統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊2命題區(qū)間精講精講4統(tǒng)計與概率學(xué)案含解析文

PAGE1-統(tǒng)計與概率命題點1用樣本估計總體總體估計的方法(1)統(tǒng)計量法：①若數(shù)據(jù)已知，常借助eq\x\to(x)，s2等量對樣本總體做出估計，其中eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2.②若數(shù)據(jù)未知，如以頻率分布直方圖形式給出，則應(yīng)明確直方圖中各統(tǒng)計量的求法．(2)圖表分析法：若依據(jù)圖表比較樣本數(shù)據(jù)的大小，可依據(jù)數(shù)據(jù)分布狀況直觀分析，大致推斷平均數(shù)的范圍，并依據(jù)數(shù)據(jù)的波動狀況比較方差(標(biāo)準(zhǔn)差)的大?。甗高考題型全通關(guān)]1．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值．經(jīng)數(shù)據(jù)處理后得到該樣本的頻率分布直方圖，其中質(zhì)量指標(biāo)值不大于1.50的莖葉圖如圖所示，以這100件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值在各區(qū)間內(nèi)的頻率代替相應(yīng)區(qū)間的概率．(1)求圖中a，b，c的值；(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(說明：①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表；②方差的計算只需列式正確)；(3)依據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的90%”的規(guī)定？切入點：依據(jù)eq\f(頻數(shù),樣本容量)＝頻率求解圖中a，b，c的值；借助互斥事務(wù)的概率對(3)做出推斷．[解](1)由頻率分布直方圖和莖葉圖得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(5,100×0.1)＝a，,\f(10,100×0.1)＝b，,a＋b＋3＋4＋c＝\f(1,0.1)，))解得a＝0.5，b＝1，c＝1.5.(2)估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為：eq\o(x,\s\up7(－))＝1.35×0.5×0.1＋1.45×1×0.1＋1.55×3×0.1＋1.65×4×0.1＋1.75×1.5×0.1＝1.6，估計這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的方差為：s2＝(1.35－1.6)2×0.05＋(1.45－1.6)2×0.1＋(1.55－1.6)2×0.3＋(1.65－1.6)2×0.4＋(1.75－1.6)2×0.15＝0.0105.(3)∵質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品占比為：0．30＋0.40＋0.15＝0.85＜0.9，∴不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于1.50的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的90%”的規(guī)定．2．某音樂院校實行“校內(nèi)之星”評比活動，評委由本校全體學(xué)生組成，對A，B兩位選手，隨機調(diào)查了20個學(xué)生的評分，得到下面的莖葉圖：(1)通過莖葉圖比較A，B兩位選手所得分?jǐn)?shù)的平均值及分散程度(不要求計算出詳細(xì)值，得出結(jié)論即可)；(2)舉辦方將會依據(jù)評分結(jié)果對選手進(jìn)行三向分流，所得分?jǐn)?shù)低于60分60分到79分不低于80分分流方向淘汰出局復(fù)賽待選干脆晉級依據(jù)所得分?jǐn)?shù)，估計A，B兩位選手中哪位選手干脆晉級的概率更大，并說明理由．[解](1)通過莖葉圖可以看出，A選手所得分?jǐn)?shù)的平均值高于B選手所得分?jǐn)?shù)的平均值；A選手所得分?jǐn)?shù)比較集中，B選手所得分?jǐn)?shù)比較分散.(2)A選手干脆晉級的概率更大．用CA表示事務(wù)“A選手干脆晉級”，CB表示事務(wù)“B選手干脆晉級”．由莖葉圖得：Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(CA))的估計值為(5＋3)÷20＝eq\f(8,20)＝eq\f(2,5)，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(CB))的估計值為(5＋2)÷20＝eq\f(7,20)，所以，A選手干脆晉級的概率更大．命題點2回來分析進(jìn)行回來分析的一般思路(1)定關(guān)系：依據(jù)樣本數(shù)據(jù)散點圖或相關(guān)系數(shù)r，確定兩個變量是否具有較強的相關(guān)關(guān)系．(2)算各值：分別計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)，eq\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xiyi的值．(3)求系數(shù)：求出回來系數(shù)eq\o(b,\s\up7(^))，eq\o(a,\s\up7(^)).其中eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\O(\x\to(x))\O(\x\to(y)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2).(4)寫方程：eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^)).(5)作預(yù)料：依據(jù)回來方程給出預(yù)料值．提示：非線性回來分析可借助代數(shù)變換轉(zhuǎn)化為線性回來分析．[高考題型全通關(guān)]1．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚費，需了解年宣揚費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：噸)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近13年的年宣揚費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，13)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．由散點圖知，按y＝a＋beq\r(x)，y＝c＋eq\f(d,x)建立y關(guān)于x的回來方程是合理的．令s＝eq\r(x)，t＝eq\f(1,x)，經(jīng)計算得如下數(shù)據(jù)：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(s)eq\x\to(t)10.15109.943.040.16且(si，yi)與(ti，yi)(i＝1,2，…，13)的相關(guān)系數(shù)分別為r1＝0.886與r2＝－0.995.(1)從以上模型中選擇更優(yōu)的回來方程，并用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)依據(jù)(1)的選擇結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回來方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝10y－x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣揚費x＝20時，年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣揚費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，n)，其回來直線v＝eq\o(α,\s\up7(^))＋eq\o(β,\s\up7(^))u的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))uivi－n\O(\x\to(u))\O(\x\to(v)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))u\o\al(2,i)－n\x\to(u)2)，eq\o(α,\s\up7(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(β,\s\up7(^))eq\x\to(u).[解](1)由于|r1|＜|r2|＜1，故y＝c＋eq\f(d,x)更優(yōu)．(2)eq\o(d,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(13),\s\do10(i＝1))tiyi－13\O(\x\to(t))\O(\x\to(y)),\o(∑,\s\up7(13),\s\do10(i＝1))t\o\al(2,i)－13\x\to(t)2)＝eq\f(－2.10,0.21)＝－10，eq\o(c,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up7(^))eq\x\to(t)＝109.94＋10×0.16＝111.54.則y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝111.54－eq\f(10,x).(3)由題意，年利潤z＝10y－x＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x)＋x))，①當(dāng)x＝20時，年利潤的預(yù)報值是eq\o(z,\s\up7(^))＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,20)＋20))＝1090.4.②由基本不等式得，年利潤的預(yù)報值eq\o(z,\s\up7(^))＝1115.4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(100,x)＋x))，由于x＋eq\f(100,x)≥20，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(100,x)，即x＝10時等號成立，此時eq\o(z,\s\up7(^))max＝1115.4－20＝1095.4.[點評]處理本題(2)應(yīng)抓住兩點：一是會借助題設(shè)信息實現(xiàn)非線性回來方程與線性回來方程的轉(zhuǎn)換．二是會利用已知數(shù)據(jù)進(jìn)行代數(shù)運算，只要這兩點到位第(2)問的求解便順理成章．復(fù)習(xí)備考要強化這種意識，對于第(3)問，體現(xiàn)了函數(shù)的應(yīng)用及最值的求法．實現(xiàn)了學(xué)問的橫向聯(lián)系．2．某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下一季度的前期廣告投入安排，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如下表：月份123456廣告投入量/萬元24681012收益/萬元14.2120.3131.831.1837.8344.67他們用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分別進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回來方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值：eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\o(∑,\s\up7(6),\s\do10(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up7(6),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)依據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；(2)殘差肯定值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異樣數(shù)據(jù)，須要剔除．①剔除異樣數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回來方程；②廣告投入量x＝18時，(1)中所選模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回來直線eq\o(y,\s\up7(^))＝eq\o(b,\s\up7(^))x＋eq\o(a,\s\up7(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為：eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xiyi－n\O(\x\to(x))\O(\x\to(y)),\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x).[解](1)應(yīng)當(dāng)選擇模型①，因為模型①的殘差點比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域中，且模型①的帶狀區(qū)域比模型②的帶狀區(qū)域窄，所以模型①的擬合精度高，回來方程的預(yù)報精度高．(2)①剔除異樣數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)后，得eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64.eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do10(i＝1))xiyi＝1464.24－6×31.8＝1273.44，eq\o(∑,\s\up7(5),\s\do10(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝364－62＝328.eq\o(b,\s\up7(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up7(5),\s\do10(i＝1))xiyi－5\O(\x\to(x))\O(\x\to(y)),\o(∑,\s\up7(5),\s\do10(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(1273.44－5×7.2×29.64,328－5×7.2×7.2)＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up7(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up7(^))eq\x\to(x)＝29.64－3×7.2＝8.04.所以y關(guān)于x的回來方程為eq\o(y,\s\up7(^))＝3x＋8.04.②把x＝18代入①中所求回來方程得eq\o(y,\s\up7(^))＝3×18＋8.04＝62.04，故預(yù)報值為62.04萬元．命題點3獨立性檢驗解決統(tǒng)計案例問題關(guān)鍵是過好三關(guān)：(1)假設(shè)關(guān)，即假設(shè)兩個分類變量無關(guān)．(2)應(yīng)用公式關(guān)，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入獨立性檢驗公式求出K2的觀測值k.(3)對比關(guān)，將k與臨界值進(jìn)行對比，進(jìn)而作出推斷．[高考題型全通關(guān)]1．某工廠有兩臺不同的機器A和B，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬件，現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取20件，進(jìn)行質(zhì)量鑒定，鑒定成果的莖葉圖如圖所示．該產(chǎn)品的質(zhì)量評價標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鑒定成果在[90,100)內(nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為優(yōu)秀；鑒定成果在[80,90)內(nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為良好；鑒定成果在[60,80)內(nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級為合格．將頻率視為概率．(1)完成下列2×2列聯(lián)表，以產(chǎn)品質(zhì)量等級是否達(dá)到良好以上(含良好)為推斷依據(jù)，推斷能不能在誤差不超過0.05的狀況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級是否達(dá)到良好以上(含良好)與生產(chǎn)產(chǎn)品的機器有關(guān)；A機器生產(chǎn)的產(chǎn)品B機器生產(chǎn)的產(chǎn)品總計良好以上(含良好)合格總計(2)已知質(zhì)量等級為優(yōu)秀的產(chǎn)品的售價為12元/件，質(zhì)量等級為良好的產(chǎn)品的售價為10元/件，質(zhì)量等級為合格的產(chǎn)品的售價為5元/件，A機器每生產(chǎn)10萬件的成本為20萬元，B機器每生產(chǎn)10萬件的成本為30萬元．該工廠確定，按樣本數(shù)據(jù)測算，兩種機器分別生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品，若收益之差達(dá)到5萬元以上，則淘汰收益低的機器，若收益之差不超過5萬元，則保留原來的兩臺機器，你認(rèn)為該工廠會怎么做？附：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，P(K2≥k)0.250.150.100.050.010k1.3232.0722.7063.8416.635[解](1)完成2×2列聯(lián)表如下．A機器生產(chǎn)的產(chǎn)品B機器生產(chǎn)的產(chǎn)品總計良好以上(含良好)61218合格14822總計202040結(jié)合列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得K2的觀測值k＝eq\f(40×6×8－12×142,20×20×18×22)＝eq\f(40,11)≈3.636<3.841.故在誤差不超過0.05的狀況下，不能認(rèn)為產(chǎn)品等級是否達(dá)到良好以上(含良好)與生產(chǎn)產(chǎn)品的機器有關(guān)．(2)由題意得，A機器每生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品的利潤為10×(12×0.1＋10×0.2＋5×0.7)－20＝47(萬元)，B機器每生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品的利潤為10×(12×0.15＋10×0.45＋5×0.4)－30＝53(萬元)，因為53－47＝6(萬元)，6>5，所以該工廠應(yīng)當(dāng)會賣掉A機器，同時購買一臺B機器．[點評]破解直方圖、莖葉圖、獨立性檢驗相交匯的開放性問題的關(guān)鍵是會利用直方圖、莖葉圖得到相關(guān)的數(shù)據(jù)，充分利用2×2列聯(lián)表精確地計算出K2的觀測值k，并將K2的觀測值k與臨界值進(jìn)行比較，進(jìn)而作出統(tǒng)計推斷．對于開放性問題要會轉(zhuǎn)化，如本題第(2)小題，把所求問題轉(zhuǎn)化為比較兩臺機器每生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品所獲利潤的大小，即可得出結(jié)論．2．微信是騰訊公司推出的一種手機通訊軟件，它支持發(fā)送語音短信、視頻、圖片和文字，一經(jīng)推出便風(fēng)靡全國，甚至涌現(xiàn)出一批在微信的摯友圈內(nèi)銷售商品的人(被稱為微商)．為了調(diào)查每天微信用戶運用微信的時間，某經(jīng)銷化妝品的微商在一廣場隨機采訪男性、女性用戶各50名，將男性、女性運用微信的時間分成5組：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)依據(jù)女性頻率分布直方圖估計女性運用微信的平均時間；(2)若每天玩微信超過4小時的用戶列為“微信控”，否則稱其為“非微信控”，請你依據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別”有關(guān)？微信控非微信控總計男性50女性50總計100參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d，參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k)0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828[解](1)女性平均運用微信的時間為：0．16×1＋0.24×3＋0.28×5＋0.2×7＋0.12×9＝4.76(小時)．(2)由已知得：2(0.04＋a＋0.14＋2×0.12)＝1，解得a＝0.08.由題設(shè)條件得列聯(lián)表微信控非微信控總計男性381250女性302050總計6832100∴K2的觀測值k＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×38×20－30×122,50×50×68×32)≈2.941＞2.706.所以有90%的把握認(rèn)為“微信控”與“性別有關(guān)”．命題點4隨機事務(wù)的概率以統(tǒng)計圖表為背景的隨機事務(wù)的概率問題(1)估計概率：依據(jù)頻率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等圖表精確求出隨機事務(wù)的頻率，并用之估計相應(yīng)概率．(2)計算概率：正確分析隨機事務(wù)的構(gòu)成，將困難事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事務(wù)的和事務(wù)；對于含有“至多”“至少”等問題的概率常用間接法求解．[高考題型全通關(guān)]1．(2024·惠州三調(diào))惠州市某商店銷售某海鮮，經(jīng)理統(tǒng)計了春節(jié)前后50天該海鮮的日需求量x(10≤x≤20，單位：公斤)，其頻率分布直方圖如圖所示．該海鮮每天進(jìn)貨1次，每銷售1公斤可獲利40元；若供大于求，剩余的海鮮削價處理，削價處理的海鮮每公斤虧損10元；若供不應(yīng)求，可從其他商店調(diào)撥，調(diào)撥的海鮮銷售1公斤可獲利30元．假設(shè)商店該海鮮每天的進(jìn)貨量為14公斤，商店銷售該海鮮的日利潤為y元．(1)求商店日利潤y關(guān)于日需求量x的函數(shù)表達(dá)式．(2)依據(jù)頻率分布直方圖，①估計這50天此商店該海鮮日需求量的平均數(shù)．②假設(shè)用事務(wù)發(fā)生的頻率估計概率，請估計日利潤不少于620元的概率．[解](1)當(dāng)10≤x<14時，y＝40x－10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14－x))＝50x－140；當(dāng)14≤x≤20時，y＝40×14＋30×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－14))＝30x＋140.所求函數(shù)表達(dá)式為：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30x＋140\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(14≤x≤20))，,50x－140\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10≤x<14)).))(2)①由頻率分布直方圖得：海鮮需求量在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，12))的頻率是f1＝2×0.05＝0.1；海鮮需求量在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，14))的頻率是f2＝2×0.1＝0.2；海鮮需求量在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(14，16))的頻率是f3＝2×0.15＝0.3；海鮮需求量在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(16，18))的頻率是f4＝2×0.12＝0.24；海鮮需求量在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18，20))的頻率是f5＝2×0.08＝0.16.這50天商店銷售該海鮮日需求量的平均數(shù)為：eq\x\to(x)＝eq\x\to(x1)·f1＋eq\x\to(x2)·f2＋eq\x\to(x3)·f3＋eq\x\to(x4)·f4＋eq\x\to(x5)·f5＝11×0.1＋13×0.2＋15×0.30＋17×0.24＋19×0.16＝15.32(公斤)．②當(dāng)x＝14時，y＝560，由此可令30x