湘教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《2.2.1圓心角》公開(kāi)課課件

2.2圓心角、圓周角第2章圓2.2.1圓心角學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合圖形了解圓心角的概念，學(xué)會(huì)辨別圓心角；2.能發(fā)現(xiàn)圓心角、弦、弧之間的關(guān)系，并會(huì)初步運(yùn)用這些關(guān)系解決有關(guān)的問(wèn)題．(重點(diǎn))導(dǎo)入新課情境引入飛鏢靶、鬧鐘以及被均分的蛋糕等圓形中，都存在著角，那么這些角有什么共同的特征呢？講授新課圓心角一概念學(xué)習(xí)OABM1.圓心角：頂點(diǎn)在圓心,角的兩邊與圓相交的角叫圓心角，如∠AOB.3.圓心角∠AOB所對(duì)的弦為AB.2.圓心角∠AOB

所對(duì)的弧為

AB.⌒判別下列各圖中的角是不是圓心角，并說(shuō)明理由.圓內(nèi)角圓外角圓周角（后面會(huì)學(xué)到）圓心角練一練問(wèn)題1已知在⊙O中，圓心角∠AOB=∠COD，那么，AB與CD，弦AB與弦CD有怎樣的數(shù)量關(guān)系？⌒C·OABD圓心角、弧、弦之間的關(guān)系二⌒因?yàn)閷A繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都能與自身重合，所以可將⊙O繞圓心旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合.由于∠AOB=∠COD，因此，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合.從而AB=CD,AB=CD.⌒⌒在同圓中探究O

·AB問(wèn)題2如圖，在等圓中，如果∠AOB＝∠CO′D，你發(fā)現(xiàn)的等量關(guān)系是否依然成立？為什么？

·O′CD在等圓中探究

通過(guò)平移和旋轉(zhuǎn)將兩個(gè)等圓變成同一個(gè)圓，我們發(fā)現(xiàn)：如果∠AOB=∠CO'D，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.⌒⌒

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC要點(diǎn)歸納弧、弦與圓心角的關(guān)系問(wèn)題3在結(jié)論“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？不可以，如圖.ABODC要點(diǎn)歸納

在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等．①∠AOB=∠COD②AB=CD⌒

⌒③AB=CDABODC弧、弦與圓心角關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧或兩條弦中，有一組量相等，那么它們所對(duì)的其余各組量都分別相等.要點(diǎn)歸納典例精析例1

如圖，等邊△ABC的頂點(diǎn)A，B，C在⊙O上，求圓心角∠AOB的度數(shù).·ABCO∴AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.解：∵△ABC是等邊三角形,又∵

∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°.∴∠AOB＝（∠AOB+∠BOC+∠AOC）=360°=120°.如圖，AB是⊙O的直徑，

∠COD=35°，求∠AOE的度數(shù)．解：∵·AOBCDE針對(duì)訓(xùn)練1.如圖所示的圓中，下列各角是圓心角的是(

)當(dāng)堂練習(xí)A．∠ABCB．∠AOBC．∠OABD．∠OCBB2．如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）A．這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等B．這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等C．這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦和弧分別均相等D．以上說(shuō)法都不對(duì)3.弦長(zhǎng)等于半徑的弦所對(duì)的圓心角等于

.D60°4.如圖，已知AB、CD為⊙O的兩條弦，.

求證:AB＝CD..CABDO能力提升：5.如圖，在⊙O中，2∠AOB=∠COD，那么CD=2AB成立嗎？CD=2AB成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；如不是，那它們之間的關(guān)系又是什么？⌒⌒答：CD=2AB成立，CD=2AB不成立.取的中點(diǎn)E,連接OE，CE，DE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以==，所以=2，所以弦AB=CE=DE,在△CDE中CE+DE>CD,即CD<2AB.⌒⌒ABCDEO圓心角圓心角相等弧相等弦相等弦、弧、圓心角的關(guān)系定理在同圓或等圓中概念：頂點(diǎn)在圓心的角應(yīng)用提醒①要注意前提條件；②要靈活轉(zhuǎn)化.課堂小結(jié)第2章圓小結(jié)與復(fù)習(xí)·一.與圓有關(guān)的概念1.圓:平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形.2.弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段.3.直徑:經(jīng)過(guò)圓心的弦是圓的直徑，直徑是最長(zhǎng)的弦.4.劣弧:小于半圓周的圓弧.5.優(yōu)弧:大于半圓周的圓弧.要點(diǎn)梳理6.等弧:在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧.7.圓心角:頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊與圓相交.8.圓周角:頂點(diǎn)在圓上，角的兩邊與圓相交.[注意](1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大?。?2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.·9.外接圓、內(nèi)接正多邊形:將一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.10.三角形的外接圓

外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.[注意](1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的外接圓是唯一的.11.三角形的內(nèi)切圓

內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.[注意](1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的.12.正多邊形的相關(guān)概念(1)中心：正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.(2)半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.(3)邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.(4)中心角：正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r比較得到．設(shè)☉O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有點(diǎn)P在圓內(nèi)；d＜r點(diǎn)P在圓上；d=r點(diǎn)P在圓外.d＞r[注意]點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過(guò)來(lái)，也可以通過(guò)這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．2.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離直線與圓的位置關(guān)系

圖形

d與r的關(guān)系

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

公共點(diǎn)名稱

直線名稱2個(gè)交點(diǎn)割線1個(gè)切點(diǎn)切線0個(gè)相離相切相交d＞rd=rd＜r三、

圓的基本性質(zhì)1.圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，它的任意一條_______所在的直線都是它的對(duì)稱軸.直徑2.有關(guān)圓心角、弧、弦的性質(zhì).(1)在同圓中，如果圓心角相等，那么它們所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.(2)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧和兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.圓心角相等弧相等弦相等(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條??；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對(duì)的弦.三、

有關(guān)定理及其推論1.垂徑定理(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的

.[注意]①條件中的“弦”可以是直徑；②結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對(duì)的劣弧、優(yōu)弧．兩條弧2.圓周角定理(1)圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.(3)推論2：90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.[注意]“同弧”指“在一個(gè)圓中的同一段弧”；“等弧”指“在同圓或等圓中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改為“同弦或等弦”．(4)推論3：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).(2)推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)弧相等.3.與切線相關(guān)的定理(1)判定定理：經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.(3)切線長(zhǎng)定理：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等.這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.四、

圓中的計(jì)算問(wèn)題1.弧長(zhǎng)公式半徑為R的圓中，n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l=________.2.扇形面積公式半徑為R，圓心角為n°的扇形面積S=____________.或3.弓形面積公式OO弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積4.圓內(nèi)接正多邊形的計(jì)算(1)正n邊形的中心角為(2)正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系(3)邊長(zhǎng)a，邊心距r的正n邊形的面積為其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng).考點(diǎn)一圓的有關(guān)概念及性質(zhì)例1

如圖，在⊙O中，∠ABC=50°，則∠CAO等于（）A．30° B．40° C．50° D．60°B例2

在圖中，BC是☉O的直徑，AD⊥BC,若∠D=36°,則∠BAD的度數(shù)是（）A.72°B.54°C.45°D.36°ABCDB例3

☉O的半徑為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R、d分別是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則點(diǎn)A與☉O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在☉O內(nèi)部B．點(diǎn)A在☉O上C．點(diǎn)A在☉O外部D．點(diǎn)A不在☉O上解析：此題需先計(jì)算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的兩個(gè)根，然后再根據(jù)R與d的之間的關(guān)系判斷出點(diǎn)A與

☉O的關(guān)系.D1.如圖所示，在圓O中弦AB∥CD，若∠ABC=50°，則∠BOD等于（）A．50° B．40° C．100° D．80°C針對(duì)訓(xùn)練135°2.如圖a，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為劣弧BC上的任意一點(diǎn)（不與B,C重合），則∠BPC的度數(shù)是

.CDBAPO圖a考點(diǎn)二垂徑定理

例4

工程上常用鋼珠來(lái)測(cè)量零件上小圓孔的寬口，假設(shè)鋼珠的直徑是10mm,測(cè)得鋼珠頂端離零件表面的距離為8mm,如圖所示，則這個(gè)小圓孔的寬口AB的長(zhǎng)度為

mm.8mmAB8CDO解析設(shè)圓心為O，連接AO,作出過(guò)點(diǎn)O的弓形高CD，垂足為D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，AD=4mm，所以AB=8mm.AOBCEF圖a3.如圖a，點(diǎn)C是扇形OAB上的AB的任意一點(diǎn)，OA=2,連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC,OF⊥BC，垂足分別為E,F，連接EF，則EF的長(zhǎng)度等于

.（針對(duì)訓(xùn)練ABCDPO圖bD’P4.如圖b,AB是⊙O的直徑，且AB=2，C,D是同一半圓上的兩點(diǎn)，并且AC與BD的度數(shù)分別是96°和36°，動(dòng)點(diǎn)P是AB上的任意一點(diǎn)，則PC+PD的最小值是

.（（例5

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的☉O交AC于點(diǎn)D，連接BD.考點(diǎn)三切線的判定與性質(zhì)解：（1）∵AB是直徑，∴∠ADB=90°.∵AD=3，BD=4，∴AB=5.∵∠CDB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∵即∴BC=（1）若AD=3，BD=4，求邊BC的長(zhǎng).又∵∠OBD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，∴∠C=∠OBD，∴∠BDO=∠CDE.∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，即∠BDE+∠CDE=90°.∴∠BDE+∠BDO=90°，即∠ODE=90°.∴ED與☉O相切.（2）證明：連接OD，在Rt△BDC中，∵E是BC的中點(diǎn)，∴CE=DE，∴∠C=∠CDE.又OD=OB，∴∠ODB=∠OBD.（2）取BC的中點(diǎn)E，連接ED，試證明ED與☉O相切.

例6

（多解題）如圖，直線AB,CD相交于點(diǎn)O，∠AOD=30°,半徑為1cm的☉P的圓心在射線OA上，且與點(diǎn)O的距離為6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移動(dòng)，那么

秒鐘后☉P與直線CD相切.4或8解析：

根本題應(yīng)分為兩種情況：(1)☉P在直線CD下面與直線CD相切；(2)☉P在直線CD上面與直線CD相切.ABDCPP2P1E[解析]連接BD，則在Rt△BCD中，BE＝DE，利用角的互余證明∠C＝∠EDC.例7

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的☉O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D的切線交BC于E.（1）求證：BC=2DE.解：（1）證明：連接BD，∵AB為直徑，∠ABC=90°，∴BE切☉O于點(diǎn)B.又∵DE切☉O于點(diǎn)D，∴DE=BE，∴∠EBD=∠EDB.∵∠ADB=90°，∴∠EBD+∠C=90°，∠BDE+∠CDE=90°.∴∠C=∠CDE，DE=CE.∴BC=BE+CE=2DE.（2）∵DE=2，∴BC=2DE=4.在Rt△ABC中，∴AB=BC?=在Rt△ABC中，又∵△ABD∽△ACB，∴即∴（2）若tanC=,DE=2，求AD的長(zhǎng).B北60°30°AC例8如圖，已知燈塔A的周?chē)?海里的范圍內(nèi)有暗礁，一艘漁輪在B處測(cè)得燈塔A在北偏東60°的方向，向東航行8海里到達(dá)C處后，又測(cè)得該燈塔在北偏東30°的方向，如果漁輪不改變航向，繼續(xù)向東航行，有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)=1.732）解析：燈塔A的周?chē)?海里都是暗礁，即表示以A為圓心，7海里為半徑的圓中，都是暗礁.漁輪是否會(huì)觸礁，關(guān)鍵是看漁輪與圓心A之間的距離d的大小關(guān)系.B北60°30°ACB北60°30°ACD解：如圖，作AD垂直于BC于D，根據(jù)題意，得BC=8.設(shè)AD為x.∵∠ABC=30°，∴AB=2x.BD=x.∵∠ACD=90°-30°=60°，∴AD=CD×tan60°，CD=.BC=BD-CD==8.解得x=即漁船繼續(xù)往東行駛，有觸礁的危險(xiǎn).5.如圖b，線段AB是直徑，點(diǎn)D是☉O上一點(diǎn)，∠CDB=20°,過(guò)點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則∠E等于

.OCABED圖b50°針對(duì)訓(xùn)練6.如圖，

O為正方形對(duì)角線上一點(diǎn)，以點(diǎn)O

為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的☉O與BC相切于點(diǎn)M.(1)求證：CD與☉O相切；ABCDOM(1)證明：過(guò)點(diǎn)O作ON⊥CD于N.連接OM

∵BC與☉O相切于點(diǎn)M,∴∠OMC=90°,

∵四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)O在AC上.∴AC是∠BCD的角平分線，∴ON=OM，∴CD與☉O相切.NABCDOM(2)解:∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AC=.設(shè)☉O的半徑為r,則OC=.又易知△OMC是等腰直角三角形，∴OC=因此有，解得.（2）若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，求☉O的半徑.7.

已知：如圖，PA，PB是⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，過(guò)上的一點(diǎn)C作⊙O的切線，交PA于D，交PB于E.(1)若∠P＝70°，求∠DOE的度數(shù)；解：(1)連接OA、OB、OC，∵⊙O分別切PA、PB、DE于點(diǎn)A、B、C，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE，∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC.∴∠DOE＝∠AOB.∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，∴∠DOE＝55°.(2)∵⊙O分別切PA、PB、DE于A、B、C，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△PDE的周長(zhǎng)＝PD＋PE＋DE＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)(2)若PA＝4cm，求△PDE的周長(zhǎng)．例9如圖，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)B、C在以點(diǎn)O為圓心的圓上,

OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，求扇形OEF的面積？解：∵四邊形OABC為菱形∴OC=OA=1

∵∠AOC=120°，∠1=∠2∴∠FOE=120°

又∵點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心的圓上

考點(diǎn)四弧長(zhǎng)與扇形面積8.一條弧所對(duì)的圓心角為135°，弧長(zhǎng)等于半徑為5cm的圓的周長(zhǎng)的3倍，則這條弧的半徑為

.40cm針對(duì)訓(xùn)練9.

如圖所示，在正方形ABCD內(nèi)有一條