專題04 三角形（13個(gè)考點(diǎn)）【考點(diǎn)串講+熱點(diǎn)題型專訓(xùn)】-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期中期末考點(diǎn)大串講（北師大版） 帶解析

專題04三角形一．三角形的有關(guān)概念及表示1．三角形的概念：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形，三角形用符號(hào)“”表示，讀作“三角形”．2．三角形的基本要素：組成三角形的三條線段叫做三角形的邊；相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)；相鄰兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角．二．三角形內(nèi)角和三角形內(nèi)角和：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于．注意：①三角形的三個(gè)角中至少有兩個(gè)是銳角，三角形中最大的角不小于．②直角三角形的兩個(gè)銳角互余．③已知任意兩角或它們的和，利用三角形的內(nèi)角和，可以計(jì)算另一個(gè)角的度數(shù)．三．三角形的分類1．2．四．直角三角形的有關(guān)概念及性質(zhì)1．表示：通常我們用“”表示“直角三角形”．直角所對(duì)的邊叫做直角三角形的斜邊，夾直角的兩條邊叫做直角邊．2．性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余．用幾何語音表示：在中，，則．注意：直角三角形的斜邊大于任何一條直角邊，依據(jù)是“垂線段最短”．五．三角形的三邊關(guān)系1．三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．用幾何語音表示：如果的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則①，，．②，，．注意：①得出三角形兩邊之和大于第三邊的依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短．②這里的“兩邊”泛指三角形的任意兩邊．③三角形的三邊關(guān)系是判斷三條線段能否組成三角形的依據(jù)，一般用“任意兩邊之和大于第三邊”來驗(yàn)證，同時(shí)也可用于說明線段的不等關(guān)系和取值范圍．六．三角形的中線1．定義：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的中線．三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的重心．2．中線可以將一個(gè)三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形．注意：①三角形的中線是一條線段，并且有一個(gè)端點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在對(duì)邊上．②中線平分一條邊．③三角形有三條中線，無論三角形的形狀如何，三條中線的交點(diǎn)都在三角形的內(nèi)部．七．三角形的角平分線定義：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做這個(gè)三角形的角平分線．三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)．注意：①三角形的角平分線是一條線段，并且有一個(gè)端點(diǎn)是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，另一個(gè)端點(diǎn)在對(duì)邊上．它不同于角的平分線，角的平分線是一條射線．②三角形有三條角平分線，無論三角形的形狀如何，三條角平分線的交點(diǎn)都在三角形的內(nèi)部．八．三角形的高定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)．注意：①銳角三角形的三條高線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；直角三角形的三條高線交于直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的三條高線交于三角形外部一點(diǎn)．②三角形的高是垂線段，高垂直于一條邊所在的直線．九．全等圖形的概念及性質(zhì)1．概念：能夠完全重合的兩個(gè)圖形稱為全等圖形．注意：①全等圖形與圖形的位置無關(guān)，唯一標(biāo)準(zhǔn)就是可以完全重合．②圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、翻折后與原圖形重合．2．性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同．推論：全等圖形的周長(zhǎng)相等，全等圖形的面積相等．十．全等三角形的概念及表示方法1．概念：能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形．2．表示方法：全等用符號(hào)“”來表示．注意：在記兩個(gè)三角形全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母一定要寫在對(duì)應(yīng)位置上．十一．全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．推論：全等三角形的周長(zhǎng)相等，全等三角形的面積相等．十二．探索三角形全等的條件1．邊邊邊：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”．2．角邊角：兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”．3．角角邊：兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”．4．邊角邊：兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”．注意：應(yīng)用時(shí)，必須滿足相等的角是分別對(duì)應(yīng)相等兩邊的夾角，即“兩邊夾一角”，切不可出現(xiàn)“邊邊角”的錯(cuò)誤．十三．三角形的穩(wěn)定性只要三角形三邊的長(zhǎng)度確定了，這個(gè)三角形的形狀和大小就完全確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．【專題過關(guān)】一．三角形的有關(guān)概念及分類（共3小題）1．觀察下列圖形，其中是三角形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】在同一平面內(nèi)，由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．根據(jù)三角形的定義判斷即可．【詳解】解：A選項(xiàng)中2條線段沒有相接，所以不是三角形，故A不是三角形；B滿足三角形的定義，故B是三角形；C有2條線段相交，沒有首尾順次相接，所以不是三角形，故C不是三角形；D有1條線段的觀點(diǎn)連接了另一條線段上的一點(diǎn)，所以不是三角形，故D不是三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形，理解三角形的定義是解題的關(guān)鍵．2．如圖所示的圖形中，三角形共有（）A．5個(gè)B．6個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)三角形的概念數(shù)出個(gè)數(shù)解答即可．【詳解】解：三角形的個(gè)數(shù)有，，，，，共5個(gè)，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查三角形，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的概念數(shù)出個(gè)數(shù)解答．3．有下列說法：①等邊三角形是等腰三角形；②等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形按邊分類可分為等腰三角形、等邊三角形和三邊都不相等的三角形；④三角形按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．其中正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)【答案】C【分析】①根據(jù)等腰三角形的定義判定等邊三角形是等腰三角形；②舉出特例等腰直角三角形，判定等腰三角形也可能是直角三角形；③三角形共三條邊，若按邊分類，可分為三條邊都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等邊三角形），等腰三角形包含等邊三角形；④三角形中最大的角可能是銳角可能是直角，也可能是鈍角，按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．【詳解】①有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，等邊三角形是腰和底相等的等腰三角形，故①正確；②等腰直角三角形是等腰三角形也是直角三角形，所以等腰三角形也可能是直角三角形，故②正確；③三角形共三條邊，若按邊分類，分為三條邊都不相等的三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可以分為腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形（即等邊三角形），等腰三角形包含等邊三角形，故③錯(cuò)誤；④根據(jù)三角形中最大的角可以分為銳角、直角、鈍角，所以按角分類可分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，故④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形，熟練掌握三角形的定義及分類是解題的關(guān)鍵．二．三角形內(nèi)角和的應(yīng)用（共2題）4．在中，若，則是（）A．銳角三角形B．鈍角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【答案】D【分析】在中，若，即，，則是直角三角形．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴是直角三角形．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形內(nèi)角和是．5．中，，則是三角形．【答案】【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180度，結(jié)合已知條件求出，，的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴可設(shè)，，，∵，∴，∴，∴，，，∴是直角三角形，故答案為：直角．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，熟知三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．三．三角形的三邊關(guān)系（共3題）6．下列長(zhǎng)度的三條線段能首尾相接構(gòu)成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cmB．3cm，4cm，5cm C．4cm，5cm，10cmD．6cm，9cm，2cm【答案】B【分析】根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．即可求解．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：A、，不能構(gòu)成三角形；B、，能構(gòu)成三角形；C、，不能構(gòu)成三角形；D、，不能構(gòu)成三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊．7．已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，5，x，則x不可能是（）A．3B．5C．7D．8【答案】D【分析】根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，先求出x的取值范圍，再根據(jù)取值范圍選擇．【詳解】解：∵，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．8．若三角形兩條邊的長(zhǎng)分別是10，15，第三條邊的長(zhǎng)是整數(shù)，則第三條邊的長(zhǎng)的最大值是．【答案】24【分析】根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵第三邊，即：第三邊；所以最大整數(shù)是24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的特性進(jìn)行分析、解答．四．三角形三線相關(guān)概念及運(yùn)用（共7題）9．下列各圖中，作邊邊上的高，正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高度概念判斷即可．【詳解】解；A、圖中不是邊邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；B、圖中不是邊邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；C、圖中不是邊邊上的高，本選項(xiàng)不符合題意；D、圖中是邊邊上的高，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的高的概念，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．10．下列說法中，①三角形的中線、角平分線、高都是線段；②三角形的三條角平分線、三條中線、三條高都在三角形內(nèi)部；③直角三角形只有一條高；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高分別交于一點(diǎn)．正確的是（）A．①B．①④C．②③D．②④【答案】A【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷即可．【詳解】解：①三角形的中線、角平分線、高都是線段，本小題說法正確；②三角形的三條角平分線、三條中線在三角形內(nèi)部，但三條高不一定都在三角形內(nèi)部，故本小題說法錯(cuò)誤；③直角三角形有三條高，故本小題說法錯(cuò)誤；④三角形的三條角平分線、三條中線、三條高所在的直線分別交于一點(diǎn)，故本小題說法錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．11．如圖，，，分別是的中線，角平分線，高，下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高的定義即可得到，，．進(jìn)而判斷即可．【詳解】解：∵，，分別是的中線，角平分線，高，∴，，，故選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高、角平分線和中線的定義，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．掌握定義是解題的關(guān)鍵．12．如圖，是的中線，已知的周長(zhǎng)為30cm，比長(zhǎng)4cm，則的周長(zhǎng)為．【答案】26cm【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵是的中線，∴，∵的周長(zhǎng)為30cm，∴，∴，∵比長(zhǎng)4cm，∴，∴，∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：26cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．13．如圖，在中，，G為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，F(xiàn)為上的一點(diǎn)，與垂直，交于點(diǎn)H，則下面結(jié)論：①是的角平分線；②是的邊上的中線；③是的邊上的高；④是的角平分線和高．其中正確的有．（填序號(hào)）【答案】③④【分析】本題是一道關(guān)于三角形的題目，回想三角形的中線、角平分線、高線的概念；由可知平分，但不是內(nèi)的線段，由三角形角平分線的概念可知①錯(cuò)誤；接下來，根據(jù)三角形中線、高線、角平分線的概念試著分析②、③、④，相信你能解答此題了．【詳解】解：對(duì)于①，由，可知平分，但不是內(nèi)的線段，由三角形角平分線的概念，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，經(jīng)過的邊的中點(diǎn)G，但不是內(nèi)的線段，由三角形中線的概念，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由于于H，由三角形高線的概念可知是的邊上的高，故③正確；對(duì)于④，由平分并且在內(nèi)，故是的角平分線．又因?yàn)?，所以也是的高，故④正確．其中正確的有③④．故答案為：③④．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線、高線、中線．關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中線、角平分線、高線解答．14．已知：如圖所示，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為，，的中點(diǎn)，且，則陰影部分的面積為cm2．【答案】1【分析】易得，為面積的一半，同理可得的面積等于面積的一半，那么陰影部分的面積等于的面積的一半．【詳解】解：∵D為中點(diǎn)，根據(jù)同底等高的三角形面積相等，∴，同理，∴，∵F為中點(diǎn)，∴．故答案為1．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中線的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是知道同底等高的三角形面積相等．15．已知：如圖，中，、分別是的高和角平分線，是的平分線，與交于O，若，，求、的度數(shù)．【答案】；【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到的度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)可求出，而，然后利用進(jìn)行計(jì)算即可．由三角形外角的性質(zhì)求得，利用三角形內(nèi)角和定理得到，所以對(duì)頂角相等：．【詳解】解：①在中，∵，，∴．∵是的平分線，∴．∵是的高，∴，∴在中，，∴．②∵是的平分線，，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．也考查了三角形的高線與角平分線的性質(zhì)．五．全等圖形的概念（共1題）16．下列選項(xiàng)中的圖形與左圖全等的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)全等形是能夠完全重合的兩個(gè)圖形進(jìn)行分析判斷．【詳解】解：觀察圖形中間是正方形得出全等圖形即可，原圖與選項(xiàng)B全等．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等圖形的判定，能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等形．六．全等三角形的性質(zhì)運(yùn)用（共2小題）17．如圖，沿直角邊所在直線向右平移到，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．所以與的形狀和大小完全相同，即．【詳解】解：∵沿直角邊所在直線向右平移到∴∴，所以只有選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，故選：A．【點(diǎn)睛】本題涉及的是全等三角形的知識(shí)；解答本題的關(guān)鍵是應(yīng)用平移的基本性質(zhì)．18．如圖，，則此圖中相等的線段有（）A．1對(duì)B．2對(duì)C．3對(duì)D．4對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)三角形全等，可以得到3對(duì)三角形的邊相等，根據(jù)，又可以得到可得答案是4對(duì)．【詳解】解：∵，∴，，，∵，即，∴，即有4對(duì)相等的線段．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等問題；做題時(shí)，結(jié)合已知，認(rèn)真觀察圖形，得到是正確解答本題的關(guān)鍵．七．全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用（共4小題）19．如圖，點(diǎn)B、F、C，E在一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得，易證，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，在與中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在四邊形中，，，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】先證明，再由平行線的性質(zhì)得，然后利用即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定．解題的關(guān)鍵的明確全等三角形的判定方法．21．如圖，點(diǎn)B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，，，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)證明即可推出結(jié)論．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．如圖，已知，點(diǎn)B，C分別在，上，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】證明：（1）在和中，，∴．（2）由（1）知，∴，在和中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．八．三角形的穩(wěn)定性的運(yùn)用（共2小題）23．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（填序號(hào)）．【答案】③【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵三角形具有穩(wěn)定性，四邊形和五邊形不具有穩(wěn)定性，∴具有穩(wěn)定性的是③，故答案為：③．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性，是基礎(chǔ)題，需熟記，關(guān)鍵是根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．24．如圖，工人師傅在安裝木制門框時(shí)，為防止變形常常釘上兩根木條，這樣做的依據(jù)是．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：工人師傅在安裝木制門框時(shí)，為防止變形常常釘上兩根木條，這樣做的依據(jù)是三角形具有穩(wěn)定性，故答案為：三角形具有穩(wěn)定性．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的性質(zhì)，掌握三角形具有穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．九．全等三角形的構(gòu)造方法（共7小題）25．如圖，，，求證：．【答案】見解析【分析】連接，根據(jù)證明與全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】證明：連接，在與中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的靈活應(yīng)用，根據(jù)證明與全等是解答本題的關(guān)鍵．26．如圖，中，，E是的中點(diǎn)，求證：．【答案】見解析【分析】延長(zhǎng)到F，使，連結(jié)，證明，然后證明即可解決問題．【詳解】證明：延長(zhǎng)到F，使，連結(jié)，∵E是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，，∴，在和中，，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到．27．在中，，D是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E在的右側(cè)，線段，且．（1）如圖1，若，連接，．則的度數(shù)為；與的數(shù)量關(guān)系是．（2）如圖2，若，連接、．試判斷的形狀，并說明理由．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件證明是等邊三角形，然后證明，即可解決問題；（2）根據(jù)已知條件證明，是等腰直角三角形，然后證明，可得，進(jìn)而可以解決問題．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，故答案為：，；（2）是直角三角形，理由如下：當(dāng)時(shí)，∴，是等腰直角三角形，∴，即，在和中，，∴，∴，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明．28．（1）如圖①，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請(qǐng)直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：．【答案】見解析【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)到G，使，連接，即可證明，可得，再證明，可得，即可解題；（2）如圖2，同理可得：；（3）如圖3，作輔助線，構(gòu)建，同理證明和．可得新的結(jié)論：．【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)到G，使，連接．∵在與中，，∴．∴，，∴．∴．又，易證．∴．∵，∴．（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．理由是：如圖2，延長(zhǎng)到G，使，連接．∵，，∴，∵在與中，，∴．∴，，∴．∴．又，易證．∴．∵，∴．（3）如圖2，（2）結(jié)論成立，如圖3，有或．證明：在上截取，使，連接．∵，，∴．在與中，，∴．∴，，∴．∴．又，易證．∴．∵，∴．同理可得：∴∵，∴．故答案為：（1）；（2）成立；（3）或或．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，本題運(yùn)用了類比的方法依次解決問題．29．如圖1，中，是的平分線，若，那么與有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？（1）通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想：與的數(shù)量關(guān)系，用等式表示為：．（2）小明把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：想法1：如圖2，延長(zhǎng)到F，使，連接．通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)行推理，就可以得到與的數(shù)量關(guān)系．想法2：在上取一點(diǎn)E，使，連接，通過三角形全等、三角形的性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)行推理，就可以得到與的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小明證明猜想中與的數(shù)量關(guān)系（一種方法即可）．【答案】見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1），故答案為：，（2）如圖2，延長(zhǎng)到F，使，連接．∵是的平分線，∴，∵，且，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．30．（1）如圖1，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，且，于點(diǎn)F，于點(diǎn)D．求證：；（2）如圖2，點(diǎn)B、C分別在的邊、上，點(diǎn)E、F都在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，且．求證：；（3）如圖3，在中，，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)E、F在線段上，．若的面積為15，求與的面積之和．【答案】見解析【分析】圖①，求出，，根據(jù)證兩三角形全等即可；圖②根據(jù)已知和三角形外角性質(zhì)求出，，根據(jù)證兩三角形全等即可；圖③求出的面積，根據(jù)得出與的面積之和等于的面積，即可得出答案．【詳解】解：（1）如圖①，∵，，，∴，∴，，∴，在和中，，∴；（2）∵，，，，∴，，在和中，，∴；（3）∵的面積為15，，∴的面積是：，由（2）中證出，∴與的面積之和等于與的面積之和，即等于的面積，是5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，證明過程有類似之處．31．（1）某學(xué)習(xí)小組在探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形．如圖1，已知：在中，，，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，直線l，直線l，垂足分別為點(diǎn)D、E．證明：．（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2，將（1）中的條件改為：在中，，D、A、E三點(diǎn)都在直線l上，并且有，其中為任意銳角或鈍角．請(qǐng)問結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來解決問題：如圖3，過的邊、向外作正方形和正方形，是邊上的高，延長(zhǎng)交于點(diǎn)I，求證：I是的中點(diǎn)．【答案】見解析【分析】（1）由條件可證明，可得，，可得；（2）由條件可知，且，可得，結(jié)合條件可證明，同（1）可得出結(jié)論；（3）由條件可知，可得，結(jié)合條件可證明，可得出結(jié)論I是的中點(diǎn)．【詳解】解：（1）如圖1，∵直線l，直線l，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（2）．如圖2，證明如下：∵，∴，∴，在和中，，∴∴，，∴；（3）如圖3，過E作于M，的延長(zhǎng)線于N．∴，由（1）和（2）的結(jié)論可知，∴．在和中，，∴，∴，∴I是的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，由條件證明三角形全等得到、是解題的關(guān)鍵．十．三角形全等的實(shí)際應(yīng)用（共5小題）32．如圖，有一塊三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新劃一塊與原來形狀、大小一樣的玻璃，只需帶到玻璃店（）A．①B．②C．③D．①、②、③其中任一塊【答案】C【分析】