中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題28網(wǎng)格中的三角函數(shù)（基礎(chǔ)）含答案及解析

專題28網(wǎng)格中的三角函數(shù)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖所示的正方形網(wǎng)格中有∠α，則tanα的值為（）A．12 B．55 C．22．如圖，在正方形網(wǎng)格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠BAC的值是（）A．34 B．45 C．433．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（）A．43 B．34 C．354．如圖，A，B，C是3×1的正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，則tanB的值為（）A．12 B．55 C．255．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（）A．34 B．25 C．356．如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（）A．13 B．1010 C．127．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（）A．43 B．34 C．358．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則tan∠BAC的值為（）A．2 B．12 C．2559．△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則cosα的值是（）A．34 B．35 C．4510．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，⊙O半徑為1，圓心O在格點(diǎn)上，則tan∠AED＝（）A．1 B．22 C．12 11．在正方形網(wǎng)格中，△ABC如圖放置，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（）A．33 B．12 C．22二．填空題12．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則tanα+tanβ＝．13．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，半徑為2的⊙A與BC交于點(diǎn)F，則tan∠DEF＝．14．三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則sinα的值是．15．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠AOB∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）16．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD都交于O，則sin∠AOD＝．17．如圖，在正方形網(wǎng)格中，cos∠ACB＝．18．如圖，點(diǎn)A，B，C均在正方形網(wǎng)格點(diǎn)上，則tanC＝．19．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形ABCD，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，則sin∠ADB+cos∠DBC＝．20．已知α，β為銳角，tanα=17，tanβ＝2，利用如圖所示的網(wǎng)格計(jì)算tan（α+β）的值為三．解答題21．如圖，在正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在正方形的頂點(diǎn)上，計(jì)算sinA，cosA，tanA與sinB，cosB，tanB的值．22．網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，（1）則△ABC的面積為；（2）試求sinA的值．23．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，（1）直接寫出cosB和tan（∠ACB﹣90°）的值；（2）求sinA的值．24．【問(wèn)題背景】如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)A、B和C、D，AB和CD相交于點(diǎn)P，求tan∠CPB的值．小馬同學(xué)是這樣解決的：連接格點(diǎn)B、E可得BE∥CD，則∠ABE＝∠CPB，連接AE，那么∠CPB就變換到Rt△ABE中．則tan∠CPB的值為．【探索延伸】如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AB和CD相交于點(diǎn)P，求sin∠APD的值．25．如圖，邊長(zhǎng)為5km的正方形網(wǎng)格表示海平面示意圖，其中陰影部分表示輪船無(wú)法通過(guò)的海域，甲輪船從A碼頭出發(fā)沿北偏東45°方向以10km/h的速度行駛202km到C地．休息半小時(shí)后，再以同樣速度沿正東方向行駛15km，然后沿西北方向行駛102km到達(dá)B島．（1）在圖中畫出甲輪船行駛的示意圖；（2）乙輪船比甲輪船從A碼頭晚出發(fā)2h，并以15km/h的速度行駛，途中不休息，問(wèn)：乙輪船能否先于甲輪船到達(dá)B島？若能，畫出乙輪船航線示意圖并說(shuō)明理由；若不能，請(qǐng)說(shuō)出為什么．專題28網(wǎng)格中的三角函數(shù)（基礎(chǔ)）一．選擇題1．如圖所示的正方形網(wǎng)格中有∠α，則tanα的值為（）A．12 B．55 C．2【分析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)，構(gòu)建Rt△ACB，然后利用正切的定義求解．【解答】解：如圖，在Rt△ACB中，tanα=AB故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．靈活應(yīng)用勾股定理和銳角三角函數(shù)．2．如圖，在正方形網(wǎng)格紙中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則tan∠BAC的值是（）A．34 B．45 C．43【分析】利用網(wǎng)格特點(diǎn)得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定義求解．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴tan∠BAC=4故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．合理使用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（）A．43 B．34 C．35【分析】過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，根據(jù)勾股定理可求出AC，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，∵AD＝3，CD＝4，∴由勾股定理可知：AC＝5，∴cos∠BAC=AD故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．4．如圖，A，B，C是3×1的正方形網(wǎng)格中的三個(gè)格點(diǎn)，則tanB的值為（）A．12 B．55 C．25【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，直接計(jì)算得結(jié)論．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABD中，tanB=AD故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)．題目比較簡(jiǎn)單，掌握正切函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則cos∠BAC的值為（）A．34 B．25 C．35【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：過(guò)B作BH⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于H，∴AB=AH2∴cos∠BAC=AH故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，若△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在圖中相應(yīng)的格點(diǎn)上，則tan∠ACB的值為（）A．13 B．1010 C．12【分析】作AH⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，∠ACB的正切值是AH與CH的比值．【解答】解：如圖，作AH⊥CB，交CB延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，tan∠ACB=AH故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正切值的求法，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．7．如圖，在5×4的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（）A．43 B．34 C．35【分析】過(guò)C作CD⊥AB于D，首先根據(jù)勾股定理求出AC，然后在Rt△ACD中即可求出sin∠BAC的值．【解答】解：如圖，過(guò)C作CD⊥AB于D，則∠ADC＝90°，∴AC=A∴sin∠BAC=CD故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及銳角三角函數(shù)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則tan∠BAC的值為（）A．2 B．12 C．255【分析】連接BC，先根據(jù)勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判斷△ABC是直角三角形，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案．【解答】解：如圖，連接BC．根據(jù)勾股定理可得AC2＝22+22＝8，BC2＝12+12＝2，AB2＝12+32＝10，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴tan∠BAC=BC故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，判斷△ABC是直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，則cosα的值是（）A．34 B．35 C．45【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出cosα=CD【解答】解：如圖所示：∵AD＝3，CD＝4，∴AC＝5∴cosα=CD故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．10．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，⊙O半徑為1，圓心O在格點(diǎn)上，則tan∠AED＝（）A．1 B．22 C．12 【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出tan∠ABC，根據(jù)圓周角定理得到∠AED＝∠ABC，得到答案．【解答】解：∵AC＝1，AB＝2，∴tan∠ABC=AC由圓周角定理得，∠AED＝∠ABC，∴tan∠AED=1故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、圓周角定理的應(yīng)用，掌握銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切是解題的關(guān)鍵．11．在正方形網(wǎng)格中，△ABC如圖放置，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為（）A．33 B．12 C．22【分析】在直角△ABC中，首先利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)正弦的定義求解．【解答】解：AB=AC2則sin∠BAC=BC故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．二．填空題12．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則tanα+tanβ＝4．【分析】根據(jù)題意和圖形，可以計(jì)算出tanα+tanβ的值，本題得以解決．【解答】解：由圖可得，tanα+tanβ=AC故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)解答．13．如圖，邊長(zhǎng)為1的小正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，E均在格點(diǎn)上，半徑為2的⊙A與BC交于點(diǎn)F，則tan∠DEF＝12【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠DBC＝∠DEF，進(jìn)而得出tan∠DEF＝tan∠DBC，求出答案即可．【解答】解：由題意可得：∠DBC＝∠DEF，則tan∠DEF＝tan∠DBC=DC故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確得出tan∠DEF＝tan∠DBC是解題關(guān)鍵．14．三角形在正方形網(wǎng)格紙中的位置如圖所示，則sinα的值是35【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出即可．【解答】解：如圖所示：∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝5，∴sinα=AC故答案為：35【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理，正確構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．15．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠AOB＝∠COD．（填“＞”，“＝”或“＜”）【分析】根據(jù)tan∠AOB與tan∠COD的大小比較即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可知tan∠AOB＝2，tan∠COD＝2，∴∠AOB＝∠COD，故答案為：＝【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，構(gòu)建直角三角形求角的三角函數(shù)值進(jìn)行判斷，熟練掌握銳角三角函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．16．如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，AB，CD都交于O，則sin∠AOD＝255【分析】直接利用網(wǎng)格結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出sin∠AOD＝sin∠ABE，即可得出答案．【解答】解：由網(wǎng)格可得：△AEB是Rt△，AE＝22，AB=10DC∥BE，且∠AOD＝∠ABE，故sin∠AOD＝sin∠ABE=AE故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形，得出sin∠AOD＝sin∠ABE是解題關(guān)鍵．17．如圖，在正方形網(wǎng)格中，cos∠ACB＝55【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，在Rt△BCD中，利用勾股定理可求出BC的長(zhǎng)，結(jié)合余弦的定義可求出cos∠ACB的值，此題得解．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，如圖所示．在Rt△BCD中，CD＝1，BD＝2，∴BC=B∴cos∠ACB=CD故答案為：55【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，牢記余弦的定義是解題的關(guān)鍵．18．如圖，點(diǎn)A，B，C均在正方形網(wǎng)格點(diǎn)上，則tanC＝12【分析】連接AD，如圖，利用網(wǎng)格特點(diǎn)得到∠ADC＝90°，CD＝2AD，然后根據(jù)正切的定義求解．【解答】解：連接AD，如圖，易得∠ADC＝90°，而CD＝2AD，所以tanC=AD故答案為12【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．解決此題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用勾股定理和銳角三角函數(shù)的定義．19．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有一個(gè)四邊形ABCD，若小正方形的邊長(zhǎng)為1，則sin∠ADB+cos∠DBC＝55+【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答．【解答】解：如圖，AD=AE2+DE2∴sin∠ADB=AEAD=1∴sin∠ADB+cos∠DBC=5故答案是：55【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，勾股定理．熟練掌握銳角三角形函數(shù)定義即可解答，屬于基礎(chǔ)題型．20．已知α，β為銳角，tanα=17，tanβ＝2，利用如圖所示的網(wǎng)格計(jì)算tan（α+β）的值為【分析】根據(jù)正切函數(shù)是對(duì)邊比鄰邊，可得答案．【解答】解：如圖，tanα=17，tantan（α+β）＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，在直角三角形中，正切函數(shù)是對(duì)邊比鄰邊，畫圖準(zhǔn)確是解題關(guān)鍵．三．解答題21．如圖，在正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在正方形的頂點(diǎn)上，計(jì)算sinA，cosA，tanA與sinB，cosB，tanB的值．【分析】根據(jù)正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，可以求得邊AB、AC、BC的長(zhǎng)，然后即可得到得到CD的長(zhǎng)，從而可以求得∠sinA，cosA，tanA與sinB，cosB，tanB的值．．【解答】解：∵在正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，∴AC=12+22=5∴AB?CD2=4×3解得，CD＝1，∴AD=(5)2∴sinA=CDAC=15=5sinB=110=1010，cosB即sinA=55，cosA=255【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出各邊的長(zhǎng)，然后求出各角的余弦值．22．網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC每個(gè)頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的交點(diǎn)處，（1）則△ABC的面積為6；（2）試求sinA的值．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積＝正方形的面積﹣三個(gè)角上三角形的面積即可得出結(jié)論．（2）作出AB邊的高CE，根據(jù)面積相等求出CE，根據(jù)正弦是角的對(duì)邊比斜邊，可得答案．【解答】解：（1）S△ABC＝4×4?12×4×2?＝16﹣4﹣2﹣4＝6．故答案為6．（2）CE⊥AB于E，由勾股定理得AB＝AC＝25，∵12AB?CE∴CE=2×6sinA=CE【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．23．如圖，△ABC的頂點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，（1）直接寫出cosB和tan（∠ACB﹣90°）的值；（2）求sinA的值．【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答．【解答】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于F，AE⊥CE于E．在直角△ABF中，cosB=BF在直角△ACE中，tan（∠ACB﹣90°）＝tan∠ACE=AE（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵S△ABC=12CD×AB=12∴CD×AB＝BC×AF，∴CD×32=∴CD=2在Rt△ADC中，sinA=CD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，作出輔助線并利用網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．24．【問(wèn)題背景】如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)A、B和C、D，AB和CD相交于點(diǎn)P，求tan∠CPB的值．小馬同學(xué)是這樣解決的：連接格點(diǎn)B、E可得BE∥CD，則∠ABE＝∠CPB，連接AE，那么∠CPB就變換到Rt△ABE中．則tan∠CPB的值為3．【探索延伸】如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，AB和CD相交于點(diǎn)P，求sin∠APD的值．【分析】（1）在Rt△ABE中，利用正切函數(shù)的定義求出tan∠ABE即可．（2）如圖2，連接CE，DE，作DM⊥CE于M．先證明四邊形ABCE是平行四邊形，得出CE∥AB，那么∠APD＝∠ECD．利用割補(bǔ)法求出△ECD的面積=11由勾股定理求出CE=17，那么根據(jù)三角形的面積公式得出DM=1117【解答】解：（1）如圖1，∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠CPB，∴tan∠ABE＝tan∠CPB，∵∠AEB＝90°，∴tan∠CPB＝tan∠ABE=AE故答案為3．（2）如圖2，連接CE，DE，作DM⊥CE于M．∵BC∥AE，BC＝AE，∴四邊