【八年級上冊】第11章三角形單元測試（培優(yōu)提升卷）（含答案）

第11章三角形單元測試（培優(yōu)提升卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，考試時間90分鐘，試題共26題，選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（興隆縣期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．2．（法庫縣期末）下列每組數(shù)表示3根小木棒的長度，3根小木棒能擺成三角形的一組是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．2cm，3cm，5cm D．3cm，4cm，7cm3．（沙坪壩區(qū)期中）下列各圖中，作△ABC邊AC上的高，正確的是（）A． B． C． D．4．（夏津縣期末）如果一個多邊形的每一個外角都是30°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）A．12 B．13 C．14 D．155．（濰坊期末）如圖，已知EF∥GH，Rt△ABC的兩個頂點A，B分別在直線GH，EF上，∠C＝90°，AC交EF于點D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°．則∠BAC的度數(shù)為（）A．32° B．26° C．34° D．28°6．（淮陽區(qū)校級期末）一個三角形其中一個外角的補角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的差，則這個三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形7．（建平縣期末）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的一個內(nèi)角為48°，那么這個“特征角”α的度數(shù)為（）A．48° B．96° C．88°或48° D．48°或96°或88°8．（沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，延長△ABC的邊AC到點E，過點E作DE∥BC．BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延長找于點F．已知3∠A＝4∠F，則∠A的大小為（）A．75° B．74° C．72° D．70°9．（吳中區(qū)期中）如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°?12∠CDBA．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．（白銀期末）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（江漢區(qū)期末）如果一個正多邊形的一個內(nèi)角是162°，則這個正多邊形是正邊形．12．（連山區(qū)期末）如圖，已知AD為△ABC的中線，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周長為27cm，則△ABD的周長為cm．13．（廈門期末）如圖，CE是△ABC外角的平分線，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，則∠A等于度．14．（碑林區(qū)校級三模）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，∠EDC與∠BCD的平分線交于點P，則∠P的度數(shù)是．15．（雅安）如圖，ABCDEF為正六邊形，ABGH為正方形，則圖中∠BCG的度數(shù)為．16．（鼓樓區(qū)二模）將一副三角板如圖擺放，則∠1＝°．17．（浦東新區(qū)月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，則∠P＝°．18．（河北區(qū)期中）如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正確的結(jié)論有．（填序號）三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（重慶期末）如圖所示，已知AD，AE分別是△ADC和△ABC的高和中線，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．試求：（1）AD的長；（2）△ABE的面積；（3）△ACE和△ABE的周長的差．20．（余杭區(qū)期末）如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B＝26°，∠ACD＝56°，求∠AED的度數(shù)．21．（肇州縣期末）如圖，∠CAD與∠CBD的角平分線交于點P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度數(shù)；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量關(guān)系．22．（蘇州期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點F．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）G為BC上一點，當(dāng)FE平分∠AFG且∠C＝30°時，求∠CGF的度數(shù)．23．閱讀與推理【閱讀】三角形外角定理：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．例如在圖中，∠ACD是△ABC的一個外角，則有∠ACD＝∠A+∠B．小明在課外書上看到這樣一題：“在五角星形ABCD中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)”．小明思考：∠AFG是△FEC的外角，根據(jù)“三角形外角定理”，可得∠AFE＝∠+∠．類似的，∠AGF是△BGD的外角，可得∠AGF＝∠+∠．小明已經(jīng)有了解題思路，請你幫助他將這道題完整解答．24．（鐵西區(qū)期末）在△ABC中，點D是邊AC上一點，分別過點A，D作AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F．（1）如圖，若∠ABC＜90°，點G是邊AB上一點，且∠BEG＝∠C，請判斷∠AEG與∠CDF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠ABC＞90°，點G是直線AB上一點，且∠BEG＝∠C，請直接寫出∠AEG與∠CDF的數(shù)量關(guān)系．25．（秦淮區(qū)期末）數(shù)學(xué)概念百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某些邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖①，在四邊形ABCD中，畫出DC所在直線MN，邊BC、AD分別在直線MN的兩旁，則四邊形ABCD就是凹四邊形．性質(zhì)初探（1）在圖①所示的凹四邊形ABCD中，求證：∠BCD＝∠A+∠B+∠D．深入研究（2）如圖②，在凹四邊形ABCD中，AB與CD所在直線垂直，AD與BC所在直線垂直，∠B、∠D的角平分線相交于點E．①求證：∠A+∠BCD＝180°；②隨著∠A的變化，∠BED的大小會發(fā)生變化嗎？如果有變化，請?zhí)剿鳌螧ED與∠A的數(shù)量關(guān)系；如果沒有變化，請求出∠BED的度數(shù)．26．（溧水區(qū)期末）如圖①，∠1、∠2是四邊形ABCD的兩個不相鄰的外角．（1）猜想并說明∠1+∠2與∠A、∠C的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠ADC的平分線交于點O．若∠A＝50°，∠C＝150°，求∠BOD的度數(shù)；（3）如圖③，BO、DO分別是四邊形ABCD外角∠CBE、∠CDF的角平分線．請直接寫出∠A、∠C與∠O的數(shù)量關(guān)系．第11章三角形單元測試（培優(yōu)提升卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，考試時間90分鐘，試題共26題，選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（興隆縣期末）下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性解答．【解析】選項中只有選項A是三角形，故具有穩(wěn)定性的圖形是三角形．故選：A．2．（法庫縣期末）下列每組數(shù)表示3根小木棒的長度，3根小木棒能擺成三角形的一組是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，4cm C．2cm，3cm，5cm D．3cm，4cm，7cm【分析】看哪個選項中兩條較小的邊的和大于最大的邊即可．【解析】A、1+2＝3，不能構(gòu)成三角形；B、2+3＞4，能構(gòu)成三角形；C、2+3＝5，不能構(gòu)成三角形；D、4+3＝7，不能構(gòu)成三角形．故選：B．3．（沙坪壩區(qū)期中）下列各圖中，作△ABC邊AC上的高，正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷即可．【解析】A、AD是△ABC邊BC上的高，不符合題意；B、AD是△ADC邊AC上的高，不符合題意；C、BD是△DBC邊BC上的高，不符合題意；D、BD是△ABC邊AC上的高，符合題意；故選：D．4．（夏津縣期末）如果一個多邊形的每一個外角都是30°，那么這個多邊形的邊數(shù)是（）A．12 B．13 C．14 D．15【分析】根據(jù)多邊形的外角和是360度即可求得外角的個數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．【解析】多邊形的邊數(shù)是：360°÷30°＝12．故選：A．5．（濰坊期末）如圖，已知EF∥GH，Rt△ABC的兩個頂點A，B分別在直線GH，EF上，∠C＝90°，AC交EF于點D，若BD平分∠ABC，∠BAH＝32°．則∠BAC的度數(shù)為（）A．32° B．26° C．34° D．28°【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DBA＝∠BAH＝32°，再利用角平分線的定義得到∠ABC＝64°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠BAC的度數(shù)．【解析】∵EF∥GH，∴∠DBA＝∠BAH＝32°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠DBA＝2×32°＝64°，∵∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，∴∠BAC＝180°﹣90°﹣64°＝26°．故選：B．6．（淮陽區(qū)校級期末）一個三角形其中一個外角的補角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的差，則這個三角形一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【分析】由題意得這個三角形的一個內(nèi)角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的差，設(shè)這個內(nèi)角為∠1，另外兩個內(nèi)角為∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．由180°﹣∠1＝∠2+∠3，得∠2＝90°．【解析】由題意得：這個三角形的一個內(nèi)角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的差．設(shè)這個內(nèi)角為∠1，另外兩個內(nèi)角為∠2、∠3且∠1＝∠2﹣∠3．∵180°﹣∠1＝∠2+∠3，∴2∠2＝180°．∴∠2＝90°．∴這個三角形的是直角三角形．故選：B．7．（建平縣期末）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的一個內(nèi)角為48°，那么這個“特征角”α的度數(shù)為（）A．48° B．96° C．88°或48° D．48°或96°或88°【分析】設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別是∠1、∠2、α且α＝2∠1．由題意得α＝48°或∠1＝48°或∠2＝48°，故需分這3種情況討論．【解析】設(shè)三角形的三個內(nèi)角分別是∠1、∠2、α且α＝2∠1．當(dāng)α＝48°，則∠1＝24°．當(dāng)∠1＝48°，則α＝2∠1＝96°．當(dāng)∠2＝48°，則∠1+α＝180°﹣∠2＝132°．∴3∠1＝132°．∴∠1＝44°．∴α＝2∠1＝88°．綜上：“特征角”α可能為48°或96°或88°．故選：D．8．（沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，延長△ABC的邊AC到點E，過點E作DE∥BC．BG平分∠ABC，EF平分∠AED交BG的反向延長找于點F．已知3∠A＝4∠F，則∠A的大小為（）A．75° B．74° C．72° D．70°【分析】由三角形的內(nèi)角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再由DE∥BC，可得∠ACB＝∠AED，由角平分線可得∠ABG=12∠ABC，∠AEF=12∠AED=12∠ACB，由三角形的外角性質(zhì)可得∠AGB＝∠F【解析】在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DE∥BC，∴∠ACB＝∠AED，∵BG平分∠ABC，EF平分∠AED，∴∠ABG=12∠ABC，∠AEF=12∴∠AEF=12∠AED=12∵∠AGF是△EFG的一個外角，∴∠AGB＝∠F+∠AEF＝∠F+12∠ACB在△ABG中，∠A+∠ABG+∠AGB＝180°，∴∠A+12∠ABC+∠F+12∠A+∠F+12（∠ABC+∠ACB∠A+∠F+12（180°﹣∠A整理得：12∠A+∠F＝90°，∵3∠A＝4∠F，∴∠F=34∠A∴12∠A+34∠解得：∠A＝72°．故選：C．9．（吳中區(qū)期中）如圖，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內(nèi)角∠ABC、外角∠ACF，以下結(jié)論：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°?12∠CDBA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)角平分線定義得出∠ABC＝2∠ABD＝2∠DBC，∠EAC＝2∠EAD，∠ACF＝2∠DCF，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠EAC＝∠ABC+∠ACB，根據(jù)已知結(jié)論逐步推理，即可判斷各項．【解析】∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD，∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，∴∠EAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∴①正確；∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC，∴∠ACB＝2∠ADB，∴②錯誤；在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD＝180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCF，∠ADB＝∠DBC，∠CAD＝∠ACB∴∠ACD＝∠ADC，∠CAD＝∠ACB＝∠ABC＝2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD＝∠ADC+2∠ABD+∠ADC＝2∠ADC+2∠ABD＝180°，∴∠ADC+∠ABD＝90°∴∠ADC＝90°﹣∠ABD，即∠ADC+∠ABD＝90°，∴③正確；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠BDC＝∠DBC，∵∠DCF=90°?12∠ABC=90°?∠BDC=∠DBC+∠∴∠BDC＝90°﹣2∠DBC，∴∠DBC＝45°?12∠BDC，④故選：C．10．（白銀期末）如圖，△ABC的角平分線CD、BE相交于F，∠A＝90°，EG∥BC，且CG⊥EG于G，下列結(jié)論：①∠CEG＝2∠DCB；②∠ADC＝∠GCD；③CA平分∠BCG；④∠DFB=12∠CGE其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【分析】①正確．利用平行線的性質(zhì)證明即可．②正確．首先證明∠ECG＝∠ABC，再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問題即可．③錯誤．假設(shè)結(jié)論成立，推出不符合題意即可．④正確．證明∠DFB＝45°即可解決問題．【解析】∵EG∥BC，∴∠CEG＝∠BCA，∵CD平分∠ACB，∴∠BCA＝2∠DCB，∴∠CEG＝2∠DCB，故①正確，∵CG⊥EG，∴∠G＝90°，∴∠GCE+∠CEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠BCA+∠ABC＝90°，∵∠CEG＝∠ACB，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠ADC＝∠ABC+∠DCB，∠GCD＝∠ECG+∠ACD，∠ACD＝∠DCB，∴∠ADC＝∠GCD，故②正確，假設(shè)AC平分∠BCG，則∠ECG＝∠ECB＝∠CEG，∴∠ECG＝∠CEG＝45°，顯然不符合題意，故③錯誤，∵∠DFB＝∠FCB+∠FBC=12（∠ACB+∠ABC）＝45°，12∠∴∠DFB=12∠CGE，故④故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（江漢區(qū)期末）如果一個正多邊形的一個內(nèi)角是162°，則這個正多邊形是正二十邊形．【分析】首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù)．【解析】∵正多邊形的一個內(nèi)角是162°，∴它的外角是：180°﹣162°＝18°，邊數(shù)n＝360°÷18°＝20．故答案為：二十．12．（連山區(qū)期末）如圖，已知AD為△ABC的中線，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周長為27cm，則△ABD的周長為30cm．【分析】利用中線定義可得BD＝CD，進(jìn)而可得AD+DC＝AD+BD，然后再求△ABD的周長即可．【解析】∵△ACD的周長為27cm，∴AC+DC+AD＝27cm，∵AC＝9cm，∴AD+CD＝18cm，∵AD為△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AD+BD＝18cm，∵AB＝12cm，∴AB+AD+BD＝30cm，∴△ABD的周長為30cm，故答案為：30，13．（廈門期末）如圖，CE是△ABC外角的平分線，且AB∥CE，若∠ACB＝36°，則∠A等于72度．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可．【解析】∵∠ACB＝36°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣36°＝144°，∵CE是△ABC外角的平分線，∴∠ACE=12∵AB∥CE，∴∠A＝∠ACE＝72°，故答案為：72．14．（碑林區(qū)校級三模）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，∠EDC與∠BCD的平分線交于點P，則∠P的度數(shù)是60°．【分析】先根據(jù)五邊形內(nèi)角和求得∠EDC+∠BCD，再根據(jù)角平分線求得∠PDC+∠PCD，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠P的度數(shù)．【解析】∵在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，∴∠EDC+∠BCD＝（5﹣2）?180°﹣300°＝240°，又∵DP、CP分別平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD＝120°，∴△CDP中，∠P＝180°﹣（∠PDC+∠PCD）＝180°﹣120°＝60°．故答案為：60°．15．（雅安）如圖，ABCDEF為正六邊形，ABGH為正方形，則圖中∠BCG的度數(shù)為15°．【分析】分別求出正六邊形和正方形的一個內(nèi)角度數(shù)，再求出∠CBG的大小，即可求解．【解析】∵ABCDEF為正六邊形，ABGH為正方形，∴AB＝BC＝BG，∴∠BCG＝∠BGC，∵正六邊形ABCDEF的每一個內(nèi)角是4×180°÷6＝120°，正方形ABGH的每個內(nèi)角是90°，∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°，∴∠BCG＝15°．故答案為：15°．16．（鼓樓區(qū)二模）將一副三角板如圖擺放，則∠1＝105°．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)計算即可．三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．【解析】如圖所示：∵∠D＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠AOD﹣∠B＝90°﹣30°﹣30°＝30°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠1＝∠BOC+∠C＝60°+45°＝105°．故答案為：105．17．（浦東新區(qū)月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP＝15°，∠ACP＝50°，則∠P＝35°．【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠CBP＝∠ABP＝15°，∠PCM＝∠ACP＝50°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠P＝∠PCM﹣∠CBP，再求出答案即可．【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，∠ABP＝15°，∴∠CBP＝∠ABP＝15°，∵CP是∠ACB的外角的平分線，∠ACP＝50°，∴∠PCM＝∠ACP＝50°，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣15°＝35°，故答案為：35．18．（河北區(qū)期中）如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正確的結(jié)論有①②③④．（填序號）【分析】根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的判定、菱形的判定、等邊三角形的判定一一判斷即可．【解析】①∵BD、CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD＝∠DAC，∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，∴∠FAD＝∠ABC，∴AD∥BC，故①正確．②∵BD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠∴EB⊥DB，故②正確，③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC∵∠BAC+2∠ACB＝180°，∴12∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正確，④∵∠BEC＝180°?12（∠MBC+∠NCB）＝180°?12（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°?∴∠BEC＝90°?12∠BAC∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正確，故答案為：①②③④．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（重慶期末）如圖所示，已知AD，AE分別是△ADC和△ABC的高和中線，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．試求：（1）AD的長；（2）△ABE的面積；（3）△ACE和△ABE的周長的差．【分析】（1）利用“面積法”來求線段AD的長度；（2）△AEC與△ABE是等底同高的兩個三角形，它們的面積相等；（3）由于AE是中線，那么BE＝CE，于是△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE），化簡可得△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC﹣AB，易求其值．【解析】∵∠BAC＝90°，AD是邊BC上的高，∴12AB?AC=12BC?∴AD=AB?ACBC=6×810=4.8（cm（2）方法一：如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝6cm，AC＝8cm，∴S△ABC=12AB?AC=12×又∵AE是邊BC的中線，∴BE＝EC，∴12BE?AD=12EC?AD，即S△ABE＝S△∴S△ABE=12S△ABC＝12（cm2∴△ABE的面積是12cm2．方法二：因為BE=12AC＝5，由（1）知AD所以S△ABE=12BE?AD=12×∴△ABE的面積是12cm2．（3）∵AE為BC邊上的中線，∴BE＝CE，∴△ACE的周長﹣△ABE的周長＝AC+AE+CE﹣（AB+BE+AE）＝AC﹣AB＝8﹣6＝2（cm），即△ACE和△ABE的周長的差是2cm．20．（余杭區(qū)期末）如圖，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B＝26°，∠ACD＝56°，求∠AED的度數(shù)．【分析】由三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和知，∠BAC＝∠ACD﹣∠B，∠AEC＝∠B+∠BAE，而AE平分∠BAC，故可求得∠AEC的度數(shù)．【解析】∵∠B＝26°，∠ACD＝56°∴∠BAC＝30°∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝15°∴∠AED＝∠B+∠BAE＝41°．21．（肇州縣期末）如圖，∠CAD與∠CBD的角平分線交于點P．（1）若∠C＝35°，∠D＝29°，求∠P的度數(shù)；（2）猜想∠D，∠C，∠P的等量關(guān)系．【分析】設(shè)∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根據(jù)∠CAD和∠CBD的角平分線相交于點P可得∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y(tǒng)，再由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解析】（1）設(shè)∠CAD＝2x，∠CBD＝2y，根據(jù)∠CAD和∠CBD的角平分線相交于點P可知：∠CAP＝∠PAD＝x，∠CBP＝∠DBP＝y(tǒng)，∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∠C＝35°，∠D＝29°，∴∠C+∠CAD＝∠D+∠CBD，即35°+2x＝29°+2y①．∵∠AEB是△APE與△DBE的外角，∴∠P+∠EAP＝∠D+∠DBP，即∠P+x＝29°+y②．同理，∵∠AFB是△ACF與△BFP的外角，∴∠C+∠CAP＝∠P+∠CBP，即35°+x＝∠P+y③，①﹣②得，y＝x+35°﹣∠P④，①﹣③得，x＝y(tǒng)+29°﹣∠P⑤，④代入⑤得，x＝x+35°﹣∠P+29°﹣∠P，2∠P＝35°+29°，解得∠P＝32°；（2）∠P=12（∠C+∠D由（1）同理可知：2∠P＝∠C+∠D，解得∠P=12（∠C+∠D22．（蘇州期末）如圖，△ABC中，D為BC上一點，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分線BE交AD于點F．（1）求證：∠AEF＝∠AFE；（2）G為BC上一點，當(dāng)FE平分∠AFG且∠C＝30°時，求∠CGF的度數(shù)．【分析】（1）由角平分線定義得∠ABE＝∠CBE，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠AEF＝∠AFE；（2）由角平分線定義得∠AFE＝∠GFE，進(jìn)而得∠AEF＝∠GFE，由平行線的判定得FG∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得結(jié)果．【解析】（1）證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，∴∠AEF＝∠AFE；（2）∵FE平分∠AFG，∴∠AFE＝∠GFE，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠AEF＝∠GFE，∴FG∥AC，∵∠C＝30°，∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．23．閱讀與推理【閱讀】三角形外角定理：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．例如在圖中，∠ACD是△ABC的一個外角，則有∠ACD＝∠A+∠B．小明在課外書上看到這樣一題：“在五角星形ABCD中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)”．小明思考：∠AFG是△FEC的外角，根據(jù)“三角形外角定理”，可得∠AFE＝∠E+∠C．類似的，∠AGF是△BGD的外角，可得∠AGF＝∠+∠D．小明已經(jīng)有了解題思路，請你幫助他將這道題完整解答．【分析】∠AFG是△CEF的一個外角，∠AGF是△BDG的一個外角，即可求解．【解析】在△CEF中，可得∠AFE＝∠C+∠E，在△BDG中，可得，AGF＝∠B+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠AFG+AGF+∠A＝180°；故答案為：E，C，B，D．24．（鐵西區(qū)期末）在△ABC中，點D是邊AC上一點，分別過點A，D作AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F．（1）如圖，若∠ABC＜90°，點G是邊AB上一點，且∠BEG＝∠C，請判斷∠AEG與∠CDF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠ABC＞90°，點G是直線AB上一點，且∠BEG＝∠C，請直接寫出∠AEG與∠CDF的數(shù)量關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DFC＝∠AEB＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)垂直的定義得到∠DFC＝∠AEB＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）∵AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，∴∠C+∠CDF＝∠BEG+∠AEG＝90°，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝∠CDF；（2）如圖2，∵AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，∴∠DFC＝∠AEB＝90°，∴∠C+∠CDF＝∠BEG+∠AEG＝90°，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝∠CDF；如圖3，當(dāng)點G在AB的延長線上時，∵∠AEC＝∠DFC＝90°，∴∠AEG＝90°+∠BEG，∠C＝90°﹣∠CDF，∵∠BEG＝∠C，∴∠AEG＝90°+90°﹣∠CDF，∴∠AEG+∠CDF＝180°，綜上所述，∠AEG與∠CDF的數(shù)量關(guān)系為相等或互補．25．（秦淮區(qū)期末）數(shù)學(xué)概念百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某些邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．如圖①，在四邊形ABCD中，畫出DC所在直線MN，邊BC、AD分別在直線MN的兩旁，則四邊形ABCD就是凹四邊形．性質(zhì)初探（1）在圖①所示的凹四邊形ABCD中，求證：∠BCD＝∠A+∠B+∠D．深入研究（2）如圖②，在凹四邊形ABCD中，AB與CD所在直線垂直，AD與BC所在直線垂直，∠B、∠D的角平分線相交于點E．①求證：∠A+∠BCD＝180°；②隨著∠A的變化，∠BED的大小會發(fā)生變化嗎？如果有變化，請?zhí)剿鳌螧ED與∠A的數(shù)量關(guān)系；如果沒有變化，請求出∠BED的度數(shù)．【分析】（1）如圖①，延長DC交AB于點E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠A+∠D＝∠BEC，同理，∠B+∠BEC＝∠BCD，