線的長為，故選：B3.若橢圓上一點P到焦點F1的距離為6，則點P到另一個焦點F2的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】B【詳解】∵橢圓的方程為，∴該橢圓的焦點在y軸上，a2=25且b2=16，可得a=5、b=4．根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵橢圓上一點P到焦點F1的距離|PF1|=6，∴點P到另一個焦點F2的距離|PF2|=2a﹣|PF1|=10﹣6=4．故選B．4.將直線繞點逆時針旋轉后所得直線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】分析可知，所得直線與直線垂直，可得出所求直線的斜率，再利用點斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知，所得直線與直線垂直，即所求直線的斜率為，因此，所求直線的方程為，即.故選：C.5.已知直線在軸、軸上的截距相等，則直線與直線間的距離為（）A. B. C.或 D.0或【正確答案】A【分析】由題意利用直線的截距的定義求得m的值，再利用兩條平行線之間的距離公式，計算即可．【詳解】直線在軸、軸上的截距相等，令，得，令，得，所以，解得，故直線，即，化簡為，則直線與直線間的距離為故選：A．本題主要考查直線的截距的定義，兩條平行線之間的距離公式，屬于基礎題．6.設直線l的方程為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】當時，可得傾斜角為，當時，由直線方程可得斜率，然后由余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質求解即可.【詳解】當時，方程變?yōu)椋鋬A斜角為，當時，由直線方程可得斜率，且，，即，又，，綜上所述，傾斜角的范圍是.故選：C.7.若直線在軸?軸上的截距相等，且直線將圓的周長平分，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【正確答案】C【分析】設出直線方程，將圓心代入直線，求解即可.【詳解】由已知圓，直線將圓平分，則直線經(jīng)過圓心，直線方程為，或，將點代入上式，解得直線的方程為或.故選：C.8.已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用三角換元，再結合三角函數(shù)的有界性，即可求解．【詳解】由，則可設為參數(shù)，，故，其中，當時，取得最小值，最小值為．故選：D．二、本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全對的得6分，選對但不全的得部分分，有錯的得0分．9.下面四個結論正確的是（）A.已知空間向量，若，則B.若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面C.若，，則向量在向量上的投影向量D.任意向量，，滿足【正確答案】ABC【分析】根據(jù)空間向量的概念及其向量共面定理，基底，數(shù)量積等的概念，即可判斷得出答案.【詳解】對于A，若，則，A正確；對于B，若對空間中任意一點O，有，則，即，因此，，共面，則P，A，B，C四點共面，B正確；對于C，，向量在向量上的投影向量，C正確；對于D，由于是一個實數(shù)，也是一個實數(shù)，若，則和共線，與已知的任意性不符，D錯誤.故選：ABC10.已知圓與圓，則（）A.兩圓的圓心距為B.兩圓的公切線有3條C.兩圓相交，且公共弦所在的直線方程為D.兩圓相交，且公共弦的長度為【正確答案】AC【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心坐標，求出兩圓圓心距，判斷A；判斷兩圓的位置關系，即可判斷B；將兩圓方程相減，即可得兩圓公共弦所在的直線方程，判斷C；利用幾何法求得公共弦長，判斷D.【詳解】對于A，圓的圓心為，半徑為與圓的圓心為，半徑為，故兩圓的圓心距為，A正確；對于B，由于，即圓與圓相交，兩圓的公切線有2條，B錯誤；對于C，由B可知兩圓相交，將圓與圓的方程相減，得，即公共弦所在的直線方程為，C正確；對于D，由B可知兩圓相交，而，到直線的距離為，故兩圓公共弦的長度為，D錯誤，故選：AC11.在平面直角坐標系中，已知圓的動弦，圓，則下列選項正確的是（）A.當圓和圓存在公共點時，則實數(shù)的取值范圍為B.的面積最大值為1C.若原點始終在動弦上，則不是定值D.若動點滿足四邊形為矩形，則點的軌跡長度為【正確答案】ABD【分析】根據(jù)兩圓位置關系列不等式求解實數(shù)的范圍判斷A，根據(jù)三角形面積結合正弦函數(shù)可求出面積最大值判斷B，分類討論，設直線方程，利用韋達定理結合數(shù)量積數(shù)量積坐標運算求解判斷C，先根據(jù)矩形性質結合垂徑定理得到點的軌跡，然后利用圓的周長公式求解判斷D.【詳解】對于A，圓的圓心為1,0，半徑為，圓的圓心為，半徑為，當圓和圓存在公共點時，，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，正確；對于B，的面積為，當時，的面積有最大值為1，正確；對于C，當弦垂直x軸時，，所以，當弦不垂直x軸時，設弦所在直線為，與圓聯(lián)立得，，設，則，，綜上，恒為定值，錯誤；對于D，設Px0,y0，OP中點，該點也是又，所以，化簡得，所以點軌跡為以1,0為圓心，半徑為的圓，其周長為長度為，正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共1.5分．12.無論為何值，直線恒過一定點，則點的坐標為______.【正確答案】2,3【分析】將直線方程整理為關于的方程，由直線恒過定點列方程組即可得解.【詳解】化簡直線方程為關于的方程，因為直線恒過定點，所以，解得，則定點的坐標為2,3.故2,3.13.希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點的距離之比為定值的點所形成的圖形是圓．后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標系中，，，點滿足，則點的軌跡方程為_______．【正確答案】【分析】首先設出點的坐標，然后列出等式，最后化簡所得的等式可得軌跡方程.【詳解】由題意可設點，由，，，得，化簡得，即.故答案為.14.已知過點且斜率為的直線與圓相交于，兩點，則的值等于______．【正確答案】7【分析】設的中點為，則可得，故可求數(shù)量積的值.【詳解】由題設，設的中點為，因為，故在圓外，則，設圓心為，連接，則，故故7.四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知的頂點，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答．①角A的平分線所在直線方程為；②邊上的中線所在的直線方程為．若________________，求直線的方程．注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)直線垂直，求得斜率，利用點斜式方程，可得答案；（2）聯(lián)立直線方程，求得點的坐標，分別利用角平分線的對稱或中線的對稱，可得答案.【小問1詳解】因為邊上高所在的直線方程為，所以直線的斜率，又因為的頂點，所以直線的方程為：，即；【小問2詳解】若選①，角的平分線所在直線方程為，由，解得，所以點A坐標為，設點B關于的對稱點為，則，解得，即坐標為，又點在直線上，所以的斜率，所以直線的方程為，即．若選②：邊上中線所在的直線方程為，由，解得，所以點，設點，則的中點在直線上，所以，即，又點直線上，所以，所以的斜率，所以直線的方程為，即直線的方程為．16.已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點.（1）求圓的標準方程；（2）若直線l過點且被圓截得的弦長為，求直線l的方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）設圓心坐標為，結合題意得到，求得圓心，再由，即可求得圓的方程；（2）根據(jù)圓的弦長公式，化簡得到，分的斜率不存在和存在，結合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：圓的圓心在直線上且與軸切于點，可設圓心坐標為，則，解得，.所以圓心，半徑，故圓的方程為.【小問2詳解】解：由直線l過點且被圓C截得的弦長為，根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，此時不滿足條件；當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線的斜率為，則方程為，即，可得，解得或，所以直線方程為或.17.如圖，在直三棱柱中，為直角，側面為正方形，分別為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：；（3）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】（1）連接，證明，結合線面平行判定定理證明結論；（2）由線面垂直得到，結合得到線面垂直，再證明，結合（1）可得；（3）建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，得到平面的法向量，得到線面角的正弦值．【小問1詳解】證明：連接，在中，因為，分別為，的中點，所以，又平面，平面，所以平面．【小問2詳解】證明：因為直三棱柱中，為側棱，所以平面，因為平面，所以，又為直角，所以又，，平面，所以平面，因為平面，所以，由（1），所以．【小問3詳解】建立空間直角坐標系，則，，，，，因此，．設平面的法向量為，則，，所以，即令，則，，所以為平面的一個法向量，設直線與平面所成角為．所以．18.如圖，已知菱形和菱形的邊長均為，，分別為上的動點，且．（1）證明：平面；（2）當?shù)拈L度最小時，求：①；②點到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）①；②【分析】（1）方法一，過點作，證明平面平面，從而可證明結論；方法二，延長交直線于點，連結，證明，根據(jù)線面平行的判定定理證明結論；（2）①建立空間直角坐標系，求出相關點坐標，進而利用向量的坐標運算求出坐標，可得其模長，結合二次函數(shù)性質，即可求得答案；②利用空間距離的向量求法，即可得答案.【小問1詳解】證明：（方法一）在菱形內(nèi)，過點作，，連接，則，由得，∴，∴，∵，平面，平面，∴平面．∵，平面，平面，∴平面．又平面，，∴平面平面，又平面，∴平面．（方法二）延長交直線于點，連結，由，得，由得，則，而平面，平面，∴平面．【小問2詳解】取的中點，連接，由題意知為等邊三角形，得，同理，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，①在平面內(nèi)作，平面平面，則平面，以為坐標原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，由，得，，，，由，得．從而，當時，取最小值；②此時，，，設為平面的法向量，則，令，得，故點到平面的距離為.19.古希臘亞歷山大時期最后一位重要的幾何學家帕普斯（Pappus，公元3世紀末）在其代表作《數(shù)學匯編》中研究了“三線軌跡”問題：平面上，到兩條已知直線距離的乘積是到第三條直線距離的平方的倍的動點軌跡為二次曲線（在平面上，由二元二次方程所表示的曲線，叫做二次曲線）.常數(shù)的大小和直線的位置等決定了曲線的形狀.為了研究方便，我們設平面內(nèi)三條給定的直線為，當三條直線中有相交直線時，記，，，動點到直線的距離為，且滿足.閱讀上述材料，完成下列問題：（1）當，時，若，且與的距離為2，點在與之間運動時，求動點的軌跡所圍成的面積.（2）若是等腰直角三角形，是直角，點在內(nèi)（包括兩邊）運動，試探求為何值時，的軌跡是圓？（3）若是等腰三角形，，點在內(nèi)（包括兩邊）任意運動，當時，問在此等腰三角形對稱軸上是否存在一點，使為大于1的定值.若存在，求出點的位置，若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）當時，的軌跡是圓（3）存在，點為中點【分析】（1）適當建系，以為軸，為軸，同時，再結合新定義確定軌跡方程即可求解；（2）適當建系，以為坐標原點，為軸，為軸，同時.再結合新定義即可求解；（3）適當建系，以為坐標原點，的角平分線為軸，設，，，結合新定義列出等式即可求解.【小問1詳解】以為軸，為軸，建立平面直角坐標系，，設，因為在，之間，所以，，，由定義得，所以，化簡得，表示以為圓心，1為半徑的圓.所以動點的軌跡圍成的圖形面積.【小問2詳解】以為坐標原點