2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之多選題

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之多選題一．多選題（共25小題）1．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，則A．雙曲線的離心率 B．若，則的漸近線方程為 C．若，則的漸近線方程為 D．若，則的漸近線方程為2．（2024?湖北模擬）在中，，，所對的邊為，，，設(shè)邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是A．若，則 B．的最大值為 C． D．角的最小值為3．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點是棱的中點，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長度為4．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點為正方形內(nèi)一點，當(dāng)平面時，的最大值為 C．過點，，的平面截正方體所得的截面周長為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為5．（2024?宜春模擬）已知，如果實數(shù)滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點”，則下列集合中以0為“開點”的集合有A．， B．， C． D．6．（2024?河池二模）若，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．7．（2024?浙江模擬）已知隨機變量，，其中，已知隨機變量的分布列如下表12345若，則A． B． C． D．8．（2024?滁州模擬）已知事件，滿足（A），（B），則下列結(jié)論正確的是A． B．如果，那么 C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨立，那么9．（2024?鹽湖區(qū)一模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則10．（2024?江西模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，，，時，．下列結(jié)論正確的是A． B． C．是奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞增11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點為，，、，是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為12．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點，點是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面13．（2024?青島模擬）已知動點，分別在圓和上，動點在軸上，則A．圓的半徑為3 B．圓和圓相離 C．的最小值為 D．過點作圓的切線，則切線長最短為14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則A．當(dāng)時，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為15．（2024?江西一模）下列說法正確的是A．用簡單隨機抽樣從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，個體被抽到的概率是0.2 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5 C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的分位數(shù)是17 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為1616．（2024?石家莊模擬）某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是A．三項比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人 C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人17．（2024?江西一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值可能是A． B． C．1 D．218．（2024?江西一模）已知正方體的棱長為1，是棱的中點，是平面上的動點（如圖），則下列說法正確的是A．若點在線段上，則平面 B．平面平面 C．若，則動點的軌跡為拋物線 D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐體積的取值范圍為19．（2024?隨州模擬）設(shè)正實數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值20．（2024?菏澤模擬）已知向量在向量方向上的投影向量為，向量，且與夾角，則向量可以為A． B． C． D．21．（2024?臨沂二模）已知是等差數(shù)列，是其前項和，則下列命題為真命題的是A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若和都為遞增數(shù)列，則22．（2024?浙江一模）已知正方形在平面直角坐標(biāo)系中，且，則直線的方程可能為A． B． C． D．23．（2024?泰安二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是A． B． C．為遞減數(shù)列 D．的前5項和為24．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)，，的平均數(shù)為6 B．?dāng)?shù)據(jù)，，的方差為9 C．?dāng)?shù)據(jù)，，，2的方差為1 D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為525．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，下列說法正確的是A．的最小正周期為 B．點為圖象的一個對稱中心 C．若在上有兩個實數(shù)根，則 D．若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之多選題參考答案與試題解析一．多選題（共25小題）1．（2024?屯溪區(qū)校級模擬）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，過的直線與圓相切于點，與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，則A．雙曲線的離心率 B．若，則的漸近線方程為 C．若，則的漸近線方程為 D．若，則的漸近線方程為【答案】【考點】求雙曲線的離心率；雙曲線的幾何特征；求雙曲線的漸近線方程【專題】數(shù)學(xué)運算；綜合法；計算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】利用，可得，與漸近線斜率相比較即可構(gòu)造不等式求得離心率，知正確；根據(jù)斜率關(guān)系可知直線為雙曲線的一條漸近線，利用可構(gòu)造方程求得正確；分別利用和可構(gòu)造方程求得正誤．【解答】解：對于，，，，，，，又與第二象限內(nèi)的漸近線交于點，，即，，，正確；對于，由知：，又，，直線即為雙曲線的一條漸近線，，，又，，，，，，，整理可得：，即，，，即，解得：，的漸近線方程為，錯誤；對于，，，，，整理可得：，即，，，的漸近線方程為，正確；對于，，，，，，，，整理可得：，，，即，的漸近線方程為，錯誤．故選：．【點評】本題考查雙曲線離心率、漸近線的求解問題，解題關(guān)鍵是能夠利用余弦定理和漸近線斜率構(gòu)造關(guān)于，，的方程，進而求得雙曲線的離心率和漸近線方程．是中檔題．2．（2024?湖北模擬）在中，，，所對的邊為，，，設(shè)邊上的中點為，的面積為，其中，，下列選項正確的是A．若，則 B．的最大值為 C． D．角的最小值為【答案】【考點】正弦定理【專題】轉(zhuǎn)化思想；計算題；數(shù)學(xué)運算；解三角形；綜合法【分析】對于，由余弦定理可求的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．對于，由已知利用基本不等式可求得，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．對于，由題意可得，兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運算，余弦定理即可求解．對于，利用基本不等式可求得，利用余弦定理可求，結(jié)合范圍，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：對于，若，，，由余弦定理，可得，可得，所以的面積為，故正確；對于，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時，可得，所以的面積為，故正確；對于，因為邊上的中點為，可得，所以兩邊平方，可得，可得，解得，故正確；對于，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，因為，可得，，所以的最大值為，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了余弦定理，三角形的面積公式，基本不等式，平面向量數(shù)量積的運算以及余弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．3．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動點，點是棱的中點，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長度為【答案】【考點】直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角【專題】轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想【分析】對于：利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值；對于：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，得出，，利用向量夾角公式即可求解；對于：求出平面的法向量為，0，，利用向量夾角公式即可求解；對于：由可得，即可求解．【解答】解：對于，（定值），故正確；以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，1，，設(shè)，，，，則，對于，，與的夾角滿足，故錯誤；對于，平面的法向量為，0，，直線與平面所成的角的正弦值為，故正確；對于，，2，，，由可得，化簡可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，所以的軌跡的長度為，正確．故選：．【點評】本題考查等體積法求體積以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．4．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點為正方形內(nèi)一點，當(dāng)平面時，的最大值為 C．過點，，的平面截正方體所得的截面周長為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為【答案】【考點】點、線、面間的距離計算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；球的體積和表面積【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運算；空間角；對應(yīng)思想；向量法【分析】對于：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在△中即為異面直線與所成的角，即可判定；對于：取的中點，的中點，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時取得最小值，即可判定；對于：過點、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點，分別以方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在△中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點、、的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于：取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定．【解答】解：對于選項，，在△中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故正確；對于選項，過點、、的平面截正方體，平面平面，則過點、、的平面必與與交于兩點，設(shè)過點、、的平面必與與分別交于、，過點、、的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過點、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點，分別以方向為軸、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，，，，，，，解得，，，，，在△中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點、、的平面截正方體所得的截面周長為．故正確；對于選項，取的中點，的中點，取的中點，連接，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時取得最小值，在△中，，，，在△中，，，，在△中，，，，如圖，在中，，即的最小值為，而的最大值為．故錯誤；對于選項，如圖所示，取的中點，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，．故項正確，故選：．【點評】本題考查線面角以及利用空間向量法解決球體相關(guān)問題，屬于中檔題．5．（2024?宜春模擬）已知，如果實數(shù)滿足對任意的，都存在，使得，則稱為集合的“開點”，則下列集合中以0為“開點”的集合有A．， B．， C． D．【答案】【考點】元素與集合關(guān)系的判斷【專題】綜合法；綜合題；集合；集合思想；數(shù)學(xué)運算【分析】由開點的定義和元素和集合的關(guān)系可求得結(jié)果．【解答】解：對于，對任意的，存在，使得，故正確；對于，假設(shè)集合，以0為“開點“，則對任意的，存在，，使得，當(dāng)時，該式不成立，故錯誤；對于，假設(shè)集合以0為“開點“，則對任意的，存在，使得，故正確；對于，集合，，，當(dāng)時，，時，使得不成立，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查元素和集合的關(guān)系，屬于中檔題．6．（2024?河池二模）若，則下列結(jié)論正確的是A． B． C． D．【答案】【考點】等式與不等式的性質(zhì)；不等關(guān)系與不等式【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：，，，，即，故正確；不妨取，，，，，顯然，故錯誤；，，，，即，故正確；，，，，，，正確．故選：．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，以及特殊值法，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024?浙江模擬）已知隨機變量，，其中，已知隨機變量的分布列如下表12345若，則A． B． C． D．【答案】【考點】離散型隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望）；離散型隨機變量及其分布列【專題】整體思想；概率與統(tǒng)計；綜合法；數(shù)學(xué)運算【分析】由已知結(jié)合概率的性質(zhì)及期望公式先檢驗，，然后再由期望及方差的性質(zhì)即可求解．【解答】解：由，可得，由，可得，從而得：，，故正確，錯誤，，故項正確，因為，所以．，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查離散型隨機變量及其分布列的求解，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024?滁州模擬）已知事件，滿足（A），（B），則下列結(jié)論正確的是A． B．如果，那么 C．如果與互斥，那么 D．如果與相互獨立，那么【答案】【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式；互斥事件與對立事件【專題】數(shù)學(xué)運算；定義法；概率與統(tǒng)計；方程思想【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概率公式逐個分析判斷即可．【解答】解：對于選項，，故錯誤；對于選項，如果，那么（A），故正確；對于選項，如果與互斥，那么（A）（B），故正確；對于選項，如果與相互獨立，那么，故正確．故選：．【點評】本題考查互斥事件和獨立事件的概率公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9．（2024?鹽湖區(qū)一模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則【答案】【考點】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【專題】轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；綜合法【分析】根據(jù)空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，即可分別求解．【解答】解：對選項，，，或與相交或與異面，選項錯誤；對選項，，，，選項正確；對選項，，，與內(nèi)的某條直線平行，也平行該直線，又，，選項正確；對選項，，，，，選項正確．故選：．【點評】本題考查空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10．（2024?江西模擬）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)，，，時，．下列結(jié)論正確的是A． B． C．是奇函數(shù) D．在上單調(diào)遞增【答案】【考點】函數(shù)的奇偶性；抽象函數(shù)的周期性【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；邏輯推理；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想【分析】令，可得；令及題意條件，可得（1）；令，可得當(dāng)時，；令，可得①，令，可得②，由①②可得，進而可判斷的正誤；由及賦值即可判斷的正誤；由可得，解方程組即可判斷的正誤；令，，及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷的正誤．【解答】解：令可得：；令可得：（1）（1）．因為當(dāng)，，時，，所以（1），所以（1）．令可得：，即，又因為當(dāng)，，時，，所以，所以，所以當(dāng)時，．令，可得①，所以，，兩式相加可得：．令，可得②．①②可得，化簡可得，所以是奇函數(shù)，故正確；由，可得（2）（1），（3）（2），（4）（3），，，故錯誤；由可得解得，故正確；令，，可得．令，則，，因為當(dāng)時，，所以，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增．因為在上為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，故正確．故選：．【點評】本題考查抽象函數(shù)的基本性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．11．（2024?鹽湖區(qū)一模）拋物線的焦點為，，、，是拋物線上的兩個動點，是線段的中點，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則A．若，則直線的斜率為或 B．若，則 C．若和不平行，則 D．若，則的最大值為【答案】【考點】直線與拋物線的綜合【專題】數(shù)學(xué)運算；計算題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；綜合法【分析】設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出的值，可判斷選項；利用拋物線的焦點弦公式可判斷選項；利用三角形三邊關(guān)系可判斷選項；利用余弦定理、基本不等式可判斷選項．【解答】解：易知拋物線的焦點為，對于選項，若直線與軸垂直，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，因為，則在直線上，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則△，由韋達定理可得，，因為，即，可得，即，所以，，可得，，解得，此時，直線的斜率為，對；對于選項，當(dāng)時，則在直線上，，則，對；對于選項，當(dāng)和不平行時，則、、三點不共線，所以，，錯；對于選項，設(shè)，，當(dāng)時，，由選項可得，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為，對．故選：．【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查圓錐曲線中的最值問題解決方法，是中檔題．12．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點，點是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面【答案】【考點】平面與平面垂直；直線與平面平行；平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】由題意可得過，，三點的平面為一個正六邊形，判斷出的真假；分別連接，和，，截面是等腰梯形，判斷出的真假；分別取，的中點，，易證顯然不平行平面，可判斷出的真假；平面，可判斷出的真假．【解答】解：對于：如圖經(jīng)過，，三點的平面為一個正六邊形，點在平面外，所以，，，四點不共面，所以選項錯誤；對于：分別連接，和，，則平面即平面，截面是等腰梯形，所以選項正確；對于：分別取，的中點，，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又，平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項錯誤；對于：因為，是等腰三角形，所以，所以，所以，因為，是，的中點，易證，由正方體可得平面，所以平面，又平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，故選項正確．故選：．【點評】本題考查直線與平面平行的證法及平面與平面垂直的證法，屬于中檔題．13．（2024?青島模擬）已知動點，分別在圓和上，動點在軸上，則A．圓的半徑為3 B．圓和圓相離 C．的最小值為 D．過點作圓的切線，則切線長最短為【答案】【考點】由圓與圓的位置關(guān)系求解圓的方程或參數(shù)【專題】轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；數(shù)學(xué)運算；綜合法【分析】項，根據(jù)圓的方程即可得；項，計算圓心距與半徑之間的關(guān)系；項，根據(jù)對稱性可得；項，利用勾股定理可得．【解答】解：的半徑為，錯誤；圓和圓圓心距為，則圓和圓相離；項，作關(guān)于軸的對稱點，則，所以，錯誤；項，點到圓的切線長最小時，軸，圓心到軸的距離為2，切線長的最小值為：，正確．故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．14．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點，點滿足，則A．當(dāng)時，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為【答案】【考點】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面所成的角；直線與平面垂直【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】根據(jù)三垂線定理及線面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式，線面角的求法，坐標(biāo)法求點面距，即可分別求解．【解答】解：對選項，當(dāng)時，與重合，根據(jù)三垂線定理易證，，從而可得平面，即平面，選項正確；對選項，與相交，到平面的距離不是定值，又的面積為定值，對任意，，三棱錐的體積不是定值，選項錯誤；對選項，當(dāng)時，與重合，此時易知平面，當(dāng)時，與重合，如圖，設(shè)，連接，，易知平面，又平面，平面平面，且平面平面，在平面的射影為，與平面所成角為，又易知，存在，，使得與平面所成的角為，選項正確；對選項，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對角線，，，當(dāng)時，為靠近的三等分點，建系如圖，則，0，，，2，，，，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，球心到平面的距離，平面截該正方體的外接球所得截面小圓半徑，平面截該正方體的外接球所得截面小圓的面積為，選項正確．故選：．【點評】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積變化問題，線面角的變化問題，球的截面面積的求解，三垂線定理的應(yīng)用，坐標(biāo)法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．15．（2024?江西一模）下列說法正確的是A．用簡單隨機抽樣從含有50個個體的總體中抽取一個容量為10的樣本，個體被抽到的概率是0.2 B．已知一組數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5 C．?dāng)?shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的分位數(shù)是17 D．若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為16【答案】【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；概率與統(tǒng)計；整體思想【分析】利用概率的定義即可判斷；根據(jù)平均數(shù)求得的值，然后利用方差公式求解即可判斷；根據(jù)百分位數(shù)的求法即可判斷；利用方差公式求解即可判斷．【解答】解：對于，一個總體含有50個個體，某個個體被抽到的概率為，以簡單隨機抽樣方式從該總體中抽取一個容量為10的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為，故正確；對于，數(shù)據(jù)1，2，，6，7的平均數(shù)是4，，這組數(shù)據(jù)的方差是，故錯誤；對于，8個數(shù)據(jù)50百分位為，第50百分位數(shù)為，故錯誤；對于，依題意，，則，所以數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為16，正確．故選：．【點評】本題主要考查了平均數(shù)、百分位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計算，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?石家莊模擬）某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是A．三項比賽都參加的有2人 B．只參加100米比賽的有3人 C．只參加400米比賽的有3人 D．只參加1500米比賽的有1人【答案】【考點】圖表示交并補混合運算【專題】集合；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；計算題；綜合法【分析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合求解．【解答】解：設(shè)參加100米、400米、1500米三個項目的集合分別為、、，則（A），（B），（C），，，，設(shè)，可得，解得，所以三項比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人，故選：．【點評】本題考查韋恩圖、交集等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．17．（2024?江西一模）已知函數(shù)，若不等式對任意的恒成立，則實數(shù)的取值可能是A． B． C．1 D．2【答案】【考點】函數(shù)恒成立問題【專題】綜合法；數(shù)學(xué)抽象；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；函數(shù)思想【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷對稱性，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，根據(jù)對稱性和單調(diào)性得出答案．【解答】解：因為，所以，即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．當(dāng)時，為增函數(shù)；令，則，時，，，所以，所以為增函數(shù)，所以當(dāng)時，為增函數(shù)．由對稱性可知，當(dāng)時，為減函數(shù)．因為恒成立，所以恒成立，即，解得．故選：．【點評】本題主要考查了函數(shù)的對稱性及單調(diào)性在不等式求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（2024?江西一模）已知正方體的棱長為1，是棱的中點，是平面上的動點（如圖），則下列說法正確的是A．若點在線段上，則平面 B．平面平面 C．若，則動點的軌跡為拋物線 D．以的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)過程中，三棱錐體積的取值范圍為【答案】【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；平面與平面垂直；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行；命題的真假判斷與應(yīng)用【專題】運動思想；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運算；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；綜合法【分析】證明面面平行，可得線面平行判定；由直線與平面垂直可得平面與平面垂直判斷；由雙曲線的定義求出點的軌跡判定；由運動思想求得三棱錐體積的取值范圍判斷．【解答】解：在正方體中，由，且，可得四邊形為平行四邊形，則，同理可得，由面面平行的判定可得平面平面，若點在線段上，則平面，得平面，故正確；由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得平面，又平面，平面平面，故正確；為定值，滿足的點在以為頂點，為軸的圓錐的側(cè)面上，又在平面上，且平面，點的運動軌跡是雙曲線，故錯誤；設(shè)，的中點分別為，，則點的運動軌跡是平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓，，，平面，則平面平面，設(shè)與圓的交點分別為，（點位于點，之間），可知當(dāng)點分別位于點，時，點到平面的距離分別取到最小值和最大值，且距離的最小值，距離的最大值．的面積，，．三棱錐體積的取值范圍為，故正確．故選：．【點評】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，綜合性強，難度較大．19．（2024?隨州模擬）設(shè)正實數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值【答案】【考點】基本不等式及其應(yīng)用【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；不等式的解法及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算【分析】由，根據(jù)，逐一判斷各選項即可．【解答】解：正實數(shù)，滿足，對于，即有，可得，即有，即有時，取得最小值4，故正確；對于，由，可得有最大值，故錯誤；對于，由，可得時，取得最大值，故正確；對于，由可得，則，當(dāng)時，取得最小值，故正確．綜上可得，，均正確．故選：．【點評】本題考查了基本不等式及其應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024?菏澤模擬）已知向量在向量方向上的投影向量為，向量，且與夾角，則向量可以為A． B． C． D．【答案】【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義；平面向量的投影向量【專題】平面向量及應(yīng)用；轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量的投影公式，以及向量的數(shù)量積運算，即可求解．【解答】解：向量，則，向量在向量方向上的投影向量為，與夾角，則，解得，故，對于，滿足，，符合題意，故正確；對于，，不符合題意，故錯誤；對于，，不符合題意，故錯誤；對于，滿足，，符合題意，故正確．故選：．【點評】本題主要考查向量的投影公式，以及向量的數(shù)量積運算，是基礎(chǔ)題．21．（2024?臨沂二模）已知是等差數(shù)列，是其前項和，則下列命題為真命題的是A．若，，則 B．若，則 C．若，則 D．若和都為遞增數(shù)列，則【答案】【考點】等差數(shù)列的前項和；等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】數(shù)學(xué)運算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】根據(jù)題意，求得，結(jié)合，可判定錯誤；根據(jù)數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定正確；由，求得，可判定正確；根據(jù)題意，求得任意的，，結(jié)合的正負(fù)不確定，可判定錯誤．【解答】解：對于中，由，，可得，所以，又由，所以錯誤；對于中，由，所以正確；對于中，由，所以，又因為，則，所以正確；對于中，因為為遞增數(shù)列，可得公差，因為為遞增數(shù)列，可得，所以對任意的，，但的正負(fù)不確定，所以錯誤．故選：．【點評】本題考查等比數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．22．（2024?浙江一模）已知正方形在平面直角坐標(biāo)系中，且，則直線的方程可能為A． B． C． D．【答案】【考點】直線的一般式方程與直線的性質(zhì)【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算【分析】直接利用直線的夾角公式求出結(jié)果．【解答】解：直線，整理得，由于直線的斜率為，設(shè)直線的斜率，利用直線的夾角公式，，解得或；故滿足條件的直線方程只有，錯誤．故選：．【點評】本題考查的知識點：直線的方程，夾角公式，主要考查學(xué)生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．23．（2024?泰安二模）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則下列說法正確的是A． B． C．為遞減數(shù)列 D．的前5項和為【答案】【考點】等差數(shù)列的前項和【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運算；等差數(shù)列與等比數(shù)列；綜合法【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再逐項求解判斷即可．【解答】解：等差數(shù)列中，，解得，而，因此公差，通項，對于，，錯誤；對于，，正確；對于，，為遞減數(shù)列，正確；對于，，所以的前5項和為，錯誤．故選：．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．24．（2024?九龍坡區(qū)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說法正確的是A．?dāng)?shù)據(jù)，，的平均數(shù)為6 B．?dāng)?shù)據(jù)，，的方差為9 C．?dāng)?shù)據(jù)，，，2的方差為1 D．?dāng)?shù)據(jù)的平均數(shù)為5【答案】【考點】用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)【專題】定義法；數(shù)學(xué)運算；概率與統(tǒng)計；方程思想【分析】利用平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)求解．【解答】解：樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，對于，數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，故錯誤；對于，數(shù)據(jù)，，的方差為，故正確；對于，數(shù)據(jù)，，，2的方差為，故錯誤；對于，樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，，，，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，故正確．故選：．【點評】本題考查平均數(shù)、方差的定義和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．25．（2024?河南模擬）已知函數(shù)，下列說法正確的是A．的最小正周期為 B．點為圖象的一個對稱中心 C．若在上有兩個實數(shù)根，則 D．若的導(dǎo)函數(shù)為，則函數(shù)的最大值為【答案】【考點】三角函數(shù)的最值；三角函數(shù)的周期性；正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性【專題】綜合法；數(shù)學(xué)運算；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；整體思想【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷出所給命題的真假．【解答】解：中，因為，所以函數(shù)的最小正周期，所以正確；中，因為，，所以不正確；中，，，可得，，當(dāng)，時，有唯一解，當(dāng)，，且時，兩解，所以，時，有兩解，所以正確；中，，所以，，所以當(dāng)，時，即，，函數(shù)，所以正確．故選：．【點評】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點卡片1．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或，…（10分）由，得，成立…（12分）故…（14分）點評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．Venn圖表示交并補混合運算【知識點的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．Venn圖表示N∩（?UM）為：．【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（）解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故陰影部分表示的集合是?R（M∪N）＝[0，8]．3．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實根”，因為“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要認(rèn)真區(qū)分．【解題方法點撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．4．等式與不等式的性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．5．不等關(guān)系與不等式【知識點的認(rèn)識】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如與就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞0就是不等式．不等式定理①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【命題方向】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集為{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當(dāng)ab＞0時，a＞b?．證明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，則∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．6．基本不等式及其應(yīng)用【知識點的認(rèn)識】基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式．其可表述為：兩個正實數(shù)的幾何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù)．公式為：≥（a≥0，b≥0），變形為ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．實例解析例1：下列結(jié)論中，錯用基本不等式做依據(jù)的是．A：a，b均為負(fù)數(shù)，則．B：．C：．D：．解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均滿足條件．對于C選項中sinx≠±2，不滿足“相等”的條件，再者sinx可以取到負(fù)值．故選：C．A選項告訴我們正數(shù)的要求是整個式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個組成元素；B分子其實可以寫成x2+1+1，然后除以分母就可換成基本不等式．這個例題告訴我們對于一個式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．例2：利用基本不等式求的最值？當(dāng)0＜x＜1時，如何求的最大值．解：當(dāng)x＝0時，y＝0，當(dāng)x≠0時，＝，用基本不等式若x＞0時，0＜y≤，若x＜0時，﹣≤y＜0，綜上得，可以得出﹣≤y≤，∴的最值是﹣與．這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0，沒有明確表示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個元素（函數(shù)）相加，而他們的特點是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果．【解題方法點撥】基本不等式的應(yīng)用1、求最值例1：求下列函數(shù)的值域．2、利用基本不等式證明不等式3、基本不等式與恒成立問題4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用【命題方向】技巧一：湊項點評：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù)，使其積為定值．技巧二：湊系數(shù)例2：當(dāng)0＜x＜4時，求y＝x（8﹣2x）的最大值．解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個式子積的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8為定值，故只需將y＝x（8﹣2x）湊上一個系數(shù)即可．y＝x（8﹣2x）＝[2x?（8﹣2x）]≤（）2＝8當(dāng)2x＝8﹣2x，即x＝2時取等號，當(dāng)x＝2時，y＝x（8﹣x2）的最大值為8．評注：本題無法直接運用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分離例3：求y＝的值域．解：本題看似無法運用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有（x+1）的項，再將其分離．y＝＝＝（x+1）++5，當(dāng)x＞﹣1，即x+1＞0時，y≥2+5＝9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取“＝”號）技巧四：換元對于上面例3，可先換元，令t＝x+1，化簡原式在分離求最值．技巧五：結(jié)合函數(shù)f（x）＝x+的單調(diào)性．技巧六：整體代換點評：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯．技巧七：取平方點評：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件．總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“一正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式．7．函數(shù)的奇偶性【知識點的認(rèn)識】①如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于（0，0）對稱．②如果函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．例題：函數(shù)y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶D．與p有關(guān)解：由題設(shè)知f（x）的定義域為R，關(guān)于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數(shù)．故選B．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．8．抽象函數(shù)的周期性【知識點的認(rèn)識】抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)．由于抽象函數(shù)表現(xiàn)形式的抽象性，使得這類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點之一．【解題方法點撥】①盡可能把抽象函數(shù)與我們數(shù)學(xué)的具體模型聯(lián)系起來，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；②可通過賦特殊值法使問題得以解決例：f（xy）＝f（x）+f（y），求證f（1）＝f（﹣1）＝0令x＝y(tǒng)＝1，則f（1）＝2f（1）?f（1）＝0令x＝y(tǒng)＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0③既然是函數(shù)，也可以運用相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)推斷它的單調(diào)性；【命題方向】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．抽象函數(shù)是一個重點，也是一個難點，解題的主要方法也就是我上面提到的這兩種．高考中一般以中檔題和小題為主，要引起重視．9．函數(shù)恒成立問題【知識點的認(rèn)識】函數(shù)恒成立問題是指在定義域或某一限定范圍內(nèi)，函數(shù)滿足某一條件（如恒大于0等），此時，函數(shù)中的參數(shù)成為限制了這一可能性（就是說某個參數(shù)的存在使得在有些情況下無法滿足要求的條件），因此，適當(dāng)?shù)姆蛛x參數(shù)能簡化解題過程．【解題方法點撥】﹣分析函數(shù)的定義域和形式，找出使函數(shù)恒成立的條件．﹣利用恒成立條件，確定函數(shù)的行為．一般恒成立問題最后都轉(zhuǎn)化為求最值得問題，常用的方法是分離參變量【命題方向】題目包括判斷函數(shù)恒成立條件及應(yīng)用題，考查學(xué)生對函數(shù)恒成立問題的理解和應(yīng)用能力．關(guān)于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_____．解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，對x∈R恒成立，∴mx2+mx+m＜1，∴?x∈R，m＜恒成立，∵x2+x+1＝（x+）2+≥，∴0＜≤，∴m≤0．10．三角函數(shù)的周期性【知識點的認(rèn)識】周期性①一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．②對于一個周期函數(shù)f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期．③函數(shù)y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ為常數(shù)，且A≠0，ω＞0）的周期T＝．【解題方法點撥】1．一點提醒求函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)注意ω的符號，只有當(dāng)ω＞0時，才能把ωx+φ看作一個整體，代入y＝sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解，否則將出現(xiàn)錯誤．2．兩類點y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五點是：零點和極值點（最值點）．3．求周期的三種方法①利用周期函數(shù)的定義．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期為．③利用圖象．圖象重復(fù)的x的長度．11．正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性【知識點的認(rèn)識】正弦函數(shù)的對稱性正弦函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，既然是奇函數(shù)，那么其圖象關(guān)于原點對稱，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函數(shù)具有周期性，其對稱軸為x＝kπ+，k∈z．【解題方法點撥】例：函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為x＝．解：由于函數(shù)y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x＝，而函數(shù)y＝sint的對稱軸為則，解得（k∈Z）則函數(shù)y＝sin2x+2sin2x的對稱軸方程為故答案為．這個題很有代表性，一般三角函數(shù)都是先化簡，化成一個單獨的正弦或者余弦函數(shù)，然后把2x﹣看成一個整體，最后根據(jù)公式把單調(diào)性求出來即可．【命題方向】這個考點非常重要，也很簡單，大家熟記這個公式，并能夠理解運用就可以了．12．三角函數(shù)的最值【知識點的認(rèn)識】三角函數(shù)的最值其實就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡和換元．化簡的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝+cos（2x+）．解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2?＝+（cos2x﹣sin2x）＝+cos（2x+）．故答案為：+cos（2x+）．這個題所用到的方法就是化簡成一個單一的三角函數(shù)，把一個復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨分析余弦函數(shù)的特點，最后把結(jié)果求出來．化簡當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開口向上，對稱軸是t＝∴當(dāng)t＝時函數(shù)有最小值，而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時或t＝1時函數(shù)值中的較大的那個∵t＝﹣1時，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時y的值即sinx＝﹣1時，函數(shù)的最大值為5．這個題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個一元二次函數(shù)，在換元的時候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個?？键c，主要方法我上面已經(jīng)寫了，大家要注意的是把一些基本的方法融會貫通，同時一定要注意函數(shù)的定義域和相對應(yīng)的值域．13．等差數(shù)列的性質(zhì)【知識點的認(rèn)識】等差數(shù)列如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．等差數(shù)列的通項公式為：an＝a1+（n﹣1）d；前n項和公式為：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，則有2am＝ap+aq（p，q，m都為自然數(shù)）等差數(shù)列的性質(zhì)（1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；（2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項和相等，并且等于首末兩項之和；（3）m，n∈N+，則am＝an+（m﹣n）d；（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，則as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項，特別地，當(dāng)s+t＝2p時，有as+at＝2ap；（5）若數(shù)列{an}，{bn}均是等差數(shù)列，則數(shù)列{man+kbn}仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)．（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍為等差數(shù)列，公差為﹣d．（7）從第二項開始起，每一項是與它相鄰兩項的等差中項，也是與它等距離的前后兩項的等差中項，即2an+1＝an+an+2，2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍為等差數(shù)列，公差為kd（首項不一定選a1）．【解題方法點撥】例：已知等差數(shù)列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6為方程x2﹣10x+16＝0的兩個實根．（1）求此數(shù)列{an}的通項公式；（2）268是不是此數(shù)列中的項？若是，是第多少項？若不是，說明理由．解：（1）由已知條件得a3＝2，a6＝8．又∵{an}為等差數(shù)列，設(shè)首項為a1，公差為d，∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n﹣4．（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．∴268是此數(shù)列的第136項．這是一個很典型的等差數(shù)列題，第一問告訴你第幾項和第幾項是多少，然后套用等差數(shù)列的通項公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首項和公差d，這樣等差數(shù)列就求出來了．第二問判斷某個數(shù)是不是等差數(shù)列的某一項，其實就是要你檢驗看符不符合通項公式，帶進去檢驗一下就是的．14．等差數(shù)列的前n項和【知識點的認(rèn)識】等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示．其求和公式為Sn＝na1+n（n﹣1）d或者Sn＝【解題方法點撥】eg1：設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn，若公差d＝1，S5＝15，則S10＝解：∵d＝1，S5＝15，∴5a1+d＝5a1+10＝15，即a1＝1，則S10＝10a1+d＝10+45＝55．故答案為：55點評：此題考查了等差數(shù)列的前n項和公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出首項a1的值，然后套用公式即可．eg2：等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．求數(shù)列{|an|}的前n項的和Tn．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝4n2﹣25n．∴an＝Sn﹣Sn﹣1＝（4n2﹣25n）﹣[4（n﹣1）2﹣25（n﹣1）]＝8n﹣29，該等差數(shù)列為﹣21，﹣13，﹣5，3，11，…前3項為負(fù)，其和為S3＝﹣39．∴n≤3時，Tn＝﹣Sn＝25n﹣4n2，n≥4，Tn＝Sn﹣2S3＝4n2﹣25n+78，∴．點評：本題考查等差數(shù)列的前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運用．其實方法都是一樣的，要么求出首項和公差，要么求出首項和第n項的值．【命題方向】等差數(shù)列比較常見，單獨考察等差數(shù)列的題也比較簡單，一般單獨考察是以小題出現(xiàn)，大題一般要考察的話會結(jié)合等比數(shù)列的相關(guān)知識考察，特別是錯位相減法的運用．15．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義【知識點的認(rèn)識】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量，如果以O(shè)為起點，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運算：（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號由cosθ決定；②符號“?”在數(shù)量積運算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的積．16．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【知識點的認(rèn)識】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運算平面向量數(shù)量積運算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運算法則和數(shù)的運算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【命題方向】本知識點應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點，希望大家都掌握．17．平面向量的投影向量【知識點的認(rèn)識】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設(shè)，是兩個非零向量，，，考慮如下的變換：過AB的起點A和終點B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．向量在向量上的投影向量是．【解題方法點撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個方向上的單位向量．（1）向量在向量上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量，且與共線，其方向由向量和夾角θ的余弦值決定．（2）注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量為．【命題方向】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點到平面的距離．18．正弦定理【知識點的認(rèn)識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【解題方法點撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．19．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點．高：棱中兩個底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．20．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點的認(rèn)識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．21．球的體積和表面積【知識點的認(rèn)識】1．球體：在空間中，到定點的距離等于或小于定長的點的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點距離等于定長的點的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運用，常見結(jié)合其他空間幾何體進行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．22．平面的基本性質(zhì)及推論【知識點的認(rèn)識】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，則這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點，有且只有一個平面．①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．②推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．③推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．3．公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，且這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．【解題方法點撥】1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個平面相交的依據(jù)．23．異面直線及其所成的角【知識點的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：24．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】空間兩條直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系共面情況公共點個數(shù)圖示相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個平行直線在同一平面內(nèi)無異面直線不同時在任何一個平面內(nèi)無25．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點個數(shù)符號表示圖示直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點a?α直線和平面相交有且只有一個公共點a∩α＝A直線和平面平行無a∥α26．直線與平面平行【知識點的認(rèn)識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．27．直線與平面垂直【知識點的認(rèn)識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．28．平面與平面之間的位置關(guān)系【知識點的認(rèn)識】平面與平面之間的位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點個數(shù)符號表示圖示兩平面平行無α∥β兩平面相交有一條公共直線α∩β＝l29．平面與平面垂直【知識點的認(rèn)識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．30．直線與平面所成的角【知識點的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣作出斜線與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成