2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，，若，則a等于A．或3 B．0或 C．3 D．2．若扇形的弧長是8，面積是16，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．53．已知函數(shù)，則的值為A．4 B． C． D．已知函數(shù)（其中a，b為常數(shù)，且b<a），若的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象是B．C． D．5．計(jì)算：A．＋1 B．1 C．－1 D．－+16．已知，則A． B． C． D．7．沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時(shí)間的裝置.現(xiàn)有一個(gè)沙漏（如圖）上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過時(shí)剩余的細(xì)沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過時(shí)，上方還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開始時(shí)的，需經(jīng)過的時(shí)間為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，.若對于，，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9．若角的終邊上有一點(diǎn)，則的值可以是A． B． C． D．10．下列說法不正確的是A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1或211．已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下列說法正確的是A．B．是奇函數(shù)C．若，則D．若當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12．計(jì)算：=eq\o(▲,________)．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是eq\o(▲,________)．14．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是eq\o(▲,________)．四、解答題：本大題共5小題，共77分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15．設(shè)全集，，．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求A∩B，(CUA)∪B；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．16．已知角滿足.(1)若，求的值；(2)若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，求的值.17.如圖所示，將一個(gè)矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點(diǎn)C，已知AB長為4米，AD長為3米，設(shè)米．(1)要使矩形花壇AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)；(2)要使矩形花壇AMPN的擴(kuò)建部分鋪上大理石，則AN的長度是多少時(shí)，用料最省？18．已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).(1)求的值；(2)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得的最小值為0？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.19．對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，其中k為整數(shù)，則稱函數(shù)為定義域上的“k階局部奇函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“2階局部奇函數(shù)”？并說明理由；（2）若是上的“1階局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若，對任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“k階局部奇函數(shù)”，求整數(shù)k取值的集合.（）2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知集合，，若，則a等于A．或3 B．0或 C．3 D．【正確答案】C【分析】依題意可得，求出的值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)椋?，即，解得或，?dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，故舍去，當(dāng)時(shí)，，符合題意.故選：C2．若扇形的弧長是8，面積是16，則這個(gè)扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【正確答案】A【分析】利用扇形的面積、弧長公式求圓心角的弧度即可.【詳解】令扇形的圓心角的弧度數(shù)為，半徑為，則，即，又，故.故選：A3．已知函數(shù)，則的值為（

）A．4 B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，即可根據(jù)自變量的范圍代入求值.【詳解】，,故，故選：C.已知函數(shù)（其中，為常數(shù)，且），若的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象是（

）B．C． D．【正確答案】A【分析】由圖可得，計(jì)算出并結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】由圖可得，則有，且該函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，故B、C、D錯(cuò)誤，A正確.故選：A.5．計(jì)算（）A．＋1 B．1 C．－1 D．－+1【正確答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式和特殊角的函數(shù)值求解即可.【詳解】原式.故答案為.6．已知，則（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合中間量法即可得解.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.7．沙漏也叫做沙鐘，是一種測量時(shí)間的裝置.現(xiàn)有一個(gè)沙漏（如圖）上方裝有的細(xì)沙，細(xì)沙從中間小孔由上方慢慢漏下，經(jīng)過時(shí)剩余的細(xì)沙量為，且（b為常數(shù)），經(jīng)過時(shí)，上方還剩下一半細(xì)沙，要使上方細(xì)沙是開始時(shí)的，需經(jīng)過的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】依題意有，解得，，由此能得出結(jié)果．【詳解】依題意有，即，兩邊取對數(shù)得，所以，得到，當(dāng)容器中只有開始時(shí)的時(shí)，則有，所以，兩邊取對數(shù)得，所以，故選：C．8．已知函數(shù)，.若對于，，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】把，，成立，轉(zhuǎn)化為，逐步求解，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所?設(shè)，因?yàn)?，即所以在單調(diào)遞增，最小值為，因?yàn)椋?，，即，所以，令，易得，所以，即，顯然在的最小值為0，所以，即的取值范圍為.故選：B二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上．全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有錯(cuò)選的得0分．9．若角的終邊上有一點(diǎn)，則的值可以是（

）A． B． C． D．【正確答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算，注意分類討論．【詳解】若的終邊上有一點(diǎn)，則，，所以.故選：AD.10．下列說法不正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽．函數(shù)是減函數(shù)C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱D．冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1或2【正確答案】ABD【分析】對于A：根據(jù)抽象函數(shù)的定義域分析求解；對于B：根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性；對于C：根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性結(jié)合函數(shù)平移分析判斷；對于D：根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)列式求解.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域?yàn)?，由得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對于B，函數(shù)在和上是減函數(shù)，在整個(gè)定義域內(nèi)不為減函數(shù)，B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)的圖象的對稱中心為，將函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，所以函數(shù)的對稱中心為，C正確；對于D，因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)且在上為減函數(shù)，所以，解得，D錯(cuò)誤．故選：ABD．11．已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，對于任意都滿足，則下列說法正確的是（

）A．B．是奇函數(shù)C．若，則D．若當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減【正確答案】ABD【分析】對于A選項(xiàng)，令即可；對于B選項(xiàng)，令，令即可；對于C選項(xiàng)，令，即可；對于D選項(xiàng)，由得，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義即可.【詳解】因?yàn)?，所以令，得，故A正確；令，得，所以，令，得，所以，令，得，又，所以，又因?yàn)槎x域?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，故正確；令，得，又，所以，故C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由，可得，又，，在上任取，不妨設(shè)，，，故，在單調(diào)遞減，故D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于對和準(zhǔn)確的賦值以及對單調(diào)性定義計(jì)算的精簡.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．12．計(jì)算：=eq\o(▲,________)．【正確答案】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)以及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解出結(jié)果.【詳解】原式，故答案為.13．若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是eq\o(▲,________)．【正確答案】【分析】令，由題設(shè)易知在上為增函數(shù)且恒大于零，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式組求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)，令，而為增函數(shù)，∴要使在上是增函數(shù)，即在上為增函數(shù)且恒大于零，，可得，∴的取值范圍是.故14．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是eq\o(▲,________)．【正確答案】【分析】依題意可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)討論，和時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性與值域，即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，定義域?yàn)?，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，則，于是；當(dāng)時(shí)，則，于是；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，的值域?yàn)?故答案為.四、解答題：本大題共5小題，共77分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15．設(shè)全集，，．(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求A∩B，(CUA)∪B；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【正確答案】(1)；或x≥0(2)【分析】（1）解不等式可得集合，將代入解出集合，根據(jù)集合基本運(yùn)算即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)題意可得集合是集合的真子集，根據(jù)集合間的基本關(guān)系即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）令可得，解得，…………2分所以，或當(dāng)時(shí)，，所以，…………4分或x≥0.…………6分（2）由“”是“”的充分不必要條件可得，集合是集合的真子集，…………8分又，所以，…………11分解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．…………13分16．已知角滿足.(1)若，求的值；(2)若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，求的值.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）確定，根據(jù)，結(jié)合角度范圍解得答案.（2）確定，，，變換，計(jì)算得到答案.【詳解】（1），即，又，故，，-----------------3分又，故，------------------5分.------------------------7分（2）角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則，----------9分，-----------11分，---------13分故.-----------------15分17．如圖所示，將一個(gè)矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求M在射線AB上，N在射線AD上，且對角線MN過點(diǎn)C，已知AB長為4米，AD長為3米，設(shè)米．(1)要使矩形花壇AMPN的面積大于54平方米，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)；(2)要使矩形花壇AMPN的擴(kuò)建部分鋪上大理石，則AN的長度是多少時(shí)，用料最省？【正確答案】(1)(2)米時(shí)，用料最?。痉治觥浚?）由，取得，得到AMPN面積等于，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可求解；（2）求得到擴(kuò)建部分面積，令，可得，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由，可得，則，則，…2分花壇AMPN面積等于，…………3分由題意，…………4分可得，即，解得或，所以AN的長應(yīng)在范圍內(nèi).…………7分（2）解：根據(jù)題意，可得擴(kuò)建部分面積，…………10分令，可得，…………14分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號成立，即米時(shí)，用料最省．…………15分

18．已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).(1)求的值；(2)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)，使得的最小值為0？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】(1)；(2)存在.【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)得到恒等式，求參數(shù)值即可；（2）由題設(shè)有，應(yīng)用換元法，令且，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，討論對稱軸與區(qū)間的位置研究最小值，即可得參數(shù)值.【詳解】（1）因函數(shù)（）是偶函數(shù)，故，-----------2分因x∈R且不恒為0，故，得.-------------5分（2）由（1），得，-----------7分則，--------9分設(shè)，因，則，，其對稱軸為，---------10分當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得，不符題意，舍去；---------------12分當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上先減后增，故，解得，故；----------------------14分當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，解得，不符題意，舍去.------------------------------16分故存在，使得0.-----------------0.-----------------17分19．對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x，滿足，其中k為整數(shù)，則稱函數(shù)為定義域上的“k階局部奇函數(shù)”.（1）已知函數(shù)，試判斷是否為上的“2階局部奇函數(shù)”？并說明理由；（2）若是上的“1階局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）若，對任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“k階局部奇函數(shù)”，求整數(shù)k取值的集合.【正確答案】（1）是，理由見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)題意，為上的“2階局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程在上有解，列出方程，解方程即可；（2）由“1階局部奇函數(shù)”的定義，列出方程，討論方程成立并有解時(shí)參數(shù)的取值范圍；（3）根據(jù)“k階局部奇函數(shù)”的定義，轉(zhuǎn)化對任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)恒為上的“k階局部奇函數(shù)”，為對任意的實(shí)數(shù)恒成立問題，討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，不為零時(shí)討論Δ≥0恒成立，再令，求解，即可.【詳解】（1）為上的“2階局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程在上