中考數(shù)學幾何專項沖刺專題10倍長中線模型鞏固練習（基礎(chǔ)）含答案及解析

倍長中線模型鞏固練習（基礎(chǔ)）1. 如圖，AD為△ABC的中線．（1）求證：AB＋AC＞2AD．（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．2. 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．求證：AB＝AC．3. 如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB＝AC．求證：①CE＝2CD；②CB平分∠DCE．4. 如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD上一點，BE＝AC，BE的延長線交AC于點F．求證：∠AEF＝∠EAF.5. 如圖，在△ABC中，AD交BC于點D，點E是BC的中點，EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，BG＝CF．求證：AD為△ABC的角平分線．6. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在BC上，點F是CD的中點，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，AE＝BE＝5，求CE的長．7. 如圖，在正方形ABCD的邊CB的延長線上取一點E，△FEB為等腰直角三角形，∠FEB＝90°，連接FD，取FD的中點G，連接EG，CG．求證：EG＝CG且EG⊥CG．8. 如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分別為A，D，連接EC，F(xiàn)為EC中點，連接AF，DF，猜測AF，DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．倍長中線模型鞏固練習（基礎(chǔ)）1. 如圖，AD為△ABC的中線．（1）求證：AB＋AC＞2AD．（2）若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范圍．【解答】（1）證明見解析；（2）1＜AD＜4【解析】（1）證明：如圖，延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，∴AE＝2AD．∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC，在△ABE中，AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD；（2）解：由①可知AE＝2AD，BE＝AC，在△ABE中，AB－BE＜AE＜AB＋BE，∵AC＝3，AB＝5，∴5－3＜AE＜5＋3，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4.2. 如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD．求證：AB＝AC．【解答】證明見解析【解析】證明：如圖，延長AD到E，使DE＝AD，連接BE．在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC＝EB，∠2＝∠E，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，∴AB＝BE，∴AB＝AC.3. 如圖，CB是△AEC的中線，CD是△ABC的中線，且AB＝AC．求證：①CE＝2CD；②CB平分∠DCE．【解答】證明過程見解析【解析】證明：如圖，延長CD到F，使DF＝CD，連接BF．由題意可得CF＝2CD，∵CD是△ABC的中線，∴BD＝AD，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（SAS），∴BF＝AC，∠3＝∠A，∵CB是△AEC的中線，∴BE＝AB，∵AC＝AB，∴BE＝AC，∴BE＝BF，∵∠CBE是△ABC的一個外角，∴∠CBE＝∠BCA＋∠A＝∠BCA＋∠3，∵AC＝AB，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠CBE＝∠CBA＋∠3＝∠CBF，在△CBE和△CBF中，，∴△CBE≌△CBF（SAS），∴CE＝CF，∠4＝∠5，∴CE＝2CD，∴CB平分∠DCE.4. 如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E是AD上一點，BE＝AC，BE的延長線交AC于點F．求證：∠AEF＝∠EAF.【解答】證明見解析【解析】證明：如圖，延長AD到M，使DM＝AD，連接BM．∵D是BC邊的中點，∴BD＝CD，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴∠CAD＝∠M，AC＝MB，∵BE＝AC，∴BE＝MB，∴∠M＝∠BEM，∴∠CAD＝∠BEM，∵∠AEF＝∠BEM，∴∠CAD＝∠AEF，即∠AEF＝∠EAF.5. 如圖，在△ABC中，AD交BC于點D，點E是BC的中點，EF∥AD交CA的延長線于點F，交AB于點G，BG＝CF．求證：AD為△ABC的角平分線．【解答】證明見解析【解析】證明：如圖，延長FE到M，使EM＝EF，連接BM．∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△CFE和△BME中，，∴△CFE≌△BME（SAS），∴CF＝BM，∠F＝∠M，∵BG＝CF，∴BG＝BM，∴∠3＝∠M，∴∠3＝∠F，∵AD∥EF，∴∠2＝∠F，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，即AD為△ABC的角平分線．6. 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在BC上，點F是CD的中點，且AF⊥AB，已知AD＝2.7，AE＝BE＝5，求CE的長．【解答】CE＝2.3【解析】如圖，延長AF交BC的延長線于點G．∵AD∥BC，∴∠3＝∠G，∵點F是CD的中點，∴DF＝CF，在△ADF和△GCF中，，∴△ADF≌△GCF（AAS），∴AD＝CG，∵AD＝2.7，∴CG＝2.7，∵AE＝BE，∴∠5＝∠B，∵AB⊥AF，∴∠4＋∠5＝90°，∠B＋∠G＝90°，∴∠4＝∠G，∴EG＝AE＝5，∴CE＝EG－CG＝5－2.7＝2.3.7. 如圖，在正方形ABCD的邊CB的延長線上取一點E，△FEB為等腰直角三角形，∠FEB＝90°，連接FD，取FD的中點G，連接EG，CG．求證：EG＝CG且EG⊥CG．【解答】證明見解析【解析】證明：如圖，延長EG，交CD的延長線于M．由題意，∠FEB＝90°，∠DCB＝90°，∴∠DCB＋∠FEB＝180°，∴EF∥CD，∴∠FEG＝∠M，∵點G為FD中點，∴FG＝DG，在△FGE和△DGM中，，∴△FGE≌△DGM（AAS），∴EF＝MD，EG＝MG，∵△FEB是等腰直角三角形，∴EF＝EB，∴BE＝MD，在正方形ABCD中，BC＝CD，∴BE＋BC＝MD＋CD，即EC＝MC，∴△ECM是等腰直角三角形，∵EG＝MG，∴EG⊥CG，∠ECG＝∠MCG＝45°，∴EG＝CG.8. 如圖，△ABC與△BDE均為等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分別為A，D，連接EC，F(xiàn)為EC中點，連接AF，DF，猜測AF，DF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．【解答】AF⊥DF且AF＝DF【解析】AF⊥DF，AF＝DF，理由如下：延長DF交AC于點P，如圖所示：∵BA⊥AC，ED⊥BD，∴∠BAC＝∠EDA＝90°，∴DE∥AC，∴∠DEC＝∠ECA，∵F為EC中點，∴EF＝CF，在△EDF和△CPF中，，∴△EDF≌△CPF（ASA），∴DE＝