人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《8.6空間直線、平面的垂直》同步測試題附答案

第第頁人教版高二下學期數(shù)學(必修二)《8.6空間直線、平面的垂直》同步測試題附答案考試時間：60分鐘；滿分：100分學校：___________班級：___________姓名：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共22題，單選8題，多選4題，填空4題，解答6題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本節(jié)內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三期中）設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則（

）A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若l//m，m//n，l⊥α，則n⊥αC．若l//m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l//m2．（3分）（吉林·統(tǒng)考二模）三棱錐A?BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB=3，BD=1，則該三棱錐體積的最大值為（

）A．2 B．43 C．1 D．3．（3分）（2023秋·遼寧遼陽·高三期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB，E是棱PD的中點，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（

）A．73 B．63 C．334．（3分）（2022秋·四川遂寧·高二階段練習）如圖，正方體ABCD?A①DA1與②DD1與③A1B1以上三個命題中，正確命題的序號是（

）A．①② B．②③ C．③ D．①②③5．（3分）（2022秋·四川資陽·高二期中）已知正方體ABCD?A①直線BC1與DA②直線BC1與CA③直線BC1與平面BB④直線BC1與平面ABCD所成的角為其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）（2022秋·浙江溫州·高二期中）在正方體ABCD?A1BA．CC1與平面BDC1所成角正切值為2 C．AB⊥BC1 D．AB17．（3分）（2022秋·浙江·高三階段練習）已知空間中的直線l1，l2，l3滿足l1//l2//l3，且兩兩之間的距離均為d（d>0），動點A∈l1，B∈l2，C∈l2，D∈l3，AB，BD，CD，AC的中點分別為A．MN=PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD垂心B．MN≠PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD垂心C．MN=PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD內(nèi)心D．MN≠PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD內(nèi)心8．（3分）（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AA1=1A．當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥B．當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ⊥C．在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥D．不存在DQ與平面A1二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2023秋·海南·高三期末）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A．A1D B．B1C C．10．（4分）（2022春·廣東陽江·高一期末）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述錯誤的是（

）A．CC1與B1E是異面直線 B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線 D．AE與B1C1所成的角為60°11．（4分）（2022秋·廣東佛山·高二期中）如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB,PC上的射影，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論是（

）A．AF⊥PB B．AE⊥面PBC C．AF⊥BC D．EF⊥PB12．（4分）（湖南·模擬預測）已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長均為22，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點，M為棱PB上異于P，B的一動點，則以下結(jié)論正確的是（

A．異面直線EF、PD所成角的大小為πB．直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為6C．△EMF周長的最小值為6D．存在點M使得PB⊥平面MEF三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高二期中）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點，則在所有的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有．14．（4分）（2022秋·上海徐匯·高二期末）已知△ABC所在平面外一點P，且PA,PB,PC兩兩垂直，則點P在平面ABC內(nèi)的射影應為△ABC的心.15．（4分）（四川南充·?？寄M預測）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E是B1C1的中點，AB=216．（4分）（2022·上海·高二專題練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N、①BM⊥AB；②BM∥平面A1③BM⊥C④B1N⊥平面正確的編號為．四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·高一課時練習）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動．證明：AD⊥C1E.18．（6分）（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.19．（8分）（2022·高二課時練習）在四面體ABCD中，設(shè)AB⊥CD，AC⊥BD．求證：(1)AD⊥BC；(2)點A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．20．（8分）（2022·全國·高一專題練習）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點A'（1）求證：A'（2）求直線A'D與平面21．（8分）（全國·高三專題練習）在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC.22．（8分）（2022秋·山東菏澤·高三階段練習）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中點，F(xiàn)在BB1上．（1）求證：C1D⊥平面AA1B1B；（2）在下列給出三個條件中選取哪兩個條件可使AB1⊥平面C1DF？并證明你的結(jié)論．①F為BB1的中點；②AB1=3；③AA1=2.參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三期中）設(shè)α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則（

）A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若l//m，m//n，l⊥α，則n⊥αC．若l//m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD．若m?α，n⊥α，l⊥n，則l//m【解題思路】AD可舉出反例，B選項，由線面垂直的判定定理得n⊥α；C選項，可得到l//n；【解答過程】A選項，l與α相交、平行或l?α，如圖1，當m//n時，l與α相交，故A錯誤；B選項，因為l//m，m//n，所以l//n，因為l⊥α，則由線面垂直的判定定理得n⊥α，故B正確；C選項，因為m⊥α，n⊥α，所以m//n，因為l//m，所以l//n，故C錯誤；D選項，若m?α，n⊥α，l⊥n，則l與m相交、平行或異面，如圖2，滿足m?α，n⊥α，l⊥n，而l與m異面，故D錯誤．故選：B．2．（3分）（吉林·統(tǒng)考二模）三棱錐A?BCD中，AC⊥平面BCD，BD⊥CD．若AB=3，BD=1，則該三棱錐體積的最大值為（

）A．2 B．43 C．1 D．【解題思路】先利用線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理依次證得BD⊥平面ACD、BD⊥AD與AC⊥CD，從而利用基本不等式求得S△ACD≤2，進而得到【解答過程】因為AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以AC⊥BD，又BD⊥CD，AC∩CD=C，AC,CD?平面ACD，所以BD⊥平面ACD，因為AD?平面ACD，所以BD⊥AD，在Rt△ABD中，AB=3，BD=1，則AD=因為AC⊥平面BCD，CD?平面BCD，所以AC⊥CD，在Rt△ACD中，不妨設(shè)AC=a,CD=ba>0,b>0，則由AC所以S△ACD當且僅當a=b且a2+b所以VA?BCD所以該三棱錐體積的最大值為23故選：D..3．（3分）（2023秋·遼寧遼陽·高三期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB，E是棱PD的中點，則異面直線PC與BE所成角的余弦值為（

）A．73 B．63 C．33【解題思路】分別取棱CD,AD的中點F，H，可得∠BEF是異面直線PC與BE所成的角或補角，在△BEF中，由余弦定理即可求解.【解答過程】如圖，分別取棱CD,AD的中點F，H，連接AC,HE,BH,EF,BF，設(shè)AB=2，則PC=23因為E，F(xiàn)分別是棱PD,CD的中點，所以EF//則∠BEF是異面直線PC與BE所成的角或補角．因為H，E分別是棱AD,PD的中點，所以HE//因為PA⊥平面ABCD，所以HE⊥平面ABCD.因為BH?平面ABCD,所以HE⊥BH，則BE=6在△BEF中，由余弦定理可得cos∠BEF=故選:D.4．（3分）（2022秋·四川遂寧·高二階段練習）如圖，正方體ABCD?A①DA1與②DD1與③A1B1以上三個命題中，正確命題的序號是（

）A．①② B．②③ C．③ D．①②③【解題思路】根據(jù)線面平行、線面垂直的判定與性質(zhì)，即可得到正確答案．【解答過程】解：對于①，在正方體ABCD?A1B1C1D對于②，因為DD1//CC1，BC1不垂直C對于③，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC故選：C．5．（3分）（2022秋·四川資陽·高二期中）已知正方體ABCD?A①直線BC1與DA②直線BC1與CA③直線BC1與平面BB④直線BC1與平面ABCD所成的角為其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由題意，作圖，利用線面垂直判定定理，以及線面角定義，結(jié)合三角函數(shù)的定義，可得答案.【解答過程】由題意，作圖如下：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C因為CB1∩CD=C，且CD,CB1?平面因為DA1,CA1?平面CDA同理可得A1C1⊥平面BB1D1D設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，BC易知∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角，由tan∠CB故選：C.6．（3分）（2022秋·浙江溫州·高二期中）在正方體ABCD?A1BA．CC1與平面BDC1所成角正切值為2 C．AB⊥BC1 D．AB1【解題思路】作出圖形，設(shè)正方體的棱長為1，由正方體的性質(zhì)及線面垂直、線線垂直的判斷(性質(zhì))定理、線線角、線面角的定義逐一判斷即可.【解答過程】解：如圖所示：設(shè)正方體的棱長為1，連接A1C1,連接AC交BD于O，連接C1O則有BD=BC因為AC⊥BD,AA1⊥BD所以BD⊥平面AA1C1C所以BD⊥A同理可證BC又因為BD∩BC所以A1C⊥平面又因為C1H?平面所以A1所以∠CC1H為C又因為Rt△OC所以∠CC所以tan∠C由正方體的性質(zhì)可知AB⊥平面BCC1B因為△AD所以∠B即AB1與BC故選：A.7．（3分）（2022秋·浙江·高三階段練習）已知空間中的直線l1，l2，l3滿足l1//l2//l3，且兩兩之間的距離均為d（d>0），動點A∈l1，B∈l2，C∈l2，D∈l3，AB，BD，CD，AC的中點分別為A．MN=PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD垂心B．MN≠PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD垂心C．MN=PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD內(nèi)心D．MN≠PQ，點A在面BCD上的射影為△BCD內(nèi)心【解題思路】由題意，點A在面BCD上的射影在△BCD平行于BC的中位線上，可排除CD，設(shè)點A在面BCD上的射影為H，再結(jié)合線面垂直的判定定理即可判斷AB.【解答過程】直線l1，l2，l3滿足l1//所以點A在面BCD上的射影在△BCD平行于BC的中位線上，所以點A在面BCD上的射影不可能為△BCD內(nèi)心，排除選項C，D.當AD⊥BC時，MQ⊥NQ，此時四邊形MPNQ為矩形，所以MN=PQ.設(shè)點A在面BCD上的射影為H，則AH⊥BC，AD⊥BC，AH∩AD=A，所以BC⊥面ADH，所以DH⊥BC.對于B，C位置確定：取點B(B?DH)，連結(jié)BH，過D作BH的垂線與l2的交點即為C此時點A在面BCD上的射影H為△BCD的垂心.若點A在面BCD上的射影為△BCD垂心，則AD⊥BC，所以MQ⊥NQ，此時四邊形MPNQ為矩形，所以MN=PQ，排除選項B.故選：A.8．（3分）（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AA1=1A．當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥B．當點Q為線段B1P的三等分點時，DQ⊥C．在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥D．不存在DQ與平面A1【解題思路】依據(jù)線面垂直性質(zhì)定理，利用反證法即可否定選項ABC；按照點Q為線段B1P的中點和點Q不為線段【解答過程】連接AB1，交A在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱則四邊形A1B又∠BAC=90°，即AB⊥AC，又AA1⊥AC，AB∩AA1=A，A則AC⊥面A1B又AB1⊥A1B，AB1則A1B⊥面選項A：當點Q為線段B1P的中點時，又D是棱C若DQ⊥平面A1BD，則A又A1B⊥面AB1C，則面A故假設(shè)不成立，即當點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥平面選項B：當點Q為線段B1P的三等分點時，又D是棱則DQ//AB1不成立，即若DQ⊥平面A1BD，則DQ⊥又AB1⊥A1B，DQ與AB1則A1B⊥面AB1P，又A1這與面AB1P∩故假設(shè)不成立，即當點Q為線段B1P的點三等分時，DQ⊥平面選項C：在線段B1P的延長線上一點Q，又D是棱則DQ//AB1不成立，即若DQ⊥平面A1BD，則DQ⊥又AB1⊥A1B，DQ與AB1則A1B⊥面AB1P，又A1這與面AB1P∩故假設(shè)不成立，即在線段B1P的延長線上，存在一點Q，使得DQ⊥平面選項D：由選項A可知，點Q為線段B1P的中點時，DQ⊥平面假設(shè)點Q在線段B1P上，且不是中點，又D是棱則DQ//AB1不成立，即若DQ⊥平面A1BD，則DQ⊥又AB1⊥A1B，DQ與AB1則A1B⊥面AB1P，又A1這與面AB1P∩故假設(shè)不成立，即點Q在線段B1P上，且不是中點時，DQ⊥平面故不存在DQ與平面A1故選：D.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2023秋·海南·高三期末）在長方體ABCD?A1B1C1D1中，A．A1D B．B1C C．【解題思路】由線面垂直證明線線垂直得到AB選項正確，由正方形對角線互相垂直得到D選項正確，由等邊三角形證得C選項錯誤.【解答過程】如圖所示，因為AD=AA1，所以側(cè)面ADD長方體中，AB⊥平面ADD1A1，A1AD1,AB?平面ABC1D1AC1?平面AB同理B1C⊥平面ABC1D1，AD1=2AD=AB易知AC1，B1D交于長方體的中心O，AC1=B1D=BD故選：ABD.10．（4分）（2022春·廣東陽江·高一期末）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘述錯誤的是（

）A．CC1與B1E是異面直線 B．C1C與AE共面C．AE與B1C1是異面直線 D．AE與B1C1所成的角為60°【解題思路】根據(jù)異面直線的定義及異面直線的夾角問題可一一判斷.【解答過程】由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E共面，A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，而E為BC中點，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，即AE與B1C1所成為90°，D錯誤.故選：ABD.11．（4分）（2022秋·廣東佛山·高二期中）如圖，PA⊥圓O所在的平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上的一點，E，F(xiàn)分別是點A在PB,PC上的射影，給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論是（

）A．AF⊥PB B．AE⊥面PBC C．AF⊥BC D．EF⊥PB【解題思路】根據(jù)線面垂直，線線垂直的判定和性質(zhì)，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.【解答過程】A：因為PA⊥面ABC,BC?面ABC，故可得BC⊥PA，又BC⊥AC,PA∩AC=A,PA,AC?面PAC，故BC⊥面PAC；又因為AF?面PAC，故AF⊥BC；根據(jù)題意AF⊥PC,BC∩PC=C,BC,PC?面PBC，故AF⊥面PBC，又PB?面PBC，故AF⊥PB，故正確；B：由A可知，AF⊥面PBC，過一點A不可能有兩條直線垂直于同一個平面PBC，故錯誤；C：由A可知：AF⊥面PBC,BC?面PBC，故AF⊥BC，故正確；D：由A可知：AF⊥面PBC,PB?面PBC，故可得PB⊥AF，又PB⊥AE，AE∩AF=A,AE,AF?面AEF，故PB⊥面AEF，又EF?面AEF，則EF⊥PB，故正確.故選：ACD.12．（4分）（湖南·模擬預測）已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長均為22，E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點，M為棱PB上異于P，B的一動點，則以下結(jié)論正確的是（

A．異面直線EF、PD所成角的大小為πB．直線EF與平面ABCD所成角的正弦值為6C．△EMF周長的最小值為6D．存在點M使得PB⊥平面MEF【解題思路】根據(jù)空間中異面直線所成角，直線與平面所成角的定義，空間中折疊問題以及垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，逐個選項運算求解即可．【解答過程】如圖1，取PD的中點Q，連接EQ，AQ，因為E，F(xiàn)分別是PC，AB的中點，所以EQ∥DC∥AF，且EQ=AF，所以四邊形AFEQ為平行四邊形，則EF∥AQ，又正四棱錐P?ABCD的所有棱長均為22則AQ⊥PD，所以異面直線EF，PD所成角為π2設(shè)正方形ABCD的中心為O，連接OC，PO，則PO⊥平面ABCD，OC=OP=2，設(shè)OC的中點為H，連接EH，F(xiàn)H，則EH∥OP，且EH⊥平面ABCD，所以∠EFH為直線EF與平面ABCD所成角，所以EH=1△OFH中，OH=1，OF=2，∠FOC=所以由余弦定理可得FH=5，所以EF=所以sin∠EFH=將正△PAB和△PBC沿PB翻折到一個平面內(nèi)，如圖2，當E，M，F(xiàn)三點共線時，ME+MF取得最小值，此時，點M為PB的中點，ME+MF=BC=22所以△EMF周長的最小值為6+2若PB⊥平面MEF，則PB⊥ME，此時點M為PB上靠近點P的四等分點，而此時，PB與FM顯然不垂直，故D錯誤；故選：BC．三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2022·全國·高二期中）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中點，則在所有的棱中與直線CD和AA1都垂直的直線有AB，A1B1．【解題思路】根據(jù)線線垂直的定義或判定來判斷即可.【解答過程】由正三棱柱的性質(zhì)可知與直線CD和AA1都垂直的直線有AB，A1B1．故答案為：AB，A1B1.14．（4分）（2022秋·上海徐匯·高二期末）已知△ABC所在平面外一點P，且PA,PB,PC兩兩垂直，則點P在平面ABC內(nèi)的射影應為△ABC的垂心.【解題思路】設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為P1，由已知可證明PP1⊥BC，PA⊥BC，根據(jù)線面垂直的判定以及性質(zhì)可得BC⊥AP【解答過程】設(shè)點P在平面ABC內(nèi)的射影為P1，則PP1又BC?平面ABC，所以PP因為PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，PB?平面PBC，PC?平面PBC，所以PA⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以PA⊥BC.因為PA∩PP1=P，PA?平面PAP1，PP1又AP1?平面PA同理可證，AC⊥BP1，AB⊥CP1，所以所以，點P在平面ABC內(nèi)的射影應為△ABC的垂心.故答案為：垂.15．（4分）（四川南充·校考模擬預測）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，E是B1C1的中點，AB=2【解題思路】先利用線面垂直的判定定理證得OC1⊥平面BB1D1【解答過程】設(shè)底面A1B1C1因為BB1⊥平面A1B1C又BB1∩所以A1C1⊥平面BDD取OB1的中點H，連接EH，則所以EH⊥平面BB連接BH，則∠HBE為BE與平面BB因為AB=2，AA所以EH=12OC1故答案為：14.16．（4分）（2022·上?！じ叨ｎ}練習）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M、N、①BM⊥AB；②BM∥平面A1③BM⊥C④B1N⊥平面正確的編號為①②④．【解題思路】①，由AB⊥面BCC1B1，得②，取A1C1的中點O，可得PO∥BM?BM∥③，若BM⊥C1P，可得BM⊥④，取AA1中點，可得A1P⊥面B1HN【解答過程】對于①，∵AB⊥面BCC1B1，BM?面BCC1對于②，如圖1，取A1C1的中點O，連接OM，又∵M為B1C1中點，∴OM且OM=12A1B1,∵P為AB中點，A1B1∴OM//BP，且OM=所以PO//BM，∵PO?面A1PC1，BM?面對于③，若BM⊥C1P，由①知AB⊥BM∵BP∩C1P=P，且BP,C1P?面C1PB，∴∴BM⊥BC對于④，如圖2，取AA1中點根據(jù)平面幾何關(guān)系，tan∠AA∵∠A1B1H+∠A1∵N為DD1中點，故得NH⊥面A1ABB1，B1H,HN?面B1HN,B而B1N?面B正方體ABCD?A1B1C1D1中，A∴BB1⊥A1C1，又∵所以A1C1而B1N?面DBB1D1所以B1N⊥面故答案為：①②④.四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2022·高一課時練習）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中點，點E在棱BB1上運動．證明：AD⊥C1E.【解題思路】根據(jù)題意，先證明線面垂直，進而證明線線垂直即可.【解答過程】因為AB＝AC，D是BC的中點，所以AD⊥BC.①又在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD?平面ABC，所以AD⊥BB1.②BC，BB1為平面BB1C1C內(nèi)兩條相交直線由①②得AD⊥平面BB1C1C.由點E在棱BB1上運動，得C1E?平面BB1C1C，所以，AD⊥C1E.18．（6分）（2022·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中.(1)求A1C1與B1C所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小.【解題思路】（1）作平行線，找到A1C1與B1C所成角，再進行求解；（2）作輔助線，得到A1C1與EF所成的角，證明出垂直關(guān)系，得到所成角為90°.【解答過程】（1）如圖所示，連接AC，AB1.由六面體ABCD－A1B1C1D1是正方體知，四邊形AA1C1C為平行四邊形，∴AC//A1C1，從而B1C與AC所成的角就是A1C1與B1C所成的角.在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1與B1C所成的角為60°.（2）如圖所示，連接BD.由（1）知AC//A1C1，∴AC與EF所成的角就是A1C1與EF所成的角.∵EF是△ABD的中位線，∴EF//BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1與EF所成的角為90°.19．（8分）（2022·高二課時練習）在四面體ABCD中，設(shè)AB⊥CD，AC⊥BD．求證：(1)AD⊥BC；(2)點A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．【解題思路】（1）作出輔助線，利用線線垂直得到線面垂直，從而得到線線垂直；（2）結(jié)合第一問中的證明過程即可得到證明.【解答過程】（1）如圖，作AP⊥平面BDC，P是垂足，連接CP、DP、BP．∵CD?平面BCD，∴AP⊥CD，∵AB⊥CD，AB∩AP=A∴CD⊥平面ABP，∵BP?平面ABP，∴CD⊥BP，同理可得：BD⊥CP．∴點P是△BDC的垂心．∴DP⊥BC．∵AP⊥平面BDC，BC?平面BCD，∴AP⊥BC，∵AP∩DP=P∴BC⊥平面ADP，∵AD?平面ADP∴AD⊥BC．（2）由（1）證明可得：點A在底面BCD上的射影是△BCD的垂心．20．（8分）（2022·全國·高一專題練習）如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△BEF，△DCF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點A'（1）求證：A'（2）求直線A'D與平面【解題思路】（1）由正方形ABCD折疊后，得到A'D⊥A'E,A'（2）取EF中點G，連接A'G，由折疊前后結(jié)合線面垂直的判定定理知EF⊥平面A'GD，進而得到∠A'DG【解答過程】（1）證明：由題意，根據(jù)折疊前后，可得A'又A'E∩A'F=A又EF?平面A'EF，所以（2）取EF中點G，連接A'G，由折疊前后知A'DE=DF=5，∴DG⊥EF又DG∩A'G=G，∴EF⊥∴A'在面EFD的射影在DG上，則∠A'DG由（1）可得A'D⊥A因為正方形ABCD的邊長為2，可得EF=2，∴DG=又A'D=2，∴sin∠A'DG=A'21．（8分）（全國·高三專題練習）在△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB=BC，求證：BD⊥平面SAC.【解題思