2025年人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值（八大考點(diǎn)）

考點(diǎn)鞏固卷06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

（八大考點(diǎn)）

考點(diǎn)01：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

考點(diǎn)02:求已知函數(shù)的極值與最值

考點(diǎn)03:已知函數(shù)在區(qū)間上遞增（遞減）求參數(shù)

考點(diǎn)04:已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間或在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

考點(diǎn)01:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間

①求y=/（x）的定義域

②求廣（X）

③令/'（X）＞0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間

④令/'（%）＜0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間

注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令/'（尤）＞0（或/'（x）＜0）不跟等號(hào).

1.己知函數(shù)/（x）=2x—31I1X+2O22,則的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

B.C.D.

2.函數(shù)〃x）=x-21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.(-oo,2)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(-8,0)

3.函數(shù)/(x)=(x-3)e'的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-叫2]B.[0,3]C.[1,4]D.[2,+8)

4.函數(shù)〃x)=x2-lnx單調(diào)遞減區(qū)間是()

5.已知函數(shù)〃x)=x+liw,其導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

⑴求〃x)在(U)處的切線(xiàn)方程；

⑵求g⑺=/(x)+2/⑺的單調(diào)區(qū)間.

6.已知函數(shù)〃x)=lnx-1+l(其中a為常數(shù)).

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，求函數(shù)"X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)/(X)在％￡口,2］上的最小值.

7.已知函數(shù)/⑴二環(huán)還小q-

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)。=1時(shí)，證明：/(x)<|.r+l;

(3)若/(x)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

8.設(shè)函數(shù)/(力=尤2-(a+2)x+alnx(aeR).

⑴若x=3是的極值點(diǎn)，求a的值，并求/*)的單調(diào)區(qū)間;

⑵討論了(尤)的單調(diào)性；

(3)若f(x)21,求。的取值范圍.

9.已知函數(shù)/(尤)=l+1+alnx(a>0)

X

(1)求函數(shù)/(無(wú))的單調(diào)區(qū)間;

(2)函數(shù)/(x)有唯一零點(diǎn)X］,函數(shù)g(x)=x-sinx-0在R上的零點(diǎn)為巧.證明：玉<3.

e

10.已知函數(shù)〃x)=x+ln(依)+'xeX.

⑴當(dāng)a=l時(shí)，求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(L〃l))處切線(xiàn)的斜率；

⑵當(dāng)a=-1時(shí)，討論了(x)的單調(diào)性.

考點(diǎn)02:求已知函數(shù)的極值與最值

1.函數(shù)的極值

(1)函數(shù)的極小值：

函數(shù)y=?x)在點(diǎn)x=a的函數(shù)值五。)比它在點(diǎn)x=a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，(a)=0；而且在點(diǎn)x=a附

近的左側(cè),(尤)<0,右側(cè)/(x)>0.則。叫做函數(shù)y=A尤)的極小值點(diǎn)，式①叫做函數(shù)>=大尤)的極小值.

(2)函數(shù)的極大值：

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x=b的函數(shù)值近6)比它在點(diǎn)x=b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，/'(6)=0；而且在點(diǎn)x=b附

近的左側(cè),(尤)>0,右側(cè),(x)<0.則6叫做函數(shù)y=/(尤)的極大值點(diǎn)，式6)叫做函數(shù)y=/(x)的極大值.

(3)極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)，極小值和極大值統(tǒng)稱(chēng)為極值.

2.函數(shù)的最大(小)值

(1)函數(shù)式尤)在區(qū)間［a,切上有最值的條件：

如果在區(qū)間出，切上函數(shù)y=Kx)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y=/(x)在區(qū)間［a,切上的最大(小)值的步驟：

①求函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)上的極值；

②將函數(shù)y=#x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值八0,共6)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小

值.

11.函數(shù)/■(x)=gd+x2-3x+l,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.〃x)在區(qū)間(0,2)上不單調(diào)B.〃x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.有兩個(gè)零點(diǎn)D.在(-8,0)上有最大值

12.函數(shù)/(x)=31nx+；x2-4元的極大值為()

57

A.—2B.—C.—3D.—

22

13.函數(shù)〃x)=lnx-W的極大值為()

e

A.—2B.0C.eD.1

14.若函數(shù)〃x)=；x3+尤2-1在(a,a+5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

15.已知函數(shù)/(X)=F(2XT),若方程f(x)-左=0有2個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是

x-1

16.已知函數(shù)/(x)=e￡—aln(x+l)的圖象在點(diǎn)(0,〃0))處的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,1).

(1)求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求〃％)的單調(diào)區(qū)間和極值.

17.已知函數(shù)/(%)=丁+alnx.

⑴當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)〃x)的圖象在點(diǎn)(e〃e))處的切線(xiàn)方程

(2)當(dāng)a=-2時(shí)，求函數(shù)/⑺的極值

(3)若g(x)=/(x)+：在口,+功上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.已知函數(shù)/'(x)=x+ln(av)+—無(wú)e*(a<0).

⑴求函數(shù)的極值；

(2)若集合卜7(x)2-1｝有且只有一個(gè)元素，求。的值.

19.已知函數(shù)f(x)=lnx-x.

2

⑴求函數(shù)g(無(wú))=/(幻+2》-4111龍-一的單調(diào)區(qū)間和極值；

X

(2)若不等式/(x)<(a-l)x+1在(0,+A)上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.已知/(x)=e2.

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其極值；

(2)畫(huà)出函數(shù)/'*)的大致圖象；

(3)討論函數(shù)g(x)=fM-a+l的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

考點(diǎn)03:已知函數(shù)在區(qū)間上遞增(遞減)求參數(shù)

已知函數(shù)/(九)在區(qū)間。上單調(diào)

①已知/(%)在區(qū)間。上單調(diào)遞增oVxe。，/'(x)?0恒成立.

②已知"天)在區(qū)間。上單調(diào)遞減oVxeD,/'(x)W0恒成立.

注：1.在區(qū)間內(nèi)/'(x)>0(/'(x)<0)是函數(shù)“X)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件;

2.可導(dǎo)函數(shù)〃x)在區(qū)間(。,6)是增(減)函數(shù)的充要條件是：Vxe(a,b)都有廣(“三O(/'(x)WO),且「⑺

在m6)的任意一個(gè)子區(qū)間內(nèi)都不恒為。；

3.由函數(shù)在區(qū)間(。))是增(減)函數(shù)，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為了'(x)》O(/'(x)〈O)恒成立問(wèn)題求解.

21.若函數(shù)〃x)=alnx-x的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,2),則”()

A.—2B.—C.-D.2

22

Iyyi

22.已知函數(shù)/(%)=彳/—/——7在。,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是()

3x-1

A.(-oo,-l]B.1°0，；C.[-l,+oo)D.

23.已知函數(shù)〃x)=lnx-依2+%在區(qū)間1I,刀上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的最大值是()

A.1B.—C.—D.—

842

24.已知函數(shù)〃%)=/—加+尤_5在R上單調(diào)遞增，則〃的最大值為()

A.3B.-3C.y/sD.—\/3

25.已知函數(shù)，(尤)=疝箕-痛之為定義域上的減函數(shù)，則加的取值范圍是()

A.B.(0,1]C,[1,+co)D.[e,-H?)

26.若對(duì)任意的不、々,且不>%，[一；[：*>>3,則機(jī)的最大值是.

27.已知函數(shù)“力=尤2+(彳一2戶(hù)-2了+5在區(qū)間(3?7-1,加+2)上不單調(diào)，則機(jī)的取值范圍是.

28.若函數(shù)/(尤)=:vsinx+cosx-g/在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

29.已知函數(shù)/(x)=xln(x+l)-x2+依(aeR).

(1)若f(x)在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，求。的取值范圍;

⑵若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)耳，巧，求證：xt+x2>0.

30.已知函數(shù)/+ax—2a21nx

(1)寫(xiě)出函數(shù)的定義域，求當(dāng)。=1時(shí)/■(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0,在區(qū)間(0,2)上為減函數(shù)，求a的取值范圍.

考點(diǎn)04:已知函數(shù)存在單調(diào)區(qū)間或在區(qū)間上不單調(diào)求參數(shù)

已知函數(shù)/(%)在區(qū)間。上不單調(diào)O玉使得廣(%)=。(且。是變號(hào)零點(diǎn))

31.函數(shù)〃x)=(l-x)lnx+依在(1,—)上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是()

A.tZG(l,+oo)B.?e(-oo,0)C.?6(0,+<?)D.ae(-l,+oo)

32.已知函數(shù)/(x)=?x+lnx+3在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

33.已知函數(shù)/(x)=lnx-依-2在區(qū)間(1,2)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

即B.化1]

A.

(2)

(12、

C.D.

4(23J

7

34.已知函數(shù)在(1,欣)上不單調(diào)，〃x)=aY+：則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.S,1)B.(0,1)C.d-R)

35.已知函數(shù)/(X)=,以3+犬2+X

+3在［0,2］上不單調(diào)，則a的取值范圍是()

A.B-

。ITT

=一;Y+6x-81nx在，加+1］上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)相的取值范圍是(

36.已知/(工)

A.(L2)B.(3,4)C.(l,2]u[3,4)D.(1,2)U(3,4)

7

37.已知函數(shù)〃x)=aY+二在(1,—)上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

X

A.B.(0,1)C.(1,+co)D.［0,￡|

38.已知函數(shù)"無(wú))=g依3-2x(aeR).

⑴若。=2,求函數(shù)的極小值；

(2)討論函數(shù)/(尤)的單調(diào)性；

(3)若/⑶=3,令g(x)=〃x)+Hnx,且g(x)在(0,應(yīng)］上不單調(diào)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

39.已知函數(shù)/(x)=e「a(x+l),OeR,若在［0』上不單調(diào),求a的取值范圍.

40.已知函數(shù)〃x)=$3+辦2_5x+6在x=_l處取得極大值，且極大值為3.

⑴求a,6的值：

⑵求“X)在區(qū)間(加,2機(jī)-1)上不單調(diào)，求機(jī)的取值范圍.

考點(diǎn)05:利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小

①/卜）=皿在（0,e）T在（e,+。。）,，在x=e時(shí)，取得最大值且為！

xe

②極大值左偏，且/⑵=/⑷

③若0<b<a<e,則^>Wb。=ab>b°

ab

e<b<a<+oo,貝!<lnb"na"<Z?"

ab

口訣：大指小底永為大（大小指e）

。心思想二：對(duì)數(shù)等比定市）

111InxInyminx+ninyInz

log”X=1。亂y=zn嬴=嬴—1na+〃1nL.a+,山沙

mn

mlnx+nlny_In%根+lny〃_Inxy_Inzz_xm

mlntz+nln/?mlntz+nln/?mlntz+nln/?mln^z+nln/7

41.若函數(shù)/(x)對(duì)任意的XER都有/'(x)v/(x)+2成立，則2/(ln2)與/(21n2)-2的大小關(guān)系為()

A.2/(ln2)>/(21n2)-2B.2/(ln2)</(21n2)-2

C.2/(ln2)=/(21n2)-2D.無(wú)法比較大小

1314

42.已知./陋=旦］泰，則下列有關(guān)。，仇。的大小關(guān)系比較正確的是()

(2024Je(2023J

A.c<b<aB.b<a<cC.a<b<cD.a<c<b

43.比較-小…Jc=9的大小關(guān)系為（）

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

44.若函數(shù)/(x)對(duì)任意的xeR都有r(x)</(x)恒成立，貝U2/(2)與e2/(ln2)的大小關(guān)系正確的是()

A.2"2)>e2/(ln2)B.2/(2)=e2/(ln2)

C.2/(2)<e2/(ln2)D.無(wú)法比較大小

45.對(duì)于一些不太容易比較大小的實(shí)數(shù),我們常常用構(gòu)造函數(shù)的方法來(lái)進(jìn)行，如，已知a=6ln5,b=7M,c=81-3,

要比較。，b,。的大小，我們就可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)/(x)=lnxln(ll-x)來(lái)進(jìn)行比較，通過(guò)計(jì)算，你認(rèn)為下列關(guān)

系正確的一項(xiàng)是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>b>a

46.已知“=百，6=ln(6+1),c=H/，試比較a,b,c的大小()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

47.我們比較熟悉的網(wǎng)絡(luò)新詞，有“抄辦”、“內(nèi)卷”、“躺平”等，定義方程〃x)=T(x)的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)

的“躺平點(diǎn)”.若函數(shù)g(x)=e*-X,/?(%)=Inx,o(x)=2023x+2023的“躺平點(diǎn)”分別為a,b,c,則a,b,

c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

5i

48.設(shè)a=ln—,O=—,c=e4,比較。1,。的大小關(guān)系()

44

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

1ln2ln3

49.已知〃=|1『，6=[(]3，。=(理17，試比較區(qū)40的大小關(guān)系()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

50.已知〃=!力二e】。-l,c=Win竺,，試比較。涉,c大小關(guān)系()

999

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

考點(diǎn)06:利用函數(shù)單調(diào)性處理抽象不等式

單調(diào)性定義的等價(jià)形式

(1)函數(shù)〃X)在區(qū)間[a㈤上是增函數(shù)：

=任取再,％e[a,b],且再</，者口有/(尤1)一/(%)<0；

o任取再，尤e[a,b],且再x2,〉0;

%]~X2

=任取七,%&[a,b],且芭工/，(占一%)1/(%)一/(%)]>。；

=任取石,%e[a,b]，且不H%—->0

(2)函數(shù)〃x)在區(qū)間[a㈤上是減函數(shù):

=任取e[a,b],且X]</，都有/(占)一/(%)>。；

o任取尤1，%e[a,瓦|,且七H%，"')一<0;

M-x2

=任取再,％2^[a,b],且占,(%1-x2)[/(%1)-/(%2)]<0;

O任取再,％e[a,“，且再H%，―7T^<°-

定義法判斷函數(shù)奇偶性

判斷了(-x)與/(尤)的關(guān)系時(shí)，也可以使用如下結(jié)論：

f(—九)

如果/(—X)-/(%)=?；蚺?l(/(x)w0),則函數(shù)/(%)為偶函數(shù)；

如果/(—X)+/(%)=0或玄]=-l(/(x)w0),則函數(shù)/(九)為奇函數(shù).

利用單調(diào)性、奇偶性解不等式原理

1、解〃加)</5)型不等式

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性，去掉函數(shù)符號(hào)"f,將"抽象”的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為"具體"的不等式問(wèn)題求

解；

(2)若不等式一邊沒(méi)有函數(shù)符號(hào)"于：而是常數(shù)(如/(機(jī))<。)，那么我們應(yīng)該將常數(shù)轉(zhuǎn)化帶有函數(shù)符

號(hào)的函數(shù)值再解。

2、”同為奇函數(shù)，形如“加)+/(〃)<0的不等式的解法

第一步：將/(〃)移到不等式的右邊，得到/(間>-/(〃)；

第二步：根據(jù)/(%)為奇函數(shù)，得到/(771)>/(-?)；

第三步：利用函數(shù)的單調(diào)性，去掉函數(shù)符號(hào),列出不等式求解。

51.已知函數(shù)〃"=ln(e'+e)關(guān)于x的不等式/(刈的解集為[凡+°°),則尸+皿-。)=()

A.-2B.-1C.0D.1

52.若函數(shù)"x）=lnx與g（x）=；ax-l（a＞0）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于x的不等式

/■（彳一4）＜。一1—5"5的解集為（）

A.(-co,5)B.(5,+oo)C.(5,6)D.(4,5)

x2+(Q+1)X+Q,X

53.已知函數(shù)g(x)=<，若不等式g（x）＜0的解集為［-1，H，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

〃(x-1)+21nx,x>1

A.(-oo,-2]B.(-oo,-l]

C.[-2,-1]D.(-2,-1]

54.關(guān)于元的不等式的解集中有且僅有兩個(gè)大于2的整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（）

（x—2）

55.定義在（0,+功上的函數(shù)八％）的導(dǎo)函數(shù)為了'（%）,若靖⑴-/（力＜0,且"2）=0,則不等式（1）〃力＞。

的解集為（）

A.(0,2)B.(1,2)C.(0,1)D.(2,+8)

「1cr

si.n——71X,xe[-1,0]

2

56.己知定義在R上的奇函數(shù)7■（%）滿(mǎn)足：/?='，則關(guān)于X的不等式2〃x)>3x在

——xi——X2,XE(—009—1)

44

xe（0,+co）的解集為（）

A.13U(3,6)g』［u（2,4）

B.

C.］。，1（4,5）gu(2,3)

D.

57.已知函數(shù)/（力=1暇工-工+1,則不等式/（%）＞。的解集是（）

A.（0,1）B.（l,2）u（2,y）C.（1,2）D.（2,+oo）

58.已知函數(shù)竽'關(guān)于'的不等式?-￡＞°的解集中有且只有一個(gè)整數(shù)’則實(shí)數(shù)0的范圍是（）

21n3

c.,ln2

9

59.定義在(1,桂)上的函數(shù)小)的導(dǎo)函數(shù)為了'。)，且(彳-1)/口)-/。)>/-2%對(duì)任意尤?(1,+8)恒成立.

若/(2)=3,則不等式/(為>/一》+1的解集為()

A.(1,2)B.(2,+8)

C.(1,3)D.(3,+勸

60.已知定義在R上的奇函數(shù)滿(mǎn)足/(2+x)=),且當(dāng)x?0,l]時(shí)/(x)>萬(wàn)，則不等式“力Vsinn

在[-3,3]上的解集為()

A.[-2,0]3[2,3]B.[-1,3]

C.[-1,2]D.[-3-2]U[0,2]

考點(diǎn)07:根據(jù)極值點(diǎn)(最值點(diǎn))求參數(shù)

題型1：已知極值點(diǎn)求參數(shù)的值.

1.已知函數(shù)“X)有極值點(diǎn)升,求參數(shù)的值或范圍，一般有兩種情況：

(1)由/(而)=0可以解出參數(shù)的值，這類(lèi)題較為簡(jiǎn)單，只需由/(%)=()求出參數(shù)的值，再代回((X)去

研究“X)的單調(diào)性，確認(rèn)“X)在X=X。處取得極值即可.

(2)由((%)=0不能解出參數(shù)的值，這類(lèi)題一般需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，研究函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)/(同

的表達(dá)式較為復(fù)雜時(shí)，可能需要用到二階導(dǎo)數(shù)，甚至三階導(dǎo)數(shù).

當(dāng)我們知道函數(shù)的具體極值點(diǎn)是極大值還是極小值求參數(shù)時(shí)，也可以利用下面高觀點(diǎn)方法，當(dāng)然，這個(gè)方

法僅供有興趣的同學(xué)了解，并非通法，它在解決一些問(wèn)題時(shí)要方便一些.

2.極值第二充分條件：若天充n/'(Xo)=O,且/'(/)片0,則若固(%)<0,則y=/(x)在/處

取得極大值；若/'(見(jiàn))〉0,則y=/(x)在/處取得極小值.

3.極值第二充分條件：

若/(%)在X=/處具有直到”階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/'(%)=/"(％)=…="T(x0)=0,但尸")(%)豐0,

則：當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，/(%)為函數(shù)/(X)的極值，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，/(%)不是函數(shù)/(X)的極值.

題型2：已知極值個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍

這類(lèi)問(wèn)題的形式就是已知/（x,a）存在幾個(gè)極值點(diǎn)，求參數(shù)a的取值范圍.這類(lèi)問(wèn)題實(shí)質(zhì)是考察導(dǎo)函數(shù)的變

號(hào)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，注意：是“變號(hào)”零點(diǎn).通常情況下，這類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)求導(dǎo)后討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)完成,

首選分離參數(shù)的方法解決，若不行，再將導(dǎo)函數(shù)作為一個(gè)新的函數(shù)來(lái)討論其零點(diǎn)個(gè)數(shù).

61.若函數(shù)/（x）=d+；（a+3）x2+◎在％=_1處取得極值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（3,-H?）B.（-<?,3）C.（YO,3）U（3,+°°）D.[0,3]

62.已知函數(shù)/（%）=工3+3;次2+?%+祖2在x=-l處取得極值0,則根+〃=（）

A.4B.11C.4或HD.3或9

63.若函數(shù)/（"=-%3+3依?+1在乂=2處取得極值，則函數(shù)在區(qū)間[-1』上的最小值為（）

A.-1B.1C.3D.5

64.若函數(shù)/（x）=ae*-/（aeR）有兩個(gè)極值點(diǎn)占用，且王<馬,則下列結(jié)論中不正確的是（）

占1

A.相>1B.e2<—

%

C.”的范圍是D.山川+山馬<0

65.若函數(shù)〃尤）=皿-〃優(yōu)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

X

A?卜￡lB.C.（0,,）D.L

66.若x=l為函數(shù)/（力=。（》-。）（尸1）2的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）.

A.a>lB.a<\

C.a<0或Q>1D.0<a<l

67.函數(shù)〃尤）=^一3%在區(qū)間（m,2）上有最小值，則加的取值范圍是（）

68.已知函數(shù)“x）=（2Y+冰+a）e"若在x=-2處取得極小值，則a的取值范圍是（）

A.（4,+co）B.[4,+oo）C.[2,+co）D.（2,+oo）

2

69.已知函數(shù)”x）=5-41wc在區(qū)間（。-1,。+4）上有定義，且在此區(qū)間上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

70.已知函數(shù)，(x)=/+++3x+i,若x=—3是函數(shù)/(x)的駐點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。=

考點(diǎn)08:導(dǎo)函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像的關(guān)系

原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)互相判斷應(yīng)遵循以下步驟：

①若已知導(dǎo)函數(shù)判斷原函數(shù)

第一步：觀察導(dǎo)函數(shù)丁軸的上下cr(x)>o,r(x)<o),上則為遞增，下則為遞減.

第二步：導(dǎo)函數(shù)y軸的值越大，則原函數(shù)增的越快(斜率越大)

②若已知原函數(shù)判斷導(dǎo)函數(shù)

第一步：觀察原函數(shù)是上坡路還是下坡路，若為上坡路則導(dǎo)函數(shù)尸(x)>0,若為下坡路則.

導(dǎo)函數(shù)尸(6<o

第二步：原函數(shù)斜率越大，則導(dǎo)函數(shù)y軸的值越大，原函數(shù)斜率越小，則導(dǎo)函數(shù)y軸的值越小.

71.己知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),定義域?yàn)?0,+功，且函數(shù)g(尤)=(x-6)3.尸(X)的圖象如圖所示，則

A.有極小值”6),極大值”1)

B.僅有極小值〃6),極大值“10)

C.有極小值/⑴和“6),極大值〃3)和/(10)

D.僅有極小值/⑴，極大值“10)

72.已知函數(shù)y=〃x),其導(dǎo)數(shù)尸⑺的圖象如下圖所示，則y=()

/\3r

w

A.在(-e,0)上為增函數(shù)

B.在x=l處取得極小值

C.在x=0處取得極大值

D.在(4,+e)上為增函數(shù)

73.已知定義域?yàn)榭傻暮瘮?shù)/⑴的導(dǎo)函數(shù)為數(shù)⑺,7(。)<““，且/'(X)的圖象如圖所示，則的

A.[/(^),B.[/(x2),/(x4)]C.[/(a),/(/?)]D.[/(x2),/(/?)]

74.已知函數(shù)y=/a)的導(dǎo)函數(shù)y=r(x)圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是()

B.￡?是極大值點(diǎn)

C.f(x)的圖象在點(diǎn)了=項(xiàng)處的切線(xiàn)的斜率等于0

D.在區(qū)間(。㈤內(nèi)一定有2個(gè)極值點(diǎn)

75.已知函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù)/⑺的圖象如圖所示，則/(尤)的圖象可能是()

76.函數(shù)y=〃x)的圖象如圖所示，y=/(x)為函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式礦(x)>0的解集為(

A.(-co,-3)u(-1,0)u(1,+oo)B.(一力,-3)5—1,0)50,1)

C.(-3,-1)°(1,+力)D.(-3,-l)u(O,l)

77.已知函數(shù)/(了)=加+加+5+4的圖象如圖所示，則下列正確的是()

B.a<0,c>0

D.a>0,c<0

78.已知函數(shù)〃x)(xwR)的圖象如圖所示，則不等式礦(無(wú))>0的解集為(

B.(-1,0)52,小)

D.-co,-II(2,+oo

79.已知定義在(-2,2)上的函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)為了'(x),且/'(x)在(-2,2)上的圖象如圖所示，則()

A.1是7Xx)的極小值點(diǎn)B.1是/(x)的極大值點(diǎn)

C.-1是/(x)的極小值點(diǎn)D.-1是/(x)的極大值點(diǎn)

80.如果函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象如圖所示，則以下關(guān)于y=判斷正確的是()

A.在區(qū)間(2,4)上是嚴(yán)格減函數(shù)B.在區(qū)間(1,3)上是嚴(yán)格增函數(shù)

C.x=-3是極小值點(diǎn)D.x=4是極小值點(diǎn)

參考答案與試題解析

考點(diǎn)鞏固卷06利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

(八大考點(diǎn))

考點(diǎn)01：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值

膏方端技巧及考點(diǎn)利體

考點(diǎn)01:利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間

①求y=/（x）的定義域

②求廣（X）

③令/'（x）＞0,解不等式，求單調(diào)增區(qū)間

④令/'（%）＜0,解不等式，求單調(diào)減區(qū)間

注：求單調(diào)區(qū)間時(shí)，令/'（尤）＞0（或/'（x）＜0）不跟等號(hào).

1.已知函數(shù)/（x）=2x—31nr+2022,則/'（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.°4B.C.D.

【答案】A

【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，由/'（力＜0可求出其遞減區(qū)間.

【詳解】“X）的定義域?yàn)椋ā?+巧，廣（無(wú)）=2-：=

令r（x）＜o(jì),解得0＜“＜’,

所以“X）的單調(diào)遞減區(qū)間為1o,￡|,

故選：A.

2.函數(shù)，(x)=x-21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是()

A.(-00,2)B.(2,+oo)

C.(0,2)D.(-8,0)

【答案】C

【分析】求出導(dǎo)函數(shù):(力=王/，令尸(力<0,即可得解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=x—21nx,可得:⑺=1_：=干(x>0),

令/'(x)<0,可得0<x<2,所以函數(shù)〃x)=x—21nx的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2).

故選：C.

3.函數(shù)/(x)=(x-3)e，的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(-oo,2]B.[0,3]C.[1,4]D.[2,+8)

【答案】D

【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并令導(dǎo)函數(shù)大于零，解不等式可得其單調(diào)遞增區(qū)間.

【詳解】易知函數(shù)"x)的定義域?yàn)镽,可得r(x)=e，+(x-3)e'=(x-2)e"

令廣(無(wú))20,解得出2.

所以函數(shù)Ax)的單調(diào)遞增區(qū)間是[2,e).

故選：D

4.函數(shù)"x)=f-Inx單調(diào)遞減區(qū)間是(

【答案】A

【分析】求導(dǎo)后，令/'(x)W0,解出即可.

2

【詳解】ff(x)=2x--1=^9r^,-1x>0,

XX

令/⑺皿解得0<.冬

所以單調(diào)遞減區(qū)間為［o，W］.

故選：A.

5.已知函數(shù)/(x)=x+lnx,其導(dǎo)函數(shù)為尸(x).

⑴求在(1,1)處的切線(xiàn)方程；

(2)求g(x)=y(x)+2f'(x)的單調(diào)區(qū)間.

【答案】⑴—

(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(I,+03)

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解；

(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解.

【詳解】(1)因?yàn)椤▁)=x+lnx的導(dǎo)數(shù)為〃x)=l+1,

所以在(LI)處的切線(xiàn)斜率為化=/。)=2,而〃l)=l+lnl=l

故所求的切線(xiàn)方程為kl=2(x-1),即y=2x-l.

(2)因?yàn)?(司=/(耳+2/(耳=犬+1皿+2(1+/),定義域?yàn)?0,+“)

r-r-p.if\.12x"+x—2(x—l)(x+2)

所以g'(x)=1+----=——\—=1——仝——L,(x>0)

XXrX"X

解g'(x)>0得X>1,解g'(尤)<0得0<x<l,

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為。,也).

6.已知函數(shù)小)=1門(mén)-2+1(其中a為常數(shù)).

(1)當(dāng)。=—1時(shí)，求函數(shù)了。)的單調(diào)區(qū)間；

⑵求函數(shù)/(無(wú))在無(wú)eU，2］上的最小值.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為。,”)；單調(diào)遞減區(qū)間為(0」)

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)/'(X)的正負(fù)確定了(X)單調(diào)區(qū)間；

(2)分類(lèi)討論。，根據(jù)單調(diào)的單調(diào)性確定/(x)的最小值.

【詳解】(1)/(x)=lnx+-(x>O),/,(x)=--■\=

XXXX

令/'(x)>0解得X>1,所以“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)

令/'(x)<0解得O<X<1,所以/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)

(2)++

XXXX

①當(dāng)時(shí)，廣(力>0,/(力在［1,2］上單調(diào)遞增，=

②當(dāng)—lKa<0時(shí)，/'(x)>O,/(x)在［1,2］上單調(diào)遞增，/(x)min=/(l)=l-?;

③當(dāng)一2<a<—1時(shí)，令/'(無(wú))>0和/'(力<0分另!］解得一。<》和一。>》，

則在［1,-上單調(diào)遞減，［一。,2］單調(diào)遞增，所以/(41ta=/(—a)=ln(-4)+2；

④當(dāng)aW-2時(shí)，/(^)<0,/(x)在［1,2］上單調(diào)遞減.

綜上所述：當(dāng)aN-l時(shí)，/(411n=l-a；

當(dāng)-2<。<一1時(shí)，/⑺疝。=ln(-a)+2；

當(dāng)aW—2時(shí)，/Wmn=ln2+1-|.

7.已知函數(shù)〃”=年還(“—>

⑴當(dāng)。=0時(shí)，求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵當(dāng)。=1時(shí)，證明：/(x)<|.r+l；

(3)若/?(%)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間是(e,+立),函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(l,e).

⑵證明見(jiàn)解析(3)0<o<l

【分析】(1)先求出函數(shù)的定義域，然后對(duì)函數(shù)后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；

(2)不等式轉(zhuǎn)化為1n(x+i)</x+l,構(gòu)造函數(shù)〃(x)=ln(x+l)-*,利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，利用其

單調(diào)性可證得結(jié)論；

1t—CL

(3)設(shè)r=x+a,令g(r)=F，則轉(zhuǎn)化為g⑺既有極大值又有極小值，則Int--------

/(')=F令

s⑺=lm-9=+然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，分aWO,a=l,a>l,0<。<1四種情況討論即可得答案.

【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，〃尤）=木，函數(shù)〃x）的定義域?yàn)椋∣，1）U（1，”），

Inx—1

ln2x

令制x）>0,解得X>e；令（（無(wú)）<0,解得0<x<l或l<x<e,

故函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞增區(qū)間是（e,+8）,函數(shù)〃尤）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0,1）,（l,e）.

（2）當(dāng)a=l時(shí)，f（x）=皿;+i）,函數(shù)/（力的定義域?yàn)椋?1,0）5°，/），

/、1XI1

不等式/（尤）<5尤+1就是不等式9旬<]X+1（*），

當(dāng)一1（尤<0時(shí)，（*）式等價(jià)于ln（x+l）〈丁5；

7r

當(dāng)x>0時(shí)，（*）式等價(jià)于ln（x+l）>一.

r\1A丫2

設(shè)〃（元）=]n（尤+1）----,=-----------^=7-----------7/------------>0'

''、'尤+2x+1（無(wú)+2）一（x+l）（x+2/

故從力在（-1,+8）上單調(diào)遞增，

2v

故當(dāng)一l<x<0時(shí)，〃a）<MO）=O,即ln（尤+1）〈一，

2x

當(dāng)x>0時(shí)，/z（x）>//（（））=0,即ln（x+l）>.

所以原式成立.

（3）設(shè)t=x+a,令=

mt

既有極大值又有極小值等價(jià)于g⑺既有極大值又有極小值.

1t—CL

In%-----、-，/\,t-aci1

.（八_t,記s（%）=lm—=lnz+--l.

g"In,'t

“八」a-t-a

①當(dāng)aWO時(shí)，有亞丁。，貝丫⑺在（O」）U（l,口）上單調(diào)遞增，

故函數(shù)s⑺在（o,i）U（i，—）上至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

②當(dāng)。=1時(shí)，s（f）在（0,1）上單調(diào)遞減，在（1,y）上單調(diào)遞增，且s（l）=0,

故S9)在(O,l)U(l,y)上沒(méi)有零點(diǎn)，不合題意；

③當(dāng)Q>1時(shí)，S”)在(O,1)U(1M)上單調(diào)遞減，在［。,y)上單調(diào)遞增，

又s(l)=a-1>0,s(a)=lna>0,故函數(shù)s?)在(O,1)U(L”)上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意;

④當(dāng)0<”1時(shí)，在(OM)上單調(diào)遞減，在［a』)U(Ly)上單調(diào)遞增，

且有s(e)=lne+—-1=—>0,5(1)=tz-l<0,5(tz)=lna<0,

2T221(2丫12

se°=aea——>a1+——1+-——1——

a2\a)a

九2

(這里用不等式：當(dāng)時(shí)，e%>l+x+—)

2

“44、2a

=2-1—r+1=—>0.

2\cra)a2

22

下面證明當(dāng)xNO時(shí)，Nl+x+寧，^(p(x)=ex

則夕'(x)=e"—1一工，t(x)=(p\x)=ex—1—x,貝(|r(x)=e"-120(x20),

所以t(x)="(x)=e"-1-x在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以。(%)＞。(0)=0,所以(p(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞增,

所以夕(x)N°(O),所以當(dāng)％之0時(shí)，ex＞l+x+—,

2

(Q

所以s(e＞s⑴＜0,s(a)?se。＜0,

k7

又因?yàn)楹瘮?shù)S(。的圖象分別在區(qū)間(。,1),(1,y)上連續(xù)，

(1.2\

所以函數(shù)S⑺在ea,a,(l,e)內(nèi)各有1個(gè)零點(diǎn)，分別記為4和1

故「、馬分別為函數(shù)g⑺的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn).即“X)既有極大值又有極小值.

綜上，當(dāng)0＜。＜1時(shí)，/'(X)既有極大值又有極小值.

8.設(shè)函數(shù)〃3)=彳2-(a+2)x+alnx(aeR).

⑴若x=3是/(尤)的極值點(diǎn)，求。的值，并求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑵討論AM的單調(diào)性；

⑶若“無(wú))21,求。的取值范圍.

【答案】（1）6,單調(diào)遞增區(qū)間（0』）,（3,內(nèi)），單調(diào)遞減區(qū)間（1,3）

（2）答案見(jiàn)解析（3）（-8-2]

【分析】（1）先求導(dǎo)，令廣⑶=0,檢驗(yàn)即得解；代入。=6,分另U令r（無(wú)）>0,/（無(wú)）<0得到單增區(qū)間和

單減區(qū)間；

（2）根據(jù)二次函數(shù)及二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)定義域，分類(lèi)討論即可求解