奧數(shù)舉一反三課程(3-6年級)五年級數(shù)學(xué)奧數(shù)舉一反三課程第1講至第40講全

第講平均數(shù)一

一、知識要點

把幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補(bǔ)少，使它們完全相等，求

得的相等的數(shù)就是平均數(shù)。

如何靈活運用平均數(shù)的數(shù)量關(guān)系解答一些稍復(fù)雜的問題呢？

下面的數(shù)量關(guān)系必須牢記：

平均數(shù)總數(shù)量：總份數(shù)總數(shù)量平均數(shù)X總份數(shù)總份數(shù)總數(shù)量X平均

數(shù)

二、精講精練

【例題】有箱水果，已知蘋果、梨、橘子平均每箱個，梨、橘子、桃平均

每箱個，蘋果和桃平均每箱個。一箱蘋果多少個？

【思路導(dǎo)航】（）箱蘋果+箱梨+箱橘子X（個）；

（）箱桃+箱梨+箱橘子X（個）（）箱蘋果十箱桃X

（個）

由（）（）兩個等式可知：

箱蘋果比箱桃多一（個），再根據(jù)等式（）就可以算出：箱桃有

（-R（個），箱蘋果有+（個）。

箱蘋果和箱桃共有多少個：x（個）

箱蘋果比箱桃多多少個：X-（個）

箱蘋果有多少個：+（個）

練習(xí)：

一次考試，甲、乙、丙三人平均分分，乙、丙、丁三人平均分分，甲、

丁二人平均分分。問：甲、丁各得多少分？

甲、乙、丙、丁四人稱體重.乙、丙、丁二人共重千克,甲、丙、丁二人

共重千克，丙、丁二人的平均體重是千克。求四人的平均體重是多少千克？

甲、乙、丙三個小組的同學(xué)去植樹，甲、乙兩組平均每組植樹棵，甲、丙兩

組平均每組植樹棵，乙、丙兩組平均每組植樹棵。三個小組各植樹多少棵？

【例題】一次數(shù)學(xué)測驗，全班平均分是分，已知女生有人，平均每人

分；男生平均每人分。求這個班男生有多少人？

【思路導(dǎo)航】女生每人比全班平均分高一（分），而男生每人比全班平

均分低一（分）。全體女生高出全班平均分X（分），應(yīng)補(bǔ)給

每個男生分，里包含有個，即全班有個男生。

練習(xí)：

兩組學(xué)生進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳下。甲組有人，平均每人跳下,

乙組平均每人跳下。乙組有多少人？

有兩塊棉田，平均每畝產(chǎn)量是千克，已知一塊地是畝，平均每畝產(chǎn)量是

千克；另一塊田平均每畝產(chǎn)量是千克。這塊田是多少畝？

把甲級和乙級糖混在一起，平均每千克賣元，乙知甲級糖有千克，平均每

千克元：乙級糖有千克，平均每千克多少元？

【例題】某個數(shù)的平均數(shù)是如果把其中一個數(shù)改為，平均數(shù)就變成了。

被改的數(shù)原來是多少？

【思路導(dǎo)航】原來三個數(shù)的和是X，后來三個數(shù)的和是X,比多出

了是因為把那個數(shù)改成了。因此，原來的數(shù)應(yīng)該是一

練習(xí)：

已知九個數(shù)的平均數(shù)是去掉一個數(shù)之后，余下的數(shù)的平均數(shù)是。去掉的

數(shù)是多少？

有五個數(shù)，平均數(shù)是。如果把其中的一個數(shù)改為那么這五個數(shù)的平均數(shù)為。

這個改動的數(shù)原來是多少。

甲、乙、丙、丁四位同學(xué)，在一次考試中四人的平均分是分?？墒?，曰在抄

分?jǐn)?shù)時，把自己的分錯抄成了分,因此，算得四人的平均分是分。求甲在這次

考試中得了多少分？

【例題】五一班同學(xué)數(shù)學(xué)考試平均成績分，事后復(fù)查發(fā)現(xiàn)計算成績時將一

位同學(xué)的分誤作分計算了。經(jīng)重新計算，全班的平均成績是分，五一班有

多少名同學(xué)？

【思路導(dǎo)航】分比分多分。多算分就能使全班平均每人的成績上升

-（分）。里面包含有兒個五一班就有兒名同學(xué)。練習(xí)：

五（）班有人，期中數(shù)學(xué)考試，有名同學(xué)去參加體育比賽而缺考，全班平

均分為分。缺考的兩位同學(xué)補(bǔ)考均為分，這次五0班同學(xué)期中考試的平

均分是多少分？

某班的一次測驗，平均成績是分。復(fù)查時發(fā)現(xiàn)把張靜的分誤看作分

計算，經(jīng)重新計算，該班平均成績是分。問全班有多少同學(xué)？

五個數(shù)的平均數(shù)是，把其中一個數(shù)改為后，這五個數(shù)的平均數(shù)是。這個

改動的數(shù)原來是多少？

【例題】把五個數(shù)從小到大排列，其平均數(shù)是。前三個數(shù)的平均數(shù)是后

三個數(shù)的平均數(shù)是。中間一個數(shù)是多少？

【思路導(dǎo)航】先求出五個數(shù)的和：X，再求出前三個數(shù)的和：X

后三個數(shù)的和：X。用前三個數(shù)的和加上后三個數(shù)的和，這樣，中間的那個數(shù)

就算了兩次，必然比多，而多出的部分就是所求的中間的一個數(shù)。

練習(xí)：

甲、乙、丙三人的平均年齡為歲，如果甲、乙的平均年齡是歲，乙、丙

的平均年齡是歲，那么乙的年齡是多少歲？

十名參賽者的平均分是分，前人的平均分是分，后人的平均分是

分。那么第人和第人的平均分是多少分？

下圖中的。內(nèi)有五個數(shù)、、、、，口內(nèi)的數(shù)表示與它相連的所有O中的平

均數(shù)。求是多少？

A)(BE

7

第講平均數(shù)

二、精講精練

【例題】小明前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是分，這次要考分，才能把平

均成績提高到分。問這是他第幾次測驗？

【思路導(dǎo)航】分比分多分，這分必須填補(bǔ)到前幾次的平均分分中

去，使其平均分成為分。每次填補(bǔ)一（分），里面有個所以，前面已

經(jīng)測驗了次，這是第次測驗。

練習(xí)：

老師帶著幾個同學(xué)在做花，老師做了朵，同學(xué)平均每人做了朵。如果師生

合起來算，正好平均每人做了朵。求有多少個同學(xué)在做花？

一位同學(xué)在期中測驗中，除了數(shù)學(xué)外，其它幾門功課的平均成績是分，如果

數(shù)學(xué)算在內(nèi)，平均每門分。已知他數(shù)學(xué)得了分，問這位同學(xué)一共考了多少門功

課？

兩組同學(xué)進(jìn)行跳繩比賽，平均每人跳次。甲組有人，平均每人跳次，

如果乙組平均每人跳次，那么，乙組有多少人？

【例題】小亮在期末考試中，政治、語文、數(shù)學(xué)、英語、自然五科的平均成績

是分，政治、數(shù)學(xué)兩科平均分，政治、英語兩科平均分，英語比語文多

分。小亮的各科成績是多少分？

【思路導(dǎo)航】因為語文、英語兩科平均分分，即語文+英語分，而英語比

語文多分，即英語一語文分，所以，語文是（一）?分，英涪是

十分。乂因為政治、英語兩科平均分，所以政治是X一分；而政治、

數(shù)學(xué)兩科平均分分，數(shù)學(xué)是X-分；最后根據(jù)五科的平均成績是

分可知，自然分是x-（+++）分。

練習(xí)：

甲、乙、丙三個數(shù)的平均數(shù)是甲、乙兩數(shù)的平均數(shù)是，乙、丙兩數(shù)的平

均數(shù)是。乙數(shù)是多少？甲、丙兩個數(shù)的平均數(shù)是多少？

小華的前幾次數(shù)學(xué)測驗的平均成績是分，這一次得了分，正好把這幾次

的平均分提高到分。這一次是他第幾次測驗？

五個數(shù)排一排，平均數(shù)是。如果前四個數(shù)的平均數(shù)是,后四個數(shù)的平均數(shù)是

，那么，第一個數(shù)和第五個數(shù)的平均數(shù)是多少？

【例題】兩地相距千米，一艘汽艇順?biāo)腥绦枰r，已知這條河的

水流速度為每小時千米。往返兩地的平均速度是每小時多少千米？

【思路導(dǎo)航】用往返的路程除以往返所用的時間就等于往返兩地的平均速度。顯

然，要求往返的平均速度必須先求出逆水行全程時所用的時間。因為-（千

米）是順?biāo)俣?，它是汽艇的靜水速度與水流速度的和，所以，此汽艇的靜水速度是

一（千米）。而逆水速度靜水速度一水流速度，所以汽艇的逆水速度是一

（千米）。逆水行全程時所用時間是子（小時），往返的平均速度是X-

（十）（千米）。

練習(xí)：

甲、乙兩個碼頭相距千米，汽船從乙碼頭逆水行駛小時到達(dá)甲碼頭，已

知汽船在靜水中每小時行駛千米。求汽船從甲碼頭順流行駛幾小時到達(dá)乙碼頭？

一艘客輪從甲港駛向乙港，全程要行千米。已知客輪的靜水速度是每小時

千米，水速每小時千米?，F(xiàn)在正好是順流而行，行全程需要幾小時？

甲船逆水航行千米，需要小時，返回原地需要小時；乙船逆水航行

同樣的一段水路需要小時，返回原地需要多少小時？

【例題】幼兒園小班的個小朋友和大班的個小朋友一起分餅干，小班的小

朋友每人分塊，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多塊。求一共分

掉多少塊餅干？

【思路導(dǎo)航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均數(shù)，再乘（+）人就能

求出餅干的總塊數(shù)。因為大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均數(shù)多塊，個

小朋友一共多X（塊），這塊平均分給個小班的小朋友，每人可得-

（塊）。因此，大、小班小朋友分得平均塊數(shù)是+（塊）。i共分掉x（

十）（塊）。

練習(xí)：

數(shù)學(xué)興趣小組里有名女生和名男生，在一次數(shù)學(xué)競賽中，女生的平均分是

分，男生的平均分比全組的平均分高分，全組的平均分是多少分？

兩組同學(xué)跳繩，第一組有人，平均每人跳下；第二組有人，平均每人

比兩組同學(xué)跳的平均數(shù)多下，兩組同學(xué)平均每人跳幾下？

一個技術(shù)工帶個普通工人完成了一項任務(wù)，每個普通工人各得元，這位

技術(shù)工人的收入比他們?nèi)说钠骄杖脒€多元。問這位技術(shù)工得多少元？

【例題】王強(qiáng)從地到地，先騎自行車行完全程的一半，每小時行千米。

剩下的步行，每小時走千米。王強(qiáng)行完全程的平均速度是每小時多少千米？

【思路導(dǎo)航】求行完全程的平均速度，應(yīng)該用全程除以行全程所用的時間。由于

題中沒有告訴我們地到地間的路程，我們可以設(shè)仝程為千米（也可以設(shè)其他數(shù)），這

樣，就可以算出行全程所用的時間是一++（小時），再用一就能得

到行全程的平均速度是每小時千米。

練習(xí)：

小明去爬山，上山時每小時行千米，原路返回時每小時行千米。求小明往

返的平均速度。

運動員進(jìn)行長跑訓(xùn)練，他在前一半路程中每分鐘跑米，后一半路程中每分

鐘跑米。求他在整個長跑中的平均速度。

把一份書稿平均分給甲、乙二人去打，甲每分鐘打個字，乙每分鐘打個

字。打這份書稿平均每分鐘打多少個字？

第講長方形、正方形的周長

一、知識要點

同學(xué)們都知道，長方形的周長（長+寬）X正方形的周長邊長X。長方形、正方

形的周長公式只能用來計算標(biāo)準(zhǔn)的長方形和正方形的周長。如何應(yīng)用所學(xué)知識巧求表

面上看起來不是長方形或正方形的圖形的周長，還需同學(xué)們靈活應(yīng)用已學(xué)知識，

掌握轉(zhuǎn)化的思考方法，把豆雜的問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的圖形，以便計算它們的周長。

二、精講精練

【例題】有張同樣大小的紙如下圖0重疊著，每張紙都是邊長匣米的正

方形，重疊的部分為邊長的一半，求重疊后圖形的周長。

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，我們可以把每

個正方形的邊長的一半同時向左、右、上、

下平移（如圖），轉(zhuǎn)化成一個大正方形，這

個大正方形的周長和原來個小正方形重疊

后的圖形的周長相等。因比，所求周長是

X厘米。

練習(xí)

下圖由個邊長都是厘米的正方形組成，求這個圖形的周長。

下圖由個正方形和個長方形組成，求這個圖形的周長。

有塊邊長是厘米的正方形，如例題中所說的這樣重疊著，求重疊后圖形的

周長。

【例題】一塊長方形木板，沿著它的長度不同的兩條邊各截去厘米，截掉的

面積為平方厘米。現(xiàn)在這塊木板的周長是多少厘米?

【思路導(dǎo)航】把截掉的平方厘米分成、、三塊（如圖），其中的面積

是一X（平方厘米）。把和移到一起拼成一

個寬厘米的長方形，而此長方形的長就是這塊木板剩下

部分的周長的一半。?（厘米），現(xiàn)在這塊木板的

周長是X（厘米）。

練習(xí)：

有一個長方形，如果長減少米，寬減少米，面積就比原來減少平方米,

且剩下部分正好是一個正方形。求這個正方形的周長。

有兩個相同的長方形，長是厘米，寬是厘米，如果按下圖疊放

在一起，這個圖形的周長是多少？

有一塊長方形廣場，沿著它不同的兩條邊各劃出米做綠化帶，剩

下的部分仍是長方形，且周長為米。求劃去的綠化帶的面積是多少平

方米?

【例題】已知下圖中，甲是正方形，乙是長方形，整個圖形的周長是多少？

【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出，整個圖形的周長由六條-----

線段圍成，其中三條橫著，三條豎著。三條橫著的線段和是

甲

（十）X三條豎著的線段和是X。所以，整個圖形的-----------

周長是（+）X+X即+。-----E--------------

ab

練習(xí)：

有一張長厘米，寬厘米的硬紙板，在四個角上各剪去一個同樣大小的正

方形后準(zhǔn)備做一個長方體紙盒，求被剪后硬紙板的周長。

一個長厘米，寬厘米的長方形和兩個正方形正好拼成下圖（）所示美方

形，求所拼長方形的周長。

求下面圖形（圖）的周長（單位：厘米）。

圖（）

【例題】下圖是邊長為厘米的正方形，求正方形中陰影部分的周長。

【思路導(dǎo)航】我們把陰影部分周長中左邊的條線段全部平移到左邊，

其和正好是厘米。再把下面的線段全部平移到下面，其和也正好是厘米。

因此，陰影部分的周長與邊長是厘米的正方形的周長是相等的。

練習(xí)：

求下面圖形的周長（單位：厘米）。

在（）里填上或甲的周長（）乙的周長

下圖中的每一小段的長度都相等，求圖形的周長。

【例題】如下圖，陰影部分是正方形，厘米,

的周長。

DEF

【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意可知，最大長方形的寬就是正方形的邊

長。因為，所以，++I-十I-

（厘米）,這正好是最大長方形周長的一半。因此，最大長方形的周

長是（+）X（厘米）。

練習(xí)：

下面三個正方形的面積相等，剪去陰影部分的面積也相等，求原來正方形的周

長發(fā)生了什么變化？（單位：厘米）

下面是一個零件的平面圖，圖中每條短線段都是厘米，零件長厘米，高

厘米。這個零件的周長是多少厘米？

有兩個相同的長方形，長厘米，寬厘米，如下圖重疊著，求重疊圖形的周

長。

第講長方形、正方形的面積

一、知識要點

長方形的面積長X寬，正方形的面積邊長X邊長。掌握并能運用這兩個面積公

式，就能計算它們的面積。

但是，在平時的學(xué)習(xí)過程中，我們常常會遇到一些已知條件比較隱蔽、圖形比較

復(fù)雜、不能簡單地用公式直接求出面積的題目。這就需要我們切實掌握有關(guān)概念，利

用，，割補(bǔ)，，、，，平移，，、，，旋轉(zhuǎn)，，等方法，使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為普通的求長方形、正方形

面積的問題，從而正確解答。

二、精講精練

【例題】已知大正方形比小正方形邊長多厘米，大正方形比小正方形的面積

大平方厘米。求大、小正方形的面積各是多少平方厘米?

【思路導(dǎo)航】從圖中可以看出，大正方形的面積比小正方形的面積大

出的平方厘米，可以分成三部分，其中和的面積相等。因此，用

平方厘米減去陰影部分的面積，再除以就能得到長方形和的面積，再

用或的面積除以就是小正方形的邊長。求到了小正方形的邊長，

計算大、小正方形的面積就非常簡單了。

練習(xí)：

有一塊長方形草地，長米，寬米。在它的四周向外筑一條寬

米的小路，求小路的面積。

正方形的一組對邊增加厘米，另一組對邊減少厘米，結(jié)果得到一個與原

正方形面積相等的長方形。原正方形的面積是多少平方厘米？

把一個長方形的長增加分米，寬增加分米后，得到一個面積比原長方形多

平方分米的正方形。求這個正方形的邊長是多少分米？

【例題】一個大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個較小的長方形,

其中三個長方形的面積如下圖所求，求第四個長方形的面積。

【思路導(dǎo)航】因為',x，把兩個式子相乘X

614

XXX,而X,所以XX4-E

35

練習(xí)：

D

下圖一個長方形被分成四個小長方形，其中三個長方形的面積分

別是平方厘米、平方厘米和平方厘米，求陰影部分的面積。

下面一個長方形被分成六個小長方形，其中四個長方形的面積如圖所示（單位:

平方厘米），求和的面積°

下圖中陰影部分是邊長厘米的正方形，四塊完全一樣的長方形的寬是厘米,

求整個圖形的面積。

15A12

4524B

【例題】把分米長的線段分成兩段，并且在每一-段上作一正方形，已知兩個

正方形的面積相差平方分米，大正方形的面積是多少平方分米？

【思路導(dǎo)航】我們可以把小正方形移至大正方形

A

里面進(jìn)行分析。兩個正方形的面積差平方分米就是

圖中的和兩部分，如圖。如果把移到原來小正方B:

形的上面，不難看出，和正好組成一個長方形，20

此長方形的面積是平方分米，長分米，寬是

:（分米），即大、小兩個正方形的邊長相差分米。因此，大正方形的邊長就是

（）+（分米）,面積是X（平方分米）。

練習(xí)：

一塊正方形，一邊劃出米，另一邊劃出米搞綠化，剩下的面積比原米減

少了平方米。這塊地原來的面積是多少平方米？

一個正方形，如果它的邊長增加厘米，那么，面積就比原來增加

平方厘米。原來正方形的面積是多少平方厘米？

有一個正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米寬的小路，路面面積是

平方米。求草坪的面積。

【例題】有一個正方形如下圖，請把這個正方形的面積擴(kuò)大倍，并畫出

來。

【思路導(dǎo)航】由于不知道正方形的邊長和面積，所以，也沒有辦法計

算出所畫正方形的邊長或面積。我們可以利用兩個正方形之間的關(guān)系進(jìn)行

分析。以正方形的四條邊為準(zhǔn)，分別作出個等腰直角三角形，如圖中虛

線部分，顯然，虛線表示的正方形的面積就是原正方形面積的倍。

練習(xí)：

四個完全一樣的長方形和一個小正方形組成了一個大正方形，如果大、小正方

形的面積分別是平方米和平方米，求其中一個長方形的寬。

正圖的每條邊都垂直于與它相鄰的邊，并且條邊的長都相等C如果此圖的周

長是厘米，那么，這個圖形的面積是多少?

正圖中，正方形的面積。

【例題】有一個周長是厘米的長方形，它是由三個大小相寺的正方形拼成的。

一個正方形的面積是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】三個同樣大小的正方形拼成的長方形，它的周長是原正方形邊長的

倍，正方形的邊長為+（厘米），一個正方形的面積就是X（平方厘米）。

練習(xí)：五個同樣大小的正方形拼成一個長方形，這個長方形的周長是厘米，

求每個正方形的面積是多少平方厘米？

有一張長方形紙，長厘米，寬厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形

后，剩下部分的周長是多少厘米？_

有一個小長方形，它和一個正方形拼成了一個大長方形（如下圖），Ac

已知大長方形的面積是平方厘米，且周長比原來小長方形的周長多厘米。

求原來小長方形的面積.

第講分類數(shù)圖形

一、知識要點

我們在數(shù)數(shù)的時候,遵循不重復(fù)、不遺漏的原貝J,不能使數(shù)出的結(jié)果準(zhǔn)確。但是

在數(shù)圖形的個數(shù)的時候,往往就不容易了。分類數(shù)圖形的方法能夠幫助我們找到圖形

的規(guī)律，從而有秩序、有條理并且正確地數(shù)出圖形的個數(shù)。

二、精講精練

【例題】下面圖形中有多少個正方形？

【思路導(dǎo)航】圖中的正方形的個數(shù)可以分類數(shù)，如由一個小正方

形組成的有X個，X的正方形有X個，X的正方

形有X個。因此圖中共有+十個正方形。

練習(xí)：

下圖中共有多少個正方形？

下圖中共有多少個正方形？

下圖中共有多少個正方形，

【例題】下圖中共有多少個三角形？

【思路導(dǎo)航】為了保證不漏數(shù)又不重復(fù)，我們可以分類來數(shù)三角形，然后再把數(shù)

出的各類三角形的個數(shù)相加。

。圖中共有個小三角形；

()由兩個小三角形組合的三角形有個：

()由三個小三角形鋁合的三角形有個；

()由六個小三角形組合的三角形有個。

所以共有+++個三角形。

練習(xí)：

下面圖中共有多少個三角形？

數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形。

數(shù)一數(shù)，圖中共有多少個三角形？

【例題】數(shù)出下圖中所有三角形的個數(shù)。

【思路導(dǎo)航】和三角形一樣形狀的三角形有個；和三角形

一樣形狀的三角形有個；和三角形一樣形狀的三角形有

個；和三角形一樣形的三角形有個；和三角形一樣形狀的三

角形有個，共個三角形。C

練習(xí)：

數(shù)出下面圖形中分別有多少個三角形。

【例題】如下圖，平面上有個點，可任意取其中四個點圍成一個正方形，這

樣的正方形有多少個？

【思路導(dǎo)航】把相鄰的兩點連接起來可以得到下面圖形，從圖中可以看出：

()最小的正方形有個；

()由個小正方形組合而成的正方形有個；

。中間還可圍成個正方形。

所以共有++個。

練習(xí)：

下圖中共有個點，連接任意四點圍成一個長方形，一共能圍成多少個長方形？

下圖中共有個點，連接其中的三點圍成一個三角形，一共能圍成多少個三角

形？

下圖中共有個點，連接其中的四個點圍成一個梯形，一共能圍成多少個梯形？

【例題】數(shù)一數(shù)，下圖中共有多少個三角形？

【思路導(dǎo)航】我們可以分類來數(shù)：

單一的小三角形有個；兩個小三角形組合的有個；

四個小三角形組合的有個；八個小三角形組合的有個。

所以，圖中一共有+++個三角形。

練習(xí)：

圖中共有()個三角形。

圖中共有()個三角形。

圖中共有()個正方形。

第講尾數(shù)和余數(shù)

一、知識要點

自然數(shù)末位的數(shù)字稱為自然數(shù)的尾數(shù)；除法中，被除數(shù)減去商與除數(shù)積的差叫做

余數(shù)。尾數(shù)和余數(shù)在運算時是有規(guī)律可尋的，利用這種規(guī)律能解決一些看起來無從下

手的問題。

二、精講精練

【例題】寫出除后余的全部兩位數(shù)。

【思路導(dǎo)航】因為十把分解質(zhì)因數(shù)：XXX,所以，符題

目要求的兩位數(shù)有XXXXx

xx一共有個兩位數(shù)。

練習(xí)：

寫出除后余的全部兩位數(shù)。

除以一個兩位數(shù)后余數(shù)是適合條件的兩位數(shù)有哪些？

寫出除后余的全部三位數(shù)。

【例題】()XXX……X個積的尾數(shù)是幾？

0(x)x(X)X……x(X)個(X)積的尾數(shù)是

幾？

【思路導(dǎo)航】。因為個位乘，積的個位仍然是，所以不管多少個相乘,

個位還是；

()每個括里乘積的個位是,我們只要分析個相乘，積的尾數(shù)是幾就行了。因為個

位乘，積的個位仍然是，所以不管多少個(x)連乘，積

的個位還是。

練習(xí)：

x*x……x個積的尾數(shù)是幾？

XXX……X個積的尾數(shù)是兒？

(X)X(X)X(X)X..X(X)個(X)

積的尾數(shù)是幾？

【例題1()XXX...X個積的個位數(shù)是幾？

0XXX...X個積的個位數(shù)是幾？

【思路導(dǎo)航】()我們先列舉前幾個的積，看看人位數(shù)在怎樣變化，個個位就

是；X的個位是；XX的個位是；XXX的個位是……由此可見，積的尾數(shù)以兩個

數(shù)字在不斷重復(fù)出現(xiàn)。-沒有余數(shù)，說明個相乘，

積的個位是。

()用上面的方法可以發(fā)現(xiàn)，個相乘時，積的個位是以“，”兩個數(shù)字不

斷重復(fù)，+……余數(shù)是說明個本乘積的個位是。

練習(xí)：

XxX...X個，積的尾數(shù)是多少？

XXX...XX，積的尾數(shù)是多少？

XXX…X個一XX…X個，差的個位是多

少？

【例題】把化成小數(shù)，那么小數(shù)點后面第位上的數(shù)字是多少？

【思路導(dǎo)航】因為生……，化成的小數(shù)是一個無限循環(huán)小數(shù),

循環(huán)節(jié)””共有個數(shù)字。由于+……，所以，小數(shù)點后面的第

位是第個循環(huán)節(jié)的第個數(shù)字，是。

練習(xí)：

把化成小數(shù)，求小數(shù)點后面第位上的數(shù)字。

寫成循環(huán)小數(shù)后，小數(shù)點后第個數(shù)字是幾？

有一串?dāng)?shù)：……，其中，從第三個數(shù)起，每個數(shù)恰

好是前兩個數(shù)的和。在這串?dāng)?shù)中，第個數(shù)被除后所得的余數(shù)是多少？

【例題】一個?當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？

【思路導(dǎo)航】如果用除法硬除顯然太麻煩，我們可以先用豎式來除一除，看一看

余數(shù)在按怎樣的規(guī)律變化。卜）-.「

I???

13?555555...

1

5235

C6

-

95

91

—5

39

65

-

6J

O

從豎式中可以看出，余數(shù)是按...........這六個數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)。

-……所以，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是。

練習(xí)：

…3個，當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)是幾？

當(dāng)商是整數(shù)時，余數(shù)各是幾？

0…+個

0個

0個

0????個

第講一般應(yīng)用題（一）

一、知識要點

一般復(fù)合應(yīng)用題往往是有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，有的已知條件

是間接的，數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應(yīng)用題沒

有明顯的結(jié)構(gòu)特征和解題規(guī)律可循。解答一般應(yīng)用題時，可以借助線段圖、示意圖、

直觀演示手段幫助分析。在分析應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系時，我們可以從條件出發(fā)，逐步推

出所求問題（綜合法）;也可以從問題出發(fā)，找出必須的兩個條件（分析法）。在實際

解時，可以根據(jù)題中的已知條件，靈活運用這兩種方法。

二、精講精練

【例題】五年級有六個班，每班人數(shù)相等。從每班選人參加少先隊活動，剩

下的同學(xué)相當(dāng)于原來個班的人數(shù)。原來每班多少人？

【思路導(dǎo)航】從每班選人參加少先隊活動，個班共選X（人）。剩下

的同學(xué)相當(dāng)于原來個班的人數(shù)，那么，人就相當(dāng)于原來（一）個班人人數(shù)，圻

以，原來每班-（人）。

練習(xí)：

五個同學(xué)有同樣多的存款，若每人拿出元捐給“希望工程”后，五位同學(xué)剩

下的錢正好等于原來人的存款數(shù)。原來每人存款多少？

把一堆貨物平均分給個小組運，當(dāng)每個小組都運了箱時，正好運走了這堆

貨物的一半。這堆貨物一共有多少箱？

老師把一批樹苗平均分給四個小隊栽，當(dāng)每隊栽了棵時，發(fā)現(xiàn)剩下的樹苗正

好是原來每隊分得的棵數(shù)0這批樹苗一共有多少棵？

【例題】某車間按計劃每天應(yīng)加工個零件，實際每天加工個零件。這樣，不

僅提前天完成原計劃加工零件的任務(wù)，而且還多加工了個零件。這個車間實

際加工了多少個零件？

【思路導(dǎo)航】如果按原計劃的天數(shù)加工，加工的零件就會比原計劃多X+

（個）。為什么會多加工個呢?是因為每天多加工了一（個）。因此，

原計劃加工的天數(shù)是-（天），實際加工了X+（個）零件。

練習(xí)：

汽車從甲地開往乙地，原計劃每小時行千米，實際每小時多行了千米，

這樣比原計劃提前小時到達(dá)了乙地。甲、乙兩地相距多少千米？

小明騎車上學(xué)，原計劃每分鐘行米，正好準(zhǔn)時到達(dá)學(xué)校，有一天因下雨，

他每分鐘只能行米，結(jié)果遲到了分鐘。他家離學(xué)校有多遠(yuǎn)？

加工一批零件，原計劃每天加工個，正好按期完成任務(wù)。由于改進(jìn)了生產(chǎn)技

術(shù)，實際每天加工個，這樣，不僅提前天完成加工任務(wù)，而且還多加工了

個。他們實際加工零件多少個？

【例題】甲、乙二人加工零件。甲比乙每天多加工個零件，乙中途停了

天沒有加工。天后，乙所加工的零件個數(shù)正好是甲的一半。這時兩人各加工了多少

個零件？

【思路導(dǎo)航】甲工作了天，而乙停止了天沒有加工，乙只加工了天，所

以他加工的零件正好是甲的一半，也就是甲天加工的零件和乙天加工的零件同

樣多。由于甲每天比乙多加工個,天一共多加工X（個人這個零件

相當(dāng)于乙（天）加工的個數(shù)，乙每天加工4-（）（個）。乙一共

加工了x（個），甲一共加工了x（個）

練習(xí)：

甲、乙二人加工一批帽子，甲每天比乙多加工個。途中乙因事休息了天，

天后，甲加工的帽子正好是乙加工的倍，這時兩人各加工帽子多少個？

甲、乙兩車同時從、兩地相對開出，甲車每小時比乙車多行千米。途中

乙因修車用了小時，小時后甲車到達(dá)兩地中點，而乙車才行了甲車所行路程的一半。

兩地相距多少千米？

甲、乙兩人承包一項工程，共得工資元。已知甲工作了天，乙工作了

天，且甲天的工資和乙天的工資同樣多。求甲、乙每天各分得工資多少元？

【例題】服裝廠要加工一批上衣，原計劃天完成任務(wù)。實際每天比計劃多加

工件，照這樣做了天，就超過原計劃件數(shù)件。原計劃加工上衣多少件？

【思路導(dǎo)航】由于每天比計劃多加工件，天就比原計劃的天多加工X

（件），這時已超過計劃件數(shù)件，件中去掉這件，剩下的件數(shù)就是

原計劃（一）天中的工作量。所以，原計劃每天加工上衣（一片（一

）（件），原計劃加工X（件）。

練習(xí)：

用汽車運一堆煤，原計劃小時運完。實際每小時比原計劃多運噸，這樣

運了小時就比原計劃多運了噸。原計劃小時運多少噸煤？

汽車從甲地開往乙地，原計劃小時到達(dá)。實際每小時比原計劃多行千米，

行了小時后，發(fā)現(xiàn)已超過乙千米。甲、乙兩地相距多少千米？

小明看一本書，原計劃天看完。實際每天比原計劃少看了頁。這樣，用

天才看完了這本書。這本書一共有多少頁？

【例題】王師傅原計劃每天做個零件，實際每天比原計劃多做個，結(jié)果

提前在完成任務(wù)。王師傅一共做了多少個零件？

【思路導(dǎo)航】按實際做法再做天，就會超產(chǎn)（+）X（個）。為什么

會超產(chǎn)個呢？是因為每天多生產(chǎn)了個，里面有幾個，就是原計劃生產(chǎn)兒

天。+（天），因此，王師傅一共做了X（個）零件。

練習(xí)：

食堂準(zhǔn)備了一批煤，原計劃每天燒噸，實際每天比原計劃節(jié)約了噸，

這樣比原計劃多燒了天。這批煤一共有多少噸？

造紙廠生產(chǎn)一批紙，計劃每天生產(chǎn)噸，實際每天比原計劃多生產(chǎn)噸,

結(jié)果提前天完成了任務(wù)。實際用了多少天？

機(jī)床廠生產(chǎn)一批機(jī)床，原計劃每天生產(chǎn)臺，實際每天生產(chǎn)臺，這樣比原

計劃提前天完成了任務(wù)。這批機(jī)床一共有多少臺？

第講一般應(yīng)用題（二）

一、知識要點

較復(fù)雜的一般應(yīng)用題，往往具有兩組或兩組以上的數(shù)量關(guān)系交織在一起，但是，

再復(fù)雜的應(yīng)用題都可以通過“轉(zhuǎn)化”向基本的問題靠攏。因此，我們在解答一般應(yīng)用

題時要善于分析，把復(fù)雜的問題簡單化，從而正確解答。

二、精講精練

【例題】工程隊要鋪設(shè)一段地下排水管道，用長管子鋪需要根，用短管子鋪

需耍根。已知這兩種管子的長相差米，這段排水管道長多少米？

【思路導(dǎo)航】因為每根長管子比每根短管子長米，根長管子就比根短管子

長米。而這米就相當(dāng)于（一）根短管子的長度。因此，每根短管子的長度

就是一（一）（米），這段排水管道的長度應(yīng)是X（米）。

練習(xí)：

生產(chǎn)一批零件，甲單獨生產(chǎn)要用小時，乙單獨生產(chǎn)要用小時。如果甲每小

時比乙多生產(chǎn)個零件，這批零件一共有多少個？

一班的小朋友在操場上做游戲，每組人。玩了一會兒，他們覺得每組人數(shù)太

少便重新分組，正好每組人，這樣比原來減少了組。參加游戲的小朋友一共有多

少人？

甲、乙二人同時從地到地，甲經(jīng)過小時到達(dá)了地，比乙多用了小時。

已知二人的速度差是每小時千米，求甲、乙二人每小時各行多少千米？

【例題】甲、乙、丙三人拿出同樣多的錢買一批蘋果，分配時甲、乙都比丙多

拿千克。結(jié)帳時，甲和乙都要付給丙元，每千克蘋果多少元？

【思路導(dǎo)航】三人拿同樣多的錢買蘋果應(yīng)該分得同樣多的蘋果。X-（千

克）,也就是丙少拿千克蘋果，所以得到X元。每千克蘋果是-（元）。

練習(xí)：

甲和乙拿出同樣多的錢買相同的鉛筆若干支，分鉛筆時，甲拿了支，乙拿了

支，因此，甲又給了乙角錢。每支鉛筆多少錢？

春游時小明和小軍拿出同樣多的錢買了個面包，中午發(fā)現(xiàn)小紅沒有帶食品，

結(jié)果三人平均分了這些面包，而小紅分別給了小明和小軍各元錢。每個面包多少

元?

“六一”兒童節(jié)時同學(xué)們做紙花，小華買來了張紅紙，小英買來了和紅紙同樣

價格的張黃紙。老師把這些紙平均分給了小華、小英和另外兩名同學(xué)，結(jié)果另外

兩名同學(xué)共付給老加元錢。老師把元錢怎樣分給小華和小英？

【例題】甲城有噸貨物要跑一趟運到乙城。大卡車的載重量是噸，小卡車

的載重量是噸，大、小卡車跑一趟的耗油量分別是升和升。用多少輛大卡車

和小卡車來運輸時耗油最少？

【思路導(dǎo)航】大汽車一次運噸，耗油升，平均運噸貨耗油-（升）；

小汽車一次運噸，耗油升，平均運噸貨耗油-（升）。顯然，為耗油量最

少應(yīng)該盡可能用大卡車。一（輛）……噸，余下的噸正好用小卡車運。因

此，用輛大汽車和輛小汽車運耗油量最少。

練習(xí)：

五名選手在一次數(shù)學(xué)競賽中共得分，每人得分互不相同，并且都是整數(shù)。

如果最高分是分，那么得分最少的選手至少得多少分？

用元錢買分、分、角的郵票共張，那么最多可以買角的郵票多少

張？

某班有人，其中人會游泳，人會騎車，人會溜冰，人會打乒乓球。

可以肯定至少有多少人四項都會？

【例題】有一棟居民樓，每家都訂份不同的報紙，該居民樓共訂了三種報紙，

其中北京日報份，江海晚報份，電視報份。那么訂江海晚報和電視報的共有

多少家？

【思路導(dǎo)航】這棟樓共訂報紙（吩），因為每家都訂份不同的報紙，

所以一共有-家。在這家居民中，有家訂了北京日報，剩下的家居民

一定是訂了江海晚報和電視報。

練習(xí)：

五。班全體同學(xué)每人帶個不同的水果去慰問解放軍叔叔，全班共帶了三種

水果，其中蘋果個，梨?zhèn)€，桔子個。那么，帶梨和桔子的有多少個同學(xué)？

在一次慶?！傲弧眱和?jié)活動中，一個方隊的同學(xué)每人手里都拿兩種顏色的氣

球，共有紅、黃、綠三種顏色。其中紅色有只，黃色的有只，綠色的有只。

那么，手拿紅、綠兩種氣球的有多少個同學(xué)？

學(xué)校開設(shè)了音樂、球類和美術(shù)三個興趣小組，第一小隊的同學(xué)們每人都參加了

其中的兩個小組，其中人參加球類小組，人參加美術(shù)小組，人參加音樂小組的活

動。參加美術(shù)和音樂小組活動的有多少個同學(xué)？

【例題】一觸輪船發(fā)生漏水事故，立即安裝兩臺抽水機(jī)向外抽水，此時已進(jìn)水

桶。一臺抽水機(jī)每分鐘抽水桶，另一臺每分鐘抽水桶，分鐘把水抽完。

每分鐘進(jìn)水多少桶？

【思路導(dǎo)航】分鐘內(nèi)，兩臺抽水機(jī)一共能抽水（+）X（桶）。

桶水中，有桶是開始抽之前就漏進(jìn)的，另桶是分鐘又漏進(jìn)的，因此，每分

鐘漏進(jìn)水-（桶）。

練習(xí)：

一個水池能裝噸水，水池里裝有一個進(jìn)水管和一個出水管。兩管齊開，分

鐘能把一池水放完。已知進(jìn)水管每分鐘往池里進(jìn)水噸，求出水管每分鐘放水多少

噸？

某工地原有水泥噸。囚工程需要，又派輛卡車往工地送水泥，平均每輛

卡車每天送噸，天后工地上共有水泥噸。這個工地平均每天用水泥多少噸？

一堆貨物重噸，甲隊用小時運完，乙隊用小時運完。如果讓兩隊同時

合運，幾小時運完？

第講一般應(yīng)用題（三）

一、知識要點

解答一般應(yīng)用題時，可以按下面的步驟進(jìn)行：

弄清題意，找出已知條件和所求問題；

分析已知條件和所求問題之間的關(guān)系，找出解題的途徑；

擬定解答計劃，列出算式，算出得數(shù)：

，檢驗解答方法是否合理，結(jié)果是否正確，最后寫出答案。

二、精講精練

【例題】甲、乙兩工人生產(chǎn)同樣的零件，原計劃每天共生產(chǎn)個。由于改進(jìn)

技術(shù)，甲每天多生產(chǎn)個，乙的日產(chǎn)量提高了倍，這樣二人一天共生產(chǎn)個。

甲、乙原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？

【思路導(dǎo)航】二人實際每天比原計劃多生產(chǎn)一（個）。這個零件

中，有個是甲多生產(chǎn)的，那么一（個）就是乙日產(chǎn)量的倍，即乙原

來的日產(chǎn)量，甲原來每天生產(chǎn)一（個）。

練習(xí)：

工廠里有個鍋爐，原來每月燒煤噸。進(jìn)行技術(shù)改造后，鍋爐每月節(jié)約噸煤,

鍋爐每月燒煤量減少了一名，現(xiàn)在每月共燒煤噸。原來兩個鍋爐每月各燒

煤多少噸？

甲、乙兩人生產(chǎn)同樣的零件，原計劃每天共生產(chǎn)個。由于更換了機(jī)器，甲每

天多做個，乙每天生產(chǎn)的是原來的倍，這樣二人一天共生產(chǎn)零件個。甲、乙

原計劃每天各生產(chǎn)多少個零件？

甲、乙兩隊合挖一條水渠，原計劃兩隊每天共挖