趙秀恒-米立民-主編《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》(高等教育出版社)習(xí)題習(xí)題7(A)詳解

PAGEPAGE9習(xí)題七（A）1、設(shè)樣本取自服從幾何分布的總體，其分布列為,=1,2,……其中未知，0<<1，求的矩法估計(jì)量。解因?yàn)榭傮w服從參數(shù)為的幾何分布，故，令解得參數(shù)的矩法估計(jì)量為2、設(shè)總體~，從總體中獲取樣本，求出參數(shù)、的矩法估計(jì)量。解因?yàn)榭傮w的一階原點(diǎn)矩為，二階中心矩為。樣本的一階原點(diǎn)矩為，二階中心矩為，則令解得參數(shù)、的矩法估計(jì)量為，。3、設(shè)總體的密度函數(shù)為，從中獲得樣本，求的矩法估計(jì)量。解因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期望為令解得參數(shù)的矩法估計(jì)量為4、設(shè)是取自下列指數(shù)分布的一個(gè)樣本：證明是的無(wú)偏、一致估計(jì)，并求出的方差。證因?yàn)樗允堑臒o(wú)偏估計(jì)。而的方差為又因?yàn)?，?duì)于任意的，有即成立，故是的一致估計(jì)。5、設(shè)總體服從參數(shù)為的泊松分布，從中抽取樣本，求的極大似然估計(jì)。解因?yàn)榭傮w，分布列為則似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為求關(guān)于的導(dǎo)數(shù)，得解得6、設(shè)服從幾何分布,從中獲得樣本，求與的極大似然估計(jì)。解因?yàn)榉膮?shù)為幾何分布時(shí)，有故應(yīng)求出參數(shù)的極大似然估計(jì)，故應(yīng)寫出似然函數(shù)為則對(duì)數(shù)似然函數(shù)為求參數(shù)的導(dǎo)數(shù)令解得由極大似然估計(jì)的不變?cè)瓌t，可知總體期望的極大似然估計(jì)為7、設(shè)總體的密度函數(shù)為，，從中獲得樣本，求參數(shù)的極大似然估計(jì)。解因?yàn)樗迫缓瘮?shù)為取對(duì)數(shù)得求導(dǎo)數(shù)解得參數(shù)的極大似然估計(jì)是8、某商場(chǎng)每天每百元投資的利潤(rùn)率服從正態(tài)分布，均值為，方差為，長(zhǎng)期以來(lái)穩(wěn)定于0.4，現(xiàn)隨機(jī)抽取的五天的利潤(rùn)率為：，，，，試求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)該商場(chǎng)每天每百元投資的利潤(rùn)率為，則總體。由于長(zhǎng)期以來(lái)穩(wěn)定在0.4，可以認(rèn)為總體的方差已知，故應(yīng)選取樞軸量對(duì)于給定的置信水平為，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來(lái)自總體容量是5的樣本值，計(jì)算出樣本均值為故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為9、某化纖強(qiáng)力長(zhǎng)期以來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在=1.19，現(xiàn)抽取了一個(gè)容量的樣本，求得樣本均值=6.35，試求該化纖強(qiáng)力均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)該化纖強(qiáng)力為，則總體。由于長(zhǎng)期以來(lái)標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在=1.19可以認(rèn)為，總體的方差已知，故應(yīng)選取樞軸量對(duì)于給定的置信水平為，利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來(lái)自總體容量是100的樣本值，計(jì)算出樣本均值為故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為10、某行業(yè)職工的月收入服從，現(xiàn)隨機(jī)抽取30名職工進(jìn)行調(diào)查，求得他們的月收入的平均值元，標(biāo)準(zhǔn)差元，試求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)行業(yè)職工的月收入為，則總體，并且總體方差未知。故對(duì)于來(lái)自總體容量為30的樣本，可以選擇隨機(jī)變量不含有其它未知參數(shù)，可以作為樞軸量。由于給定的置信水平為0.95，自由度為29，則分布的0.975的分位數(shù)為。利用樣本值計(jì)算出的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差，可以求出參數(shù)的置信水平為0.95的置信區(qū)間為故此知該行業(yè)職工的月收入在645.38元到747.02元之間的概率為0.95，即置信水平為0.95。11、某單位職工每天的醫(yī)療費(fèi)服從現(xiàn)抽查了25天，得，元，試求職工每天醫(yī)療費(fèi)均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解設(shè)該單位職工每天的醫(yī)療費(fèi)為，則總體。由于樣本容量為是小樣本，而總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，故應(yīng)選取樞軸量對(duì)于給定的置信水平為，利用自由度為24的分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來(lái)自總體容量是25的樣本值，計(jì)算出樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差為，故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為12、已知某種木材的橫紋抗壓力（單位：）服從，現(xiàn)對(duì)十個(gè)試件作橫紋抗壓力實(shí)驗(yàn)，得數(shù)據(jù)如下：482，493，457，471，510，446，435，418，394，469（1）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間；（2）求的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解（1）設(shè)該種木材的橫紋抗壓力為，則總體。由于樣本容量為是小樣本，而總體標(biāo)準(zhǔn)差未知，故應(yīng)選取樞軸量對(duì)于給定的置信水平為，利用自由度為9的分布表，確定出0.975的分位數(shù)為，再由來(lái)自總體容量是10的樣本值，計(jì)算出樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差為，故得到總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間為（2）由于總體均值未知，為確定的置信區(qū)間，可以選取樞軸量對(duì)于給定的置信水平為，利用自由度為9的分布表，確定出0.05的分位數(shù)為，及其0.95的分位數(shù)為。再由來(lái)自總體容量是10的樣本值，計(jì)算出樣本標(biāo)準(zhǔn)差為故得到總體方差的置信水平為0.90的置信區(qū)間為則得到總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.90的置信區(qū)間為13、研究由機(jī)器和機(jī)器生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑（單位：），隨機(jī)抽取機(jī)器生產(chǎn)的管子18只，測(cè)量樣本均值，樣本方差；抽取機(jī)器生產(chǎn)的管子13只，測(cè)得樣本均值，樣本方差。設(shè)兩樣本相互獨(dú)立，且這兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的管子內(nèi)徑分別服從正態(tài)分，，取置信度為0.90，求在總體方差時(shí)，總體均值差的置信區(qū)間。解設(shè)機(jī)器生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑為，機(jī)器生產(chǎn)的鋼管的內(nèi)徑為，則總體，，而兩總體方差未知且成立。為此，應(yīng)該選擇樞軸量對(duì)于給定的置信水平，利用其自由度為29的分布，確定的分位數(shù)。由取自總體的樣本值算出，樣本均值，樣本方差；由取自總體的樣本值算出，樣本均值，樣本方差。則總體均值差的置信度為0.90的置信區(qū)間是即為區(qū)間。14、設(shè)有兩個(gè)化驗(yàn)員與獨(dú)立對(duì)某種聚合物中的含氯量用同一方法各作十次測(cè)定，其測(cè)定值的方差分別為。假定各自的測(cè)定值分別服從正態(tài)分布，方差分別為與，求的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解設(shè)表示化驗(yàn)員對(duì)某種聚合物中的含氯量的測(cè)定值，則總體，從中獲取的樣本容量，計(jì)算出的方差為。若表示化驗(yàn)員對(duì)某種聚合物中的含氯量的測(cè)定值，則總體，從中獲取的樣本容量，計(jì)算出的方差為。由于兩總體的均值與都未知，故選取樞軸量對(duì)于給定的置信水平為，利用第一自由度和第二自由度都為9的分布表，確定出0.05的分位數(shù)為，及其0.95的分位數(shù)。則的置信水平為0.90的置信區(qū)間為15、為研究某汽車輪胎的磨損特性，隨機(jī)取16只輪胎實(shí)際使用。記錄到磨壞時(shí)所行駛的路程（單位：公里）算得，。若此樣本來(lái)自正態(tài)總體，，未知。求該輪胎平均行駛路程的0.95置信下限。解設(shè)汽車輪胎磨壞時(shí)所行駛的路程為，則，且總體的方差未知。故取樞軸量對(duì)于給定置信下限的置信水平0.95，可以利用自由度為的分布確定出0.95的分位數(shù)，使得成立。由樣本值計(jì)算出的，得到該輪胎平均行駛路程的0.95置信下限為公里。16、用儀器間接測(cè)量爐子的溫度，其測(cè)量值服從正態(tài)分布，其中，未知。用該儀器重復(fù)測(cè)量爐子的溫度五次，結(jié)果為（）：12501265124512651275試求的置信度0.95置信上限。解設(shè)用該種儀器測(cè)量爐子的溫度為，則，且總體的均值未知。取樞軸量則總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為的置信區(qū)間為由樣本值計(jì)算出，，。對(duì)于給定置信上限的置信水平0.95，利用自由度為的分布確定出0.05的分位數(shù)是，則總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信水平為0.95的置信上限是。17*、某商店為了解居民對(duì)某種商品的需求，調(diào)查了100家住戶，得出每戶每月平均需要量為5公斤，標(biāo)準(zhǔn)差為1.5公斤。（1）試就一戶居民對(duì)該商品的平均月需求量作置信水平為0.99的區(qū)間估計(jì)。（2）如果這個(gè)商店要供應(yīng)一萬(wàn)戶，該商