專題33解答壓軸題(四邊形)(共60題)-5年(2020)中考1年模擬數(shù)學試題分項詳解解析版

5年（2016-2020）中考1年模擬數(shù)學試題分項詳解（江蘇專用）

專題33解答壓軸題（四邊形）（共60題）

ZX

五年中考真題

I）

1.（2D20?無錫）如圖，在矩形48co中，AB=2,AO=1,點E為邊CO上的一點（與C、。不重合），四

邊形48CE關于直線AE的對稱圖形為四邊形ANME,延長ME交A8于點尸，記四邊形網DE的面積為

S.

（1）若。E=等，求S的值；

（2）設。E=x,求S關于x的函數(shù)表達式.

【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義得到NAEO=60°,根據(jù)平行線的性質得到NB4E=60°,根據(jù)折疊

的性質得到NAEC=NA￡M,推出△APE為等邊三角形，于是得到結論；

（2）過E作于尸，由（1）可知，ZAEP=ZAED=ZPAE,求得AP=PE,設AP=PE=a,AF

=ED=x,則Pr=a-x,EF=AD=\,根據(jù)勾股定理列方程得到〃二留，于是得到結論.

【解析】⑴??,在矩形48co中，ND=90°,AD=l,。七=爭

：.AE='AD?+DE?=孚

/.tanZAED=禁=V3,

AZAED=60°,

*：AB//CD,

AZBAE=60°,

???四邊形ABCE關于直線AE的對稱圖形為四邊形ANME,

???/AEC=ZAEM,

■:/PEC=NDEM,

AZAEP=ZAED=60°,

???△/1/>￡：為等邊三角形，

126叵J3

5=~X（—―4--}X1=-y;

2332

（2）過后作E7LLAB于尸，

由（1）可知，ZAEP=ZAED=ZPAE,

:.AP=PE,

設AP=PE=mAF=ED=xt

則PF=a-x,EF=AD=1,

在RtZXPE尸中，（a?x）2+l=?2,解得：a=

2.（2020?南通）矩形ABC。中，A3=8,AD=\2.將矩形折疊，使點A落在點P處，折痕為

AD

（1）如圖①，若點P恰好在邊8C上，連接AP,求防的值；

（2）如圖②，若石是A8的中點，EP的延長線交BC于點凡求B尸的長.

【分析】（1）如圖①中，取。E的中點M,連接PM.證明△POMs/xocP,利用相似三角形的性質求

解即可.

（2）如圖②中，過點P作GH〃BC交A8于G,交CQ于從設EG=x,則3G=4-x.證明△EGPs

EGPGEP41

APHD,推出一=—=一=—=推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在Rt^PHD中，由

PHDHPD123

PH2+DH2=PD2,可得(3x)2+(4+x)2=122,求出X,再證明△EGPS/\EBF,利用相似三角形的性質

求解即可.

【解析】(1)如圖①中，取OE的中點M,連接PM.

圖①

???四邊形ABC。是矩形，

AZBAD=ZC=90°,

由翻折可知，AO=OP,AF_LOK,Z2=Z3,ZDAE=ZDPE=90°,

在RtZXEPD中，?:EM=MD,

:,PM=EM=DM,

，/3=NM尸。，

AZ1=/3+NMPO=2N3,

???/AOP=2N3,

???/l=NAOP,

*：AD//BC,

???^ADP=ZDPC,

???N1=NDPC,

???/MOP=NC=90°,

:?△POMS/\DCP,

.PO_CD_8__2

?'PM~PD~12~3

.些_2Po_2

JDE~2PM-3,

APAB2

解法二：證明AAB尸和△?!￡：相似，-=—=

DEDA3

(2)如圖②中，過點P作G”〃8。交A8于G,交CD于H.則四邊形AG"。是矩形，設￡G=x,則

BG=4-x

D

G■■■■■■■■■■ff

BF…C

圖②

???/A=NEPO=90°,NEGP=NDHP=90°,

EPG+NDPH=90°,NDPH+NFDH=90°，

:.4EPG=NPDH,

：?>EGPsAPHD,

.EGPGEP41

"PH-DH一PO-12-3’

，PH=3EG=3x,DH=AG=4+x,

在Ri△尸中，,：PH2+DH2=PD1,

:.(3x)2+(4+x)2=122,

解得后竽(負值已經舍棄)，

???DB/^G—-A4-可16=4耳，

,17

在RtZ\￡GP中，GP=^JEP2-EG2=y

?：GH〃BC,

:?△EGPs^EBF,

.EGGP

?■=,

EBBF

1612

???M_—_w_，

4BF

：.BF=3.

3.(2020?徐州)我們知道：如圖①，點B把線段AC分成兩部分，如果警二*，那么稱點B為線段AC

的黃金分割點.它們的比值為亨.

(1)在圖①中，若AC=20c/n,則的長為(10西一10)cm；

(2)如圖②，用邊長為20cm的正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABC。得折痕破，連接CE,將

折疊到CE上，點8對應點H,得折痕CG.試說明：G是AB的黃金分割點；

(3)如圖③，小明進一步探究：在邊長為。的正方形A8CO的邊AO上任取點E(AE>OE),連接BE,

作CF_L5E,交A5于點尸，延長ERCB交于點、P.他發(fā)現(xiàn)當P8與5c滿足某種關系時，E、尸恰好分

別是4￡)、4B的黃金分割點.請猜想小明的發(fā)現(xiàn)，并說明理由.

【分析】(1)由黃金分割點的概定義可得出答案；

(2)延長￡4,CG交于點M,由折疊的性質可知，NECM=NBCG,得出NEMC=NECM,則EM=

EC,根據(jù)勾股定理求出CE的長，由銳角三角函數(shù)的定義可出3nNBCG=§1,即第="|二，則可

得出答案；

AEAF

(3)證明AABE四△BCHASA),由全等三角形的性質得出證明△AMS/\BPF,得出一=一,

BPBF

則可得出答案.

【解析】(1)??,點8為線段4C的黃金分割點，AC=20cm,

AAB=^ix20=(10再-10)cm.

故答案為:(10V5-10).

(2)延長E4,CG交于點M,

???四邊形ABC力為正方形，

:?DM〃BC,

：.NEMC=/BCG,

由折疊的性質可知，NECM=/BCG,

：?4EMC=NECM,

:?EM=EC,

VDE=10,DC=20,

：.EC=y/DE2+DC2=V102+202=1075,

：.EM=\O>JS,

???￡>"=106+10,

DC=202店一1

AtanZDA/C=~DM~10/5+10許=工

yfS—A

???tanNBCG=

4

BG乃-1

即一=

BC2

,:AB=BC,

.BGV5-1

?■_=9

AB2

???G是A8的黃金分割點;

(3)當5P=3。時，滿足題意.

理由如下:

???四邊形ABCO是正方形,

：.AB=BC,/BAE=NCBF=90°,

VBE1CF,

工4ABE+NCFB=9U0,

又:/8。尸+/8/C=90°,

:./BCF=NAM,

:.ABCF(ASA),

：.BF=AE,

'：AD//CP,

:?△AEFsABPF,

9AE_AF

?■—,

BPBF

當E、尸恰好分別是A。、AB的黃金分割點時,

*：AE>DEt

?A_F_B__F

BFAB

*：BF=AE,AB=BC,

.AFBFAE

?'BF~AB~BC

AEAE

?e?—,

BPBC

:?BP=BC.

4.(2020?泰州)如圖，正方形ABC。的邊長為6,M為48的中點，4MBE為等邊三角形,過點E作ME

的垂線分別與邊A。、8c相交于點F、G,點P、。分別在線段ER8C上運動，且滿足NPMQ=60°,

連接PQ.

(1)求證：△MEPg/XMBQ.

(2)當點。在線段GC上時，試判斷尸F(xiàn)+G。的值是否變化？如果不變，求出這個值，如果變化，請說

明理由.

(3)設NQM8=a,點8關于QM的對稱點為8,若點夕落在△MPQ的內部，試寫出a的范圍，并說

【分析】(1)由“4S4”可證△MB。絲△MEP；

(2)連接MG,過點F作FHLBC于H,由可證RtZXMBGgRt△例EG,可得BG=G￡NBMG

=/EMG=30°,NBGM=NEGM,由直角三角形的性質可求8G=GE=再，由銳角三角函數(shù)可求G尸

=4>/3,由全等三角形的性質可求PE=8Q=8G+GQ,即可求GQ+PF=2V5；

(3)利用特殊值法，分別求出點夕落任。〃上和上時a的值，即可求解.

【解析】證明：(1)???正方形ABC。的邊長為6,M為AB的中點，

???/A=NABC=90°,AB=BC=6,AM=BM=3,

是等邊三角形，

:?MB=ME=BE,NBME=NPMQ=60°，

/BMQ=NPME,

又'??NA8C=NM￡P=90°,

：?4MBQ出AMEP(ASA)；

(2)PF+GQ的值不變，

理由如下：如圖1,連接MG,過點尸作FH_LBC于”,

?:ME=MB,MG=MG,

???太△M8GgRtZkMEG(HL),

：.BG=GE,NBMG=NEMG=30°,NBGM=NEGM,

:?MB=△BG=3,NBGM=NEGM=60°,

：.GE=V3,NFGH=60°,

???尸”_LBC,ZC=ZD=90°,

，四邊形oc”產是矩形，

：?FH=CD=6,

.../“口FH>[36

?sm/FGH=百=方=而，

AFG=4V3,

???4MBQg4MEP,

：,BQ=PE,

：?PE=BQ=BG+GQ,

,:FG=EG+PE+FP=EG+BG+GQ+PF=2>/3+GQ+PF,

:.GQ+PF=2?

(3)如圖2,當點B'落在尸Q上時，

■:4MBQ出AMEP,

JMQ=MP,

VZgA/P=60°,

???△MPQ是等邊三角形，

當點9落在PQ上時，點6關于QM的對稱點為8,

；?4MBQ妾4MBQ,

；?NMBQ=NMB'Q=90°

，/QME=30°

；?點9與點E重合，點。與點G重合，

???/QM8=NQM8'=a=30°,

如圖3,當點夕落在MP上時，

同理可求：NQM6=NQM8'=a=60°,

???當30°<a<60°時，點8落在△MP。的內部.

5.（2020?宿遷）【感知】如圖①，在四邊形A8CD中，ZC=ZD=90°,點￡在邊C。上，ZAEB=90°,

人AEDE

求證：——=—.

EBCB

【探究】如圖②，在四邊形ABCO中，NC=NAOC=90°,點E在邊CD上，點尸在邊4。的延長線

E尸4E

上，NFEG=/AEB=90°,且一=—,連接BG交CD于點H.

EGEB

求證：BH=GH.

4EDE

【拓展】如圖③，點七在四邊形A8CD內，/AEB十NOEC=I80°,且=二=7，過七作E尸交4。

EBEC

于點凡若NEFA=NAEB,延長在交8。于點G.求證：BG=CG.

圖①圖②圖③

AEDE

【分析】【感知】證得/BEC=NE4。，證明RlAAED^RtAEBC,由相似三角形的性質得出一=—,

EBCB

則可得出結論；

EPDE

【探究】過點G作GM_LCO于點M,由(1)可知一=—，證得BC=GM,證明△5C"gZ\GM〃(A4S),

EGGM

可得出結論；

【拓展】在EG上取點M,使NBME=NAFE,過點C作CN〃8M,交EG的延長線于點N,則NN=N

4EEFDEEF

BMG,證明△AE/s/x&W,由相似三角形的性質得出一=—,證明△￡>￡尸S/XECN,則一=—,

BEBMECCN

EFEF

得出一=—，則8M=CM證明△忒；“四aCGN(A4S),由全等三角形的性質可得出結論.

BMCN

【解析】【感知】證明：???NC=NO=NAEB=90°,

:./BEC+NAED=ZAED+ZEAD=90°,

:?NBEC=NEAD,

：.RtAAfD^RtAEBC,

AEDE

**EB-CB

EFDE

【探究】證明：如圖L過點G作GM"O于點M,由⑴可知正=而，

DEDE

GM~CB'

：,BC=GM.

又'??NC=NGM”=90°，/CHB=NMHG,

:.△BCHg^GMH(A4S),

:,BH=GH,

【拓展】證明：如圖2,在EG上取點M,使NBME=N4尸E,

過點C作CN〃8M,交EG的延長線于點M則NN=N8WG,

VZ￡XF+ZAFE+ZAEF=ZAEF+ZAEZ?+ZZ?EAf=180°,/EPA=/AEB,

:.乙EAF=/BEM,

???、AEFs/\EBM,

9AE_EF

''BE一BM'

〈NAEB+NDEC=18O°,ZEM+ZDFE=180°,

而NEFA=NAEB,

：?4CED=NEFD,

?；/BMG+NBME=180°,

???4N=ZEFD,

VZEELHZEDk+Z卜ED=ZEED+ZDEC+ZCEN=18(T,

:,乙EDF=/CEN,

：?4DEFsAECN,

DEEF

??*""""""=,

ECCN

「AEDE

又丁—=,

EBEC

eEFEF

“BM-CN'

:,BM=CN,

又'：/N=/BMG,/BGM=/CGN,

:.XBGMgACGN（AAS）,

：,BG=CG.

6.（2019?南京）如圖①，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.求作菱形OEFG,使點。在邊4c

上，點E、尸在邊AB上，點G在邊8c上.

小明的作法

1.如圖②，在邊AC上取一點。，過點Z）作。G〃AB交8C于點G.

2.以點。為圓心，OG長為半徑畫弧，交于點E.

3.在E8上截取連接FG,則四邊形OEFG為所求作的菱形.

（1）證明小明所作的四邊形OEPG是菱形.

（2）小明進一步探索，發(fā)現(xiàn)可作出的菱形的個數(shù)隨著點D的位置變化而變化……請你繼續(xù)探索，直接

寫出菱形的個數(shù)及對應的CO的長的取值范圍.

【分析】（1）根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明即可.

（2）求出幾種特殊位置的C。的值判斷即可.

【解析】（1）證明：..?OE=OG,EF=DE,

:?DG=EF,

,:DG〃EF,

???四邊形DEFG是平行四邊形，

°：DG=DE,

???四邊形OEFG是菱形.

（2）如圖1中，當四邊形。EFG是正方形時，設正方形的邊長為x.

B

圖1

在RtZkABC中，VZC=90°,AC=3,BC=4,

：.AB=VP+42=5,

2q

則CD=/，AD=

\'AD+CD=ACt

35

/.-X+-x=3,

54

._60

??k37>

.「八336

??但尹=37*

觀察圖象可知：OWCOV弱時，菱形的個數(shù)為0.

如圖2中，當四邊形OAEG是菱形時，設菱形的邊長為利.

圖2

VDG〃AB,

CDDG

?e?=~~~,

CAAB

?_3_-_m__m

??

35

解得m=竽,

15_9

CD=3-~8=8f

如圖3中，當四邊形。EBG是菱形時，設菱形的邊長為〃.

?CGDG

CBAB

?4-n_n

??=二,

45

._20

??n--g-?

.??CG=4-9=3，

???8=](第2_(竽)2=條

觀察圖象可知：當OWCOV碧或(VCOW3時，菱形的個數(shù)為0,當CO=罷或:〈CO4電寸，菱形的個

數(shù)為1,當當VCO登時，菱形的個數(shù)為2.

378

7.(2019?南通)如圖，矩形ABC。中，4B=2,4D=4.E,尸分別在AO,BC上，點A與點C關于所所

在的直線對稱，P是邊QC上的一動點.

(I)連接ARCE,求證四邊形4FCE是菱形；

DP

(2)當尸的周長最小時，求不■的值；

CP

(3)連接BP交EF于點M,當NEMP=45°時，求CP的長.

【分析】(1)由“4AS”可證△AEOgaC/O,可得AE=C凡可得四邊形AFC七是平行四邊形，且AC

上EF,可證四邊形AFCE是菱形；

(2)作點尸關于CO的對稱點〃，連接EH,交8于點P,此時△EFP的周長最小，由勾股定理可求

A尸的長，由平行線分線段成比例可求解：

(3)延長EF,延長48交于點N,過點E作于〃，交BP于點G：過點。作50_LFN于點0,

可證四邊形A6/"：是矩形，可得AB=EH=2,BH=AE=山相似三角形的性質依次求出BN,NF,BO,

EM,EG的長，通過證明△BGHS/XBPC,由相似三角形的性質可求CP的長.

【解析】證明：(1)如圖：連接A凡CE,AC交EF于點0

???四邊形A3C￡＞是矩形，

：.AB=CD,AD=BC,AD//BC

:.乙AEO=/CFO,N￡4O=NFCO,

???點A與點C關于EF所在的直線對稱

：.A0=C0,ACLEF

■:乙AEO=/CFO,ZEAO=ZFCO,A0=C0

???△AEOdCTO(A45)

：.AE=CF,^.AE//CF

???四邊形AFCE是平行四邊形，RACLEF

???四邊形AFCE是菱形；

(2)如圖，作點尸關于CO的對稱點“，連接E”，交C。于點P,此時的周長最小,

???科邊形AR7E是菱形

：.AF=CF=CE=AE,

,：AF:2=BF1+AB1,

?"產=（4-A尸）2+%

5

2一

AAE=1=CF

:,DE=^

???點凡點”關于CD對稱

/.CF=OT=1

'：AD//BC

.DPDE3

**CP~CH~5

(3)如圖，延長ER延長AB交于點N,過點上作于〃，交BP于點G,過點5作8。_1_印

于點0,

53

--

22

'：EHVBC,ZA=Z4BC=90°

???四邊形AB”占是矩形

:.AB=EH=2,BH=AE=1

；?EF=y/EH2+FH2=瓜

\*AD//BC

:.△BFNS^AEN

.BN_BF_FN

??AN~AE~EN

BN3NF

??BN+2一5一A/F+VS

ofc

???BN=3,冊=號

：.AN=5,的=竽

???/N=NN,ZBON=ZA=90°

:?△NBOs^NEA

BNBONO

ENAEAN

3BONO

??5西55

2

?DC3底zc6底

..B0=-g-,NO=-g-

?：4EMP=NBMO=45°，BOLEN

???4OBM=NBMO=45"

o/F

,BO=MO=*

(7/F

：.ME=EN-NO-MO=品

*CAB//EH

：.XBNMsRGEM

.BNNM

EG~EM

9-75

.三_M

??拓一道

10

：.GH=EH-EG=^

o

9：EH//CD

:?△BGHs^BPC

GHBH

PC~BC

55

6_2_

PC~4

4

：.CP=

3

8.（2019?蘇州）已知矩形ABC。中，A8=5cm,點尸為對角線AC上的一點，且A尸=26"小如圖①，動

點M從點A出發(fā)，在矩形邊上沿著Af8一。的方向勻速運動(不包含點C).設動點M的運動時間為f

(s),△APM的面積為S(sP),S與f的函數(shù)關系如圖②所示.

(1)直接寫出動點”的運動速度為，。制5,8C的長度為10。小

(2)如圖③，動點M重新從點4出發(fā)，在矩形邊上按原來的速度和方向勻速運動，同時，另一個動點

N從點D出發(fā)，在矩形邊上沿著D-C-B的方向勻速運動，設動點N的運動速度為v(ends).已知兩

動點M,N經過時間x(s)在線段8C上相遇(不包含點C),動點M,N相遇后立即同時停止運動，記

此時△APM與△DPN的面積分別為Si(cm2),Si(cw2)

①求動點N運動速度v(cm/s)的取值范圍；

②試探究S1?S2是否存在最大值，若存在，求出Si?S2的最大值并確定運動時間x的值；若不存在，請說

明理由.

【分析】(1)由題意得，=2.5s時，函數(shù)圖象發(fā)生改變，得出，=2.5s時，M運動到點8處，得出動點M

的運動速度為：段=2cm/sf由f=7.5s時，5=0,得出Z=7.5s時，〃運動到點。處，得出BC=\0Ccm\

(2)①由題意得出當在點C相遇時，v=i(cm/s),當在點B相遇時，v=";。=6(c加s),即可

得出答案；

4尸AP

②過尸作所_LAB于R交CO于E,WJEF//BC,由平行線得出茄=丁，得出AF=2,DE=AF=2,

CE=BF=3,由勾股定理得出外'=4,得出EP=6,求出Si=SMPM=S&IP產S梯形丹ww-SAABM=-2r+15,

S2=S&DPM=S&DEP+S梯形EPMC-SZXOCM=2X，得出Si?S2=(-2x+15)X2x=-4x2+30x=-4(x—孕產+^5,

即可得出結果.

【解析】(I)1=2.5$時,函數(shù)圖象發(fā)生改變，

???/=2.5s時，M運動到點8處，

工動點M的運動速度為：A=2cm/s,

?門=7.5s時，S=0,

?1=75s時,M運動到點一處,

：.BC=(7.5-2.5)X2=10(cm),

故答案為：2,10：

(2)①；兩動點M,N在線段上相遇(不包含點C),

，當在點。相遇時，1，=河=可(。?而)，

當在點8相遇時，v=5tc0=6(cw/.y),

2

，動點N運動速度u(c/M/5)的取值范圍為T7%VuW6cm/s；

②過P作EF_L4B于凡交。。于E,如圖3所示：

則斯〃8C,EF=BC=\0,

AFAP

.??_=_,

ABAC

VAC=y/AB2+BC2=575,

.AF2V5

AT=前

解得：AF=2,

:,DE=AF=2,CE=BF=3,PF=>/AP2-AF2=4,

：.EP=EF-PF=6,

***S'=SMPM=S&AP盧S梯形PFBM-SMBM=5x4X2+i(4+2x-5)X3-ix5X(2x-5)=-2x+15,

52=SADPM=SADEPTS梯形EPMC-SADCM=IX2X6+^(6+15-2x)X3-ix5X(15-2x)=2t,

???Si?S2=(-2x+15)X2x=-4A-2+30.V=-4(x-苧)？+竿，

??,2.5V竽<7.5,在8。邊上可取，

:.當x=半時，Si0的最大值為^

9.（2019?連云港）問題情境：如圖1,在正方形ABC。中，E為邊BC上一點（不與點8、C重合），垂直

于AE的一條直線MN分別交AB、AE.CO于點M、P、N.判斷線段ON、MB、EC之間的數(shù)量關系，

并說明理由.

問題探究：在“問題情境”的基礎上.

（1）如圖2,若垂足P恰好為4E的中點，連接BD,交MN于點、Q,連接E0,并延長交邊AO于點八求

N4EF的度數(shù)；

（2）如圖3,當垂足P在正方形A8CD的對角線8。上時，連接AN,將AAPN沿著AN翻折，點P落

在點P處，若正方形4BC。的邊長為4,4。的中點為S,求尸5的最小值.

問題拓展：如圖4,在邊長為4的正方形ABC。中，點M、N分別為邊AB、CO上的點，將正方形ABC。

沿著MN翻折，使得的對應邊8C恰好經過點A,CN交AD于點F.分別過點4、/作AG_LMN,

FH1MN,垂足分別為G、H.若AG=W，請直接寫出廠”的長.

C

圖1圖2圖3圖4

【分析】問題情境：過點8作8F〃MV分別交4E、CD于點G、凡證出四邊形MBFN為平行四邊形,

得出NF=A/8,證明尸得出BE=CE即可得出結論；

問題探究：（1）連接AQ,過點。作小〃A3,分別交A。、BC于點、H、I,證出△QH。是等腰直角三角

形，HD=HQ,AH=QL證明RtZ\A”02Rt△。花得出NAQ"=NQE/,得出^從。后是等腰直角三角形，

得出NE4Q=NAEQ=45°,即可得出結論；

(2)連接AC交3。于點0,則△APN的直角頂點P在05上運動，設點P與點8重合時，則點P'與

點。重合:設點P與點O重合時，則點P'的落點為O',由等腰直角三角形的性質得出NOZM=N4￡)O'

=45°,當點P在線段80上運動時，過點P作PG_LC￡＞于點G,過點P'作PH_LC。交CO延長線

于點H,連接PC,證明△APBgZXCPB得出NBAP=NBCP,證明RtZ\PGNgRtZ\N"P得出PG=M7,

GN=P'H,由正方形的性質得出NPOG=45°,易得出PG=GO,得出GN=O〃，DH=P'H,得出NHDH

=45°,故NPD4=45°,點尸在線段0(7上運動；過點S作SK_L。。，，垂足為K,即可得出結果；

問題拓展：延長AG交8C于E,交OC的延長線于Q,延長"/交C。于P,則EG=AG=搟，PH=FH,

得出4七=5,由勾股定理得出BE=迎可一旃=3,得出CE=8C-8七=1,證明△ABESZ\℃￡得

出?！辏?熱4￡=lAQ=AE+QE=證明△AGMS/\A班:，得出4用=備由折疊的性質得：AB'=EB

=3,ZB'=ZB=90°,ZC=ZBCD=90°,求出8M=1AM?-AM=看AC=\,證明△AFO^

M48,得出AF羿?=4一竿=9,證明△。尸PSAOAQ,得出FP=*得出FH=#P=

【解析】問題情境：

解：線段ON、MB、EC之間的數(shù)量關系為：DN+MB=EC；理由如下：

???四邊形4BCO是正方形，

；?NABE=NBCD=90°,AB=BC=CD,AB//CD,

過點8作8/〃MN分別交4/、CD于點、G、尸，如圖1所示：

???四邊形MBFN為平行四邊形，

:?NF=MB,

：.BF±AE,

:"BGE=90°,

/./CBF+AAEB=^°,

???/BAE+NAM=90°,

：2CBF=/BAE,

Z-BAE=乙CBF

在△ABE和。尸中，AB=BC,

/.ABE=乙BCF=90°

:.△ABE@RBCF(ASA),

:?BE=CF,

???DN+NF+CF=BE+EC,

:?DN+MB=EC；

問題探究：

解：（1）連接AQ,過點。作小〃A8,分別交A。、BC于點、H、/,如圖2所示：

???四邊形A8CO是正方形，

，四邊形AB/〃為矩形，

???HILAD,HIA,BC,HI=AB=AD,

?:BD是正方形ABCD的對角線，

???/BD4=45°,

是等腰直角三角形，HD=HQ,AH=QI,

???"N是AE的垂直平分線，

???4Q=QE,

在RtZ\AHQ和RtAQ/E中，｛器;機

：.Rt/\AHQ^RtAQIE（HL）,

:.^AQH=/QEI,

???/4Q”+NEQ/=90°,

???/AQE=90°,

???△4QE是等腰直角三角形，

???/EA0=NAEQ=45°,即NAEF=45°；

（2）連接AC交8。于點0,如圖3所示：

則△?12火的直角頂點P在OB上運動，

設點P與點8重合時，則點P'與點。重合；設點P與點O重合時，則點P'的落點為O',

?：AO=OD,NAOO=90°,

???/OOA=NA。。'=45°,

當點P在線段8。上運動時，過點尸作尸GJ_CD于點G,過點P作P”_LCO交C。延長線于點”,

連接PC,

???點產在3。上，

:,AP=PC,

AP=PC

在AAPB和△CP8中，BP=8P,

AB=BC

:.XAPB/ACPB(SSS),

/./BAP=ZBCP,

VZBCD=ZA/B4=90°,

?"PCN=NAMP,

'：AB//CD,

:./AMP=4PNC,

???/尸CN=NPNC,

:?PC=PN,

:?AP=PN,

:"PNA=45",

：.4PNP'=90°,

：./P'NH+/PNG=90°,

NH+ZNP1”=90°,NPNG+NNPG=90°,

:?乙NPG=4P'NH,N/WG=NNPH,

由翻折性質得：PN=P,N,

ZNPG=乙P'NH

在△PGN和△NHP中，PN=P'N,

zPNG=乙NP'H

???△PGN且(ASA),

:,PG=NH,GN=PH,

,:BD是正方形ABC。的對角線，

???/POG=45°,

易得PG=GO,

：.GN=DH,

:?DH=P'H,

，/尸'?！?45°，故NP'OA=45°，

???點戶在線段。。，上運動；

過點S作SK_LOO1垂足為K,

???點S為AO的中點，

???。5=2,則P3的最小值為企；

問題拓展：

解：延長4G交8C于E,交DC的延長線于Q,延長以/交8于P,如圖4：

則EG=4G=*,PH=FH,

??"E=5,

在RtZXABE中，BE=>/AE2-AB2=3,

:?CE=BC-BE=1,

?：NB=NECQ=90°,NAEB=NQEC,

XABEsRQCE,

BE

c-E-

5

￡-

3

20

?AQ=AE+QE=詈,

NG_LMM

?/4GM=90°=NB,

NM4G=NE48,

?△AGMS/XABE,

5

AMAGnAM2

:.—=—,即一9

AEAB54

解得：AM=m，

由折疊的性質得：AB'=EB=3fZB'=ZB=90°,ZC=ZBCD=90°,

???B'M=7AM2-4g2=4,AC=1,

o

???/B4O=90°,

???/B'4M=NC用,

:.MFCsXMAB,

.AFAd1

??—7

AMBfM-

8

解得：AF=^f

?.n?DrF—_>14-2y5-=3y,

VAG1A/MFHLMN,

：,AG//FH,

：.AQ//FP,

:."FPsRDAQ,

3

FPDFFP2

:.—=--,即nn可"

AQADy4’

解得：FP=S，

圖4

Q

圖2

10.（2019?宿遷）如圖①，在鈍角△ABC中，NA8C=30°,AC=4,點。為邊AB中點，點E為邊8C中

點，將繞點8逆時針方向旋轉a度（0WaW180）.

（1）如圖②，當0VaV180時，連接4￡＞、CE.求證：ABDAsABEC；

（2）如圖③，直線CE、4。交于點G.在旋轉過程中，NAGC的大小是否發(fā)生變化？如變化，請說明

理由；如不變，請求出這個角的度數(shù)；

（3）將從圖①位置繞點3逆時?針方向旋轉180。，求點G的運動路程.

【分析】（1）如圖①利用三角形的中位線定理，推出。石〃AC,可得二7=77,在圖②中，利用兩邊成

BABC

比例夾角相等證明三角形細相似即可.

（2）利用相似三角形的性質證明即可二

（3）點G的運動路程，是圖③?1中的命的長的兩倍，求出圓心角，半徑，利用弧長公式計算即可.

【解析】（1）如圖②中,

由圖①，???點。為邊AB中點，點￡為邊8C中點,

：.DE//AC,

.BDBE

''BA~BC

?_BD_BA_

??-=t

BEBC

V4DBE=NA3C,

:?/DBA=NEBC,

:?△DBAs^EBC.

(2)NAGC的大小不發(fā)生變化，N4GC=30°.

理由：如圖③中，設A8交CG于點。

一D,

,:△DBAs^EBC,

：?/DAB=/ECB,

???/OAB+NAOG+NG=180°,NECB+NCO8+NABC=180°,/AOG=NCOB,

???/G=N45C=30°.

(3)如圖③?1中.設A8的中點為K,連接3K,以AC為邊向左邊等邊△ACO,連接OG,OB.

以。為圓心，04為半徑作。0,

VZAGC=30°,ZA0C=60°,

/.4AGC=；N40C,

，點G在。。上運動，

以〃為圓心，8。為半徑作OB,當直線與OB相切時，BD1AD,

???/AO8=90°,

■:BK=AK,

:.DK=BK=AK,

?:BD=BK,

:?BD=DK=BK,

???△BOK是等邊三角形，

:?/DBK=60°,

???/D4B=30°,

：?4BOG=2NDAB=60°,

??尼的長=■=箏

觀察圖象可知，點G的運動路程是曲的長的兩倍=竽.

11.（2019?泰州）如圖，線段A5=8,射線8G_LA5,尸為射線BG上一點，以AP為邊作正方形4PCD,

且點C、。與點5在AP兩側，在線段OP上取一點E,使NE4P=N8AP,直線CE與線段48相交于點

尸(點尸與點A、8不重合).

(1)求證：△AEPs/kCEP：

(2)判斷。尸與A3的位置關系，并說明理由;

(3)求尸的周長.

【分析】(1)四邊形APCO正方形，則OP平分NAPC,PC=B4,NAPO=NCPO=45°,即可■求解;

(2)4AEP出4CEP,則NEAP=/ECP,而NE4P=N8AP,則N8AP=NFCP,又N尸CP+/CMP=

90°,則N4MF+/以B=90°即可求解；

(3)證明△PCNgZXAPB(AAS),PMCN=PB=BF,PN=AB,即可求解.

【解析】(1)證明：???四邊形4PCD正方形，

???OP平分NAPC,PC=PA,

；?NAPD=NCPD=45°,

:?△AEP@/\CEP(SAS)；

(2)CF±AB,理由如下：

■:XAEP//\CEP,

???4EAP=/ECP,

???/E4P=NBAP,

；"BAP=NFCP,

/。尸+NCM尸=90°,ZAMF=ZCMP,

，/4MF+NB4B=90°,

AZ4FA/=90°,

:.CFLAB；

(3)過點。作CN上PB.

VCF14B,BGLAB,

:?FC〃BN,

：.乙CPN=NPCF=ZEAP=/辦8,

又AP=CP,

:?△PCN々AAPB(AAS\

:,CN=PB=BF,PN=AB,

V2AEP義ACEP,

：.AE=CE,

：.AE+EF+AF

=CE+EF+AF

=BN+AF

=PN+PB+AF

=AB+CN+AF

=AB+BF+AF

=2AB

12.（2019?鹽城）如圖①是一張矩形紙片，按以下步驟進行操作：

（I）將矩形紙片沿。尸折疊，使點4落在8邊上點E處，如圖②；

（II）在第一次折疊的基礎上，過點C再次折疊，使得點8落在邊8上點）處，如圖③，兩次折痕

交于點。；

（III）展開紙片，分別連接。4、OE.OC、FD,如圖④.

【探究】

(1)證明：AOBC^AOED；

(2)若AB=8,設8C為x,OB2為y,求y關于x的關系

【分析】(1)利用折疊性質，由邊角邊證明△?！?。^△。七。；

(2)過點。作O”J_C。于點H.由(I)AOBgAOED,OE=OB,BC=xf貝lj4O=￡>E=x,貝UCE

=8-x,OH=|CD=4,則EH=CH-CE=4-(8-x)=x-4在RtaO”E中，由勾股定理得。d=

OH2+EH2,即0^=4?+(x-4)2,所以y關于x的關系式：y=j?-8x+32.

【解析】(1)證明：由折疊可知，AD=EDfZBCO=ZDCO=ZADO=ZCDO=45°

:.BC=DE,ZCOD=90°,OC=OD,

在△OBCZ/XOE。中,

(OC=OD

40cB=40DE,

(8C=DE

:?△OBgAOED(SAS)；

(2)過點。作。”_LC。于點

圖④

由(1)△OBC/AOED,

OE=OB,

t：BC=x,則4O=￡>E=x,

，CE=8-x,

?：OC=OD,ZCOD=90°

:.CH=^CD=^AB=1x8=4,

1

OH=；CD=4,

：,EH=CH-CE=4-（8-x）=