專題11-1 直方圖、回歸方程（線性與非線性）-高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型歸納與變式演練（解析版）

專題11-1直方圖、回歸方程（線性與非線性）目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】直方圖 1【題型二】柱狀圖 3【題型三】相關(guān)系數(shù)判斷 5【題型四】線性回歸 6【題型五】非線性回歸1：型 9【題型六】非線性回歸2：型 11【題型七】非線性回歸3：型 13【題型八】非線性回歸4：型 15【題型九】非線性回歸5：型 18【題型十】殘差擬合判斷 20【題型十】數(shù)據(jù)丟失或剔除型 22真題再現(xiàn) 25模擬檢測(cè) 31【題型一】直方圖【典例分析】近年來，“直播帶貨”受到越來越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營(yíng)銷形式．某直播平臺(tái)800個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖1所示．(1)該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取40個(gè)直播商家進(jìn)行問詢交流．如果按照分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、玩具類商家各多少家？(2)在問詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)抽取的40個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如圖2所示．請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問題；（?。┕烙?jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)値作代表）；（ⅱ）若將平均日利潤(rùn)超過420元的商家成為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)．【答案】(1)小吃類16家，玩具類4家；(2)（i）中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5；（2）128.【分析】（1）根據(jù)分層抽樣的定義計(jì)算即可；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)和平均數(shù)的定義計(jì)算即可；（ii）根據(jù)樣本中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)來估計(jì)總體中“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)即可.【詳解】（1），，所以應(yīng)抽取小吃類16家，玩具類4家.（2）（i）根據(jù)題意可得，解得，設(shè)中位數(shù)為，因?yàn)?，，所以，解得，平均?shù)為，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.（ii）,所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為128.【變式演練】隨著人民生活水平的不斷提高，“衣食住行”愈發(fā)被人們所重視，其中對(duì)飲食的要求也愈來愈高．某地區(qū)為了解當(dāng)?shù)夭惋嬊闆r，隨機(jī)抽取了100人對(duì)該地區(qū)的餐飲情況進(jìn)行了問卷調(diào)查．請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖），解決下列問題．組別分組頻數(shù)頻率第1組140.14第2組m第3組360.36第4組0.16第5組4n合計(jì)(1)求m，n，x，y的值；(2)求中位數(shù)；(3)用分層抽樣的方式從第四、第五組抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人參加某項(xiàng)美食體驗(yàn)活動(dòng)，求抽到的2人均來自第四組的概率．貴州省2023屆高三333高考備考診斷性聯(lián)考（一）數(shù)學(xué)（文）試題【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布表可求得，根據(jù)頻率分布直方圖中的含義即可求得其值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，利用中位數(shù)的估計(jì)方法，可計(jì)算得答案；（3）用分層抽樣的方式從第四、第五組抽取5人，確定每組中的人數(shù)，列舉從這5人中隨機(jī)抽取2人參加某項(xiàng)美食體驗(yàn)活動(dòng)的所有基本事件，列舉出抽到的2人均來自第四組的基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】（1）由題意可知,第四組的人數(shù)為，故，；

又內(nèi)的頻率為，∴；∵內(nèi)的頻率為，∴.（2）由頻率分布直方圖可知第一、二組頻率之和為，前三組頻率之和為，故中位數(shù)為：.（3）由題意可知，第4組共有16人，第5組共有4人，用分層抽樣的方式從第四、第五組抽取5人,則第四、第五組抽取人數(shù)為4人和1人，設(shè)第4組的4人分別為，第5組的1人分別為A,則從中任取2人，所有基本事件為：共10個(gè)，又抽到的2人均來自第四組的基本事件有∶共6個(gè)，故抽到的2人均來自第四組的的概率為.【題型二】柱狀圖【典例分析】．2014年12月28日開始，北京市公共汽車和地鐵按照里程分段計(jì)價(jià).具體如表所示.(不考慮公交卡折扣情況).已知在北京地鐵四號(hào)線上，任意一站到陶然亭站的票價(jià)不超過5元，現(xiàn)從那些只乘坐四號(hào)線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中隨機(jī)選出120人，他們乘坐地鐵的票價(jià)統(tǒng)計(jì)如圖所示．乘公共汽車方案10公里(含)內(nèi)2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里(含).乘坐地鐵方案(不含機(jī)場(chǎng)線)6公里(含)內(nèi)3元；6公里至12公里(含)4元；12公里至22公里(含)5元；22公里至32公里(含)6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里(含).(1)如果從那些只乘坐四號(hào)線地鐵，且在陶然亭站出站的乘客中任選1人，試估計(jì)此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元的概率；(2)已知選出的120人中有6名學(xué)生，且這6人乘坐地鐵的票價(jià)情形恰好與按票價(jià)從這120人中分層抽樣所選的結(jié)果相同，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人，求這2人的票價(jià)和恰好為8元的概率；(3)小李乘坐地鐵從A地到陶然亭的票價(jià)是5元，返程時(shí)，小李乘坐某路公共汽車所花交通費(fèi)也是5元，假設(shè)小李往返過程中乘坐地鐵和公共汽車的路程均為S公里，試寫出S的取值范圍．(只需寫出結(jié)論)【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)直接計(jì)算頻率估算概率得到答案.(2)根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系得到人數(shù)，列舉出所有情況，就計(jì)算概率即可.(3)分別計(jì)算公交車和地鐵的路程，綜合得到答案.【詳解】（1）記事件A為“此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元”，由統(tǒng)計(jì)圖可知，得120人中票價(jià)為3元、4元、5元的人數(shù)分別為60，40，20(人)，所以票價(jià)小于5元的有(人)；故120人中票價(jià)小于5元的頻率是，所以估計(jì)此人乘坐地鐵的票價(jià)小于5元的概率；（2）記事件B為“這2人的票價(jià)和恰好為8元”，由統(tǒng)計(jì)圖得，120人中票價(jià)為3元、4元、5元的人數(shù)比為，則6名學(xué)生中票價(jià)為3元、4元、5元的人數(shù)分別為3，2，1；記票價(jià)為3元的同學(xué)為a，b，c，票價(jià)為4元的同學(xué)為d，e，票價(jià)為5元的同學(xué)為f，從這6人中隨機(jī)選出2人，所有可能的選出結(jié)果共有15種，它們是：；其中事件B的結(jié)果有4種，它們是：；所以這2人的票價(jià)和恰好為8元的概率為（3）乘公共電汽車方案的里程：10公里(含)內(nèi)2元，10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里(含)；，即；乘坐地鐵的里程：12公里至22公里(含)5元，；綜上，【變式演練】某市共有所高中，各校高一學(xué)生占全市高一學(xué)生總數(shù)的比例如下面柱狀圖教研部門采用分層抽樣的方法從一中、四中、十七中這三所學(xué)校抽取人調(diào)研，又從這人中隨機(jī)抽取名同學(xué)調(diào)查選課情況，其中選擇物理學(xué)科的是、，地理學(xué)科是、、，化學(xué)學(xué)科是.（1）應(yīng)從三所學(xué)校分別抽取多少人？（2）從這名同學(xué)中選出人進(jìn)行測(cè)試，要求所選三人不能選擇同一個(gè)學(xué)科，用所給字母列出所有可能的結(jié)果；在此條件下，設(shè)為事件“選出人中沒有選擇化學(xué)學(xué)科的同學(xué)”，求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）應(yīng)從一中、四中、十七中三所學(xué)校學(xué)生中分別抽取人、人、人；（2）所有可能結(jié)果見解析，.【分析】（1）利用分層抽樣的方法可計(jì)算得出從一中、四中、十七中三所學(xué)校所抽取的學(xué)生人數(shù)；（2）列舉出所有的基本事件，并確定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）由已知，一中、四中、十七中三所學(xué)校學(xué)生人數(shù)之比為，由于采取分層抽樣的方法從中抽取人，因此應(yīng)從一中、四中、十七中三所學(xué)校學(xué)生中分別抽取人、人、人；（2）依題意，從名同學(xué)選出名的所有可能的結(jié)果為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共種.選出人中沒有選擇化學(xué)學(xué)科的同學(xué)的所有可能結(jié)果為：、、、、、、、、，共種，所以，事件發(fā)生的概率.【題型三】相關(guān)系數(shù)判斷【典例分析】某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)環(huán)境得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得：，，，，．(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值；(2)求樣本的相關(guān)系數(shù)（精確到）；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)分層抽樣，理由見解析【分析】（1）計(jì)算出樣區(qū)中這種野生動(dòng)物的平均數(shù)，由此可計(jì)算得到該地區(qū)的估計(jì)值；（2）結(jié)合已知數(shù)據(jù)，根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式可直接求得結(jié)果；（3）根據(jù)分層抽樣適用的條件可確定結(jié)果.【詳解】（1）由已知得：樣區(qū)中，這種野生動(dòng)物的平均數(shù)，該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為.（2）相關(guān)系數(shù).（3）分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．理由：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量的差異也很大，采用分層抽樣的方法能較好地保持樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高樣本的代表性，從而獲得對(duì)該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．【變式演練】新冠疫情期間，口罩的消耗量日益增加，某藥店出于口罩進(jìn)貨量的考慮，連續(xù)9天統(tǒng)計(jì)了第天的口罩銷售量（百件），得到的數(shù)據(jù)如下：，，，，．(1)若用線性回歸模型擬合y與x之間的關(guān)系，求該回歸直線的方程；(2)統(tǒng)計(jì)學(xué)家甲認(rèn)為用（1）中的線性回歸模型（下面簡(jiǎn)稱模型1）進(jìn)行擬合，可能不夠精確，于是嘗試使用非線性模型（下面簡(jiǎn)稱模型2）得到與之間的關(guān)系，且模型2的決定系數(shù)，在線性回歸模型中決定系數(shù)可由相關(guān)系數(shù)的平方計(jì)算，試通過計(jì)算說明模型1，2中，哪一個(gè)模型的擬合效果更好．附：參考數(shù)據(jù)：參考公式：相關(guān)系數(shù)；對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，【答案】(1)(2)模型2的擬合性更好【分析】（1）根據(jù)回歸直線的斜率和截距的最小二乘法的公式求得系數(shù)，，即可求得回歸直線方程；（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式求得模型1的相關(guān)系數(shù)，即得決定系數(shù)，和模型2的決定系數(shù)比較，可得答案.(1)由題意知，，，由題意得，，，故所求回歸直線的方程為；(2)模型1的相關(guān)系數(shù)，故模型2的擬合性更好．【題型四】線性回歸【典例分析】已知某綠豆新品種發(fā)芽的適宜溫度在6℃~22℃之間，一農(nóng)學(xué)實(shí)驗(yàn)室研究人員為研究溫度（℃）與綠豆新品種發(fā)芽數(shù)（顆）之間的關(guān)系，每組選取了成熟種子50顆，分別在對(duì)應(yīng)的8℃~14℃的溫度環(huán)境下進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下散點(diǎn)圖：(1)由折線統(tǒng)計(jì)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；(2)建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù).參考數(shù)據(jù)：，，，.參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.【答案】(1)答案見解析；(2)44.【分析】（1）直接套公式求出系數(shù)r，即可判斷；（2）套公式求出回歸方程，把代入，即可求解.【詳解】（1）由題意可知：..又，所以相關(guān)系數(shù).因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)，所以與的線性相關(guān)性較高，可以利用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.（2）由（1）知，，，.所以,所以.所以與的回歸直線為.當(dāng)時(shí)，.即在19℃的溫度下，種子發(fā)芽的顆數(shù)為44.【變式演練】為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植兩種經(jīng)濟(jì)作物，可以通過種植這兩種經(jīng)濟(jì)作物鞏固脫貧成果.通過大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量約為300公斤，其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：年份編號(hào)12345年份20172018201920202021單價(jià)元/公斤1820232529經(jīng)濟(jì)作物的收購(gòu)價(jià)格始終為25元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如圖所示：(1)若經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號(hào)之間具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程；(2)根據(jù)（1）中所求的線性回歸方程，估計(jì)2022年經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)；(3)用頻率分布直方圖估計(jì)經(jīng)濟(jì)作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），若不考慮其他因素，試判斷2022年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物還是經(jīng)濟(jì)作物？并說明理由.參考公式：.參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)(2)元/公斤(3)應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物，理由見解析【分析】（1）根據(jù)公式，結(jié)合已知數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)（1）計(jì)算當(dāng)時(shí)的值即可得答案；（3）由題知，進(jìn)而根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)得，再計(jì)算其收入.【詳解】（1）解：由表中數(shù)據(jù)知，，關(guān)于的線性回歸方程為.（2）解：2022年對(duì)應(yīng)的年份代號(hào)為6，當(dāng)時(shí)，，故估計(jì)2022年經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)為元/公斤.（3）解：利用頻率和為1得，，經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量的平均值為：，經(jīng)濟(jì)作物的收入為元，經(jīng)濟(jì)作物的收入為元，，故2022年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物.【題型五】非線性回歸1：型【典例分析】某企業(yè)為改進(jìn)生產(chǎn)，現(xiàn)某產(chǎn)品及成本相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．現(xiàn)收集了該產(chǎn)品的成本費(fèi)y（單位：萬元/噸）及同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量x（單位：噸）的20組數(shù)據(jù)．現(xiàn)分別用兩種模型①，②進(jìn)行擬合，據(jù)收集到的數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下值：14.50.086650.04-4504表中，．若用刻畫回歸效果，得到模型①、②的值分別為，．(1)利用和比較模型①、②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個(gè)模型？并說明理由；(2)根據(jù)（1）中所選擇的模型，求y關(guān)于x的回歸方程；并求同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為，．【答案】(1)選擇模型②，理由見解析；(2)6.【分析】（1）根據(jù)已知，根據(jù)的意義，即可得出模型②的擬合效果好，選擇模型②；（2）與可用線性回歸來擬合，有，求出系數(shù)，得到回歸方程，即可得到成本費(fèi)與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，代入，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）應(yīng)該選擇模型②.由題意可知，，則模型②中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和比模型①中樣本數(shù)據(jù)的殘差平方和小，即模型②擬合效果好.（2）由已知，成本費(fèi)與可用線性回歸來擬合，有.由已知可得，，所以，則關(guān)于的線性回歸方程為.成本費(fèi)與同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的回歸方程為，當(dāng)（噸）時(shí)，（萬元/噸）.所以，同批次產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量為25（噸）時(shí)y的預(yù)報(bào)值為6萬元/噸.【提分秘籍】基本規(guī)律形如型，可以通過設(shè)t=，轉(zhuǎn)化為y=kt+b線性求解【變式演練】網(wǎng)民的智慧與活力催生新業(yè)態(tài)，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物，直播帶貨，APP買菜等進(jìn)入我們的生活，改變了我們的生活方式，隨之電信網(wǎng)絡(luò)詐騙犯罪形勢(shì)也非常嚴(yán)峻．自“國(guó)家反詐中心APP”推出后，某地區(qū)采取多措并舉的推廣方式，努力為人民群眾構(gòu)筑一道防詐反詐的“防火墻”．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)網(wǎng)絡(luò)詐騙月報(bào)案數(shù)與推廣時(shí)間有關(guān)，并記錄了經(jīng)推廣x個(gè)月后月報(bào)案件數(shù)y的數(shù)據(jù)．x（個(gè)）1234567y（件）891888351220200138112(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，使用作為回歸方程模型，求出y關(guān)于x的回歸方程；(2)分析該地區(qū)一直推廣下去，兩年后能否將網(wǎng)絡(luò)詐騙月報(bào)案數(shù)降至75件以下．參考數(shù)據(jù)（其中，，，，．參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，…，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，．【答案】(1)；(2)能，詳見解析.【分析】（1）對(duì)于非線性回歸方程先通過換元法將變化為線性回歸方程，再利用最小二乘法即得；（2）將代入回歸方程得到，進(jìn)而即得.（1）由表中數(shù)據(jù)可得(891+888+351+220+200+138+112)=400，令，設(shè)y關(guān)于t的線性回歸方程為，則則，故y關(guān)于x的回歸方程為；（2）由回歸方程可知，隨x的增大，y逐漸減少，當(dāng)時(shí)，，故兩年后網(wǎng)絡(luò)詐騙月報(bào)案數(shù)能降至75件以下．【題型六】非線性回歸2：型【典例分析】為了研究某種細(xì)菌隨天數(shù)變化的繁殖個(gè)數(shù)，收集數(shù)據(jù)如下：天數(shù)123456繁殖個(gè)數(shù)612254995190(1)在圖中作出繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的散點(diǎn)圖，并由散點(diǎn)圖判斷（為常數(shù)）與（為常數(shù)，且）哪一個(gè)適宜作為繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)變化的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)對(duì)于非線性回歸方程（為常數(shù)，且），令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)z關(guān)于天數(shù)x具有線性關(guān)系及一些統(tǒng)計(jì)量的值．3.5062.833.5317.50596.5712.09（ⅰ）證明：“對(duì)于非線性回歸方程，令，可以得到繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)關(guān)于天數(shù)具有線性關(guān)系（即為常數(shù)）”；（ⅱ）根據(jù)（?。┑呐袛嘟Y(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（系數(shù)保留2位小數(shù)）．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為．【答案】(1)選擇為回歸方程較宜。(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖趨勢(shì)選擇；(2)將非線性回歸方程模型轉(zhuǎn)化為線性回歸方程模型，結(jié)合所給數(shù)據(jù)求解.【詳解】（1）作出散點(diǎn)圖如圖所示．由散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)型曲線的周圍，故選擇為回歸方程較宜．（2）（i）證明：由已知：令，則，則，，即．所以繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)關(guān)于天數(shù)具有線性關(guān)系．（ii）由（i）知繁殖個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)關(guān)于天數(shù)可以用線性回歸方程來擬合．由表中數(shù)據(jù)可得，，，得到關(guān)于的線性回歸方程為，又，因此細(xì)菌的繁殖個(gè)數(shù)關(guān)于天數(shù)的非線性回歸方程為．【提分秘籍】基本規(guī)律形如指數(shù)型，可以通過去對(duì)數(shù)換元，構(gòu)造成線性回歸【變式演練】經(jīng)觀測(cè)，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān)，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)（）的10組觀測(cè)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量表．275731．121．71502368．3630表中，．(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，，與哪一個(gè)適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，試求y關(guān)于x的回歸方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，結(jié)合給定的回歸方程模型的特征即可判斷；（2）對(duì)變換得：，變換后得樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，即可用線性回歸方程來擬合，即可求出關(guān)于回歸方程．【詳解】（1）適宜作為y與x之間的回歸方程模型；理由如下：回歸方程模型適用于散點(diǎn)圖呈直線型；回歸方程模型適用于散點(diǎn)圖上升，且上升趨勢(shì)越來越慢；回歸方程模型適用于散點(diǎn)圖上升，且上升趨勢(shì)越來越快，呈指數(shù)型變化；根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，看出樣本點(diǎn)分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型．（2）令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，；，∴；∴y關(guān)于x的回歸方程為．【題型七】非線性回歸3：型【典例分析】2022年6月5日是世界環(huán)境日，十三屆全國(guó)人大常委會(huì)第三十二次會(huì)議表決通過的《中華人民共和國(guó)噪聲污染防治法》今起施行.噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問題，為了解聲音強(qiáng)度（單位：）與聲音能量（單位：）之間的關(guān)系，將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度和聲音能量的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如圖所示的散點(diǎn)圖：(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的回歸模型？（能給出判斷即可，不必說明理由）(2)求聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程（請(qǐng)使用題后參考數(shù)據(jù)作答）；(3)假定當(dāng)聲音強(qiáng)度大于45dB時(shí)，會(huì)產(chǎn)生噪聲污染，城市中某點(diǎn)處共受到兩個(gè)聲源的影響，這兩個(gè)聲源的聲音能量分別是和，且.已知點(diǎn)處的聲音能量等于與之和，請(qǐng)根據(jù)（2）中的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，判斷點(diǎn)處是否受到噪聲污染，并說明理由.參考數(shù)據(jù)：，，令，有，，，，，，，，.【答案】(1)(2)(3)點(diǎn)處會(huì)受到噪聲污染【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象的增長(zhǎng)趨勢(shì)，即可求解．（2）令，，則，結(jié)合最小二乘法和線性回歸方程的公式，即可求解．（3）設(shè)點(diǎn)處的聲音能量為，則，利用基本不等式求出，再代入（2）中的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，求出，即可判斷．【詳解】（1）解：散點(diǎn)圖近似在一條曲線上，故更適合．（2）解：令，，則，，，即關(guān)于的回歸方程是，則關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程是．（3）解：設(shè)點(diǎn)處的聲音能量為，則，因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以，所以點(diǎn)處會(huì)受到噪聲污染．【提分秘籍】基本規(guī)律形如型，可以通過換元化歸為線性回歸，令轉(zhuǎn)化為回歸直線y=bt+a【變式演練】受北京冬奧會(huì)的影響，更多人開始關(guān)注滑雪運(yùn)動(dòng)，但由于室外滑雪場(chǎng)需要特殊的氣候環(huán)境，為了滿足日益增長(zhǎng)的消費(fèi)需求，國(guó)內(nèi)出現(xiàn)了越來越多的室內(nèi)滑雪場(chǎng).某投資商抓住商機(jī)，在某大學(xué)城附近開了一家室內(nèi)滑雪場(chǎng).經(jīng)過6個(gè)季度的經(jīng)營(yíng)，統(tǒng)計(jì)該室內(nèi)滑雪場(chǎng)的季利潤(rùn)數(shù)據(jù)如下：第個(gè)季度123456季利潤(rùn)（萬元）2.23.64.34.95.35.5根據(jù)上面的數(shù)據(jù)得到的一些統(tǒng)計(jì)量如下：4.30.5101.414.11.8表中，.(1)若用方程擬合該室內(nèi)滑雪場(chǎng)的季利潤(rùn)與季度的關(guān)系，試根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出該方程；(2)利用（1）中得到的方程預(yù)測(cè)該室內(nèi)滑雪場(chǎng)從第幾個(gè)季度開始季利潤(rùn)超過6.5萬元；附：線性回歸方程中，，.參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)；(2)第12個(gè).【分析】（1）根據(jù)最小二乘法可得，進(jìn)而即得；（2）由，解不等式進(jìn)而即得.（1）由，先求y關(guān)于u的線性回歸方程，由已知數(shù)據(jù)得，故，所以y關(guān)于u的回歸方程為，故y關(guān)于x的回歸方程為；（2）令，得，所以，故預(yù)測(cè)從第12個(gè)季度開始季利潤(rùn)超過6.5萬元；【題型八】非線性回歸4：型【典例分析】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷售量（單位：）和年利潤(rùn)（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（=1，2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.46.65636.8289.81.61469108.8表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利率與、的關(guān)系為．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：（i）年宣傳費(fèi)時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？（ii）年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：、【答案】(1)適合(2)(3)（i）千元；（ii）46.24千元.【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的變化趨勢(shì)判斷回歸方程的類型；（2）利用最小二乘法求回歸方程系數(shù)，即可得回歸方程；（3）根據(jù)回歸方程估計(jì)的銷售量和利潤(rùn)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大時(shí)的值．（1）解：由散點(diǎn)圖知：各點(diǎn)呈非線性遞增趨勢(shì)，所以作為回歸方程比較合適．（2）解：由，則，由，，則，所以．（3）解：①當(dāng)時(shí)，；此時(shí)年利潤(rùn)千元．②由題意，，所以，當(dāng)，即時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．【提分秘籍】基本規(guī)律形如【變式演練】.某城市選用某種植物進(jìn)行綠化，設(shè)其中一株幼苗從觀察之日起，第x天的高度為ycm，測(cè)得一些數(shù)據(jù)如下表所示：第x度y/cm0479111213作出這組數(shù)的散點(diǎn)圖如下(1)請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與中哪一個(gè)更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并預(yù)測(cè)第196天這株幼苗的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．附：，

參考數(shù)據(jù)：1402856283【答案】(1)更適宜(2)；預(yù)測(cè)第196天幼苗的高度大約為29cm【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，可直接判斷出結(jié)果；（2）先令，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得到與的數(shù)據(jù)對(duì)，根據(jù)新的數(shù)據(jù)對(duì)，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回歸方程，從而可求出預(yù)測(cè)值.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，更適宜作為幼苗高度y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類型；（2）令，則構(gòu)造新的成對(duì)數(shù)據(jù)，如下表所示：x149162536491234567y0479111213容易計(jì)算，，．通過上表計(jì)算可得：因此∵回歸直線過點(diǎn)，∴，故y關(guān)于的回歸直線方程為從而可得：y關(guān)于x的回歸方程為令，則，所以預(yù)測(cè)第196天幼苗的高度大約為29cm．【題型九】非線性回歸5：型【典例分析】長(zhǎng)沙某公司對(duì)其主推產(chǎn)品在過去5個(gè)月的月廣告投入xi（百萬元）和相應(yīng)的銷售額yi（百萬元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，其中i＝1，2，3，4，5，對(duì)所得數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制散點(diǎn)圖并計(jì)算出一些統(tǒng)計(jì)量如下：，，，，，，，其中，i＝1，2，3，4，5．（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為月銷售額關(guān)于月廣告投入xi的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及題中所給數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)月廣告投入220萬元時(shí)的月銷售額．附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，．【答案】（Ⅰ）更適宜作為月銷售額關(guān)于月廣告投入的回歸方程；（Ⅱ）月廣告投入萬元時(shí)的月銷售額為萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇作為回歸方程．（2）利用公式及所給數(shù)據(jù)計(jì)算回歸方程后可估計(jì)月銷售額．【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇作為回歸方程．（2）令，則，，故回歸方程為，當(dāng)月廣告投入為萬元時(shí)，月銷售額為（萬元）．答：選擇作為回歸方程，當(dāng)月廣告投入為萬元時(shí)，月銷售額約（萬元）．【提分秘籍】基本規(guī)律【變式演練】某企業(yè)積極響應(yīng)“碳達(dá)峰”號(hào)召，研發(fā)出一款性能優(yōu)越的新能源汽車，備受消費(fèi)者青睞.該企業(yè)為了研究新能源汽車在某地區(qū)每月銷售量（單位：千輛）與月份的關(guān)系，統(tǒng)計(jì)了今年前5個(gè)月該地區(qū)的銷售量，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.表中.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷兩變量的關(guān)系用與哪一個(gè)比較合適？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（的值精確到），并預(yù)測(cè)從今年幾月份起該地區(qū)的月銷售量不低于萬輛？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）結(jié)合散點(diǎn)圖可知合適；（2）由題中所給的數(shù)據(jù)及公式計(jì)算回歸方程，并進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】（1）比較合適(散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布不是一條直線,相鄰兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的差值是增大趨勢(shì),所以比較合適)（2）設(shè),則，先建立y關(guān)于t的回歸方程則所以y關(guān)于t的回歸方程為，因此y關(guān)于x的回歸方程為令，解得或（舍去），故估計(jì)從今年8月份起該地區(qū)的月銷售量不低于萬輛.【題型十】殘差擬合判斷【典例分析】近年來，美國(guó)方面濫用國(guó)家力量，不擇手段打壓中國(guó)高科技企業(yè)，隨著貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，中國(guó)某科技公司為了不讓外國(guó)“卡脖子”，決定在企業(yè)預(yù)算中減少宣傳廣告預(yù)算，增加對(duì)技術(shù)研究和人才培養(yǎng)的投入，下表是的連續(xù)7年研發(fā)投入x和公司年利潤(rùn)y的觀測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)繪制的散點(diǎn)圖決定用回歸模型：來進(jìn)行擬合.表I研發(fā)投入（億元）20222527293135年利潤(rùn)（億元）711212465114325表II（注：表中）189567162781063040(1)請(qǐng)借助表II中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型的方程；（精確到0.01）(2)試求研發(fā)投入為20億元時(shí)年利潤(rùn)的殘差.參考數(shù)據(jù)：，附：回歸方程中和，殘差【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)非線性回歸的方法求得回歸方程.（2）用觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值求得相應(yīng)的殘差.【詳解】（1）由得，令，得，由表II數(shù)據(jù)可得：，.所以回歸方程為：.（2）在時(shí)的殘差：.【提分秘籍】基本規(guī)律殘差計(jì)算：【變式演練】紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，也侵害木棉、錦葵等植物．為了防治蟲害，從根源上抑制害蟲數(shù)量．現(xiàn)研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度的關(guān)系，收集到7組溫度和產(chǎn)卵數(shù)的觀測(cè)數(shù)據(jù)于表Ⅰ中．根據(jù)繪制的散點(diǎn)圖決定從回歸模型①與回歸模型②中選擇一個(gè)來進(jìn)行擬合．表Ⅰ溫度x/℃20222527293135產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212465114325(1)請(qǐng)借助表Ⅱ中的數(shù)據(jù)，求出回歸模型①的方程：表Ⅱ（注：表中）18956725.271627810611.06304041.86825.09(2)類似的，可以得到回歸模型②的方程為，試求兩種模型下溫度為時(shí)的殘差；(3)若求得回歸模型①的相關(guān)指數(shù)，回歸模型②的相關(guān)指數(shù)，請(qǐng)結(jié)合（2）說明哪個(gè)模型的擬合效果更好．參考數(shù)據(jù)：.附：回歸方程中，。相關(guān)指數(shù).【答案】(1)（或）(2)模型①：1.54；模型②：65.54(3)模型①【分析】（1）利用兩邊取自然對(duì)數(shù)，利用表中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）分別計(jì)算模型①、②在時(shí)殘差；（3）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的大小判斷摸型①、②的殘差平方和，再得出那個(gè)模型的擬合效果更好.(1)由，得，令，得，由表Ⅱ數(shù)據(jù)可得，，，所以，所以回歸方程為（或）.(2)由題意可知，模型①在時(shí)殘差為，模型②在時(shí)殘差為.(3)因?yàn)椋茨Ｐ廷俚南嚓P(guān)指數(shù)大于模型②的相關(guān)指數(shù)，由相關(guān)指數(shù)公式知，模型①的殘差平方和小于模型②的殘差平方和，因此模型①得到的數(shù)據(jù)更接近真實(shí)數(shù)據(jù)，所以模型①的擬合效果更好.【題型十】數(shù)據(jù)丟失或剔除型【典例分析】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ簦瑒t可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（ⅰ）從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到0.01）附：樣本的相關(guān)系數(shù)，．【答案】（1）見解析；（2）（i）見解析；（ii）.【解析】試題分析：（1）依公式求；（2）（i）由，得抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查；（ii）剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，則均值的估計(jì)值為10.02，方差為0.09．試題解析：（1）由樣本數(shù)據(jù)得的相關(guān)系數(shù)為.由于，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小.（2）（i）由于，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（ii）剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02.，剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為.點(diǎn)睛:解答新穎的數(shù)學(xué)題時(shí)，一是通過轉(zhuǎn)化，化“新”為“舊”；二是通過深入分析，多方聯(lián)想，以“舊”攻“新”；三是創(chuàng)造性地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，以“新”制“新”，應(yīng)特別關(guān)注創(chuàng)新題型的切入點(diǎn)和生長(zhǎng)點(diǎn)．【提分秘籍】基本規(guī)律剔除數(shù)據(jù)時(shí)，要注意平均值和公式數(shù)據(jù)的相關(guān)計(jì)算【變式演練】近年來，政府相關(guān)部門引導(dǎo)鄉(xiāng)村發(fā)展旅游的同時(shí)，鼓勵(lì)農(nóng)戶建設(shè)溫室大棚種植高品質(zhì)農(nóng)作物.為了解某農(nóng)作物的大棚種植面積對(duì)種植管理成本的影響，甲，乙兩同學(xué)一起收集6家農(nóng)戶的數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，得到兩個(gè)回歸摸型：模型①：，模型②：，對(duì)以上兩個(gè)回歸方程進(jìn)行殘差分析，得到下表：種植面積(畝)234579每畝種植管理成本(百元)252421221614模型①估計(jì)值25.2723.6221.9717.0213.72殘差-0.270.38-0.97-1.020.28模型②26.8420.1718.8317.3116.46-1.840.833.17-1.31-2.46（1）將以上表格補(bǔ)充完整，并根據(jù)殘差平方和判斷哪個(gè)模型擬合效果更好；（2）視殘差的絕對(duì)值超過1.5的數(shù)據(jù)視為異常數(shù)據(jù)，針對(duì)（1）中擬合效果較好的模型，剔除異常數(shù)據(jù)后，重新求回歸方程.附：，；【答案】（1）表格答案見解析，模型①擬合效果比較好.（2）【分析】（1）令時(shí)，求得，，令時(shí)，求得，，填入表格即可.根據(jù)殘差平方和公式，分別求得模型①的殘差平方和，模型②的殘差平方和，再比較下結(jié)論.（2）根據(jù)視殘差的絕對(duì)值超過1.5的數(shù)據(jù)視為異常數(shù)據(jù)，應(yīng)剔除第四組數(shù)據(jù)，分別求得，，利用公式進(jìn)而求得，，寫出回歸方程.（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，完成表格如下：種植面積(畝)234579每畝種植管理成本(百元)252421221614模型①估計(jì)值25.2723.6221.9720.3217.0213.72殘差-0.270.38-0.971.68-1.020.28模型②26.8422.3920.1718.8317.3116.46-1.841.610.833.17-1.31-2.46模型①的殘差平方和為，模型②的殘差平方和為，所以模型①的殘差平方和比模型②的殘差平方和小，所以模型①擬合效果比較好.（2）由題意知，應(yīng)剔除第四組數(shù)據(jù)，，，，，∴所求回歸方程為.1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030(1)根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；(2)能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】(1)A，B兩家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率分別為，(2)有【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算，再利用臨界值表比較即可得結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則；B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則.A家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；B家公司長(zhǎng)途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.（2）列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹木，測(cè)量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．(1)估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；(3)現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；（3）依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值．【詳解】（1）樣本中10棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）則（3）設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計(jì)為3．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．【答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.4．（2016·全國(guó)·高考真題）某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）,表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù).（Ⅰ）若=19,求y與x的函數(shù)解析式；（Ⅱ）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5,求的最小值；（Ⅲ）假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件？【答案】(1);(2)19;(3)購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件.【詳解】試題分析：（Ⅰ）分x19及x＞19，分別求解析式；（Ⅱ）通過頻率大小進(jìn)行比較；（Ⅲ）分別求出n=19，n=20時(shí)所需費(fèi)用的平均數(shù)來確定.試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以與的函數(shù)解析式為.（Ⅱ）由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故的最小值為19.（Ⅲ）若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買19個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有70臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為3800，20臺(tái)的費(fèi)用為4300，10臺(tái)的費(fèi)用為4800，因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為.若每臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)同時(shí)都購(gòu)買20個(gè)易損零件，則這100臺(tái)機(jī)器中有90臺(tái)在購(gòu)買易損零件上的費(fèi)用為4000，10臺(tái)的費(fèi)用為4500，因此這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)為.比較兩個(gè)平均數(shù)可知，購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)易損零件.【考點(diǎn)】函數(shù)解析式、概率與統(tǒng)計(jì)【名師點(diǎn)睛】本題把統(tǒng)計(jì)與函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查,有綜合性但難度不大,求解的關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問題.5．（2017·全國(guó)·高考真題）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.【答案】（1），（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）需要.,【分析】（1）依題知一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；（ii）計(jì)算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計(jì)值.【詳解】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故.因此.的數(shù)學(xué)期望為.（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.（ii）由，得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因此的估計(jì)值為.，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用以及離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，正態(tài)分布是一種重要的分布，尤其是正態(tài)分布的原則，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬中檔題.6．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，.（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r=，≈1.414.【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析【分析】（1）利用野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即可；（2）利用公式計(jì)算即可；（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.【詳解】（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為（2）樣本(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性，由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.1．某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取了20個(gè)鎮(zhèn)進(jìn)行分析，得到了樣本數(shù)據(jù)（，2，…，20），其中和分別表示第i個(gè)鎮(zhèn)的人口（單位：萬人）和該鎮(zhèn)年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計(jì)算得，，，，.(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的線性相關(guān)程度；(2)求y關(guān)于x的線性回歸方程；(3)某機(jī)構(gòu)有兩款垃圾處理機(jī)器，其中甲款機(jī)器每臺(tái)售價(jià)100萬元，乙款機(jī)器每臺(tái)售價(jià)80萬元，下表是這兩款垃圾處理機(jī)器的使用年限（整年）統(tǒng)計(jì)表：1年2年3年4年合計(jì)甲款（臺(tái)）520151050乙款（臺(tái)）152010550根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，某鎮(zhèn)每年可獲得政府支持的垃圾處理費(fèi)用為50萬元，若僅考慮購(gòu)買機(jī)器的成本和每臺(tái)機(jī)器的使用年限（使用年限均為整年），以使用年限的頻率估計(jì)概率，該鎮(zhèn)選擇購(gòu)買哪一款垃圾處理機(jī)器更劃算？【答案】(1)y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系(2)(3)該鎮(zhèn)選擇購(gòu)買一臺(tái)甲款垃圾處理機(jī)器更劃算【分析】（1）通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)確定正確答案.（2）根據(jù)回歸直線方程的求法求得回歸直線方程.（3）計(jì)算出兩款處理器節(jié)約費(fèi)用的期望值，由此作出判斷.【詳解】（1）由題意知，相關(guān)系數(shù).因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)接近于1，所以y與x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（2）由題意可得，，，所以.（3）以使用年限的頻率估計(jì)概率，購(gòu)買一臺(tái)甲款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用X（單位：萬元）的分布如下：于是（萬元）.購(gòu)買一臺(tái)乙款垃圾處理機(jī)器節(jié)約政府支持的垃圾處理費(fèi)用Y（單位：萬元）的分布如下：于是（萬元）.因?yàn)椋栽撴?zhèn)選擇購(gòu)買一臺(tái)甲款垃圾處理機(jī)器更劃算.2．為了解哪些人更關(guān)注養(yǎng)生保健，某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了年齡在15～75歲之間的100人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡繪制了如圖所示的頻率分布直方圖，其分組區(qū)間為：，，，，．把年齡落在區(qū)間和內(nèi)的人分別稱為“青少年人”和“中老年人”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)“青少年人”與“中老年人”的人數(shù)之比為9：11．(1)求圖中a、b的值；(2)已知“青少年人”中有15人在關(guān)注養(yǎng)生保健，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表．據(jù)此統(tǒng)計(jì)結(jié)果，參照附表判斷：能否有超過99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注養(yǎng)生保健？關(guān)注不關(guān)注總計(jì)青少年人15中老年人總計(jì)5050100附表：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)(2)有超過99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注養(yǎng)生保?。痉治觥浚?）由題知，解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，得：“青少年人”共有人，“中老年人”共有人，進(jìn)而根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可.【詳解】（1）解：因?yàn)椤扒嗌倌耆恕迸c“中老年人”的人數(shù)之比為9：11．所以，依頻率分布直方圖可知，解得所以，（2）解：由題意知：“青少年人”共有（人），“中老年人”共有（人），完成的2×2列聯(lián)表如下：關(guān)注不關(guān)注總計(jì)青少年人153045中老年人352055總計(jì)5050100結(jié)合列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得．因?yàn)?，而，所以有超過99%的把握認(rèn)為“中老年人”比“青少年人”更加關(guān)注養(yǎng)生保?。?．某市春節(jié)期間7家超市的廣告費(fèi)支出（單位：萬元）和銷售額（單位：萬元）數(shù)據(jù)記錄如下表：超市ABCDEFG廣告費(fèi)支出（萬元）1246111319銷售額（萬元）19324044525354(1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)若用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程為，經(jīng)計(jì)算，二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)分別約為0.93和0.75，請(qǐng)用說明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出為3萬元時(shí)的銷售額．參考數(shù)據(jù)及公式：，，【答案】(1)；(2)二次函數(shù)回歸模型更合適，33.47萬元．【分析】（1）根據(jù)最小二乘法結(jié)合條件即得；（2）根據(jù)相關(guān)指數(shù)的概念及回歸方程即得.【詳解】（1）由題可得，，，，則，所以，所以y關(guān)于x的線性回歸方程是；（2）因?yàn)?，所以二次函?shù)回歸模型更合適，用此模型，當(dāng)時(shí)，，由此預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出為3萬元時(shí)的銷售額為33.47萬元．4．有人收集了某10年中某城市居民年收入x（單位：億元）（即該城市所有居民在一年內(nèi)收入的總和）與某種商品的銷售額y（單位：萬元）的相關(guān)數(shù)據(jù)，并記錄得到下