統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊1命題區(qū)間精講精講17基本初等函數(shù)函數(shù)與方程學(xué)案含解析理

PAGE1-基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程命題點(diǎn)1基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)基本初等函數(shù)解題的3個關(guān)鍵點(diǎn)(1)指對互化：ax＝N?x＝logaN.(2)圖象特征：指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y＝x對稱，它們的圖象和性質(zhì)，分0<a<1，a>1兩種狀況；對于冪函數(shù)y＝xα的性質(zhì)要留意α>0和α<0兩種狀況的不同．(3)復(fù)合函數(shù)：復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)往往通過換元法轉(zhuǎn)化為兩個基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，然后依據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行推斷．[高考題型全通關(guān)]1．在同始終角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的圖象可能是()ABCDD[法一：若0<a<1，則函數(shù)y＝eq\f(1,ax)是增函數(shù)，y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是減函數(shù)且其圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，結(jié)合選項(xiàng)可知，選項(xiàng)D可能成立；若a>1，則y＝eq\f(1,ax)是減函數(shù)，而y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))是增函數(shù)且其圖象過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，結(jié)合選項(xiàng)可知，沒有符合的圖象．故選D．法二：分別取a＝eq\f(1,2)和a＝2，在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出相應(yīng)函數(shù)的圖象(圖略)，通過對比可知選D．]2．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，則a，b，cA．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<bA[因?yàn)閍＝log27>log24＝2，b＝log38<log39＝2，b＝log38>1，c＝0.30.2<1，所以c<b<a3．已知log2a>log2bA．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．ln(a－b)>0C．2a－b<1 D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b)D[由log2a>log2b可得a>b>0，故a－bA項(xiàng)，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；B項(xiàng)，a－b>0，ln(a－b)的符號不能確定；C項(xiàng)，2a－bD項(xiàng)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(a)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(b).]4．[教材改編]已知2a＝6b＝10，則3，ab，a＋bA．a(chǎn)b<a＋b<3 B．a(chǎn)b<3<a＋bC．3<a＋b<ab D．3<ab<a＋bD[a＝log210＞log28＝3，b＝log610＞1，∴ab＞3；又eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝lg2＋lg6＝lg12＞1?a＋b＞ab，∴a＋b＞ab＞3.故選D．]5．若實(shí)數(shù)x，y，z滿意log2x＝log3y＝2z，則x，y，z的大小關(guān)系是()A．x<y<zB．x<z<yC．z<x<yD．z<y<xC[令log2x＝log3y＝2z＝k(k＞0)，則x＝2k，y＝3k，因?yàn)閗＞0，由y1＝2x，y2＝3x的圖象可得：3k＞2k，所以y＞x；因?yàn)閥＝log2x與y＝2x互為反函數(shù)，圖象關(guān)于y＝x對稱，因?yàn)閘og2x＝2z＝k(k＞0)，所以z＜x，綜上所述：z＜x＜y.故選C．]6．設(shè)x1，x2，x3均為實(shí)數(shù)，且eeq\s\up12(－x1)＝ln(x1＋1)，eeq\s\up12(－x2)＝lgx2,eeq\s\up12(－x3)＝lnx3，則()A．x3<x2<x1 B．x2<x1<x3C．x3<x1<x2 D．x1<x3<x2D[依據(jù)題意可知，實(shí)數(shù)x1，x2，x3分別是函數(shù)y＝e－x與y＝ln(x＋1)、y＝lgx、y＝lnx圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在同始終角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝e－x、y＝ln(x＋1)、y＝lgx、y＝lnx的圖象如圖所示，由圖知，x1<x3<x2，故選D．]7．[一題兩空]函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域?yàn)開_______，單調(diào)遞增區(qū)間為________．(－∞，－2)∪(4，＋∞)(4，＋∞)[由x2－2x－8>0，得f(x)的定義域?yàn)閧x|x>4或x<－2}．設(shè)t＝x2－2x－8,x>4或x<－2，則y＝lnt為增函數(shù)，要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間．∵函數(shù)t＝x2－2x－8的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，＋∞)．]8．已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax(a>0且a≠1)對?x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))[由已知得當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋x，故x2≤2logax(a>0且a≠1)對?x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))恒成立，即當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))時，函數(shù)y＝x2的圖象不在y＝2logax圖象的上方，由圖(圖略)知0<a<1且2logaeq\f(\r(2),2)≥eq\f(1,2)，解得eq\f(1,4)≤a<1.][老師備選]1．已知函數(shù)f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的圖象恒過點(diǎn)A，下列函數(shù)圖象不經(jīng)過點(diǎn)A的是()A．y＝eq\r(1－x)＋2 B．y＝|x－2|＋1C．y＝log2(2x)＋1 D．y＝2x－1D[函數(shù)f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的圖象恒過點(diǎn)A，令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2.所以恒過點(diǎn)A(1,2)．把x＝1，y＝2代入各選項(xiàng)驗(yàn)證，只有D中的函數(shù)不經(jīng)過該點(diǎn)．]2.已知函數(shù)y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋c))(a，c為常數(shù)，其中a>0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A．a(chǎn)>1，c>1B．a(chǎn)>1,0<c<1C．0<a<1，c>1D．0<a<1,0<c<1D[∵函數(shù)單調(diào)遞減，∴0＜a＜1，當(dāng)x＝1時，loga(x＋c)＝loga(1＋c)＜0，即1＋c＞1，即c＞0，當(dāng)x＝0時，loga(x＋c)＝logac＞0，即c＜1，即0＜c＜1，故選D．]3．若f(x)＝ln(x2－2ax＋1＋a)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，1))上遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．[1,2) B．[1,2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)B[令g(x)＝x2－2ax＋1＋a，其對稱軸方程為x＝a，要使函數(shù)f(x)＝ln(x2－2ax＋1＋a)在(－∞，1)上遞減，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1,g1＝1－2a＋1＋a≥0))，即1≤a≤2.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,2]．故選B．]4．(2024·贛南模擬)已知函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝xeq\r(9－x2)，則()A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，3))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))為偶函數(shù)D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，3))上為增函數(shù)B[因?yàn)閒(1)＝2eq\r(2)＜2eq\r(5)＝f(2)，所以A錯誤；由9－x2≥0，得－3≤x≤3，所以f(x)的定義域?yàn)閇－3,3]，所以B正確；f(x)為奇函數(shù)，所以C錯誤；因?yàn)閒(0)＝f(3)＝0，所以D錯誤，故選B．]5．已知點(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)＝xα圖象上，設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)))，b＝f(20.2)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．b>a>c B．a(chǎn)>b>cC．c>b>a D．b>c>aA[因?yàn)辄c(diǎn)(2,8)在冪函數(shù)f(x)＝xα圖象上，所以8＝2α，解得α＝3，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增，且0<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝1,20.2>20＝1,log2eq\f(1,2)<log21＝0，所以log2eq\f(1,2)<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)<20.2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0.5)))<f(20.2)，即b>a>c.]6．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A．[1,3] B．(1,3)C．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)] D．(2－eq\r(2)，2＋eq\r(2))D[函數(shù)f(x)＝ex－1的值域?yàn)?－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域?yàn)?－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，則需g(b)＞－1，即－b2＋4b－3＞－1，所以b2－4b＋2＜0，解得2－eq\r(2)＜b＜2＋eq\r(2).]命題點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)與方程零點(diǎn)問題的求解捷徑(1)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的推斷方法①利用零點(diǎn)存在性定理：利用該定理還必需結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn)．②數(shù)形結(jié)合法：對于給定的函數(shù)不能干脆求解或畫出圖象時，常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個能畫出圖象的函數(shù)交點(diǎn)問題．(2)已知函數(shù)零點(diǎn)狀況求參數(shù)范圍的方法①分別參數(shù)法：先將參數(shù)分別，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值問題加以解決．②數(shù)形結(jié)合法：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．[高考題型全通關(guān)]1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－xeq\s\up12(eq\f(1,3))，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)f(x)零點(diǎn)的是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))B[f(0)＝1＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(eq\f(1,3))＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(eq\f(1,3))＜0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))必有零點(diǎn)，選B．]2．(2024·門頭溝區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2xx≤0,lnxx>0))，且關(guān)于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一個實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．[0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－∞，1)B[由題意可知，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝－x＋a只有一個交點(diǎn)．作出圖象如圖：由圖可知，a＞1，故選B．]3．(2024·東北三省四市一模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2，x≤0，,log2x，x>0))若函數(shù)y＝|f(x)|－m的零點(diǎn)恰有4個，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(eq\f(3,10)，eq\f(3,2)] B．(0,2]C．(0，eq\f(2,3)] D．(1，eq\f(3,2))B[由函數(shù)y＝|f(x)|－m的零點(diǎn)恰有4個，得方程|f(x)|＝m有4個根，畫出y＝|f(x)|和y＝m的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，它們的圖象有4個交點(diǎn)，則0＜m≤2，故選B．]4．(2024·哈師大附中、遼寧試驗(yàn)中學(xué)一模)已知f(x)滿意f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2－8x，x≤0,\f(1,2)fx－2，x>0))，若在區(qū)間(－1,3)內(nèi)，關(guān)于x的方程f(x)＝kx＋k(k∈R)有4個根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．0<k≤eq\f(1,4)或k＝8－2eq\r(15)B．0<k≤eq\f(1,4)C．0<k≤8－2eq\r(15)D．0<k<eq\f(1,4)A[∵f(x)滿意f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2－8x，x≤0,\f(1,2)fx－2，x＞0))，當(dāng)x∈(0,2]時，x－2∈(－2,0]，∴f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)＝eq\f(1,2)[－4(x－2)2－8(x－2)]＝－2x2＋4x，當(dāng)x∈(2,4]時，x－2∈(0,2]，∴f(x)＝eq\f(1,2)f(x－2)＝eq\f(1,2)[－2(x－2)2＋4(x－2)]＝－x2＋6x－8，令g(x)＝kx＋k，由題意得f(x)與g(x)圖象有4個交點(diǎn)，畫出f(x)的圖象如下：∵g(x)＝kx＋k，過定點(diǎn)(－1,0)，∴通過圖象分析可得當(dāng)g(x)過(3,1)時，f(x)與g(x)圖象有4個交點(diǎn)，∴k＝eq\f(1－0,3－－1)＝eq\f(1,4)，∴0＜k≤eq\f(1,4)，當(dāng)g(x)與f(x)相切時，也有四個交點(diǎn)，聯(lián)立f(x)與g(x)(x∈(2,3))，得x2＋(k－6)x＋k＋8＝0，令Δ＝0得k＝8－2eq\r(15)，或k＝8＋2eq\r(15)(舍)，故選A．]5．函數(shù)f(x)＝x2sinx－x，x∈(－π，π)的零點(diǎn)個數(shù)為()A．3個B．4個C．5個D．6個C[由f(x)＝0得x2sinx－x＝0，即x(xsinx－1)＝0，則x＝0或xsinx－1＝0，由xsinx－1＝0得sinx＝eq\f(1,x)，作出函數(shù)y＝sinx和y＝eq\f(1,x)在x∈(－π，π)上的圖象如圖：由圖象知函數(shù)y＝sinx和y＝eq\f(1,x)在x∈(－π，π)上有四個交點(diǎn)，即此時方程xsinx－1＝0有四個根，即f(x)有5個零點(diǎn)，故選C．]6．定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x＋1)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝－2x＋1，設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x－1|)(－1＜x＜3)，則函數(shù)f(x)與g(x)的圖象全部交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為()A．2B．4C．6D．8B[因?yàn)閒(x＋1)＝－f(x)，所以f(x)周期為2，函數(shù)g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x－1|)關(guān)于x＝1對稱，作圖可得四個交點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于x＝1對稱，其和為2×2＝4，選B．]7．若函數(shù)f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,e))) B．(－∞，e)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,e)，e)) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－e，\f(1,e)))[破題關(guān)鍵]eq\x(函數(shù)fx＝0在0，＋∞上有解)eq\o(→,\s\up10(邏輯),\s\do10(推理))eq\x(e－x＝lnx＋a在0，＋∞有解)eq\o(→,\s\up10(直觀),\s\do10(想象))eq\x(求a的范圍)B[若f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零點(diǎn)，即e－x＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上有實(shí)根，即兩個函數(shù)y＝e－x和h(x)＝ln(x＋a)的圖象在(0，＋∞)上有交點(diǎn)，作出兩個函數(shù)的圖象如圖：若a＞0，則只須要h(0)＝lna＜1，即0＜a＜e；若a≤0，則h(x)＝ln(x＋a)的圖象是函數(shù)y＝lnx向右平移的，此時在(0，＋∞)上恒有交點(diǎn)，滿意條件，綜上a＜e，故選B．]8．已知函數(shù)f(x)＝|x|(2－x)，關(guān)于x的方程f(x)＝m(m∈R)有三個不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍為________．(1－eq\r(2)，0)[f(x)＝|x|(2－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x<0，,2x－x2，x≥0，))如圖所示，關(guān)于x的方程f(x)＝m恰有三個互不相等的實(shí)根x1，x2，x3，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝m有三個不同的交點(diǎn)，則0<m<1，不妨設(shè)從左向右的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，x3.當(dāng)x>0時，由對稱性知，x2＋x3＝2,0<x2x3<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2＋x3,2)))eq\s\up12(2)＝1；當(dāng)x<0時，由x2－2x＝1，得x＝1－eq\r(2)，所以1－eq\r(2)<x1<0，即0<－x1<eq\r(2)－1，所以0<－x1x2x3<eq\r(2)－1，即1－eq\r(2)<x1x2x3<0.][老師備選]1．[高考改編]設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a(ex－2＋e2－x)有唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a＝()A．－2B．0C．1D．2D[令x－2＝t，則g(t)＝t2－4＋a(et＋e－t)，易知g(t)為偶函數(shù)，且g(t)≥g(0)＝2a要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則只需2a－4＝0，即a2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex，x<0，,4x3－6x2＋1，x≥0，))其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3的零點(diǎn)個數(shù)為()A．4B．5C．6D．3A[當(dāng)x≥0時，f(x)＝4x3－6x2＋1的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝12x2－12x，當(dāng)0<x<1時，f(x)單調(diào)遞減，x>1時，f(x)單調(diào)遞增，可得f(x)在x＝1處取得最小值，最小值為－1，且f(0)＝1，作出函數(shù)f(x)的圖象，g(x)＝3[f(x)]2－10f(x)＋3，可令g(x)＝0，t＝f(x可得3t2－10t＋3＝0，解得t＝3或eq\f(1,3)，當(dāng)t＝eq\f(1,3)，即f(x)＝eq\f(1,3)時，g(x)有三個零點(diǎn)；當(dāng)t＝3時，可得f(x)＝3有一個實(shí)根，綜上，g(x)共有四個零點(diǎn)．]3．[一題兩空]若函數(shù)f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________，函數(shù)g(x)＝x2－|x|＋a的零點(diǎn)有________個．－eq\f(1,2)2[∵f(x)是偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，即lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)＋ax，即2ax＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝lgeq\f(1＋10x,10x)－lg(10x＋1)＝－x，則2a＝－1，得a＝－eq\f(1,2)，則g(x)＝x2－|x|－eq\f(1,2)，由g(x)＝x2－|x|－eq\f(1,2)＝0得|x|＝eq\f(1±\r(1＋4×\f(1,2)),2)＝eq\f(1±\r(3),2)，則|x|＝eq\f(1＋\r(3),2)(舍去負(fù)值)，則x＝±eq\f(1＋\r(3),2)，即g(x)有兩個零點(diǎn)．]4．已知函數(shù)f(x)＝ax＋x－b的零點(diǎn)x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常數(shù)a，b滿意0<b<1<a，則n的值為________．－1[由題意得函數(shù)f(x)＝ax＋x－b為增函數(shù)，所以f(－1)＝eq\f(1,a)－1－b<0，f(0)＝1－b>0，所以函數(shù)f(x)＝ax＋x－b在(－1,0)內(nèi)有一個零點(diǎn)，故n＝－1.]5．對于函數(shù)f(x)與g(x)，若存在λ∈{x∈R|f(x)＝0}，μ∈{x∈R|g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，則稱函數(shù)f(x)與g(x)互為“零點(diǎn)親密函數(shù)”，現(xiàn)已知函數(shù)f(x)＝ex－2＋x－3與g(x)＝x2－ax－x＋4互為“零點(diǎn)親密函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[3,4][由題意知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x＝2，設(shè)g(x)滿意|2－μ|≤1的零點(diǎn)為μ，因?yàn)閨2－μ|≤1，解得1≤μ≤3.因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的圖象開口向上，所以要使g(x)的至少一個零點(diǎn)落在區(qū)間[1,3]上，則需滿意g(1)g(3)≤0，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1>0，,g3>0，,Δ≥0，,1<\f(a＋1,2)<3，))解得eq\f(10,3)≤a≤4，或3≤a<eq\f(10,3)，得3≤a≤4.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,4]．]命題點(diǎn)3函數(shù)建模應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般程序和解題關(guān)鍵(1)一般程序：eq\f(讀題,文字語言)?eq\f(建模,數(shù)學(xué)語言)?eq\f(求解,數(shù)學(xué)應(yīng)用)?eq\f(反饋,檢驗(yàn)作答).(2)解題關(guān)鍵：解答這類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地建立相關(guān)函數(shù)解析式，然后應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式和導(dǎo)數(shù)的有關(guān)學(xué)問加以綜合解答.[高考題型全通關(guān)]1．(2024·永州模擬)2024年以來，我國國內(nèi)非洲豬瘟疫情嚴(yán)峻，引發(fā)豬肉價格上漲．因此，國家為保民生實(shí)行宏觀調(diào)控對豬肉價格進(jìn)行有效地限制．通過市場調(diào)查，得到豬肉價格在近四個月的市場平均價f(x)(單位：元/斤)與時間x(單位：月)的數(shù)據(jù)如下：x891011f(x)28.0033.9936.0034.02現(xiàn)有三種函數(shù)模型：f(x)＝bx＋a，f(x)＝ax2＋bx＋c，f(x)＝eq\f(1,2)x＋a，找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并估計(jì)2024年12月份的豬肉市場平均價為()A．28B．25C．23D．21A[因?yàn)閒(x)的值隨x的值先增后減，所以符合二次函數(shù)的圖象，故選擇函數(shù)模型為f(x)＝ax2＋bx＋c，由表中數(shù)據(jù)近似可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f8＝28,f9＝34,f10＝36))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64a＋8b＋c＝28,81a＋9b＋c＝34,100a＋10b＋c＝36))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝40,c＝－164))，所以f(x)＝－2x2＋40x－164，所以f(12)＝－2×144＋40×12－164＝28.故選A．]2．(2024·德陽模擬)為貫徹執(zhí)行黨中心“不忘初心，牢記使命”主題教化活動，增加企業(yè)的凝合力和競爭力，某重裝企業(yè)的裝配分廠實(shí)行裝配工人技術(shù)大比武，依據(jù)以往技術(shù)資料統(tǒng)計(jì)，某工人裝配第n件工件所用的時間(單位：分鐘)f(n)大致聽從的關(guān)系為f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(k,\r(n))，n<M,\f(k,\r(M))，n≥M))(k、M為常數(shù))．已知該工人裝配第9件工件用時20分鐘，裝配第M件工件用時12分鐘，那么可大致推出該工人裝配第4件工件所用時間是()A．40分鐘 B．35分鐘C．30分鐘 D．25分鐘C[n＝M時，eq\f(k,\r(M))＝12，n＝9時，eq\f(k,\r(9))＝20，解得k＝60，M＝25，∴f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(60,\r(n))，n＜25,12，n≥25)).∵n＝4＜25，∴f(4)＝eq\f(60,\r(4))＝30.即可大致推出該工人裝配第4件工件所用時間是30分鐘．故選C．]3．某公司為激勵創(chuàng)新，安排逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2024年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金起先超過200萬元的年份是()(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2024年 B．2024年C．2024年 D．2024年B[依據(jù)題意，知每年投入的研發(fā)資金增長的百分率相同，所以，從2024年起，每年投入的研發(fā)資金組成一個等比數(shù)列{an}，其中，首項(xiàng)a1＝130，公比q＝1＋12