機器人建模與控制課件：機器人運動控制

機器人建模與控制

機器人運動控制在第i關節(jié)電機的電樞兩端施加電樞電壓Vi(t)，則有電樞電流iai(t)，因iai(t)在定子磁場中，會產生定子對轉子的力矩τmi(t)，該力矩會改變轉子轉速(電機轉速)dθmi(t)/dt，其大小與電流成正比，τmi(t)=

Kmiiai(t)，Kmi是電機的扭矩常數(shù)當轉子轉動時，電樞切割定子磁力線，電樞電路中會出現(xiàn)反電動勢Vbi(t)，其大小與轉速成正比，Vbi(t)=

Kbidθmi(t)/dt，Kbi是電機的反電動勢常數(shù)8.1.1

電機及電機驅動器直流電機包括定子和轉子，轉子的主要部分是可通電的電樞(線圈繞組)記電樞電感為Li

，電樞電阻為Ri

，電樞電路方程：

Lidiai(t)/dt+Riiai(t)=

Vi(t)–Kbidθmi(t)/dt功率模塊相當于放大器Vi(t)=

Kciui(t)，

Kci為可調增益，ui(t)為第i關節(jié)控制電壓功率模塊

9mi

(t)Tmi

(t)Vbi

(t)

8.1

獨立關節(jié)控制

+

+ui

(t)

Kci

Vi

(t)??+?iai

(t)RiLi8.1.2

減速器及關節(jié)模型摩擦當物體與另一物體沿接觸面的切線方向運動或有相對運動的趨勢時，在兩物體的接觸面之間有阻礙它們相對運動的作用力，這種力叫摩擦力。接觸面之間的這種現(xiàn)象或特性叫“摩擦”摩擦分為靜摩擦和動摩擦按動摩擦表面的潤滑狀態(tài)，摩擦可分為干摩擦、邊界摩擦和流體(粘性)摩擦干摩擦：摩擦副表面直接接觸，沒有潤滑劑存在時的摩擦

干摩擦力=法向力×干摩擦系數(shù)流體(粘性)摩擦：流體潤滑狀態(tài)下的摩擦。當流體為層流狀時：粘性摩擦力=物體相對運動速度×粘性摩擦系數(shù)邊界摩擦相當于干摩擦和流體摩擦之間的一種狀態(tài)8.1

獨立關節(jié)控制τi(t)為高速側對低速側的作用力的力矩(關節(jié)力矩)τai(t)為低速側對高速側的反作用力的力矩τi(t)=riτai(t)Bmi是轉子軸承的粘性摩擦系數(shù)，粘性摩擦力矩=角速度×粘性摩擦系數(shù)Jmi為高速側的轉動慣量高速側力矩平衡：Jmid2

θmi(t)/dt2

=

τmi(t)–τai(t)–Bmidθmi(t)/dt

即Jmid2

θmi(t)/dt2

+Bmidθmi(t)/dt

=

τmi(t)–τi(t)/ri9電機轉子通過傳動比為ri

:1的齒輪減速器與第i連桿相連電機轉角與關節(jié)角度的關系：θmi(t)=ri

θi(t)8.1

獨立關節(jié)控制第i連桿9mi

(t)Tmi

(t)Tai

(t)9i

(t)Ti

(t)ri

:1BmiJmi在帶有明暗方格的碼盤兩側，安放發(fā)光元件和光敏元件隨著碼盤的旋轉，光敏元件輸出的波形經整形后變成脈沖根據(jù)脈沖計數(shù)，可以測量固定在碼盤上的轉軸的角位移根據(jù)A相信號和B相信號間的關系，可以判斷旋轉方向碼盤上有Z相標志信號，每轉一圈輸出一個脈沖，可用于確定零位根據(jù)單位時間內的脈沖計數(shù)(高速)或兩個相鄰脈沖的時間間隔(低速)

，可以測量固定在碼盤上的轉軸的角速度8.1.3

旋轉編碼器及關節(jié)傳遞函數(shù)模型8.1

獨立關節(jié)控制9i

(s)

=

Kmi

/

ri

9i

(s)

=

?(Li

s

+

Ri

)

/

ri

Vi

(s)

s[(Li

s

+

Ri

)(Jmi

s

+

Bmi

)

+

Kbi

Kmi

]

Ti

(s)s[(Li

s

+Ri

)(Jmi

s

+Bmi

)+Kbi

Kmi

]因電氣時間常數(shù)Li/Ri遠比1小，假設Li/Ri為零，得22τmi(t)=

Kmiiai(t)Lidiai(t)/dt+Riiai(t)=

Vi(t)–Kbidθmi(t)/dt

θmi(t)=ri

θi(t)9i

(s)

?1

/

ri

Ti

(s)s[Jmi

s

+Bmi

+Kbi

Kmi

/Ri

]Ui

(t)=(Kmi

/ri

Ri

)Vi

(t),Di

(t)=Ti

(t)/ri

2

Ji

=

Jmi

,

Bi

=

Bmi

+

Kbi

Kmi

/

Ri229i

(s)

Kmi

/

ri

Ri

Vi

(s)s[Jmi

s

+Bmi

+Kbi

Kmi

/Ri

]Jmid2

θmi(t)/dt2

+Bmidθmi(t)/dt

=

τmi(t)–τi(t)/ri8.1

獨立關節(jié)控制KbiKmis9mi

(s)

9mi

(s)

9i

(s)

1

Li

s

+Ri

?1Ji

s

+

Bi 1i

sDi

(s)?Jmi

s

+

BmiTmi

(s)s9i

(s)Ui

(s)9i

(s)Ti

(s)iai

(s)Vi

(s)

1i1s==?rr11機器人的每個軸都被作為一個單輸入/單輸出(SISO)系統(tǒng)來控制由于其他關節(jié)的運動而引起的耦合效應被包含在干擾中設計控制算法，保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，并較好地跟蹤參考軌跡和減小干擾的影響8.1

獨立關節(jié)控制功率放大器關節(jié)i的

參考軌跡傳感器控制器關節(jié)i干擾輸出+ei

(s)

=

2s

+

s(B

+

K

)

/

J

9di

(s)

+

Di

(s)s

+s(Bi

+KDi

)/Ji

+KPi

/Ji

s

+s(Bi

+KDi

)/Ji

+

KPi

/Ji特征方程s2

+s(Bi

+KDi

)/Ji

+KPi

/Ji

=s2

+2匕iOi

s

+Oi2自然頻率ωi

，阻尼系數(shù)ζi

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定22222222222222iiDiDii21sUi

(t)=(Kmi

Kci

/ri

Ri

)ui

(t)=Ki

ui

(t)9di

(s)ei

(s)8.1.4

考慮階躍輸入的PD控制器設計Ui

(t)=(Kmi

/ri

Ri

)Vi

(t)Vi(t)=

Kciui(t)8.1

獨立關節(jié)控制偏差ei(t)=θdi(t)–θi(t)Ksi微分系數(shù)KDi

=

KiKsi比例系數(shù)KPi

=KiKeiDi

(s)?

9i

(s)Di

(s)Ui

(s)

?Ki?KDi

ss(Ji

s

+Bi

)Ji

s

+Bis9i

(s)9di

(s)Ui

(s)9i

(s)ui

(s)ei

(s)KeiK???11Pi通常取ζi=1常使得響應是臨界阻尼，以產生最快的非振動響應。在這種情況下，

ωi

決定響應的速度8.1

獨立關節(jié)控制階躍響應(有干擾di(t)=40)階躍響應(無干擾di(t)=0)特征方程s3

+s2

(Bi

+KDi

)/Ji

+sKPi

/Ji

+

KIi

/Ji由Routh判據(jù)可知，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是KIi

<(Bi

+KDi)KPi/JiKi1s1s(Ji

s

+Bi

)8.1.5

考慮階躍輸入的PID控制器設計8.1

獨立關節(jié)控制Ksi積分系數(shù)KIi

=

KiKfiUi

(s)Di

(s)?KPi

+

Kei

+

KDi

s9di

(s)ei

(s)9di

(s)ei

(s)Di

(s)?

?Ji

s

+Bis9i

(s)Ui

(s)9i

(s)9i

(s)ui

(s)???1在控制器中增加積分環(huán)節(jié)，主要是為了消除穩(wěn)態(tài)誤差階躍響應(有干擾di(t)=40)8.1

獨立關節(jié)控制8.1.6

考慮二階可導輸入的PID控制器設計若θdi(t)二階可導，可增加前饋提高控制性能，如下面的前饋+PID控制Ki1sei

(s)=3

2

i

Di

(s)s

+s(Bi

+KDi

)/Ji

+sKPi

/Ji

+KIi

/

Ji在階躍干擾時，對任意的二次可導參考軌跡，跟蹤誤差以漸近方式趨于零1s(Ji

s

+Bi

)引入前饋可以使偏差與θdi(t)的變化無關8.1

獨立關節(jié)控制

s/

J

Ksis

J2i

/Ki

+s(Bi

/Ki

+Ksi

)Ji

s2

+Bi

sKPi

+

+

KDi

sDi

(s)Ui

(s)

?Kei

+

Di

(s)?Ji

s

+Bis9i

(s)9di

(s)9di

(s)9i

(s)ui

(s)ei

(s)ei

(s)9i

(s)???1例：a1和a2分別為兩連桿的長度l1和l2分別為兩連桿質心到各自關節(jié)軸之間的距離機器人的勢能為

u

=

m1gl1s1

+

m2

g(a1s1

+

l2s12

)

+

mr

2ga1s1機器人的動能為1

2

2

2

2

2

2k

=2

(m1l1

+m2

a1

+2m2

a1l2

c2

+m2

l2

+mr

2a1

+J1

+J2

+n1

Jr1

+Jr

2)912

1

2

2

2+(m2

a1l2

c2

+m2l2

+J2

+n2

Jr

2)9192

+2

(m2

l2

+J2

+n2

Jr

2)92利用拉格朗日方法可建立機器人動力學模型2C

C1118.2

計算轉矩前饋控制CC221m

Jrm

Jmmr1JJr1r22220011221關節(jié)1處的動力學模型

Uc1

?ba1

+2n1bm1

+

91=(m1l

+m2

(a

+2a1l2

c2

+l)+mr

2a

+J1

+J2

+n12

Jr1

+Jr

2)91

?2m2

a1l2s29192

+(m2

(a1l2

c2

+l)+J2

+n2

Jr

2)92

?m2

a1l2

s2922

+m1gl1c1

+m2

g(a1c1

+l2

c12

)+mr

2ga1c1按照獨立關節(jié)控制的思路，此模型等價為=

Kc1Uc1

?Tc1式中Jc1

=

Ja1

+2n1Jm1

Ja1

=m1l

+m2

(a

+2a1l2

c2

+l)+mr

2a

+J1

+J2

+Jr

2

Jm1

=

Jr1Tc1

=2m2

a1l2

(c2

?c2

)91

+(m2

(a1l2

c2

+l)+J2

+n2

Jr

2)92?2m2

a1l2

s29192

?m2

a1l2s2922

+m1gl1c1

+m2

g(a1c1

+l2c12

)+mr

2ga1c1

c2

是c2變化范圍的中值Bci

=bai

+ni2bmi

+

K

=

niCTi

kuici

Rmi221222121222122212128.2

計算轉矩前饋控制類似可得關節(jié)2處的模型由前述模型可見，即使是采取獨立關節(jié)控制，也還是需要掌握機器人整體動力學模型的信息，因為某些獨立關節(jié)模型的參數(shù)可能會涉及其它關節(jié)同時，也可以看到干擾轉矩非常復雜，它們與關節(jié)的角度、角速度、角加速度甚至關節(jié)角度變化范圍等等都有關系。對干擾力矩進行估計，并利用估計結果補償干擾力矩，即形成有利于抑制復雜干擾力矩的計算轉矩前饋控制策略如：對干擾力矩1的估計式為1

=2m2a1l2

(cd

2

?c2

)9d

1

+(m2

(a1l2cd

2

+l

)+J2

+n2Jr

2)9d

2?2m2a1l2sd

29d19d

2

?m2a1l2sd

29d22

+m1gl1cd1

+m2g(a1cd1

+l2cd12)+mr

2ga1cd1

式中

cd1

=cos9d1,sd

2

=sin9d

2

,cd

2

=cos9d

2

,cd12

=cos(9d1

+9d1)對于關節(jié)1，在帶前饋的PID控制中引入計算轉矩前饋，可得到如下控制方案：Uc1(s)

=

kP1

+

kI1

91(s)

?

kD1o1(s)

+

Jc

1

s29

c

1

1(s)cT八22cT八cT

s

)Kc1

Kc1

)

Kc18.2

計算轉矩前饋控制8.3.1

電機電流控制引入電流反饋會削弱關節(jié)的抗干擾能力，考慮到獨立關節(jié)控制對各關節(jié)的抗干擾能力要求甚高，所以在獨立關節(jié)控制中不使用電流反饋在獨立關節(jié)控制中，將各關節(jié)電機視為運動部件，重點關注轉速ωi

，由轉速積分為θi

進而形成機器人運動完成要求的作業(yè)在獨立關節(jié)控制中各關節(jié)電機控制的目標是讓轉角跟蹤期望曲線與獨立關節(jié)控制不同，集中控制是將各關節(jié)電機視為出力部件，重點關注轉矩Tei

，由關節(jié)電機的轉矩驅動機器人運動完成要求的作業(yè)。由于電機轉矩與電流成正比，在集中控制中各關節(jié)電機控制的目標是讓電機電流跟蹤期望電流。這種電流跟蹤控制顯然需要使用電流反饋，因此在集中控制中是離不開電流反饋的8.3

集中控制「9d1(t)]給定軌跡|9d

2(t)

||

|

L9dn

(t)」8.3.2

集中控制的被控對象模型電機功率模塊減速器考慮電動轉動關節(jié)型機械臂機器人機構

軌跡規(guī)劃

8.3

集中控制正運動學「u1

(t)]控制電壓|u2

(t)

|「91

(t)]被控軌跡|92

(t)

|「t1

(t)]關節(jié)力矩|t2

(t)

|任務機器人結構環(huán)境|

||

|||Lun

(t)」||||||L

(t)」n9|

|||||Ltn

(t)」(被控對象)(執(zhí)行器)|

||

|笛卡爾空間軌跡對n關節(jié)的轉動關節(jié)型機械臂，設旋轉關節(jié)無摩擦「91

(t)]

「T1

(t)]||||||||L

(t)」LTn

(t)」由理論力學可導出機器人機構的動力學方程M(9(t))9(t)+C(9(t),9(t))9(t)+G(9(t))=T(t)或簡記為M(9)9+C(9,9)9+G(9)=

TM(9)是一個依賴于9的n

n

正定矩陣C(9,9)是一個依賴于9和9的n

n

矩陣G(9)是一個依賴于9的n1向量n9令：關節(jié)角向量9(t)

=

|92

(t)

|，關節(jié)力矩向量T(t)

=

|T2

(t)

|||

||8.3

集中控制有電機執(zhí)行機構動力學：J9+B9=

v

?t機器人機構動力學：M(9)9+C(9,9)9+G(9)=t忽略摩擦：B

=0，并聯(lián)合兩個動力學方程，得(M(9)+J)9+C(9,9)9+G(9)=v多變量模型：W(9)9+C(9,9)9+G(9)=v

W(9)=M(9)+J正定]「r12

K1u1

]||||

,

v

=

|

|

2rnBn

」||L2rnKnun

」|Ui

(s)Di

(s)?將電機執(zhí)行單元的動力學與機器人機構的動力學進行聯(lián)合Di

(t)=ti

(t)/ri2

Ji9i

+Bi9i

=Ki

ui

?ti

ri

2「r12

J1令J

=

|8.3

集中控制]「r12

B1|||

,

B

=

|1Ji

s

+Bi

2rnJn

」|Ki1ss9i

(s)9i

(s)ui

(s)L|L閉環(huán)系統(tǒng)方程

W9+

C9

=

KP

e

?

KD9「e

]「e

]「?9

]取其狀態(tài)

|L9」|

，得狀態(tài)方程

|L9」|

?1KP

e

?W

?1(KD

+

C)9用李雅普諾夫函數(shù)法分析該自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性8.3.3

重力補償PD控制被控對象模型]「KD1|

||

,

KD

=

|KPn

」||L「KP1|KP

=

||L8.3

集中控制e

=9d

?9,9d

為定常向量W(9)9+C(9,9)9+G(9)=v]||KDn

」|v

=KP

e

?KD9+G(9)控制律定理：設自治系統(tǒng)x

=

f

(x)有平衡狀態(tài)w=0，如果存在定義于n

上的、具有連續(xù)一階偏導數(shù)的標量函數(shù)V(x)，滿足以下條件：1)V(x)正定2)V(x)

半負定3)在該系統(tǒng)任意的從非零狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌跡上，V(x)

不恒為零4)當x

→，有

V(x)→那么該自治系統(tǒng)在w=0是大范圍漸近穩(wěn)定的對于標量函數(shù)V:n

→:x

V(x)，若對于任意非零x有V(x)>0且V(0)=0，則稱V(x)正定；若對于任意非零x有V(x)≥0且V(0)=0，則稱V(x)半正定V(x)負定當且僅當–V(x)正定；V(x)半負定當且僅當–V(x)半正定8.3

集中控制引理：若A=n人n

是反對稱矩陣，則Vx=n

，有xT

Ax

=0證：由題設知A

+

AT

=

0，則xT

(A

+A)xT

=x

Ax

+x

ATTT

x

=0注意到x

A

xTT

=(x

Ax)TT

=x

AxT因此x

AxT

=0「0

?3例：對于反對稱矩陣A

=

3

0

|L?7

?17]1

|

，有0」|0

1

|

|x2

|

?1

0」||Lx3

」|=?3x1x2

+7x1x3

+3x2

x1

+x2

x3

?7x3x1

?x3x2

=08.3

集中控制?37]「x1

]|||「0|x2

x3

]|

3xT

Ax

=[x1|L?7|「e

]「e

]「?9]原點

|L9」|

=

0

是自治系統(tǒng)

|L9」|

?1KP

e

?W

?1(KD

+

C)9

的平衡態(tài)構造正定的李雅普諾夫函數(shù)1T

1T2

2

PT

1

T

T2

PT

1

T

TP

D

2

P1

T

T=9(W

?2C)9?9K

9注意到W

?2C

=(M

+J)?2C

=M

?2C

是反對稱的，9T

(W

?2C)9=0因此V(e,9)=?9T

KD9半負定=9(K

e

?K

9?C9)+9W9?9K

e8.3

集中控制V(e,9)=9W9+9W9?9

K

eV(e,9)=9W9+

e

K

e2

D從任意非零初態(tài)出發(fā)的解不會有V(e(t),9(t))=0此點可用反證法證明：設從某非零初態(tài)出發(fā)的解有V(e(t),9(t))=0即?9T

(t)KD9(t)=0，這意味著9(t)=0，進而9(t)=0由W(9)9+C(9,9)9=KP

e

?KD9，知e(t)

=

0「e(t)]「e(0)]L9(t)」L9(0)」「e

]

1

1顯然，當

|L9」|

→

時有

V(e,9)

=

2

9T

W(9)9+

2

e

KTP

e

→

綜上，系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定，在任何初態(tài)下9(t)

都收斂于9d于是解||=0，從而初態(tài)||=

0

，與非零初態(tài)假設相矛盾8.3

集中控制8.3.4

逆動力學控制如下質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，作用在質量塊上的外力f是輸入，質量塊的位置是輸出，該二階線性系統(tǒng)的動力學模型mx

+bx

+kx

=f可見，在控制反饋作用下，通過設定控制增益kp

和kv

可以使閉環(huán)系統(tǒng)呈現(xiàn)期望的二階阻尼特性(比如臨界阻尼ζ

=1)。假設可檢測質量塊的位置和速度，則設計控制律：兩式聯(lián)立，得：

mx

+(b

+kv

)x

+(k

+kp

)x

=0上圖表征了在反饋控制作用下，系統(tǒng)實

現(xiàn)了位置校正f

=?kp

x

?kv

xK8.3

集中控制s2

+2匕On

s

+

nO2基于模型的控制s2

+kv

s

+kp根據(jù)期望的控制性能確定kp和kv同樣，設計控制率x

+kv

x

+kp

x

=0先利用反饋將模型化為單位質量模型，單位質量模型設計kp和kv分解控制下的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為α-β分解運動控制簡化為質量模型

=mmx

+bx

+kx

=fmx

+bx

+kx

=f

'

+

代入上式，得1分解成模型控制+位置校正兩部分8.3

集中控制f

'

=?kv

x

?kp

x

=bx

+kx位置校正部分再對取基于模型的控制f

=mx

+bx

+

kx(x)=qx3也將模型化為單位質量模型非線性的基于模型的控

制律(α-β分解運動控

制)，用來“抵消”系

統(tǒng)的非線性，并簡化為單位質量系統(tǒng)后，設計簡單的線性伺服控制律?如圖質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)中，非線性彈簧k(x)=qx3系統(tǒng)模型為mx

+bx

+qx3

=f基于模型的控制律改為f

=mf

+bx

+

qx38.3

集中控制x

=

f

bx

+

kx對每個雙積分系統(tǒng)，可實施“前饋+PD控制”即aq

=9d

+F0

(9d

?9)+F1

(9d

?9)外環(huán)控制律F0和F1是對角矩陣內環(huán)/外環(huán)控制架構逆動力學控制的缺點：精確的W、C

和G

函數(shù)難以獲得C(9,9)9+

G(9)s2

+Ksi

s

s9i

(s)

1sKsiW(9)9+C(9,9)9+G(9)=vv

=W(9)aq

+C(9,9)9+

G(9)9W(9)9+C(9,9)9+G(9)=v

+98.3

集中控制n個獨立的雙積分系統(tǒng)ei

(s)

K反饋線性化內環(huán)控制律

?

?+

+

+9=a

q1s?aqi

(s)

9i

(s)

?9d9dW

(9)1e0e9di

(s)

9d+++FFavqei由e

=9d

?9，有閉環(huán)系統(tǒng)方程：e

=?F0e

?F1e

+(n?6a)令h

=

|

|

，有閉環(huán)狀態(tài)方程：h

=

||h

+||(n?6a)=

Fh

+||(n?

6a)首先設計F0

和F1

使得F

的特征值具有負實部，然后設計6a

=S(e)應對n??W(9)9+C(9,9)9+G(9)=vC八(9,9)9+G八(9)W(9)9+C(9,9)9+G(9)=W八(9)aq

+C八(9,9)9+G八(9)W(9)9=W(9)aq

?(W(9)?W八(9))aq

?(C(9,9)?C八(9,9))9?(G(9)?G八(9))=W(9)aq

?W(9)aq

?C(9,9)9?G(9)9=aq

?W?1(9)(W(9)aq

+C(9,9)9+G(9))=aq

?n(9,9,aq

)

外環(huán)控制律aq

=9d

+F0

(9d

?9)+F1(9d

?9)+6aS(e)+

+

+6a0e+x+「e]「0

I

]「0]「0]Le」L?F0

?F1」

LI」LI」內環(huán)控制律v

=W八(9)aq

+C八(9,9)9+G八(9)8.3

集中控制8.3.5

魯棒控制9

d9dn(9,9,aq

)表示不確定性W(9)9+C(9,9)9+G(9)=vvx++1ex99W八(9)9dx+FFaq「m1l

+m2

(l

+l

2

+2l1lc

2

cos92

)+I1

+I2

m2

(l

2

+l1lc2

cos92

)+I2

]「91

]L

m2

(l

2

+

l1lc

2

cos92

)

+

I2

m2

l

2

+

I2

」L92

」+

1

]c2c2c2c212c12例：2轉動關節(jié)的平面機器人，連桿i

的長度、質量和轉動慣量(繞質心)分別是li

、mi

和Ii

，lci

表示前一個關節(jié)與連桿i

的質心之間的距離「(m1lc1

+m2

l1

)g

cos91

+m2

lc2g

cos(91

+92

)]

「1

]L

m2

lc

2g

cos(91

+92

)

」

L2

」其中，g是重力加速度L

0

」L92

21c221m

l

l

sin9

9||||l||=

||lc1

918.3.6

自適應控制8.3

集中控制多輸入多輸出復雜非線性系統(tǒng)W(9)9+C(9,9)9+G(9)=

動力學模型：

2+1

29c2ll21「?O2

sin9292

?O2

sin9291

?O2

sin9292

]「91

]「O5

cos91

+

O6

cos(91

+

92

)]+

O2

sin9291

0

9|LO6

cos(91

+

92

)

」|

92O1

=m1l

+m2

(l

+l

2

)+I1

+I2

+r12

J1

O2

=

m2

l1lc

2O3

=m2

l

2

+I2

O4

=2r2J2O5

=m1lc1g

+m2l1g

O6

=m2

lc2gc2c212c12L|L|n〉l

Y(9,9,9)l

O

W(9)9+C(9,9)9+G(9)=Y(9,9,9)O存在函數(shù)以及維參數(shù)向量，使例：2轉動關節(jié)的平面機器人W(9)9+C(9,9)9+G(9)]「91

]「(m1lc1

+m2l1

)gcos91

+m2lc2g

cos(91

+92

)]」L92

」

L

m2

lc

2g

cos(91

+

92

)

」+

m2

l1lc0O3

+O2

cos92

]「91

]O3

+O4

」|

92

L|m2

(l

2

+l1lc2

cos92

)+I2

]「91

]m2l

2

+

I2

+

2r2J2

」L92

」c2c2「m1l

+m2

(l

+l

2

+2l1lc2

cos92

)+I1

+I2

+r12J1c212c12lc28.3

集中控制|||+||「O1

+2O2

cos92

=

|L

O3

+O2

cos92=

|L

m2

(l

2

+l1lc

2

cos92

)+

I2c2W(9)9+C(9,9)9+G(9)=vlc11

92

sin9291「

|

L|||

T21Tll21211221322222221221