《電磁場與電磁波》課件第1章

第1章矢量分析基礎(chǔ)1.1矢量分析1.2場論1.3標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度1.4矢量場的通量及散度1.5矢量場的環(huán)量和旋度1.6亥姆霍茲定理1.7圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系

1.1矢量分析

矢量分析討論矢性函數(shù)的求導(dǎo)、積分等內(nèi)容，它是矢量代數(shù)的繼續(xù)，也是場論的基礎(chǔ)。在物理學(xué)和工程實際中，許多物理量本身就是矢量，如電場強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度、流體的流動速度、物質(zhì)的質(zhì)量擴(kuò)散速度及引力等。采用矢量分析研究這些量是很方便的。有些物理量本身是標(biāo)量，但是描述它們的空間變化特性用矢量較為方便。如物體的引力勢，描述它的空間變化就需要用引力。再比如，空間的電位分布，描述其變化采用電場強(qiáng)度較為方便。

1.1.1矢性函數(shù)

我們知道，模和方向都不變的矢量稱為常矢量。而在許多科技問題中，常會碰到模和方向或其中之一會改變的矢量。這種矢量稱為變矢量。為分析變矢量，需要引入矢性函數(shù)的概念。

設(shè)有數(shù)性變量t和變矢量A，如果對于t在某個范圍內(nèi)的每一個值，A都有一個確定的矢量與之對應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的函數(shù)，記作A＝A(t)。

如果將此矢量A放置在直角坐標(biāo)中，并令其起點與坐標(biāo)原點重合，則矢量A的三個分量Ax、Ay、Az都是t的數(shù)性函數(shù)，故矢量A可以寫為(1-1)A(t)=Ax(t)ex+Ay(t)ey+Az(t)ez式中，ex、ey、ez分別為沿三個坐標(biāo)軸正向的單位矢量。

在以后的討論中，我們僅限于自由矢量。所謂自由矢量是指當(dāng)二矢量的模和方向都相同時，就可以認(rèn)為此二矢量是彼此相等的一類矢量。如在討論剛體平動問題時，力是自由矢量；在討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動時，力矩是自由矢量。

為了直觀地表示矢性函數(shù)的A(t)變化狀態(tài)，我們可以把A(t)的起點平移至坐標(biāo)原點。這樣，當(dāng)數(shù)性變量t變化時，矢量A的終端將會描出一條曲線l，參看圖1-1，這條曲線稱為矢性函數(shù)A(t)的矢量端曲線。而式(1-1)常稱為矢量端曲線的矢量方程。圖1-1矢端曲線1.1.2矢性函數(shù)的求導(dǎo)與積分

1.矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

設(shè)有矢性函數(shù)A(t)（矢量的起點均相同），當(dāng)數(shù)性變量從t變到t+Δt時，對應(yīng)的矢量分別為則矢性函數(shù)的增量為我們將矢性函數(shù)的增量ΔA與對應(yīng)的Δt之比在Δt→0時的極限，稱為矢性函數(shù)A(t)在點t處的導(dǎo)數(shù)，如圖1-2所示，記作dA/dt或A′(t)，即(1-2)若A(t)由式(1-1)給出，且Ax、Ay、Az可導(dǎo)，則有(1-3)此式把求矢性函數(shù)的導(dǎo)矢量，歸結(jié)為求三個數(shù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。圖1-2矢量導(dǎo)數(shù)

2.矢性函數(shù)的積分

矢性函數(shù)的積分與數(shù)性函數(shù)相似，也分為不定積分與定積分兩種。且不論是不定積分還是定積分，矢性函數(shù)的積分均可歸結(jié)為三個數(shù)性函數(shù)的積分。(1-4)(1-5)

1.2場論

1.2.1場的基本概念

如果在全部空間或部分空間的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，就說在這空間里確定了該物理量的場。如果這物理量是數(shù)量，就稱這個場為標(biāo)量場；若是矢量，就稱這個場為矢量場。如溫度場、電位場、密度場等都是標(biāo)量場；而引力場、速度場、電場等則是矢量場。標(biāo)量場和矢量場包含了科學(xué)技術(shù)問題中的大多數(shù)。但是也有些問題本身比標(biāo)量場和矢量場復(fù)雜，比如剛體的轉(zhuǎn)動慣量、磁化鐵氧體的磁導(dǎo)率等，它們一般是空間一個點對應(yīng)9個分量，這些量叫做二階張量。我們僅僅討論標(biāo)量場和矢量場的問題。如果場中的物理量不隨時間變化，則稱為穩(wěn)定場或穩(wěn)態(tài)場；如果隨時間變化，則稱為不穩(wěn)定場或時變場。我們僅僅討論隨空間和時間確定變化的場，不涉及隨機(jī)分布的場。本節(jié)的分析以穩(wěn)定場為例，但是其結(jié)論可以推廣到時變場的情況。1.2.2標(biāo)量場的等值面

我們拋開具體的物理量，僅分析場隨空間的分布和變化。把標(biāo)量場理解為一個標(biāo)量函數(shù)u隨空間的位置而變化。就是說把標(biāo)量場看做是一個物理量在空間的函數(shù)。當(dāng)然這個函數(shù)應(yīng)該是單值函數(shù)，就是說一個空間點對應(yīng)一個物理量的值(暫且不考慮物理量在空間隨機(jī)分布的隨機(jī)場問題)。若用直角坐標(biāo)系表示空間的點，則空間某點M就和一組有序?qū)崝?shù)(x，y，z)對應(yīng)。標(biāo)量場中各點處的數(shù)量就表示為u(x，y，z)。也可簡寫成u(M)。為了直觀地研究物理量u的分布狀況，常常需要考察場中有相同物理量的點，也就是使u(x,y,z)取相同數(shù)值的各點為

u(x，y，z)=c(c為常數(shù))

此方程在幾何上一般表示一個曲面，稱為標(biāo)量場的等值面，如圖1-3所示。例如溫度場的等值面，就是溫度相同的點組成的等溫面；電位場的等值面，就是電位相同的點組成的等位面。顯然，通過標(biāo)量場的每一點有一個等值面，且一個點只在一個等值面上。

若問題的本身就是兩個變量的函數(shù)，這種情形叫做平面標(biāo)量場。此時，標(biāo)量場一般可以寫為u(x，y)。標(biāo)量場具有相同數(shù)值的點，就組成標(biāo)量場的等值線，等值線方程為

u(x，y)=c比如地圖上的等高線，地面上方給定高度的等溫線等。圖1-4是地圖上的等高線。圖1-3等值面圖1-4等高線例1-1

若兩個點電荷產(chǎn)生的電位為

,其中，，A、q和k是常數(shù)。求電位等于零的等位面方程。

解令u＝0，則有1/r=A/r1，即Ar=r1,左右同時平方,得

A2(x2+y2+z2)=(x+a)2+y2+z2

化簡后得到

這個曲面是球心在，半徑為的球面。1.2.3矢量場的矢量線

矢量場中物理量是空間位置的矢性函數(shù)，即可以記為A=A(M)；為了直觀地表示矢量的分布狀況，需要矢量線的概念。所謂矢量線，是指在曲線上面每一點處，場的矢量都位于該點的切線上，如圖1-5所示。矢量線滿足微分方程

(1-6)通過求解上述常微分方程組，就可以得出矢量線的方程。例1-2

求矢量場A=－yex+xey+xex通過點M(1,0,0)的矢量線方程。

解矢量線的方程為圖1-5矢量線由得出xdx+ydy=0，積分得到x2+y2=c1；

由得出dz－dy=0，積分得到z－y=c。

最后，把矢量線通過的點的坐標(biāo)代入，定出系數(shù)，得到所求的矢量線為這是圓柱面和平面的交線，為一個橢圓。至于矢量線的方向，要依據(jù)給定點矢量場的方向判定。例1-3

求矢量場A=(x2+2xy)ex－xyey+xzez過點M(1，1，1)的矢量線方程。

解矢量線的方程為由得出，積分得到ln(yz)=c1；由得，對該式的左右用和比公式，即分子加分子，分母加分母，得到,積分得到ln[(x+y)y]=c2。最后，把矢量線通過的點的坐標(biāo)代入，定出系數(shù)，得到所求的矢量線為

方程xy+y2=2是以z軸為母線的雙曲柱面，方程yz=1是以x軸為母線的雙曲柱面。所求矢量線是這兩個柱面的交線。求解矢量線方程時，一般要使用和比公式、差比公式及其和差比公式，有時還要左右同時乘以一個叫做積分因子的函數(shù)，從原來的矢量線微分方程組，構(gòu)造兩個可以積分的全微分。如果不是全微分，一般是積分不出來的。

1.3標(biāo)量場的方向?qū)?shù)和梯度

1.方向?qū)?shù)的定義

設(shè)M0為標(biāo)量場u(M)中的一點，從點M0出發(fā)引一條射線l，在l上點M0的附近取一動點M，記M0M=ρ，如圖1-6所示，若當(dāng)M→M0時，式

的極限存在，則稱它為標(biāo)量場u(M)在M0點處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為，即(1-7)圖1-6梯度和方向?qū)?shù)

2.方向?qū)?shù)的計算公式

設(shè)有向線段l的單位矢量為l°=l/l，這個單位矢量的方向余弦為(cosα,cosβ,cosγ)，則標(biāo)量場在某點的方向?qū)?shù)為這個公式的推導(dǎo)，我們在高等數(shù)學(xué)的多元微積分中學(xué)習(xí)過。在此，我們就略去它的證明過程。

3.梯度的定義

方向?qū)?shù)解決了標(biāo)量場在給定沿某個方向的變化率問題。然而從場中的給定點出發(fā)，可以有無窮多個方向。這使得用方向?qū)?shù)分析標(biāo)量場不太方便。觀察圖1-6，可以看出，在等值面的法向n上，方向?qū)?shù)有最大值。我們用這一最大值連同取最大值的方向組成標(biāo)量場的梯度。一般而言，有如下定義。

若在標(biāo)量場u(M)中的一點處，存在這樣的矢量G，其方向為標(biāo)量場在M點處變化率最大的方向，其模也正好是這個最大變化率的數(shù)值，則稱矢量G為標(biāo)量場在點M處的梯度，記作gradu。梯度的定義是與坐標(biāo)系無關(guān)的，它是由標(biāo)量場中數(shù)量u(M)的分布所決定的。我們借助方向?qū)?shù)的公式和圖1-6，可以推導(dǎo)出它在直角坐標(biāo)系中的表示式。圖1-6繪出了兩個等值面，分別過M0點和M點，令M0M=Δl，M0N=Δn，我們有Δn=Δlcosθ，所以

假定u(M)>u(M0)，用n、l°分別表示單位矢量，可以知道在M0點處的梯度就是n，因而，此式表明，標(biāo)量場沿任意方向l的方向?qū)?shù)等于這一點處的梯度在方向l上的投影。我們可以用此式推出梯度在直角坐標(biāo)中的計算公式，分別計算出標(biāo)量場沿x、y、z

三個方向的方向?qū)?shù)，也就得到了梯度在x、y、z

三個方向的投影，因而有：從梯度的定義及圖1-6可知，標(biāo)量場在某一點的梯度，一定垂直于過該點的等值面，且指向等值面增加的一側(cè)。例1-4

求標(biāo)量場u=xy2+yz3在點M(2，－1，1)處的梯度，及在方向l=2ex+2ey-ez上的方向?qū)?shù)。

解

gradu=y2ex+(2xy+z3)ey+3yz2ez，gradu|M=ex－3ey－3ez。

l方向的單位矢量為

于是有

為了方便，引入一個矢性微分算符叫做哈密爾頓算符（讀作“del”或“nabla”）。記號是一個微分運(yùn)算符號，但同時又要當(dāng)作矢量看待。其運(yùn)算規(guī)則是：

u=

·A=·(Axex+Ayey+Azez)=

A=可以看出，用算符

可以將梯度簡記為gradu=

u。例1-5

r=xex+yey+zez

，r′=x′ex+y′ey+z′ez，R=r－r′，求：

(1/R)及

′(1/R)。

解所以

同理，例1-6

求曲面z=x2+y2在點（1，1，2）處的法向。解根據(jù)梯度與等值面互相垂直的性質(zhì)，我們令u=x2+y2－z，曲面z=x2+y2是標(biāo)量場u的一個等值面(u=0)，先計算u的梯度

u=2xex+2yey－ez

u|(1,1,2)=2ex+2ey－ez

過點(1，1，2)的正法向與該點的梯度矢量同向，所以待求的法向為

梯度運(yùn)算是一致線性運(yùn)算，可以利用線性性質(zhì)和一些基本公式簡化計算，如：

(cu)=c

u(c為常數(shù))

(u+v)=

u+

v

(uv)=u

v+v

u

(v

u－u

v)

f(u)=f'(u)

u

1.4矢量場的通量及散度

1.4.1通量

先看一個例子，設(shè)有流速場v(M)，其中流體是不可壓縮的(即流體的密度是不變的)，為了簡便，不妨假定其密度為1。設(shè)S為場中一有向曲面，我們求在單位時間內(nèi)流體向正側(cè)穿過S的流量Q

。（有的參考書中把單位時間流過的體積定義為流量。）

為此，在S上取一面元素dS，M為dS上任一點，由于dS甚小，可以將其上每一點處的速度矢量v與法矢量n都近似地看做不變，且都與M點的v和n相同。這樣，流體穿過dS的流量dQ，就近似地等于以dS為底面積，vn為高的柱體體積(如圖1-7所示)，即dQ=vndS，或dQ=v·dS。其中，dS是點M處的有向面元，其方向與n一致，其模等于dS，因而在單位時間內(nèi)向正側(cè)穿過曲面S的流量，就可以用曲面積分表示為

(1-8)這種形式的曲面積分，以后常常碰到，為便于研究，將形如上述的曲面積分概括為通量的概念。圖1-7通量我們稱矢量場A沿有向曲面S的曲面積分

(1-9)為矢量場A向正側(cè)穿過曲面S的通量。在直角坐標(biāo)中，dS=exdydz+eydzdx+ezdxdy。如果S是一個閉曲面，則用A·dS表示A從閉合面流出的通量。例1-7

若矢量場A=exx，求A·dS的值，其中S是由x2+y2=r2，z=0，z=h組成的閉合曲面(如圖1-8所示)。

解我們用S1，S2，S3分別表示z=0，z=h和x2+y2=r2，則圖1-8例1-7圖且在S1，S2上，因矢量場與有向面元的法向互相垂直，因而積分為零。在S3上，將A=exx

和dS=exdydz+eydzdx+ezdxdy代入后積分，并且考慮在曲面S3上，有x=rcosθ，y=rsinθ。所以有現(xiàn)在，我們以流體為例，說明流量的物理意義。當(dāng)通量為正時，表示有凈流量流出，說明存在著流體的源。當(dāng)通量為負(fù)時，表示有凈流量流入，說明存在著流體的負(fù)源(在流體力學(xué)中，一般把負(fù)的質(zhì)量源叫做流匯)。當(dāng)通量為零時，表示流入與流出的流量相等，說明體積內(nèi)正負(fù)源的總和為零。

1.4.2散度

以上的通量是沿一個閉曲面的積分，并不能說明空間某一點的性質(zhì)。為了研究一點附近的通量特性，需要引入散度的概念。我們考慮一個包含M點的小體積元ΔV

，計算ΔV

的表面S上的通量，再求通量體密度的極限，即。如這一極限存在，則稱此極限為矢量場在M點處的散度，記作divA，即divA=(1-10)由以上的定義可見，矢量場A的散度divA是一個標(biāo)量場，它表示場中任意一點處的通量體密度。所以divA就是該點處通量源的強(qiáng)度。因此，當(dāng)場中某點處散度為正時，表明該點處有正的通量源；當(dāng)場中某點處散度為負(fù)時，表明該點處有負(fù)的通量源；當(dāng)場中某點處散度為零時，表明該點處沒有通量源。

在多元微積分中，我們學(xué)過奧高公式，即

(1-11)可以借助這一公式和多元微積分中的積分中值定理，推導(dǎo)散度在直角坐標(biāo)系中的計算公式。設(shè)則在一個包含M0點的小封閉面上的通量為

(由奧高公式)(由積分中值定理)其中V是封閉面S包圍的體積，M是V內(nèi)的某一點。由此當(dāng)V縮向M0點時，M就趨于點M0。所以，我們得出散度在直角坐標(biāo)系中的計算公式為(1-12)附帶指出，在上述散度的定義式中，常常把求極限的條件寫作ΔS→0或者寫作M→M0，也可以寫作ΔV→M0，而不寫作ΔV→0。其中的差異請讀者自己思考。

我們可以用哈米爾頓算子的運(yùn)算規(guī)則將散度表示為divA＝

A

(1-13)可以把奧高公式寫成矢量形式，即(1-14)例1-8

若矢量場A=r/r3，其中r=xex+yey+zez

，求A的散度。

解

實際上，當(dāng)r=0時，上述散度是正無窮大。要描述其在坐標(biāo)原點的特性，要采用三維空間的狄拉克δ函數(shù)。例1-9

用散度定理重新計算例1-7的通量。

解

這和直接計算面積分的結(jié)果一致。散度運(yùn)算是線性運(yùn)算，且有：(1-15)·(uA)=u·A+A·u依照定義，矢量場的散度是通量體密度的極限。因而，散度的量綱是原矢量場的量綱除以長度的量綱。在靜電場中，有

·D=ρ，D是電位移矢量，ρ是體電荷密度，D的量綱是C/m2,ρ的量綱是C/m3。例1-10

證明(r≠0)。

證明

當(dāng)r≠0時，以后將

·u記為

u,

稱為拉普拉斯算符。在直角坐標(biāo)系中,有

1.5矢量場的環(huán)量和旋度

1.5.1環(huán)量定義

矢量場A在有向閉合曲線C上的線積分

(1-16)我們稱此積分為矢量場A沿有向閉曲線l的環(huán)量。在直角坐標(biāo)系中，設(shè)

A=Axex+Ayey+Azez又

dl=dxex+dyey+dzez則環(huán)量可以寫成(1-17)例1-11

設(shè)A=－yex+xey，C為z=0平面中的正方形|x|+|y|=R，求A沿正向C的環(huán)量。

解當(dāng)無特別申明時，對平面閉曲線總?cè)∧鏁r針方向為其正向。據(jù)此，有

將積分曲線l在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限的各部分分別記為l1、l2、l3、l4，則依對稱性，只需計算在l1上的積分，其他各段的積分值與此相同。所以Γ=4R2從此例的計算可以看到，環(huán)量的大小與曲線的形狀有關(guān)。當(dāng)計算積分的閉曲線選取的大一些，即R值增大時，所計算的環(huán)量值就大。當(dāng)我們要考察某一點的渦旋源大小時，要引入環(huán)量面密度的概念(如圖1-9所示)。

圖1-9例1-11圖1.5.2環(huán)量面密度

設(shè)M為矢量場A中的一點，在M點處取定一個方向n，過

M點作一微小曲面ΔS，以n為ΔS的法矢量，ΔS的周界為Δl(n和Δl構(gòu)成右手螺旋關(guān)系)，如圖1-10所示。則矢量場沿Δl正向的環(huán)量ΔΓ與面積ΔS在M點處保持以n為法矢量的條件下，以任意方式縮向M點時，若其極限

(1-18)存在，則稱它為矢量場在點M處沿方向n的環(huán)量面密度。圖1-10環(huán)量面密度由曲線積分的斯托克斯公式及面積分的中值定理可以求出環(huán)量面密度的計算式。在平面直角坐標(biāo)系中，A=Axex+Ayey+Azez，所以由中值定理得出，在曲面ΔS上，必然存在一點M′，使得上述積分等于積分函數(shù)在M′的值乘以面積元ΔS，即

當(dāng)ΔS趨于一點M時，M′也趨近于M，這樣，采用環(huán)量面密度的公式，就有例如，例1-8中的矢量場A，正方形的面積是2R2，當(dāng)R→0時，可以得出在原點(0，0，0)處沿正z方向的環(huán)量面密度為2，沿負(fù)z方向的環(huán)量面密度為－2。1.5.3旋度

從環(huán)量面密度的定義可以看出，它是一個與方向有關(guān)的概念，空間給定點有無數(shù)個方向，每一方向?qū)?yīng)一個環(huán)量面密度。正如在標(biāo)量場中，空間給定點有一個梯度而有無數(shù)個方向?qū)?shù)。要簡單地描述空間一點渦旋源的大小與方向，需引入旋度的概念。

旋度定義：若矢量場A中的一點M處存在一個矢量R，矢量場A在M點處沿R方向的環(huán)量面密度最大，且此最大環(huán)量面密度的值就是R的模值，則稱矢量R為矢量場A在點M處的旋度，記作rotA，即

rotA＝R

(1-19)由此可知，旋度矢量在數(shù)值和方向上表示出了最大的環(huán)量面密度。和標(biāo)量場中梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系相似，矢量場沿n方向的環(huán)量面密度等于旋度在n方向的投影。即

μn=(rotA)·n

我們用此性質(zhì)推導(dǎo)旋度在直角坐標(biāo)系中的計算公式。在多元微積分中學(xué)過格林公式和斯托克斯公式，格林公式給出了平面中線積分和面積分的關(guān)系，即

(1-20)斯托克斯公式給出三維空間曲面積分與曲線積分的關(guān)系，即(1-21)設(shè)A=Axex+Ayey+Azez

，由格林公式及積分中值定理，可推導(dǎo)出沿z方向A的環(huán)量面密度(即旋度在z方向的投影)為

同理，沿x方向A的環(huán)量面密度(即旋度在x方向的投影)為沿y方向A的環(huán)量面密度(即旋度在y方向的投影)為使用哈米爾頓算子，可得到rotA=

A

(1-22)

可以將斯托克斯公式用矢量形式簡寫為(1-23)例1-12

若A=

，求點(1，0，0)處的旋度及該點沿方向l=ex+ez

的環(huán)量面密度。解

所以，在(1，0，0)處，

A＝ez

l方向的單位矢量為：l°＝，因而沿其方向的環(huán)量面密度為

我們可以使用以下公式，簡化旋度的計算

(uA)=u

A+u

A

(1-24)

(A

B)=B

A－A

B

(1-25)

(

u)=0

(1-26)

(

A)=0

(1-27)對一個矢量場作旋度運(yùn)算，所得旋度的量綱是原矢量場的量綱除以長度的量綱。如在恒定磁場中有

×H=J，H是磁場強(qiáng)度，單位是A/m，J是電流密度，單位是A/m2。簡而言之，對一個物理量作梯度、散度或旋度運(yùn)算，都是求其相應(yīng)形式的空間微分，其量綱是原來物理量的量綱除以長度。

1.6亥姆霍茲定理

1.6.1矢量場的分類

(1)無旋場。若矢量場F1的旋度恒為零，稱其為無旋場。無旋場可以表示一個標(biāo)量場的負(fù)的梯度，即

F1=－u

(1-28)

我們稱u為F1的勢函數(shù)，稱能用上式表示的矢量場為有勢場。我們知道一個標(biāo)量函數(shù)的梯度是無旋的；但反過來，是否能夠用一個標(biāo)量函數(shù)的負(fù)梯度表示無旋場，這個問題的回答是肯定的。因為證明比較繁瑣，我們略去證明過程，等讀完本節(jié)的亥姆霍茲定理，就會明白。無旋場也就是有勢場?？梢缘贸鰺o旋場在任意閉曲線上的環(huán)量恒為零，即

(1-29)滿足上式的矢量場叫保守場，也就是說，無旋場也就是保守場。

(2)管形場(無散場)。若矢量場F2的散度恒為零，則稱此矢量場為管形場，也稱為無源場(在此是指散度源)。矢量管是指其周圍由矢量線組成的管狀結(jié)構(gòu)。管形場的最大特點是，在矢量管的任何截面上積分，數(shù)值相等，如圖1-11所示。無源場總能表示為另一個矢量場的旋度，即F2=

×A。同樣道理，由于矢量場的旋度，其散度為零，因而，只要一個矢量場是另外一個矢量場的旋度，其散度必然為零。反之，一個矢量場的散度為零，總能找到一個矢量函數(shù)，用這個矢量函數(shù)的旋度表示原來的無源場。這個結(jié)論的證明過程較長，這里不再贅述。圖1-11管形場

(3)調(diào)和場。若在給定區(qū)域，矢量場的散度、旋度恒為零，則稱此矢量場為調(diào)和場。調(diào)和場是指既無旋又無源的矢量場。調(diào)和場F必然可以寫成一個標(biāo)量函數(shù)u的負(fù)梯度，且這個函數(shù)u滿足

2u=0。此方程叫做拉普拉斯方程，拉普拉斯方程的解叫做調(diào)和函數(shù)。比如f=2xy，u=x2－y2等均是調(diào)和函數(shù)。調(diào)和場在我們所討論的區(qū)域中既無散度源，又無旋度源。此時不要錯誤地認(rèn)為場恒為零。因為在區(qū)域的邊界面上，一般存在面源分布，比如產(chǎn)生靜電場的面電荷，或者產(chǎn)生恒定磁場的面電流。如果邊界面上沒有面源，那么，場就恒為零。1.6.2亥姆霍茲定理

一個矢量場的性質(zhì)由激發(fā)該場的源來確定。源有兩個，一個是散度源(也叫通量源)，另一個是旋度源(也叫渦旋源)。那么反過來，若已知一個矢量場的散度和旋度，能否唯一確定該矢量場，答案是肯定的，這就是亥姆霍茲定理。

亥姆霍茲定理:如果在體積v內(nèi)矢量場A的散度和旋度已知，在v的邊界S上A的值也已知，則在v內(nèi)任意一點A的值能唯一確定。

這一定理的證明略去。依此定理，可以將任一矢量場F分解為一個無旋場與一個無源場的和，即

F=F1+F2

其中F1是無旋場，F(xiàn)2是無源(散度源)場。同樣可以用一個矢量場在某個區(qū)域內(nèi)部的散度源和旋度源以及該場在邊界面上的值，把這個矢量場表示出來，即上述表達(dá)式的第一項就是無旋場部分，第二項是無源(散度源)場部分。當(dāng)產(chǎn)生場的源分布在有限區(qū)域，并且在無窮遠(yuǎn)處，所討論的場以足夠快的形式趨于零時，公式簡化為當(dāng)邊界面上的源分布對場的影響不可忽略時，亥姆霍茲公式如下：

其中，n是邊界面的外法向。上面假定的場在無窮遠(yuǎn)處，以足夠快的形式趨于零，就是指，當(dāng)產(chǎn)生場的源分布在有限區(qū)域時，上面公式中的面積分為零。至于足夠快的含義，不同的問題有不同的限定。我們分別在靜態(tài)場的解和電磁波的輻射等章節(jié)給出論述和說明。

1.7圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系

1.7.1圓柱坐標(biāo)系

前面我們學(xué)過梯度、散度、旋度都是與坐標(biāo)系無關(guān)的量，但是許多問題在直角坐標(biāo)系中計算很麻煩。這時采取其他坐標(biāo)系分析較簡便。本節(jié)介紹兩種重要的坐標(biāo)系:圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系。

1.圓柱坐標(biāo)系的度量系數(shù)

圓柱坐標(biāo)系用三個數(shù)(ρ，f，z)表示空間一個點，其中ρ是點M到oz軸的距離；f是過點M且以oz軸為界的半平面與xoz平面之間的夾角；z就是點M在直角坐標(biāo)(x，y，z)中的z坐標(biāo)(如圖1-12所示)。r，f，z的變化范圍是：

0≤ρ<∞，0≤f<2π，－∞<z<∞圓柱坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為(1-30)x=ρrcosf，y=ρsinf，z=z(1-31)稱ρ為常數(shù)的曲面為坐標(biāo)曲面ρ(同理有坐標(biāo)曲面f，坐標(biāo)曲面z)。稱坐標(biāo)曲面f與坐標(biāo)曲面z相交的曲線為坐標(biāo)曲線ρ(同理有坐標(biāo)曲線f，坐標(biāo)曲線z)。用eρ，ef，ez依次表示坐標(biāo)曲線ρ，f，z上的切線單位矢量，其正向分別指向ρ，f，z增加的一側(cè)。空間任一點，三個單位矢量滿足下列關(guān)系：(1-32)(1-33)(1-34)eρ·eρ＝ef·ef＝ez·ez＝1eρ·ef＝ef·ez＝ez·eρ＝0eρ×ef＝ez

，ef×ez＝eρ

，ez×eρ＝ef它們同直角坐標(biāo)的單位矢量之間的關(guān)系為(1-35)(1-36)我們首先推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)的度量系數(shù)。在坐標(biāo)變換公式(x=ρcosf，y=ρsinf，z=z)中，我們求沿著坐標(biāo)曲線的弧微分。令f和z不變，此時沿著二維半徑ρ的弧長在直角坐標(biāo)系的投影分別為dx=cosfdρ，dy=sinfdρ，dz=0。(dlρ)2=(dx)2+(dy)2=(dρ)2。規(guī)定弧長的正向和坐標(biāo)增加的方向一致。這樣就有dlρ=dρ。度量系數(shù)定義為坐標(biāo)曲線的弧長微分與坐標(biāo)微分的比，即hρ=dlρ/dρ=1。同理，可以算出另外兩個度量系數(shù)為hf=dlf/df=ρ；hz=dlz/dz=1。

有了度量系數(shù)，就會方便地寫出圓柱坐標(biāo)中的有向線元、有向面元即體積元如下：

dl=eρdρ+efρdf+ezdz(1-37)

dS=eρρdfdz+efdρdz+ezρdρdf(1-38)

dv=ρdρdfdz(1-39)

2.圓柱坐標(biāo)系中的場量微分

我們先推導(dǎo)圓柱坐標(biāo)系中梯度的運(yùn)算。我們采用梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系式，即某個方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。先求梯度在ρ方向的投影，由于這個方向的度量系數(shù)為1，很容易得到標(biāo)量函數(shù)u在ρ方向的方向?qū)?shù)等于

；同理可以求出另外兩個方向的方向?qū)?shù)，即

(1-40)這樣就得到在圓柱坐標(biāo)中，哈米爾頓算子為(1-41)設(shè)(1-42)A=eρAρ+efAf+ezAz

以下我們直接給出圓柱坐標(biāo)系的散度和旋度公式(1-43)(1-44)或(1-45)1.7.2球面坐標(biāo)系

1.球面坐標(biāo)系的度量系數(shù)

球坐標(biāo)系用三個數(shù)(r，θ，f)表示空間一個點M，其中r是點M到原點的距離；θ是有向線段oM與oz軸正向的夾角；f是過點M且以oz軸為界的半平面與xoz平面之間的夾角(如圖1-13所示)。r，θ，f的變化范圍是

0≤r<∞，0≤θ≤π，0≤f≤2π

(x，y，z)和(r，θ，f)的關(guān)系為

x=rsinθcosf，y=rsinθsinf，z=rcosθ(1-46)圖1-13球坐標(biāo)系

和圓柱坐標(biāo)類似，有坐標(biāo)曲面r，坐標(biāo)曲面θ，坐標(biāo)曲面f