專題05 不等式與不等式組【8個考點知識梳理+題型解題方法+專題過關(guān)】-2022-2023學年七年級數(shù)學下學期期中期末考點大串講（人教版）

專題05不等式與不等式組【9個考點知識梳理+題型解題方法+專題訓練】考點一：不等式不等式的定義：用不等號連接的式子叫做不等式。常見的不等號：大于：“＞”，大于等于：“≥”，小于：“＜”，小于等于：“≤”，≠：“≠”?！究荚囶}型1】判斷不等式【解題方法】根據(jù)不等式的定義式子中含有不等號且滿足不等關(guān)系則為不等式進行判斷。例題講解：1．（2022春?惠州期末）在下列數(shù)學表達式：①﹣2＜0，②2y﹣5＞1，③m＝1，④x2﹣x，⑤x≠﹣2，⑥x+1＜2x﹣1中，是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考試題型2】列簡單的不等式【解題方法】根據(jù)語言描述的不等關(guān)系，以及常見的數(shù)學名詞所表示的不關(guān)系列出不等式即可。常見的數(shù)學名詞與不等關(guān)系有：正數(shù)＞0，負數(shù)＜0，非正數(shù)≤0，非負數(shù)≥0等。例題講解：2．（2022秋?港南區(qū)期末）在數(shù)軸上與原點的距離小于8的點對應(yīng)的x滿足（）A．﹣8＜x＜8 B．x＜﹣8或x＞8 C．x＜8 D．x＞8考點二：不等式（組）的解與解集不等式解的定義：使不等關(guān)系成立的未知數(shù)的值是不等式的一個解。不等式的解集的定義：不等式的解有無數(shù)個，不等式的所有解得集合叫做不等式的解集。在數(shù)軸上表示不等式的解集：具體步驟：①確定不等式解集的邊界；②確定不等式邊界是實心圓還是空心圈，包含等于用實心圓，不包含等于則用空心圈。③確定方法，若大于則方向向右，小于則方向向左。不等式組的解集：不等式中所有不等式的解集的公共部分是不等式組的解集。不等式組的解集的情況：①同大取大；②同小取??；③大小小大去中間；④大大小小無解答?！究荚囶}型1】判斷不等式的解【解題方法】將需要判斷的數(shù)帶入不等式中，判斷不等關(guān)系是否成立，成立則是，不成立則不是。例題講解：3．（2022春?運城期末）在﹣1，0，1，中，能使不等式2x﹣1＜x成立的數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考試題型2】在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集【解題方法】利用數(shù)軸上表示不等式解集的方法確定邊界，實心圓或空心圈以及方向表示出來即可。若是不等式組，則根據(jù)表示的情況確定不等式組的公共部分。例題講解：4．（2021秋?龍勝縣期末）不等式x≤﹣3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．5．（2022春?汝南縣期末）不等式組的解集在數(shù)軸上可以表示為（）A． B． C． D．【考試題型3】根據(jù)數(shù)軸寫出所表示的解集【解題方法】根據(jù)數(shù)軸上表示解集的方法反過來進行判斷即可。同樣若是不等式組，則只需判斷公共部分。例題講解：6．（2022春?菏澤期末）如圖，數(shù)軸上表示不等式的解集是（）A．x＞4 B．x≥4 C．x＜4 D．x≤47．（2021秋?西湖區(qū)期末）如圖，該數(shù)軸表示的不等式的解集為（）A．x＜2 B．x＞1 C．0＜x＜2 D．1＜x＜2【考試題型4】根據(jù)不等式組的解集求值【解題方法】利用不等式組的解集的情況確定不等式組的解集中的未知字母的值或取值范圍，再根據(jù)確定的值與取值范圍求相應(yīng)的值。例題講解：8．（2022春?保定期末）若不等式組無解，則m的值可能（）A．7 B．6 C．3 D．59．（2022春?富縣期末）已知不等式組的解集為﹣3＜x＜2，則（a+b）2021的值為（）A．﹣1 B．2021 C．1 D．﹣2021考點三：不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)1：不等式的左右兩邊同時加上（減去）同一個數(shù)（式子），不等號的方向不發(fā)生改變。即：若，則＞。不等式的性質(zhì)2：不等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)時，不等號的方向不發(fā)生改變。即：若，則＞或＞。不等式的性質(zhì)3：不等式的左右兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)時，不等號的方向發(fā)生改變。即：若，則＜或＜。注意：在使用不等式的性質(zhì)時無論是加減乘除都必須是同一個數(shù)（或式子）。乘除負數(shù)時一定要改變不等式符號的方向。不等式的傳遞性：若，則＞?！究荚囶}型1】利用不等式的性質(zhì)進行變形【解題方法】斷不等式的變形用了哪一個不等式的性質(zhì)，不等號的是否需要進行變向，是否進行了變向。例題講解：10．（2022春?長治期末）已知兩個有理數(shù)a和b，滿足的關(guān)系是a＞b，則下列結(jié)論中，正確的是（）A．3﹣a＞3﹣b B．a(chǎn)﹣8＜b﹣8 C． D．【考試題型2】利用不等式的變形求值【解題方法】根據(jù)不等式的變形情況判斷用了不等式的哪一個性質(zhì)。通?？疾觳坏仁降男再|(zhì)2和性質(zhì)3的應(yīng)用，若不等式的解得符號與不等式的符號不同，則用不等式的性質(zhì)3，則系數(shù)小于0；若不等式的解的符號與不等式的符號相同，則用不等式的性質(zhì)2，則系數(shù)大于0。例題講解：11．（2022春?江津區(qū)期末）若a＞b，且（m﹣3）a＜（m﹣3）b，則m的值可能是（）A．2 B．3 C．4 D．512．（2022春?甘州區(qū)校級期末）如果關(guān)于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集為x＜1，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＜﹣1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)＞﹣1考點四：一元一次不等式的定義一元一次不等式的定義：含有1個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式。判斷一元一次不等式：①只有一個未知數(shù)。②未知數(shù)項系數(shù)不能為0。③未知數(shù)次數(shù)一定為1?！究荚囶}型1】根據(jù)一元一次不等式的定義求未知系數(shù)的值【解題方法】通利用未知數(shù)的次數(shù)是1，未知數(shù)項的系數(shù)不能為0建立方程組求解即可。例題講解：13．（2022春?晉安區(qū)期末）若（m﹣1）x|m|﹣3＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．±1考點五：解一元一次不等式具體步驟：第一步：去分母——不等式左右兩邊同時乘分母的最小公倍數(shù)。第二步：去括號。第三步：移項。第四步：合并。第五步：系數(shù)化為1。兩邊同時除以系數(shù)或乘以系數(shù)的倒數(shù)。若系數(shù)為正數(shù)，則不等號方向不變，若系數(shù)為負數(shù)，則不等號方向改變。【考試題型1】解一元一次不等式【解題方法】根據(jù)解一元一次不等式的具有步驟逐步進行求解即可，注意每一步的方法細節(jié)。例題講解：14．（2022春?蓬萊市期末）當x同時滿足﹣x＝5a+3和不等式成立時，求a的取值范圍．【考試題型2】利用解一元一次不等式求值【解題方法】根據(jù)解一元一次不等式的具體步驟進行求解，再根據(jù)求出的解與已知解相等或滿足的條件建立方程或建立不等式求解。例題講解：15．（2022春?關(guān)嶺縣期末）關(guān)于x的不等式的解集如圖所示，則a的值是（）A．9 B．﹣9 C．5 D．﹣5【考試題型3】利用不等式的解求另一個不等式的解【解題方法】通常不等式中都含有未知系數(shù)，通過已知不等式的解集求出未知系數(shù)之間的關(guān)系，在帶入所求不等式中求出解集。例題講解：16．（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）若關(guān)于x的不等式mx﹣n＞0的解集是x＜，則關(guān)于x的不等式nx﹣n＞m+mx的解集是（）A．x＜﹣ B．x＞﹣ C．x＜ D．x＞【考試題型4】不等式與坐標象限【解題方法】根據(jù)象限內(nèi)坐標的特點建立不等式，求解不等式即可。例題講解：17．（2022春?合江縣期末）已知點P（4m﹣8，1）在第二象限，則m的取值范圍是（）A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．m＞2【考試題型5】不等式的整數(shù)解【解題方法】按照解不等式得步驟解出不等式進行判斷即可例題講解：18．（2021秋?港南區(qū)期末）解不等式，并寫出它的非負整數(shù)解．【考試題型6】根據(jù)不等式的整數(shù)解的個數(shù)求值【解題方法】把未知字母看作常數(shù)，根據(jù)解一元一次不等式的具體步驟進行求解，解集為關(guān)于未知字母的表達式，根據(jù)整數(shù)解得個數(shù)判斷表達式在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間建立不等式進行求值。若整數(shù)個數(shù)從左至右滿足，當原不等式的解集有等號時，則左邊的整數(shù)取等于，右邊不取等，若原不等式?jīng)]有等號時，則左邊的數(shù)不取等，右邊的數(shù)取等。若整數(shù)個數(shù)從右至左滿足，當原不等式組有等于時，則右邊的數(shù)取等，左邊的數(shù)不取等，若原不等式?jīng)]有等號時，則左邊的數(shù)不取等，左邊的數(shù)取等。例題講解：19．（2022春?八步區(qū)期末）若關(guān)于x的不等式3x﹣a≤2只有2個正整數(shù)解，則a的取值范圍為（）A．﹣7≤a＜﹣4 B．﹣7＜a≤﹣4 C．4＜a≤7 D．4≤a＜7【考試題型7】新定義運算與一元一次不等式【解題方法】根據(jù)定義運算法則列出一元一次不等式，在根據(jù)解不等式的方法進行求解例題講解：20．（2022春?通?？h期末）定義一種法則“?”如下：a?b＝，如：1?2＝2，若（2m﹣5）?3＝3，則m的取值范圍是（）A．m＞4 B．m≤4 C．m＜4 D．m≥4考點六：一元一次不等式組的定義幾個含有相同未知數(shù)的一元一次不等式組合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。注意：一元一次不等式組中可以有多個一元一次不等式，但是只能有一個未知數(shù)?！究荚囶}型1】判斷一元一次不等式組【解題方法】根據(jù)定義含有多個一元一次不等式，但只有含有一個未知數(shù)進行判斷。例題講解：21．（2022春?招遠市期末）下列各式不是一元一次不等式組的是（）A． B． C． D．考點七：解一元一次不等式組求不等式組的所有不等式的解集的公共部分即為不等式組的解集?！究荚囶}型1】解不等式組【解題方法】解出不等式組中的每一個不等式然后求其公共部分即可。例題講解：22．（2022春?羅湖區(qū)校級期末）解不等式組．【考試題型2】根據(jù)不等式組的解得情況求不等式組中字母的值【解題方法】把未知字母看作常數(shù)進行求解，得到的解集為一個已知和一個含有字母的式子，再根據(jù)不等式組的解得情況：同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解答進行判斷含有未知字母的式子與已知數(shù)的大小關(guān)系建立不等式求解。例題講解：23．（2022春?嵐山區(qū)期末）若關(guān)于x的不等式組無解，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)＜﹣1 C．a(chǎn)≥﹣1 D．a(chǎn)＞﹣1【考試題型3】解不等式組與坐標象限【解題方法】根據(jù)坐標象限的坐標特點建立不等式組，然后求解即可。例題講解：24．（2022春?滿城區(qū)校級期末）點P（m﹣1，2m+1）在第二象限，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣或m＞1 B．﹣＜m＜1 C．m＜1 D．m＞﹣【考試題型4】不等式組的整數(shù)解個數(shù)【解題方法】解出不等式組進行判斷即可。例題講解：25．（2022春?蓬萊市期末）不等式組的整數(shù)解的個數(shù)是（）A．6 B．5 C．4 D．3【考試題型5】根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個數(shù)求未知字母的值【解題方法】把未知字母看作常數(shù)進行求解，得到的解集為一個已知數(shù)和一個含有字母的式子，根據(jù)整數(shù)解得個數(shù)判斷表達式在哪兩個連續(xù)的整數(shù)之間建立不等式進行求值。若整數(shù)個數(shù)從左至右滿足，當原不等式的解集有等號時，則左邊的整數(shù)取等于，右邊不取等，若原不等式?jīng)]有等號時，則左邊的數(shù)不取等，右邊的數(shù)取等。若整數(shù)個數(shù)從右至左滿足，當原不等式組有等于時，則右邊的數(shù)取等，左邊的數(shù)不取等，若原不等式?jīng)]有等號時，則左邊的數(shù)不取等，左邊的數(shù)取等。例題講解：26．（2022春?榮昌區(qū)期末）若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，且a使得關(guān)于y的不等式組恰有兩個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值的和是（）A．0 B．1 C．2 D．3考點八：一元一次不等式（組）的應(yīng)用具體步驟：①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù)。②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式（組）。③解不等式（組），求出解集。④寫出符合題意的解。表達不等關(guān)系的關(guān)鍵詞：列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過”、“不低于”“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超過”等詞來體現(xiàn)問題中的不等關(guān)系。【考試題型1】由實際問題抽象不等式（組）【解題方法】找到題目中表達不等關(guān)系的關(guān)鍵詞，然后根據(jù)表達的不等關(guān)系建立不等式。例題講解：27．（2022春?金水區(qū)校級期末）北京2022冬奧會吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜愛，某網(wǎng)店出售這兩種吉祥物禮品，售價如圖所示．小明媽媽一共買10件禮品，總共花費不超過900元，如果設(shè)購買冰墩墩禮品x件，則能夠得到的不等式是（）A．100x+80（10﹣x）＞900 B．100+80（10﹣x）＜900 C．100x+80（10﹣x）≥900 D．100x+80（10﹣x）≤90028．（2022春?叢臺區(qū)校級期末）將一箱蘋果分給若干個小朋友，若每位小朋友分5個蘋果，則還剩12個蘋果；若每位小朋友分8個蘋果，則有一個小朋友分到蘋果但不到8個蘋果．求這一箱蘋果的個數(shù)與小朋友的人數(shù)．若設(shè)有x人，則可列不等式組為（）A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8【考試題型2】一元一次不等式（組）的實際應(yīng)用【解題方法】根據(jù)一元一次不等式（組）解決實際應(yīng)用題的具體步驟進行解答即可，注意未知數(shù)的取值范圍必須滿足問題的實際意義。例題講解：29．（2022春?清江浦區(qū)期末）某醫(yī)院準備派遣醫(yī)護人員協(xié)助西安市抗擊疫情，現(xiàn)有甲、乙兩種型號的客車可供租用，已知每輛甲型客車的租金為280元，每輛乙型客車的租金為220元，若醫(yī)院計劃租用6輛客車，租車的總租金不超過1530元，那么最多租用甲型客車多少輛？30．（2022春?思明區(qū)校級期末）隨著全國疫情防控取得階段性進展，各學校進一步做好疫情防控工作．為方便師生測體溫，某校計劃購買A、B兩種額溫槍．經(jīng)調(diào)研得知：購買1個A型額溫槍和2個B型額溫槍共需800元，購買2個A型額溫槍和3個B型額溫槍共需1300元．（1）求每個A型額溫槍和B型額溫槍各多少元；（2）若該學校準備購買A、B兩種型號的額溫槍共50個（每種型號至少買一只）；要求總費用不超過12800元，則對購買A型號的額溫槍在數(shù)量上有什么要求？說明理由．（3）在（2）的條件下，若甲、乙兩商店以同樣價格出售這兩種型號的額溫槍，同時又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲店購買A型額溫槍按原價90%收費，B型額溫槍不優(yōu)惠；在乙店購買A型額溫槍不優(yōu)惠，但購買B型額溫槍按原價90%收費；則學校到哪家商店購買額溫槍花費少？【專題過關(guān)】一．不等式的定義（共2小題）1．（2023春?譙城區(qū)校級月考）下列是不等式的是（）A．﹣x＞1 B．x＝3 C．x﹣1 D．2x2．（2023春?西安月考）交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到如圖所示的標志，這是限制車高的標志，則通過該橋洞的車高x（m）的范圍可表示為（）A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5二．不等式的解集（共4小題）3．（2023?南海區(qū)一模）在﹣2，﹣1，0，1，2這五個數(shù)中，是不等式2x+3＞0解的共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022秋?淥口區(qū)期末）若不等式組的解集為x＜m，則m的取值范圍為（）A．m≤1 B．m＝1 C．m≥1 D．m＜15．（2022秋?株洲期末）已知不等式組無解，則a的取值范圍為．6．（2023春?高明區(qū)月考）已知不等式組的解集是﹣2＜x＜2，則ab＝．三．在數(shù)軸上表示不等式的解集（共4小題）7．（2023?東方一模）下列數(shù)軸中，表示x≥﹣3正確的是（）A． B． C． D．8．（2023春?南崗區(qū)校級月考）一個關(guān)于x的不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個不等式的解集為．9．（2023?南湖區(qū)校級二模）將不等式組的解集表示在數(shù)軸上，正確的是（）A． B． C． D．10．（2022秋?天元區(qū)校級期末）已知兩個不等式的解集在數(shù)軸上如圖表示，那么這個解集為（）A．x＞11 B．x≥﹣1 C．﹣3＜x≤﹣1 D．x＞﹣3四．不等式的性質(zhì)（共2小題）11．（2023春?北碚區(qū)校級期中）若a＜b，c＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣a＜﹣b B． C．a(chǎn)+c＞b+c D．a(chǎn)c2＞bc212．（2023春?渝中區(qū)校級月考）已知a＞b，則下列不等式不一定成立的是（）A．a(chǎn)+c＞b+c B．2a﹣3＞2b﹣3 C．a(chǎn)m＞bm D．a(chǎn)（c2+1）＞b（c2+1）五．一元一次不等式的定義（共2小題）13．（2023春?新城區(qū)校級月考）下列式子：①7＞4；②3x≥2x+1；③x+y＞1；④x2+3≤2x中，是一元一次不等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（2023春?譙城區(qū)校級月考）若關(guān)于x的一元一次不等式2a﹣x|2+3a|＞2，則a的值（）A．﹣1 B．1或﹣ C．﹣1或﹣ D．﹣六．解一元一次不等式（共2小題）15．（2023春?順德區(qū)校級期中）不等式2x+1≥x的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．16．（2023春?永安市期中）如表是小彬求解一元一次不等式及自我檢查的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．解答過程自我檢查解：去分母，得10﹣5（x+1）＞2（x﹣3）．…第一步去括號，得10﹣5x﹣5＞2x﹣6．…第二步移項，得﹣5x+2x＞10+5﹣6．…第三步合并同類項，得﹣3x＞﹣9．…第四步系數(shù)化為1，得x＜3．…第五步第一步正確，其依據(jù)是；第二步符合去括號法則，也正確；第三步出錯了?。?）第一步的依據(jù)是不等式的一條性質(zhì)，請寫出這一性質(zhì)的內(nèi)容：（2）第三步出錯的原因是：；（3）請從第三步開始，寫出正確解答過程．七．一元一次不等式的整數(shù)解（共3小題）17．（2023?雁塔區(qū)校級四模）解不等式：，并寫出該不等式的正整數(shù)解．18．（2023春?膠州市期中）已知關(guān)于x的方程2x﹣a＝3的解是不等式的最小整數(shù)解，求a的值．19．（2023春?宿州月考）已知關(guān)于x的不等式（a+1）x＜3的自然數(shù)解有且只有一個，試求a的取值范圍．八．一元一次不等式組的定義（共1小題）20．（2022?豐順縣校級開學）下列不等式組為一元一次不等式組的是（）A． B． C． D．九．解一元一次不等式組（共4小題）21．（2023?聊城一模）不等式組的解集是（）A．x≥3 B．x＜2或x≥3 C．x＜2 D．2＜x≤322．（2023?豐潤區(qū)模擬）不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．23．（2023春?北碚區(qū)校級期中）解下列不等式組：（1）；（2）．24．（2023春?嘉祥縣月考）從﹣2，﹣1，0，1，2這5個數(shù)中，選一個數(shù)a，使關(guān)于x的不等式組有解，且使關(guān)于x的一元一次方程的解為負數(shù)，求a的值．十．一元一次不等式組的整數(shù)解（共5小題）25．（2023?驛城區(qū)校級二模）不等式組的正整數(shù)解的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個26．（2023春?北碚區(qū)校級期中）若關(guān)于x的不等式組最多有2個整數(shù)解，且關(guān)于y的一元一次方程3（y﹣1）﹣2（y﹣k）＝7的解為非正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)k的和為（）A．13 B．18 C．21 D．2627．（2023?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）若關(guān)于x的不等式組有解且至多有4個整數(shù)解，且多項式x2﹣（1﹣m）能在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解，則符合條件的整數(shù)m的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．428．（2023?巧家縣一模）若關(guān)于x的一元一次方程有正整數(shù)解，且使關(guān)于x的不等式組至少有4個整數(shù)解，則滿足所有條件的整數(shù)a的個數(shù)為（）A．5 B．4 C．3 D．229．（2023春?渝中區(qū)校級月考）如果關(guān)于y的方程有非負整數(shù)解，且關(guān)于x的不等式組的解集為x≥1，則所有符合條件的整數(shù)a的和為（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣9 D．﹣12十一．由實際問題抽象出一元一次不等式組（共2小題）30．（2023春?廣西月考）某數(shù)的3倍大于2，它的2倍不大于1，