統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊1命題區(qū)間精講精講6隨機(jī)事件的概率古典概型幾何概型學(xué)案含解析文

PAGE1-隨機(jī)事務(wù)的概率、古典概型、幾何概型命題點(diǎn)1隨機(jī)事務(wù)的概率隨機(jī)事務(wù)的概率要抓住3點(diǎn)(1)明確事務(wù)間的關(guān)系：如事務(wù)間是互斥還是對(duì)立關(guān)系；(2)理解事務(wù)的含義：如事務(wù)A＋B表示事務(wù)A，B至少有一個(gè)發(fā)生；(3)清晰公式的運(yùn)用條件：如當(dāng)A，B互斥時(shí)有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，當(dāng)A，B對(duì)立時(shí)有P(B)＝1－P(A)．[高考題型全通關(guān)]1．書架上有兩套我國(guó)四大名著，現(xiàn)從中取出兩本．設(shè)事務(wù)M表示“兩本都是《紅樓夢(mèng)》”；事務(wù)N表示“一本是《西游記》，一本是《水滸傳》”；事務(wù)P表示“取出的兩本中至少有一本《紅樓夢(mèng)》”．下列結(jié)論正確的是()A．M與P是互斥事務(wù)B．M與N是互斥事務(wù)C．N與P是對(duì)立事務(wù)D．M，N，P兩兩互斥B[由于事務(wù)M包含于事務(wù)P，M與P是既不對(duì)立也不互斥事務(wù)，M與N是互斥事務(wù)，N與P是互斥事務(wù)．所以A，C，D三個(gè)選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．]2．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是()A．0.42B．0.28C．0.36D．0.62B[由題意，設(shè)摸出球?yàn)榧t球、白球、黑球分別為事務(wù)A，B，C，且為兩兩互斥事務(wù)，又口袋內(nèi)只有這三種球，所以P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，則P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0.28，故選B．]3．(2024·濰坊模擬)近年來(lái)，某市為促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放狀況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000t生活垃圾．經(jīng)分揀以后數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表(單位：t)．依據(jù)樣本估計(jì)本市生活垃圾投放狀況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060A．廚余垃圾投放正確的概率為eq\f(2,3)B．居民生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為eq\f(3,10)C．該市三類垃圾箱中投放正確的概率最高的是“可回收物”箱D．廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差為20000C[對(duì)A，廚余垃圾投放正確的概率為eq\f(400,400＋100＋100)＝eq\f(2,3)，故A正確；對(duì)B，生活垃圾投放錯(cuò)誤有200＋60＋40＝300，故生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率為eq\f(300,1000)＝eq\f(3,10)，故B正確；對(duì)C，“廚余垃圾”箱投放正確的概率為eq\f(400,400＋30＋20)＝eq\f(8,9)，“可回收物”箱投放正確的概率為eq\f(240,100＋240＋20)＝eq\f(2,3)，“其他垃圾”箱投放正確的概率為eq\f(60,100＋30＋60)＝eq\f(6,19)，所以該市三類垃圾箱中投放正確的概率最高的是“廚余垃圾”箱，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(400＋100＋100,3)＝200，所以方差s2＝eq\f([400－2002＋100－2002＋100－2002],3)＝20000，故D正確．故選C．]4．(2024·云師大附中模擬)“ATM”自動(dòng)取款機(jī)設(shè)定：一張銀行卡一天最多允許有三次輸入錯(cuò)誤，若第四次再錯(cuò)則自動(dòng)將卡淹沒(méi)．李四在“ATM”自動(dòng)取款機(jī)上取款，一時(shí)想不起該卡的密碼，但可以確定是五個(gè)常用密碼中的一個(gè)，他第一次輸入其中的一個(gè)密碼是錯(cuò)誤的，則他在確保不被吞卡的前提下取到款的概率是()A．eq\f(1,5)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,4)C[他只能再試兩次，第一次試勝利的概率是eq\f(1,4)，其次次試勝利的概率是eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,4)，兩次是互斥事務(wù)，∴P＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)，故選C．]命題點(diǎn)2古典概型求古典概型概率的2個(gè)步驟(1)計(jì)數(shù)：會(huì)利用枚舉法、列表法等，求樣本空間所含的基本領(lǐng)件數(shù)n以及事務(wù)A所含的基本領(lǐng)件數(shù)m.(2)運(yùn)算：套用古典概型的概率計(jì)算公式P(A)＝eq\f(m,n)求事務(wù)A發(fā)生的概率．[高考題型全通關(guān)]1．從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(8,25)D．eq\f(9,25)B[從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2人共有10種狀況，甲被選中有4種狀況，則甲被選中的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]2．(2024·運(yùn)城一模)某學(xué)校美術(shù)室保藏有4幅國(guó)畫，其中山水畫、花鳥畫各2幅，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2幅進(jìn)行展覽，則恰好抽到2幅不同種類的概率為()A．eq\f(5,6)B．eq\f(4,5)C．eq\f(3,4)D．eq\f(2,3)D[設(shè)山水畫為A1，A2，花鳥畫為B1，B2，則共有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)6種狀況，滿意條件的有4種，故P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).故選D．]3．(2024·成都一診)齊王有上等、中等、下等馬各一匹，田忌也有上等、中等、下等馬各一匹．田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)在從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽，若有優(yōu)勢(shì)的馬肯定獲勝，則齊王的馬獲勝得概率為()A．eq\f(4,9)B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,3)D．eq\f(7,9)C[設(shè)齊王上等、中等、下等馬分別為A，B，C，田忌上等、中等、下等馬分別為a，b，c，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)各選一匹進(jìn)行一場(chǎng)競(jìng)賽，基本領(lǐng)件有：(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，共9種，有優(yōu)勢(shì)的馬肯定獲勝，齊王的馬獲勝包含的基本領(lǐng)件有：(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，b)，(B，c)，(C，c)，共6種，∴齊王的馬獲勝的概率為P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3)，故選C．]4．(2024·海淀模擬)哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如12＝5＋7，在不超過(guò)18的素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于18的概率是()A．eq\f(1,42)B．eq\f(1,21)C．eq\f(2,21)D．eq\f(1,7)C[在不超過(guò)18的素?cái)?shù)2,3,5,7,11,13,17中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有21種不同的方法，其和等于18包含的基本領(lǐng)件有：(5,13)，(7,11)，共2個(gè)，∴其和等于18的概率是P＝eq\f(2,21).]5．(2024·哈爾濱三中模擬)為了給國(guó)外新冠肺炎疫情嚴(yán)峻的地區(qū)供應(yīng)救濟(jì)，國(guó)內(nèi)某機(jī)構(gòu)安排派出由5人組成的專家小組，其中甲、乙、丙3人通曉英語(yǔ)，丁、戊2人通曉法語(yǔ)，現(xiàn)從中隨機(jī)選出通曉英語(yǔ)、法語(yǔ)的專家各1名作為領(lǐng)隊(duì)，則甲和丁至少有1人被選中的概率為________．eq\f(2,3)[從5人中選出通曉英語(yǔ)、法語(yǔ)的專家各1名的可能結(jié)果為(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)共6種狀況．甲和丁至少有1人被選中有(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丁)，(丙，丁)，共4種狀況，甲和丁至少有1人被選中的概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).][老師備選]1．若某公司從五位高校畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A．eq\f(2,3)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(9,10)D[記事務(wù)A為甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，基本領(lǐng)件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)僅有(丙，丁，戊)一種可能，∴A的對(duì)立事務(wù)eq\x\to(A)的概率為P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝eq\f(9,10).故選D．]2．從4名男生和2名女生中任選3人參與某項(xiàng)活動(dòng)，則所選的3人中女生人數(shù)不超過(guò)1的概率是()A．0.8B．0.6C．0.4D．0.2A[設(shè)事務(wù)Q為“所選3人中女生人數(shù)不超過(guò)1，”事務(wù)M為“所選3人中女生人數(shù)為1”，事務(wù)N為“所選3人中女生人數(shù)為0”，則事務(wù)M，4名男生分別記為1,2,3,4；2名女生分別記為a，b.從4名男生和2名女生中任選3人有20種不同的結(jié)果，分別為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3,4}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{1，a，b}，{2,3,4)，{2,3，a}，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{2，a，b}，{3,4，a}，{3,4，b)，{3，a，b}，{4，a，b}．事務(wù)M所含的基本領(lǐng)件分別為{1,2，a}，{1,2，b}，{1,3，a}，{1,3，b}，{1,4，a}，{1,4，b}，{2,3，a)，{2,3，b}，{2,4，a}，{2,4，b}，{3,4，a}，{3,4，b}，共12個(gè)，所以P(M)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5)；事務(wù)N所含的基本領(lǐng)件分別為{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，共4個(gè)，所以P(N)＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).所以事務(wù)Q的概率為P(Q)＝P(M)＋P(N)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝0.8，故選A．]3.如圖是由1個(gè)圓、1個(gè)三角形和1個(gè)長(zhǎng)方形構(gòu)成的組合體，現(xiàn)用紅、藍(lán)2種顏色為其涂色，每個(gè)圖形只能涂1種顏色，則3個(gè)圖形顏色不全相同的概率為________．eq\f(3,4)[設(shè)事務(wù)M為“3個(gè)圖形顏色不全相同”，則其對(duì)立事務(wù)eq\x\to(M)為“3個(gè)圖形顏色全相同”，用紅、藍(lán)2種顏色為3個(gè)圖形涂色，每個(gè)圖形有2種選擇，共有8種狀況．其中顏色全部相同的有2種，即全部用紅色或藍(lán)色，所以P(eq\x\to(M))＝eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)，所以P(M)＝1－P(eq\x\to(M))＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).]命題點(diǎn)3幾何概型解決幾何概型問(wèn)題應(yīng)留意的2點(diǎn)(1)明確幾何概型的適用條件：基本領(lǐng)件發(fā)生的等可能性和基本領(lǐng)件的無(wú)限性．(2)分清幾何概型中的“測(cè)度”：留意區(qū)分長(zhǎng)度與角度、面積、體積等度量方式．[高考題型全通關(guān)]1．在區(qū)間(1,3)內(nèi)，任取1個(gè)數(shù)x，則滿意log2(2x－1)＞1的概率為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3)D．eq\f(3,4)D[由題意，滿意log2(2x－1)＞1，則2x－1＞2，解得x＞eq\f(3,2)，所以在區(qū)間(1,3)內(nèi)，任取1個(gè)數(shù)x時(shí)，x＞eq\f(3,2)的概率為P＝eq\f(3－\f(3,2),3－1)＝eq\f(3,4)，故選D．]2．(2024·咸陽(yáng)二模)“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的珍寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣．為了測(cè)算某火紋紋樣(如圖陰影部分所示)的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，已知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分，據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是()A．eq\f(16,5)B．eq\f(32,5)C．10D．eq\f(18,5)D[由題意可得eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(80,200)，∴S陰影＝eq\f(2,5)×32＝eq\f(18,5).故選D．]3．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書中把三角形的田稱為“圭田”，把直角梯形的田稱為“邪田”，稱底是“廣”，稱高是“正從”，“步”是丈量土地的單位．現(xiàn)有一邪田，廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田．若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，則該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為()A．eq\f(2,15)B．eq\f(2,5)C．eq\f(4,15)D．eq\f(1,5)A[由題意可知，邪田的廣分別為十步和二十步，正從為十步，其內(nèi)有一塊廣為八步，正從為五步的圭田．在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹，∴該株茶樹恰好種在圭田內(nèi)的概率為P＝eq\f(\f(1,2)×8×5,\f(1,2)10＋20×10)＝eq\f(2,15).故選A．]4．正六面體有6個(gè)面，8個(gè)頂點(diǎn)；正八面體有8個(gè)面，6個(gè)頂點(diǎn)．我們稱它們相互對(duì)偶．如圖，連接正六面體各面的中心，就會(huì)得到對(duì)偶的正八面體，在正六面體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自正八面體內(nèi)的概率是()A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,3)A[設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的體積為8.正八面體是由兩個(gè)全等的正四棱錐組成，且棱長(zhǎng)為eq\r(2)，故其底面積為2，高為1，體積為eq\f(1,3)×1×2＝eq\f(2,3)；∴正八面體的體積為2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).∴所求概率為P＝eq\f(\f(4,3),8)＝eq\f(1,6)，故選A．]5．若命題p：從有2件正品和2件次品的產(chǎn)品中任選2件得到都是正品的概率為eq\f(1,3)；命題q：在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)M，則∠AMB＞90°的概率為eq\f(π,8)，則下列命題是真命題的是()A．