2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：數(shù)列（10題）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：數(shù)列（10題）一．填空題（共10小題）1．（2024?蘇州模擬）數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2＝pan+1+qan，其中p，q∈N*，a0＝0，a1＝1．當(dāng)p＝1，q＝2時(shí)，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若該數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)m，n，都有：gcd（am，an）＝agcd（m，n），當(dāng)p+q＝2024時(shí)，符合條件的正整數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)為．其中g(shù)cd（m，n）為m，n的最大公因數(shù)．2．（2024?遂寧模擬）已知等差數(shù)列{an}的公差為2π3，集合S={x|x=cosan，n∈N3．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝3，a9＝27，則S22＝．4．（2024?如皋市模擬）小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買(mǎi)房，若小王看中的高層住宅總共有n層（20≤n≤30，n∈N*），設(shè)第1層的“環(huán)境滿(mǎn)意度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k﹣1層的“環(huán)境滿(mǎn)意度”多出3k2﹣3k+1；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k﹣1層的“高層恐懼度”高出13倍．在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿(mǎn)意度”與“高層恐懼度”分別為ak，bk，記小王對(duì)第k層“購(gòu)買(mǎi)滿(mǎn)意度”為ck，且ck=akb（參考公式及數(shù)據(jù)：12+22+32+?+n2=n(n+1)(2n+1)65．（2024?東臺(tái)市模擬）記R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿(mǎn)足xn+1=xn-f(xn)f'(xn)的數(shù)列{xn}稱(chēng)為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)f（x）＝x2﹣x，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，設(shè)an=lnxnxn-1，已知a1＝2，xn＞1，則a2＝，數(shù)列{an}6．（2024?峨眉山市校級(jí)模擬）在數(shù)列{an}中，已知a1=12，（n+2）an+1＝nan，則數(shù)列{an}的前2024項(xiàng)和S2024＝7．（2024?新縣校級(jí)模擬）“﹣1，0，1序列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，該序列中的數(shù)取值于﹣1，0或1．設(shè)A是一個(gè)有限“﹣1，0，1序列”，f（A）表示把A中每個(gè)﹣1都變?yōu)椹?，0，每個(gè)0都變?yōu)椹?，1，每個(gè)1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組．例如：A＝（﹣1，0，1），則f（A）＝（﹣1，0，﹣1，1，0，1）．定義Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3，…，若A1＝（﹣1，1），An中1的個(gè)數(shù)記為bn，則{bn}的前10項(xiàng)和為．8．（2024?平湖市校級(jí)模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝13，且a5＝a4+6a3，則滿(mǎn)足Sn＜123的n的最大值為．9．（2024?河北模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＝8，S3＝18，則S11＝．10．（2024?寶山區(qū)二模）在數(shù)列{an}中，a1＝2，且an=an-1+lgnn-1(n≥2)

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之小題狂練600題（填空題）：數(shù)列（10題）參考答案與試題解析一．填空題（共10小題）1．（2024?蘇州模擬）數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2＝pan+1+qan，其中p，q∈N*，a0＝0，a1＝1．當(dāng)p＝1，q＝2時(shí)，該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=13(2n-(-1)n)，若該數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意的正整數(shù)m，n，都有：gcd（am，an）＝agcd（m，n），當(dāng)p+q＝2024時(shí)，符合條件的正整數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)為880【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】an=1【分析】（1）直接構(gòu)造通項(xiàng)并驗(yàn)證滿(mǎn)足遞推公式即可；（2）利用最大公因數(shù)的性質(zhì)，將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為gcd（p，q）＝1，再求解滿(mǎn)足gcd（p，q）＝1的（p，q）的個(gè)數(shù)即可．【解答】解：（1）當(dāng)p＝1，q＝2時(shí)，有a0＝0，a1＝1，an+2＝an+1+2an．設(shè)cn=13(2n-(-1)n)cn+2=1=1∴{an}，{cn}具有相同的初值和遞推式，∴an＝cn，∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an（2）根據(jù)a0＝0，a1＝1，an+2＝pan+1+qan，知a2＝p，a3一方面，若gcd（am，an）＝agcd（m，n），則gcd（a2，a3）＝agcd（2，3）＝a1＝1，故1＝gcd（p，p2+q）＝gcd（p，q）．從而gcd（p，q）＝1；另一方面，若gcd（p，q）＝1，下面證明：gcd（am，an）＝agcd（m，n）．定義數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b0＝2，b1＝p，bn+2＝pbn+1+qbn．則用數(shù)學(xué)歸納法可證明an=1直接利用公式計(jì)算可知，對(duì)0≤m≤n，有am由于gcd（a1，q）＝gcd（1，q）＝1，gcd（a2，q）＝gcd（p，q）＝1，gcd（an+2，q）＝gcd（pan+1+qan，q）＝gcd（pan+1，q）＝gcd（an+1，q），故gcd（an，q）＝1（n≥1）．從而如果2m≥n，就有g(shù)cd(a如果2m≤n，就有g(shù)cd(a定義序列如下：（m0，n0）＝（m，n），且對(duì)非負(fù)整數(shù)k，(m則根據(jù)上面的結(jié)論，有g(shù)cd(amk+1，ank+1)=gcd(amk，ank)，同時(shí)根據(jù)最大公因數(shù)的性質(zhì)，有g(shù)cd（而若2mk≥nk，則mk+1+nk+1＝mk+2mk﹣nk＝3mk﹣nk≤mk+2mk﹣nk≤mk+2nk﹣nk＝mk+nk；若2mk＜nk，則mk+1+nk+1＝mk+nk﹣2mk＝﹣mk+nk≤mk+nk．綜上，總有mk+1+nk+1≤mk+nk．∵非負(fù)整數(shù)mk+nk不能無(wú)限嚴(yán)格遞減下去，∴存在非負(fù)整數(shù)k，使得mk+1+nk+1＝mk+nk．考慮mk+1+nk+1≤mk+nk的不等號(hào)的取等條件，有2mk≥nk，mk＝nk，或2mk＜nk，mk＝0．∴存在非負(fù)整數(shù)k，使得mk＝0或mk＝nk．若mk＝0，則gcd(a若mk＝nk，則gcd(a∴gcd(amk，ank)=agcd(mk，nk)，而我們又有g(shù)cd(amk+1∴gcd(a從而gcd（am，an）＝agcd（m，n）．綜上，gcd（am，an）＝agcd（m，n）的充要條件是gcd（p，q）＝1．∴當(dāng)p+q＝2024時(shí)，滿(mǎn)足gcd（p，q）＝1的正整數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)．而在p+q＝2024的情況下，有g(shù)cd（p，q）＝gcd（p，2024﹣p）＝gcd（p，2024），∴所求的（p，q）的個(gè)數(shù)就是{1，2，3，…，2024}中和2024互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)．∵2024＝23×11×23，∴{1，2，3，…，2024}中和2024互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從該集合中去掉2，11，23的倍數(shù)后的元素個(gè)數(shù)，2024×∴當(dāng)p+q＝2024時(shí)，符合條件的正整數(shù)對(duì)（p，q）的個(gè)數(shù)為：2024×故答案為：an=1【點(diǎn)評(píng)】本題考查了遞推數(shù)列和最大公因數(shù)的性質(zhì)，屬于難題．2．（2024?遂寧模擬）已知等差數(shù)列{an}的公差為2π3，集合S={x|x=cosan，n∈N【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】-1【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理，能求出這兩個(gè)元素的積．【解答】解：an＝a1+（n﹣1）d＝a1+2π3（n﹣∴cosan＝cos[a1+2π3（n﹣1）]＝cos（2π3n其周期為2π2π3=3，而n∈N*，∴cosan集合S＝{x|x＝cosan，n∈N*}有且僅有兩個(gè)元素，設(shè)S＝{a，b}，則在cosan，cosan+1，cosan+2中，cosan＝cosan+1≠cosan+2或cosan≠cosan+1＝cosan+2，或cosan＝cosan+2≠cosan+1，∵cosan＝cosan+3，∴cosan+3＝cosan+2≠cosan+1，∴一定會(huì)有相鄰的兩項(xiàng)相等，設(shè)這兩項(xiàng)分別為cosθ，cos（θ+2π∴cosθ＝cos（θ+2π3），∴θ+(θ+2π3)=2kπ，k∈Z，解得θ=kπ不相等的兩項(xiàng)為cosθ，cos（θ+4π∴ab＝cos（kπ-π3）cos[（kπ-π3）+4π3]＝﹣cos（kπ-π3）coskπ＝﹣cos2k故答案為：-1【點(diǎn)評(píng)】本題考查等數(shù)列的性質(zhì)、余弦函數(shù)的周期性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．3．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝3，a9＝27，則S22＝759．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】759．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公差d，再結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求解．【解答】解：由題意可得，a9＝a1+8d，∵a1＝3，a9＝27，∴d＝3，∴a22＝a1+21d＝3+21×3＝66，∴S22故答案為：759．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?如皋市模擬）小王準(zhǔn)備在單位附近的某小區(qū)買(mǎi)房，若小王看中的高層住宅總共有n層（20≤n≤30，n∈N*），設(shè)第1層的“環(huán)境滿(mǎn)意度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k﹣1層的“環(huán)境滿(mǎn)意度”多出3k2﹣3k+1；又已知小王有“恐高癥”，設(shè)第1層的“高層恐懼度”為1，且第k層（2≤k≤n，k∈N*）比第k﹣1層的“高層恐懼度”高出13倍．在上述條件下，若第k層“環(huán)境滿(mǎn)意度”與“高層恐懼度”分別為ak，bk，記小王對(duì)第k層“購(gòu)買(mǎi)滿(mǎn)意度”為ck，且ck=akb（參考公式及數(shù)據(jù)：12+22+32+?+n2=n(n+1)(2n+1)6【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】10．【分析】由題意可得a1＝1，且ak-ak-1=3k2-3k+1，（k≥2）；b1＝1，bk=bk-1+13bk-1=43b【解答】解：依題意，a1＝1，且ak-ak-1=3所以ak＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（ak﹣ak﹣1）＝1+（3×22﹣3×2+1）+（3×32﹣3×3+1）+…+（3k2﹣3k+1）＝（3×12﹣3×1+1）+（3×22﹣3×2+1）+（3×32﹣3×3+1）+…+（3k2﹣3k+1）＝3（12+22+32+…+k2）﹣3（1+2+3+…+k）+k=k(k+1)(2k+1)由題意得b1＝1，bk所以{bk}是以1為首項(xiàng)，43為公比的等比數(shù)列，所以b故小王對(duì)第k層住宅的購(gòu)買(mǎi)滿(mǎn)意度ck方法一：由ck+1ck解得k＜9.9404，所以c1＜c2＜c3＜…＜c9＜c10，同理有c10＞c11＞c12＞?，小王最想購(gòu)買(mǎi)第10層住宅．方法二：設(shè)f(x)=x3(43)x-1故1≤x≤3ln43時(shí)f′（x）＞0x≥3ln43時(shí)f′（x）＜0，故f由于3ln43故f（10）最大，小王最想購(gòu)買(mǎi)第10層住宅．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得ak-ak-1=3k2-3k+1，bk=5．（2024?東臺(tái)市模擬）記R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿(mǎn)足xn+1=xn-f(xn)f'(xn)的數(shù)列{xn}稱(chēng)為“牛頓數(shù)列”．若函數(shù)f（x）＝x2﹣x，數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列，設(shè)an=lnxnxn-1，已知a1＝2，xn＞1，則a2＝4，數(shù)列{an}【考點(diǎn)】數(shù)列與函數(shù)的綜合；數(shù)列與不等式的綜合；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】4，253【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到xn+1=xn22xn-1，再由a1求出x1，即可求出x2，從而求出a2，又xn+1xn+1-1=(xnxn-1)2，則an+1【解答】解：因?yàn)閒（x）＝x2﹣x，則f′（x）＝2x﹣1，則xn+1由a1＝2，a1=lnx1x1-1所以a2由xn+1=x所以an+1=lnxn+1xn+1-1=ln(x所以an=2因?yàn)閠Sn-14≤Sn2對(duì)任意的n∈N*恒成立，又Sn所以t≤Sn+14S令g(x)=x+14x，x∈（0，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可得g(x)=x+14x在(0，又2=S1＜14＜S2=6，且所以t≤S2+14故答案為：4；253【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，數(shù)列與不等式的綜合，屬于難題．6．（2024?峨眉山市校級(jí)模擬）在數(shù)列{an}中，已知a1=12，（n+2）an+1＝nan，則數(shù)列{an}的前2024項(xiàng)和S2024＝【考點(diǎn)】裂項(xiàng)相消法．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】由數(shù)列的遞推式和數(shù)列恒等式，求得an，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，可得所求和．【解答】解：因?yàn)椋╪+2）an+1＝nan，所以an+1所以an因此S2024故答案為：20242025【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2024?新縣校級(jí)模擬）“﹣1，0，1序列”在通信技術(shù)中有著重要應(yīng)用，該序列中的數(shù)取值于﹣1，0或1．設(shè)A是一個(gè)有限“﹣1，0，1序列”，f（A）表示把A中每個(gè)﹣1都變?yōu)椹?，0，每個(gè)0都變?yōu)椹?，1，每個(gè)1都變?yōu)?，1，得到新的有序?qū)崝?shù)組．例如：A＝（﹣1，0，1），則f（A）＝（﹣1，0，﹣1，1，0，1）．定義Ak+1＝f（Ak），k＝1，2，3，…，若A1＝（﹣1，1），An中1的個(gè)數(shù)記為bn，則{bn}的前10項(xiàng)和為682．【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】682．【分析】設(shè)An中有cn項(xiàng)為0，其中1和﹣1的項(xiàng)數(shù)相同都為bn，由已知條件可得2bn﹣1+cn﹣1＝2n﹣1（n≥2）①，bn＝bn﹣1+cn﹣1（n≥2）②，進(jìn)而可得bn+bn﹣1＝2n﹣1（n≥2）③，再結(jié)合bn+1+bn＝2n④，可得bn+1﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2），分別研究n為奇數(shù)與n為偶數(shù)時(shí){bn}的通項(xiàng)公式，運(yùn)用累加法及并項(xiàng)求和即可求得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)锳1＝（﹣1，1），依題意得，A2＝（﹣1，0，0，1），A3＝（﹣1，0，﹣1，1，﹣1，1，0，1），顯然，A1中有2項(xiàng)，其中1項(xiàng)為﹣1，1項(xiàng)為1，A2中有4項(xiàng)，其中1項(xiàng)為﹣1，1項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，A3中有8項(xiàng)，其中3項(xiàng)為﹣1，3項(xiàng)為1，2項(xiàng)為0，由此可得An中共有2n項(xiàng)，其中1和﹣1的項(xiàng)數(shù)相同，設(shè)An中有cn項(xiàng)為0，所以2bn+cn＝2n，b1＝1，從而2bn﹣1+cn﹣1＝2n﹣1（n≥2）①，因?yàn)閒（A）表示把A中每個(gè)﹣1都變?yōu)椹?，0，每個(gè)0都變?yōu)椹?，1，每個(gè)1都變?yōu)?，1所得到的新的有序?qū)崝?shù)組，則bn＝bn﹣1+cn﹣1（n≥2）②，①+②得bn+bn﹣1＝2n﹣1（n≥2）③，所以bn+1+bn＝2n④，④﹣③得bn+1﹣bn﹣1＝2n﹣1（n≥2），所以當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí)，bn＝（bn﹣bn﹣2）+（bn﹣2﹣bn﹣4）+…+（b3﹣b1）＝2n﹣2+2n﹣4+…+21+1=2-2n經(jīng)檢驗(yàn)n＝1時(shí)符合，所以bn=2n+1當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則n﹣1為奇數(shù)，又因?yàn)閎n+bn﹣1＝2n﹣1（n≥2），所以bn＝2n﹣1﹣bn﹣1＝2n﹣1-2所以bn=2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn+bn+1=2n+1所以{bn}的前10項(xiàng)和為（b1+b2）+（b3+b4）+（b5+b6）+（b5+b8）+（b8+b10）＝21+23+25+27+29=2(1-4故答案為：682．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了累加法及并項(xiàng)求和，屬于難題．8．（2024?平湖市校級(jí)模擬）已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝13，且a5＝a4+6a3，則滿(mǎn)足Sn＜123的n的最大值為5．【考點(diǎn)】等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】5．【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)與求和公式求解基本量，再由Sn＜123解關(guān)于n的不等式．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，因?yàn)閍5＝a4+6a3，所以q2﹣q﹣6＝0，解得q＝﹣2，或q＝3．由數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，則q＞0，所以q＝3．又由S3＝13，即a1+a2+a3＝a1+3a1+9a1＝13，解得a1＝1，因?yàn)镾n所以3n-12＜123，得3n＜247，解得n因?yàn)閘og3243＜log3247＜log3729，即log3247∈（5，6），又n∈N*，所以n的最大值為5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的求和，涉及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．9．（2024?河北模擬）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a4＝8，S3＝18，則S11＝110．【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專(zhuān)題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】110．【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列性質(zhì)得a6，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列{an}中，S3=(a1+a3則有a2＝6，又由a4＝8，則a6＝2a4﹣a2＝10，故S11=(a1+a11故答案為：110．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的求和，涉及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．（2024?寶山區(qū)二模）在數(shù)列{an}中，a1＝2，且an=an-1+lgnn-1(n≥2)【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【專(zhuān)題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】4．【分析】利用遞推公式求出數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，由此猜想an＝2+lgn．再用數(shù)學(xué)歸納法證明，由此能求出a100．【解答】解：在數(shù)列{an}中，a1＝2，且an∴a2＝2+lg2，a3=2+lg2+lg32a4=2+lg3+lg43由此猜想an＝2+lgn．下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①a1＝2+ln1＝2，成立，②假設(shè)ak＝2+lgk成立，則ak+1=2+lgk+lgk+kk=2+由①②得an＝2+lgn，則a100＝2+lg100＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推公式、遞推思想、數(shù)學(xué)歸納法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

考點(diǎn)卡片1．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項(xiàng)和公式為：Sn＝na1+d2n（n﹣1）或Sn=n(a1+an)2（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t＝2p時(shí)，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項(xiàng)開(kāi)始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項(xiàng)不一定選a1）．【解題方法點(diǎn)撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個(gè)實(shí)根．（1）求此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第多少項(xiàng)？若不是，說(shuō)明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項(xiàng)．這是一個(gè)很典型的等差數(shù)列題，第一問(wèn)告訴你第幾項(xiàng)和第幾項(xiàng)是多少，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項(xiàng)和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來(lái)了．第二問(wèn)判斷某個(gè)數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項(xiàng)，其實(shí)就是要你檢驗(yàn)看符不符合通項(xiàng)公式，帶進(jìn)去檢驗(yàn)一下就是的．2．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等差數(shù)列是常見(jiàn)數(shù)列的一種，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+12n（n﹣1）d或者S【解題方法點(diǎn)撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+5×42d＝5a1+10＝15，即a1＝則S10＝10a1+10×92d＝10+45＝故答案為：55點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項(xiàng)a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項(xiàng)為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時(shí)，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴Tn點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)的絕對(duì)值的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用．其實(shí)方法都是一樣的，要么求出首項(xiàng)和公差，要么求出首項(xiàng)和第n項(xiàng)的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見(jiàn)，單獨(dú)考察等差數(shù)列的題也比較簡(jiǎn)單，一般單獨(dú)考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話(huà)會(huì)結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)考察，特別是錯(cuò)位相減法的運(yùn)用．3．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等比數(shù)列{an}的公比為q（q≠0），其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，Sn=a2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)公比不為﹣1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn．【解題方法點(diǎn)撥】﹣性質(zhì)分析：分析等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)．﹣公式推導(dǎo)：根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式，推導(dǎo)出數(shù)列和的性質(zhì)．﹣綜合應(yīng)用：將前n項(xiàng)和的性質(zhì)與其他數(shù)列性質(zhì)結(jié)合，解決復(fù)雜問(wèn)題．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)分析數(shù)列的遞增性、遞減性，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．已知在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a3＝8，a5＝32，則使不等式Sn＞511成立的正整數(shù)n的最小值為_(kāi)____．解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，q＞0，∵在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a3＝8，a5＝32，∴q2=a5a3=4∴an=a3?∴Sn=2(1-2n)1-2=∵Sn＞511，∴2n+1＞513，當(dāng)n＝8時(shí)，2n+1＝29＝512，當(dāng)n＝9時(shí)，2n+1＝210＝1024，∴正整數(shù)n的最小值為9．∴使不等式Sn＞511成立的正整數(shù)n的最小值為9．故答案為：9．4．?dāng)?shù)列的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、數(shù)列與函數(shù)的綜合2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤(rùn)、人口增長(zhǎng)等實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合．5．?dāng)?shù)列的求和【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等，常用的方法包括：（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+12n（n﹣1）d或S②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【解題方法點(diǎn)撥】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn=1an2-1（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前分析：形如{1等差×11×3=1=50解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴a1+2d=72a1+10d=26，解得a1＝∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn=3n+n(n-1)2×2=n2（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn=1∴Tn=1即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=n點(diǎn)評(píng)：該題的第二問(wèn)用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【命題方向】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．6．裂項(xiàng)相消法【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】就是求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和，一般來(lái)說(shuō)要求的數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列、等差等比數(shù)列等等：（1）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{1anan+1}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即【解題方法點(diǎn)撥】裂項(xiàng)相消法是一種用于求解數(shù)列和的技巧，通過(guò)將數(shù)列項(xiàng)裂解成兩個(gè)或多個(gè)部分進(jìn)行相消來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算等差或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．求和：12解：因?yàn)閗(k+1)!所以原式=(1故答案為：1-17．?dāng)?shù)列遞推式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、遞推公式定義：如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an﹣1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．2、數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系式：an=s在數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)公式an的關(guān)系，是本講內(nèi)容一個(gè)重點(diǎn)，要認(rèn)真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1）；若a1適合由an的表達(dá)式，則an不必表達(dá)成分段形式，可化統(tǒng)一為一個(gè)式子．（2）一般地當(dāng)已知條件中含有an與Sn的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含an或Sn的關(guān)系式，然后再求解．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列的通項(xiàng)的求法：（1）公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an=sn-sn-1;;n≥2s1;;n=1（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，=f(1)（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知an+1an=f（n）求an，用累乘法：an=a（6）已知遞推關(guān)系求an，有時(shí)也可以用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k的等比數(shù)列后，再求an．②形如an=a（7）求通項(xiàng)公式，也可以由數(shù)列的前幾項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．8．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】數(shù)列的函數(shù)特性：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量a1，an，q，n，Sn，知三求二，體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．【解題方法點(diǎn)撥】1．在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問(wèn)題時(shí)：（1）要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)性東西；（2）準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；（3）根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；（4）最后再回到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到答案．2．在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：（1）直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程．（2）注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和．（3）求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，無(wú)一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類(lèi)旁通．3．在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式（尤其是在處理客觀題目時(shí)）時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問(wèn)題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過(guò)少，而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．【命題方向】典例：已知f（x）＝logax（a＞0，a≠1），設(shè)數(shù)列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列．（I）設(shè)a為常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列；（II）設(shè)bn＝anf（an），數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a=2時(shí)，求Sn分析：（I）先利用條件求出f（an）的表達(dá)式，進(jìn)而求出{an}的通