人教版高一上學(xué)期數(shù)學(xué)(必修一)《5.5三角恒等變換》同步測試題含答案

第第頁人教版高一上學(xué)期數(shù)學(xué)(必修一)《5.5三角恒等變換》同步測試題含答案考試時(shí)間：60分鐘；滿分：100分學(xué)校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．兩角差的余弦公式對于任意角，有.

此公式給出了任意角,的正弦、余弦與其差角-的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作.

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和.2．兩角和的余弦公式(1)公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正”表示展開后的兩項(xiàng)分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符號相反”表示展開后兩項(xiàng)之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時(shí)用“-”，兩角差時(shí)用“+”.3．兩角和與差的正弦公式(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.

①“正余余正”表示展開后的兩項(xiàng)分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項(xiàng)之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時(shí)用“+”,兩角差時(shí)用“-”.4．兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)特征符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.5．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式(1)角的代換代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時(shí)，角的代換作用尤為突出.

常用的角的代換形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要特別注意的是“1”的代換.(3)輔助角公式通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個(gè)三角函數(shù)[或].這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個(gè)三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.6．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式7．二倍角公式的變形應(yīng)用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方變形

.

(3)因式分解變形

.

(4)升冪公式

；.

【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】公式運(yùn)用之妙，存乎一心.使用時(shí)強(qiáng)調(diào)一個(gè)“活”字，而“活”的基礎(chǔ)來源于對公式結(jié)構(gòu)本身的深刻理解.【例1】（2022·四川省模擬預(yù)測（理））已知α，β都為銳角，cosα=17，cosα+β=?A．12 B．?7198 C．?【變式1-1】（2022·江蘇南京·高二期中）已知α,β均為銳角，且sinα+β=2sinα?β，則A．13 B．12 C．2【變式1-2】（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）已知cosα+π12=35，A．3?4310 B．45 C．?【變式1-3】（2022·天津市高一階段練習(xí)）若0<α<π2，?π2<β<0，cosπ4A．33 B．?33 C．5【題型2利用和（差）角公式求三角函數(shù)式的值】【方法點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)求值的四個(gè)切入點(diǎn)：(1)觀察角的特點(diǎn).充分利用角之間的關(guān)系，盡量向同角轉(zhuǎn)化，利用已知角構(gòu)建待求角.(2)觀察函數(shù)特點(diǎn).向同名函數(shù)轉(zhuǎn)化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用輔助角公式求解.(4)觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體出發(fā)，利用公式變形，并能正用、逆用、交替使用這些公式.【例2】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）2cos10°A．1 B．2 C．3 D．2【變式2-1】（2022·寧夏·高三期末（文））sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【變式2-2】（2022·河南高三階段練習(xí)（文））已知tanα=?3，則cosα+πA．225 B．?22 C．?【變式2-3】（2022·山東·高一階段練習(xí)）若cosα=35，則cosA．43100 B．11100 C．?43【題型3利用和（差）角公式化簡三角函數(shù)式】【方法點(diǎn)撥】(1)化簡三角函數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)和要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)式的種數(shù)、項(xiàng)數(shù)及角的種類盡可能少；③使三角函數(shù)式的次數(shù)盡可能低；④使分母中盡量不合三角函數(shù)式和根式.(2)化簡三角函數(shù)式的常用方法:①切化弦；②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）化簡：(1)sinα+β(2)sin10°+【變式3-1】設(shè)3π4<θ<【變式3-2】（2022·四川省高一階段練習(xí)（理））化簡下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【變式3-3】（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）化簡：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【題型4利用和（差）角公式證明三角恒等式】【方法點(diǎn)撥】證明條件恒等式要充分關(guān)注已知條件與待證恒等式的關(guān)系，正確運(yùn)用條件并合理切入，然后用證明恒等式的一般方法處理.【例4】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【變式4-1】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【變式4-2】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：（1）sin(α?β)（2）1cos【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）求證：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【題型5利用二倍角公式化簡】【方法點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)式的化簡問題就是根據(jù)題目特點(diǎn)，利用相應(yīng)的公式，對所給三角函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形.可從“冪”的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個(gè)方面，結(jié)合所給“形”的特征入手解決.一般采用切化弦、異角化同角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數(shù)化為完全平方式等進(jìn)行變形，同時(shí)注意公式的逆用以及“1”的恒等代換，在化簡時(shí)，要注意角的取值范圍.【例5】（2021·全國·高一專題練習(xí)）化簡：(1)cosπ12cos5π(2)cos4α2－sin4α(3)tan22.5【變式5-1】（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）化簡：1+sinα+【變式5-2】（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）化簡：(1)sinα+(2)2tan(3)cos40°(4)sin4(5)11+(6)3?sin【變式5-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：（1）11?（2）2cos【題型6利用二倍角公式求值】【方法點(diǎn)撥】對于給角求值問題，需觀察題中角之同的關(guān)系，并能根據(jù)式子的特點(diǎn)構(gòu)造出二倍角的形式，正用、逆用、變形用二倍角公式求值，注意利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.【例6】（2022·全國·高一單元測試）已知tanα(1)求sinα(2)求tan(β?2α)【變式6-1】（2022·湖北黃石·高一期中）已知tan(1)求tanα(2)求1+cos【變式6-2】（2022·浙江·高一期末）已知sinα=35(1)求tanα(2)求sin2【變式6-3】（2022·北京高一期中）已知2sin(1)tanθ(2)3cos參考答案【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】公式運(yùn)用之妙，存乎一心.使用時(shí)強(qiáng)調(diào)一個(gè)“活”字，而“活”的基礎(chǔ)來源于對公式結(jié)構(gòu)本身的深刻理解.【例1】（2022·四川省模擬預(yù)測（理））已知α，β都為銳角，cosα=17，cosα+β=?A．12 B．?7198 C．?【解題思路】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinα和sin(α+β)，代入【解答過程】解：∵α，β都是銳角，cosα=17∴sinα=1?co∴=?11故選：A．【變式1-1】（2022·江蘇南京·高二期中）已知α,β均為銳角，且sinα+β=2sinα?β，則A．13 B．12 C．2【解題思路】根據(jù)兩角和差的正弦公式，結(jié)合商數(shù)關(guān)系化簡即可得解.【解答過程】解：因?yàn)閟inα+β所以sinα即3cos又α,β均為銳角，所以sinαcosβ故選：D.【變式1-2】（2022·湖北黃岡·高三階段練習(xí)）已知cosα+π12=35，A．3?4310 B．45 C．?【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα+π12【解答過程】解：因?yàn)棣痢?,π2，所以α+所以sinα+所以sin==3故選：D.【變式1-3】（2022·天津市高一階段練習(xí)）若0<α<π2，?π2<β<0，cosπ4A．33 B．?33 C．5【解題思路】根據(jù)題意求得sinπ4+α【解答過程】由題意，可得π4<π因?yàn)閏osπ4+α=13，則cos=1故選：C.【題型2利用和（差）角公式求三角函數(shù)式的值】【方法點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)求值的四個(gè)切入點(diǎn)：(1)觀察角的特點(diǎn).充分利用角之間的關(guān)系，盡量向同角轉(zhuǎn)化，利用已知角構(gòu)建待求角.(2)觀察函數(shù)特點(diǎn).向同名函數(shù)轉(zhuǎn)化，弦切互化，通常是切化弦.(3)利用輔助角公式求解.(4)觀察結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體出發(fā)，利用公式變形，并能正用、逆用、交替使用這些公式.【例2】（2022·湖南·高三階段練習(xí)）2cos10°A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】把分子中的cos10°化為cos【解答過程】原式=2cos3=3cos20故選：C.【變式2-1】（2022·寧夏·高三期末（文））sin10°cos50°+A．12 B．22 C．32【解題思路】結(jié)合誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求得正確答案.【解答過程】sin=cos故選：C.【變式2-2】（2022·河南高三階段練習(xí)（文））已知tanα=?3，則cosα+πA．225 B．?22 C．?【解題思路】利用兩角和的余弦公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡的原式=2【解答過程】由cosα+故選：B.【變式2-3】（2022·山東·高一階段練習(xí)）若cosα=35，則cosA．43100 B．11100 C．?43【解題思路】化簡得cosπ6+α【解答過程】解：因?yàn)閏osπ6=(32cosα?=cos2α?故選：B.【題型3利用和（差）角公式化簡三角函數(shù)式】【方法點(diǎn)撥】(1)化簡三角函數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)和要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)式的種數(shù)、項(xiàng)數(shù)及角的種類盡可能少；③使三角函數(shù)式的次數(shù)盡可能低；④使分母中盡量不合三角函數(shù)式和根式.(2)化簡三角函數(shù)式的常用方法:①切化弦；②異名化同名；③異角化同角；④高次降低次.【例3】（2022·湖南·高一課時(shí)練習(xí)）化簡：(1)sinα+β(2)sin10°+【解題思路】（1）由sin(α+2β)=（2）由sin10【解答過程】(1)∵∴=1(2)sin===?=?=?sin【變式3-1】設(shè)3π4<θ<【解題思路】利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦公式化簡計(jì)算即可.【解答過程】cos==2∵3π4∴cos∴cos【變式3-2】（2022·四川省高一階段練習(xí)（理））化簡下列各式：(1)sin67°+(2)2sin(3)sinα+β【解題思路】（1）將67°寫成67o（2）切化弦，結(jié)合輔助角公式，兩角和的正弦公式運(yùn)算即可求解；．（3）將2α+β改成α+β+α，β改成α+β?α的形式，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解．【解答過程】(1)解：原式=sin75°?8°+=tan75°=tan(2)解：原式===2=22(3)解：原式==sinα+βcosα?1【變式3-3】（2022·全國·高一課前預(yù)習(xí)）化簡：(1)(tan10°－3)·cos10(2)sin(α＋β)cosα－12[sin(2α＋β)－sinβ【解題思路】（1）結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角差的正弦公式計(jì)算出正確答案.（2）結(jié)合兩角和與差的正弦公式計(jì)算出正確答案.【解答過程】(1)原式＝(tan10°－tan60°)·cos10°sin50＝sin10°＝－sin(60°?10(2)原式＝sin(α＋β)cosα－12[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α＝sin(α＋β)cosα－12[sinαcos(α＋β)＋cosαsin(α＋β)－sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－12×2sinαcos(α＋β＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β－α)＝sinβ.【題型4利用和（差）角公式證明三角恒等式】【方法點(diǎn)撥】證明條件恒等式要充分關(guān)注已知條件與待證恒等式的關(guān)系，正確運(yùn)用條件并合理切入，然后用證明恒等式的一般方法處理.【例4】（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知sinβ=msin2α+β，且α+β≠π2+kπ【解題思路】轉(zhuǎn)化sinβ=sin[(α+β)?α]【解答過程】由題意，sinβ=m故sinβ=m又sinβ=∴sin∴(1?m)sin由于α+β≠π2+kπk∈Z故cos(α+β)≠0,cosα≠0兩邊同除以：(1?m)cos可得tanα+β【變式4-1】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知sinα+β=a，(1)sinα(2)cosα【解題思路】（1）根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開，然后兩式相加即可得證；（2）根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開，然后兩式相減即可得證；【解答過程】(1)證明：因?yàn)閟inα+β=asin所以兩式相加可得2sin所以得證sinα(2)證明：因?yàn)閟inα+β=asin所以兩式相減可得2cos所以得證cosα【變式4-2】（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）求證：（1）sin(α?β)（2）1cos【解題思路】（1）直接根據(jù)差角的正弦公式與同角三角函數(shù)的商關(guān)系證明即可；（2）由（1）得sin1°【解答過程】證明：（1）sin(α?β)（2）由（1）得sin1°∴1cos0°cos∴1cos【變式4-3】（2021·全國·高一專題練習(xí)）求證：（1）cosα（2）cosα（3）sinα【解題思路】直接利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡等式的左側(cè)，證明即可．【解答過程】證明：（1）12（2）12（3）?1【題型5利用二倍角公式化簡】【方法點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)式的化簡問題就是根據(jù)題目特點(diǎn)，利用相應(yīng)的公式，對所給三角函數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形.可從“冪”的差異、“名”的差異、“角”的差異這三個(gè)方面，結(jié)合所給“形”的特征入手解決.一般采用切化弦、異角化同角、異次化同次、異名化同名、通分、使被開方數(shù)化為完全平方式等進(jìn)行變形，同時(shí)注意公式的逆用以及“1”的恒等代換，在化簡時(shí)，要注意角的取值范圍.【例5】（2021·全國·高一專題練習(xí)）化簡：(1)cosπ12cos5π(2)cos4α2－sin4α(3)tan22.5【解題思路】（1）利用誘導(dǎo)公式及二倍角正弦公式計(jì)算可得；（2）利用平方關(guān)系及二倍角余弦公式計(jì)算可得；（3）利用二倍角的正切公式計(jì)算可得；【解答過程】（1）解：cosπ（2）解：cos4（3）解：tan22.5【變式5-1】（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）化簡：1+sinα+【解題思路】根據(jù)二倍角正弦公式與二倍角余弦公式對根式進(jìn)行配方，再根據(jù)角的范圍去絕對值，即得結(jié)果.【解答過程】1+==cos∵α為銳角，∴α∴1+sinα+【變式5-2】（2022·江蘇·高一課時(shí)練習(xí)）化簡：(1)sinα+(2)2tan(3)cos40°(4)sin4(5)11+(6)3?sin【解題思路】（1）根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合正弦二倍角公式進(jìn)行求解即可；（2）逆用正切二倍角公式，結(jié)合特殊角的正切值進(jìn)行求解即可；（3）運(yùn)用切化弦法，結(jié)合輔助角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可；（4）運(yùn)用平方差公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式、余弦的二倍角公式進(jìn)行求解即可；（5）運(yùn)用切化弦法，結(jié)合正弦和余弦的二倍角公式進(jìn)行求解即可；（6）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合余弦二倍角公式進(jìn)行求解即可.【解答過程】(1)sinα+(2)2tan(3)cos(4)sin4(5)1(6)3?sin【變式5-3】（2022·全國·高一專題練習(xí)）化簡下列各式：（1）11?（2）2cos【解題思路】（1）對原式通分化簡即得；（2）利用誘導(dǎo)公式、同角的三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的正弦余弦公式化簡即得解.【解答