B單元 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(二)

B單元函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

目錄

B1函數(shù)及其表示.................................................................1

B2反函數(shù).......................................................................6

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值...........................................................6

B4函數(shù)的奇偶性與周期性........................................................21

B5二次函數(shù)....................................................................30

B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)..............................................................32

B7對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)..............................................................37

B8募函數(shù)與函數(shù)的圖象..........................................................44

B9函數(shù)與方程..................................................................46

B10函數(shù)模型及其運(yùn)算...........................................................53

B11導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算...............................................................57

B12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.................................................................63

B13定積分與微積分基本定理....................................................90

B14單元綜合...................................................................93

B1函數(shù)及其表示

【數(shù)學(xué)理卷-2015屆貴州省貴陽市普通高中高三8月摸底考試（201408）】2、若集合

1

M=\x\y=>,N={x|y=k>g2（l-尤）},則集合McN=

A、,1）B、（l,+oo）C、（0,1）D、R

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域；集合.Al,Bl

【答案解析】C解析：解：由題意可知M={x|x>0},N={x|x<l}

■.MnA^={x|0<x<l},所以C選項(xiàng)正確.

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)集合的概念求出集合中元素的范圍，再求出交集.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試（201409）122.（本小題滿分11

分）

已知函數(shù)/(x)=ax-3,g(x)=hx"'+cx~2(a,beR)且g(-g)-g⑴=/(O).

(1)試求仇c所滿足的關(guān)系式；

(2)若〃=0,集合A={x|/(x)2%|x—a|g(x)}試求集合A.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的綜合應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法BlE2

【答案解析】(1)b-c-1=O

(2)當(dāng)。=0時(shí)4=①；當(dāng)0<aWA=(0,2-'4工]。,+—)

aa

當(dāng)6<a<2,A=(o+S/ju’+Sajy,

aa

、[/H/1—Jl+a」/2+14-a2

當(dāng)—y/3?〃<0N,AA=(z0n,---------]。(-8,-----------]

aa

8人/八1-Jl+〃l+Jl+4

Cl<—yj3,A-(0,--------]D(—00,---------]

aa

解析：(1)由g(-g)-g⑴=/(0)，得(-2b+4c)-(b+c)=-3

:.b、c所滿足的關(guān)系式為b-c-l=O...............2分

—Ix—nI\x-a\>3x-ax2,x>0、

(2)/(x)>x|x-a\g(x)<=>ax-3>--------0<...4分

x\x-a\<3x-ax,x<0

i)當(dāng)a=0時(shí)原不等式等價(jià)于—32二L”此時(shí)A=@......5分

X

ii)當(dāng)a>0時(shí)

I

根據(jù)x-a=3x-ax2解得石2=三上吆一(要根據(jù)。的正負(fù)區(qū)別兩根大小，即左右)

，a

Q—X—3x—CIX^解得為4二...........6分

，a

根據(jù)圖像_____

位八4/八2一14-1+J1+O2\

當(dāng)0<〃<A/3,A=(0,----------]D[---------,+8)

aa

當(dāng)也<a<2,A=(0,2-白。戶'"片,+oo)

aa

當(dāng)a22,A=(0,+oo).......9分

iii)當(dāng)a<0時(shí)

根據(jù)圖像可知：__________

當(dāng)一百Wa<0,A=(0,B逵]o(-oo,^EZ]

aa

[T1—J1+。2r1+J1+32r,

a<—v3,A=(0,--------]D(—8,---------]........11分.

aa

【思路點(diǎn)撥】解絕對(duì)值不等式常見的方法有零點(diǎn)分段討論去絕對(duì)值解不等式或利用圖像法解

不等式，本題直接利用零點(diǎn)分段討論去絕對(duì)值不方便，可利用函數(shù)的圖像關(guān)系進(jìn)行解答.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試(201409)】11.數(shù)

,、-ex(x>2]/、

/(%)=31)加/0n3)=—.—.

y(x+i)(x<2)

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)B1

【答案解析】e解析：f(In3)=/(In3+1)=|eln3+1=1(3e)=e.

【思路點(diǎn)撥】對(duì)于分段函數(shù)求函數(shù)值，要結(jié)合自變量對(duì)應(yīng)的范圍代入相應(yīng)的解析式..

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆湖南省衡陽八中高三上學(xué)期第二次月考(201409)】8.函數(shù)

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域；函數(shù)的奇偶性.BlB4

【答案解析】B解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(尤)定義域?yàn)榍襵w±2},所以排除選項(xiàng)C、

D,又因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是偶函數(shù)，所以排除選項(xiàng)A,故選B.

【思路點(diǎn)撥】排除法：由定義域是且xw±2},排除選項(xiàng)C、D,又函數(shù)〃尤)是偶

函數(shù)，所以排除選項(xiàng)A,故選B.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試(201409)】22.(本小題滿分11

分)

已知函數(shù)f(x)-ax-3,g(x)=bx~'+cx~2{a,beH)且g(-；)-g⑴=/(0).

(1)試求仇c所滿足的關(guān)系式；

(2)若b=0,試討論方程/(x)+x|x-a|g(x)=0零點(diǎn)的情況.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程BlE2

【答案解析】(1)b-c-\=O(2)當(dāng)a=0或a=-2時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>0或-2<a<0

時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a<-2時(shí)無零點(diǎn).

解析：(1)由g(-g)-g(l)=/(O)，得(-26+4c)-(6+c)=-3

:.b、c所滿足的關(guān)系式為b-c-l=O.

(2)原方程等價(jià)于ox?—3x=|x—a|根據(jù)圖像可得：當(dāng)。=0時(shí)，—3x=|x|,x=0一個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)。>0時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)一2<a<0時(shí)，兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)。=一2時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)a<-2時(shí)，

無零點(diǎn).

【思路點(diǎn)撥】遇到判斷方程的根的個(gè)數(shù)問題，若無法直接求根時(shí)，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像

的交點(diǎn)問題解答.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試(201409)】11.數(shù)

x

/(,%)、=-3e('x>2])，貝U//0n\3)=.

y(x+i)(x<2)

【知識(shí)點(diǎn)】分段函數(shù)B1

【答案解析】e解析：f(In3)=/(In3+1)=|eln3+1=|(3e)=e.

【思路點(diǎn)撥】對(duì)于分段函數(shù)求函數(shù)值，要結(jié)合自變量對(duì)應(yīng)的范圍代入相應(yīng)的解析式..

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆河南省天一大聯(lián)考(開封高級(jí)中學(xué)等)高三階段測試(一)

(-1)"sin^-+2n,xe[2〃,2〃+1)

(201409)】(16)已知函數(shù)〃x)=<2

(〃eN),則

/(1)-/(2)+/(3)-/(4)++/(2013)-/(2014)+/(2015)=——.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)及其表示.歸納法.BlMl

【答案解析】1008解析：由題設(shè)條件得:/⑴=1,/(2)=2,〃3)=3,/(4)=4,

由此歸納得/(〃)=〃，

所以所求=(/(I)-/(2))+(/(3)-/(4))++(/(2013)-/(2014))+/(2015)

=-1007+2015=1008.

【思路點(diǎn)撥】由已知函數(shù)得/(")=〃，再用并項(xiàng)求和求解.

三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣東省深圳市高三上學(xué)期第一次五校聯(lián)考(201409)】11.函數(shù)

歹=也以的定義域?yàn)?

Inx

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的定義域.B1

【答案解析】(0,1)(l,4w)解析：自變量x滿足的條件為1

'，1'[inxwO[x>O,"l

所以函數(shù)的定義域?yàn)?0,1)(1,+00).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)有意義的條件列出關(guān)于X的不等式組求解.

【數(shù)學(xué)文卷”015屆天津一中高三上學(xué)期零月月—4-函數(shù)〃九)

正視圖側(cè)視圖

滿足〃x+2)=2/(x),當(dāng)xc[0,2)時(shí)，1

[2「、/

X-X,XG[0,1)

)=1,1S,，若工￡卜a2俯視圖叫實(shí)數(shù)t的

取值范圍是()

A.[-2,0)(0,1)B.[-2,0)[1,+<?)C.[-2,1]D.(-0),-2](0,1]

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.BlB3

(答案解析】D解析：/(x+2)=2/(x),f(x+4)=2f(x+2)=4/(%)

Q+4)2—(x+4),x+4e[0,l)

.?.當(dāng)2)時(shí)，x+4e[0,2),.?./(x+4)=4/(x)=<

—(0,5滬J5I,x+4e[L2)

：(x2+7x+12),xe[-4,-3)

可得此時(shí)f(x)的最小值為/(-2.5)=―；.

即/(%)=<

--(0.5)|jc+25|,xe[-3,-2)

4

若xe[-4,—2)時(shí),/(x)2：一；恒成立,則j—Jw/XxLn=/(-2.5)=一

I"乙I1"乙I-J

解得：2](0,1],故選D.

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)條件，只要求出函數(shù)f(x)在xe卜4,-2)上的最小值即可得到結(jié)論.

二、填空題：(本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上)

B2反函數(shù)

B3函數(shù)的單調(diào)性與最值

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆湖南省師大附中高三第一次月考(201409)】21.(本題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=ex—ax2—2x—l(x^R).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

a2—a—|—]

⑵求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)a<0,有f(x)>---;---.

d

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明不等式.B3B12

【答案解析】(1)(—8,In2)是f(x)的單調(diào)減區(qū)間,(In2,+刃)是f(x)的單調(diào)增區(qū)間.⑵見

解析。

解析：(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex-2x-l(xeR),

Vf(x)=ex-2,且f(x)的零點(diǎn)為x=ln2,

.,.當(dāng)xG(—8,In2)時(shí),f(x)<0；-當(dāng)xG(ln2,+00)時(shí)，f(x)>0

即(一00,In2)是f(x)的單調(diào)減區(qū)間，(In2,+功是f(x)的單調(diào)增區(qū)間.(5分)

(2)由f(x)=ex—ax?—2x—l(xdR)得：f(x)=ex-2ax-2,

記g(x)=e*—2ax—2(xeR).

Va<0,.,.g,(x)=ex—2a>0,即f"(x)=g(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)，

又P(0)=—1<0,f(l)=e-2a-2>0,

故R上存在惟一的xoG(O,1),使得f(xo)=O,(8分)

且當(dāng)x<xo時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>xo時(shí)，f(x)>0.

即f(x)在(一00,X0)上單調(diào)遞減，在(xo，+oo)上單調(diào)遞增，

則f(x)min=f(xo)=exo—ax—2X0—1,再由f(xo)=o得eXo=2aXo+2,將其代入前式可得f(x)min

=-ax§+2(a-l)x0+l(10分)

Ca—(a—1)2

又令.(p(xo)=-axo+2(a—l)x0+1=—a(xo—工-J+---------+1

a—1

由于一a>0,對(duì)稱軸x=—[—>1,而x()￡(0,1),.,.(p(xo)>(p(l)=a—1

d

22

「a—a+11a-a+1

又(a—1)—----=—T>0,A(p(xo)>-

add

a2—a—I—i

故對(duì)任意實(shí)數(shù)a<0,都有f(x)>~--.(13分)

a

【思路點(diǎn)撥】(1)當(dāng)a=0時(shí)，求導(dǎo)解出零點(diǎn)求出單調(diào)區(qū)間即可；(2)利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合單調(diào)性證

明即可.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試（201409）】6.若函數(shù)

/（X）=左"—〉0且aH1）在（一oo,+00）上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，貝!I函數(shù)

g（x）=log,,（x+左）的圖象是（）

【知識(shí)點(diǎn)】奇函數(shù)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)B3B4B6B7

【答案解析】C解析：因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=hf—。一工（?！?且awl）在（-oo,+00）上既是奇

函數(shù)又是增函數(shù)，所以k=l且a>l,則函數(shù)8（%）=10851+1）在定義域（—1,+8）上為增

函數(shù)，所以選C.

【思路點(diǎn)撥】若奇函數(shù)在x=0處有定義，則f（0）=0,即可確定k值，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即

可確定a>l,結(jié)合函數(shù)的定義域及單調(diào)性判斷函數(shù)的圖像即可.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試（201409）［22.（本題14分）

已知函數(shù)/（x）=x+@（x>0）.

X

（1）若。<0,試用定義證明：/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增；

（2）若。>0,當(dāng)xe［l,3］時(shí)不等式/（x）N2恒成立，求。的取值范圍.

【知識(shí)點(diǎn)】⑴函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立求參數(shù)范圍.B3E1

【答案解析】（1）證明：略；（2）a>l.解析：（1）若a<0,設(shè)0<<叼<+8,則

/（*1）-/（*2）=（*1一*2）（1---）?交分

*1*2

因?yàn)椤?一工2<0,1———>0,所以/（*1）一/（*2）<0,即/（X］）</（*2），

xrx2

故，/（x）在（0,+oo）上單調(diào)遞增.小分

（2）若。>0,則/（x）在（0,折）上單調(diào)遞減，在（G,+8）上單調(diào)遞增.

①若0<a41,則/（x）在|1,3|上單調(diào)遞增，/（同后=/⑴=1+a.

所以，l+a±2,BPa>1,所以a=1.,,-8分

②若1<“<9,則/（x）在［1,而］上單調(diào)遞減，在［后,3］上單調(diào)遞增，

f=ft4a）=2^,.所以，2&W2,即a±l,所以FO分

③若心9,則/（x）在［1,3|上單調(diào)遞減，/（肛加=/仔）=3+j

3

所以，3+->2,即心-3,所以a49.F2分

3

綜合①②③，?>1.-14分

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，在給定區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù)七,々，且西<々，

通過判定/（菁）—/（9）的符號(hào)，來證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）xc［l,3］時(shí)，不等式/（x）22

恒成立，只需為?1,3］時(shí)/（力-22即可，利用〃力的單調(diào)性,通過討論a的取值情況，

確定"%）在區(qū)間［1,3］上的最小值情況.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試（201409）】6.已知函數(shù)

f（x）=cos2x-4sinx,則函數(shù)/（%）的最大值是

A.4B,3C.5D.V17

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；函數(shù)的最值.C6B3

【答案解析】B解析：/（x）=l-2sin2x-4sinx=-2（sinx+l）2+3,當(dāng)

sinx=—1時(shí)函數(shù)/（%）取得最大值3,所以選B.

【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式把已知函數(shù)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，再配方求得最值.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆河南省天一大聯(lián)考（開封高級(jí)中學(xué)等）高三階段測試（一）（201409）】

（4）下列函數(shù)中，與函數(shù)》=好的奇偶性、單調(diào)性均相同的是（）

A.y-exB.y=2XC.y=ln|%|D.y=tanx

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性.B3,B4

x

【答案解析】B解析：解：y=Y為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，y=2-^也是奇函

數(shù)，在R上單調(diào)遞增，所以只有B選項(xiàng)正確.

【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行分析求解即可.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆安徽省示范高中高三第一次聯(lián)考試題(201409)】(21)(本小題滿分14

分)

已知函數(shù)/(尤)=—In%+—cix^+(1—cC)x+2o

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求單調(diào)區(qū)間；

(2)若0<x<l,求證：f(l+x)<f(l-x);

(3)若典),］取乂，2)為函數(shù)f(x而圖像上兩點(diǎn)，記k為直線AB的斜率，/=七三，

求證：f，(X。)>k。

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.B3B12

【答案解析】⑴當(dāng)0<x<l時(shí)f(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x>l時(shí)f(x)>0,/(x)

單調(diào)遞增(2)見解析(3)見解析

解析：(1)/(x)=―+ox+(l-a)=^-----——----------1分

XX

當(dāng)Ovxvl時(shí)/"(x)vO,/(X)單調(diào)遞減----------2分

當(dāng)x>l時(shí)/'(x)>0，/(x)單調(diào)遞增----------3分

(2)+=ln(l-x)-ln(l+x)+2x---------4分

?Y2

4*g(x)=ln(l-x)-ln(l+x)+2x=>g/(x)=———----------5分

x—1

v0<x<l,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)<g(O)=O

所以/(1+x)----------7分

(3)人皿-----------8分

xi-x2x2-x12

/'(不)=+ar0+1-?

1,In-Inx,1z、“2Inx-Inx,.2(x-x)

—t-ax+1—a>--------L+—a(x+xj+l—a=-----<----7-----oItn々一也再>---2----

0xx2

Vo2~iX2+XjX2—X{X24-X]

伯立/仁一⑼?為土>2且!~2----------11分

X|x2+x,X,強(qiáng)+1

但t]

iSx2>x,>04'———-=/(0<Z<l)=>—=----------12分

%+lxiI-

工一】

In->2-----oIn>2/oln(l+/)-ln(l-/)>2/<=>ln(l-/)-ln(l+/)+2/<0

占強(qiáng)+1-

由第二小題結(jié)論g(x)=ln(l-x)-ln(l+x)+2x<0可得。14分

【思路點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及斜率，最大值、最小值的求法，是綜合題;

關(guān)鍵是理解導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系，并能正確求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于難題.

【數(shù)學(xué)理卷?2015屆安徽省示范高中高三第一次聯(lián)考試題(201409)】(7)函數(shù)y=/(x)

的圖像如圖所示，則關(guān)于函數(shù)y=/(X)的說法正確的是

M(7)MB

A.函數(shù)y=/(x)又3個(gè)極值點(diǎn)

B.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-00,-4)單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(-2,+00)單調(diào)遞減

D.x=l時(shí)函數(shù)y=/(%)取最大值

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的極值.B12B3

【答案解析】C解析：極值點(diǎn)有兩個(gè)，A錯(cuò)誤。(-8,-5)單調(diào)遞增，B錯(cuò)誤；x=l不是極

值點(diǎn)，D錯(cuò)誤.故選C.

【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的單調(diào)性與極值依次判斷即可。

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第二次模擬考試(201405)】21、已知函數(shù)

/記)*?-加

(1)若。=1,求函數(shù)“X)的極值;

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x),求函數(shù)/z(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若在［l,e］(e=2.718...)上存在一點(diǎn)/，使得/(/)<g(x0)成立，求。的取值范

圍

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函

數(shù)的最值.B12B3

【答案解析】(I)/(%)在x=l處取得極小值1.(ID(0,+oo)(III)或av—2.

e-1

解析：解：(I)"龍)的定義域?yàn)?口內(nèi))，

1X—1

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x-lnx,fr(x)=1——=----

xx

X(0,1)1(L+00)

尸(X)一0+

/(X)極小

所以了(%)在尤=1處取得極小值L

(II)h(x)=%+""-6/Inx,

x

〃/、、1+aax2-ox—(1+a)(%+l)[%—(1+a)]

〃(X)=l=------------=-------儲(chǔ)------

①當(dāng)a+l>0時(shí)，即a>—1時(shí)，在(0,1+a)上〃'(x)<0,在(1+a,+oo)上/?'(無)>0,

所以h{x}在(0,1+a)上單調(diào)遞減，在(1+a,+Q0)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)1+aVO,即aW-l時(shí)，在(0,+oo)上〃'(尤)>0,

所以，函數(shù)/幻在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(IH)在［l,e］上存在一點(diǎn)5,使得/(%)<g(x())成立，即

在［l,e］上存在一點(diǎn)％，使得〃(無。)<0，即

函數(shù)/z(x)=x+——--fllnxSfl,e]上的最小值小于零.

由(II)可知

①即l+a?e,即aNe-l時(shí)，/?(x)在[l,e]上單調(diào)遞減，

所以h(x)的最小值為h(e),由/7(e)=e+^一。<。可得〃>￡1±1,

ee-1

22

因?yàn)镴e±+1l>e-1,所以A+1

e-1e-1

②當(dāng)1+aMl,即a<0時(shí)，"(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，

所以勿?最小值為力(1),由/z(l)=l+l+avO可得av—2；

③當(dāng)Ivl+ave,即Ovave-l時(shí),可得力(%)最小值為/z(l+a)，

因?yàn)?<ln(l+a)vl,所以，0<aln(l+a)VQ

故/Z(1+Q)=2+a-a]n(l+a)>2

此時(shí)，/z(l+a)v0不成立.

e2+l

綜上討論可得所求，的范圍是:a>或av—2.

e-1

【思路點(diǎn)撥】(I)先求出其導(dǎo)函數(shù)，讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)間即可得到

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求出函數(shù)f(X)的極值；

(II)先求出函數(shù)h(x)的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論讓其大于0求出增區(qū)間，小于0求出減區(qū)

間即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(III)先把f(xo)<g(xo)成立轉(zhuǎn)化為h(xo)<0,即函數(shù)h(x)=x+上包-alnx在［1，

x

e］上的最小值小于零;再結(jié)合(II)的結(jié)論分情況討論求出其最小值即可求出a的取值范圍.

請考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記

分.

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第二次模擬考試(201405)】8、函數(shù)

/(x)=sinx*In國的部分圖象為

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象.B3B4

【答案解析】A解析：f(-x)=sin(-x)?ln|-x|=-sinx?ln|x|=-f(x),

故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除CD,

當(dāng)x6(0,1)時(shí)，sinx>0,ln|x|<0,此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象位于第四象限，故排除B,

故選：A

【思路點(diǎn)撥】由已知中函數(shù)的解析式，分析函數(shù)的奇偶性和x€(0,1)時(shí)，函數(shù)f(x)的圖

象的位置，利用排除法可得答案.

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第三次模擬考試(201405)】12.函數(shù)

’的困在區(qū)間［°』上單調(diào)遞增，貝心的取值范圍是()

-1-

r-IClG,€

A.B々￡［-1,。］c.D.\-e.

【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).B3B6

【答案解析】C解析：當(dāng)a>o時(shí)，y=eXQ在(--,上為減函數(shù)，在

ex2

［—lna,+8)上為增函數(shù)，且y=目■>()恒成立

2ex

若函數(shù)f(x)=|e*2|,(a€R)在區(qū)間［0，1］上單調(diào)遞增,

e

則丫=6、+~生在［。，1］上單調(diào)遞增則LnaSO解得ae(0,1］

ex2

當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=|e**|=e*在區(qū)間［。，1］上單調(diào)遞增，滿足條件

e

當(dāng)a<0時(shí)，尸e'片在R單調(diào)遞增，令尸e'玲=。，則x=ln

ee

則f(x)=|e**|在(。，InJT』為減函數(shù)，在［Injr^,+-)上為增函數(shù)

ex

則In丁。4，解得a>-1

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-1,1］,故選C

【思路點(diǎn)撥】結(jié)合對(duì)勾函數(shù)，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及單調(diào)性的性質(zhì)，分別討論a>0,a=0,a<0

時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，綜合討論結(jié)果可得答案.

【數(shù)學(xué)理卷?2014屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第三次模擬考試(201405)】7.設(shè)f(x)是定義在R

上的奇函數(shù)，其煙=儕2),若煙在區(qū)間［2,3］單調(diào)遞減，則()

(A)f(x)在區(qū)間［―3,—2］單調(diào)遞增(B)%)在區(qū)間［—2,—1］單調(diào)遞增

(C)f(x)在區(qū)間［3,4］單調(diào)遞減(D)f(x)在區(qū)間［1,2］單調(diào)遞減

【知識(shí)點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.B4B3

【答案解析】D解析：由f(x)=f(x-2),則函數(shù)的周期是2,

若f(x)在區(qū)間［2,3］單調(diào)遞減，則f(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞減，

Vf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

：.f(x)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間［1,2］上單調(diào)遞減，

故選：D

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論.

【數(shù)學(xué)理卷-2014屆河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三第三次模擬考試(201405)】6.函數(shù)

/(%)=cos2%+石sinxcosx在區(qū)間—的最大值為()

_62_

1+733

(A)l(B)—(C)-(D)2

22

【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性.C3B3

【答案解析】C解析：f(x)=cos2x+V3sinxcosx=^sin2x+-^cos2x+-^

=sin⑵+=)4

b2

??「「兀兀?。工冗，《)€[-

?x6一',——J1,??2x+——?]?sin(2x+1]-

662

J函數(shù)f（x）=cos2x+J^sinxcosx在區(qū)間［匯，匯］的最大值為旦故選：C.

622

【思路點(diǎn)撥】利用三角函數(shù)倍角公式化簡，然后結(jié)合已知x的范圍求得原函數(shù)值域，則答案

可求.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆湖南省衡陽八中高三上學(xué)期第二次月考（201409）】2.下列四個(gè)函數(shù)

中，既是奇函數(shù)又在定義域上單調(diào)遞增的是（）

A.y=.v-iB.y=5"C.y="3D.y=S［”

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.B3B4

【答案解析】C解析：由奇偶性定義排除A、D兩個(gè)選項(xiàng)，由單調(diào)性定義得選項(xiàng)C正確，

故選C.

【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義得出選項(xiàng).

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆湖南省師大附中高三第一次月考（201409）［6.若加+6x+c<0的解

集為{小<—2或x>4},則對(duì)于函數(shù)期）=加+灰+。應(yīng)有（）

A.15）勺（2）勺（一1）B.犬5）勺（一1）勺（2）C.式—1）勺（2）勺（5）D.八2）勺（一1）勺（5）

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的對(duì)稱性.B3B5

【答案解析】B解析：因?yàn)橐?+6x+c<0的解集為{x|x<—2或x>4},可知：a<0.

,解得:b=-2a,c=-8a,代入/(x)=or2+Zzx+c,即

/（x）=ar2-2ax-Sa，

所以2x-8）,表示開口方向向下，對(duì)稱軸為1的拋物線，則函數(shù)在

(1,+?)遞減，所以/(5)</(3)</(2),而由對(duì)稱性可得：/(3)=/(-1)-所以

/(5)</(-1)</(2),故選B.

【思路點(diǎn)撥】先由不等式的解集判斷出a的符號(hào)以及與b,c的關(guān)系，再由單調(diào)性得到的關(guān)

系為而由對(duì)稱性可得：/(3)=5(」)即可得解.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省紹興一中高三上學(xué)期回頭考試(201409)】6.若函數(shù)

/(x)=左"—〉0且aw1)在(-co,+co)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，則函數(shù)

g(x)=log,,(x+左)的圖象是()

【知識(shí)點(diǎn)/函數(shù)，指數(shù)函數(shù)目對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像S性質(zhì)B3

【答案解析】C解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(乃=左優(yōu)一鼠,(。〉0且。。1)在(-00,+8)上既是奇

函數(shù)又是增函數(shù)，所以k=l且a>l,則函數(shù)g(x)=log,(x+l)在定義域(―l,+oo)上為增

函數(shù)，所以選C.

【思路點(diǎn)撥】若奇函數(shù)在x=0處有定義，則f(0)=0,即可確定k值，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即

可確定a>l,結(jié)合函數(shù)的定義域及單調(diào)性判斷函數(shù)的圖像即可.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試(201409)】22.(本題14分)

已知a>0,函數(shù)/'(x)=x+@(x>0).

a

(1)試用定義證明：/(%)在(&,+s)上單調(diào)遞增；

(2)若xe[1,3]時(shí)，不等式/(x)22恒成立，求a的取值范圍.

【知識(shí)點(diǎn)】⑴函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立求參數(shù)范圍.B3E1

【答案解析】(1)證明：略；(2)a>l.解析：(1)設(shè)6<%<為<+嗨，則

/?*。-5川一區(qū)一巧歡孫一以吟分

項(xiàng)當(dāng)

因?yàn)槲錠X]V工2V+8,所以工1必>0，Xj-x2<0,xxx2-?>0,

所以/<￡)=,即，｛黑，霏%)，

故，/(X)在(7^,+00)上單調(diào)遞增.飛分

(2)/(x)在(0,M)上單調(diào)遞減，在(后,+oo)上單調(diào)遞增.

①若0<a41,則/(X)在|1,3|上單調(diào)遞增，/⑴min=/(l)=l+?.

所以，1+。22,BPa>1,所以a=l.,,-8分

②若則/(x)在［1,五］上單調(diào)遞減，在［6,3］上單調(diào)遞增，

/(x)min=/(7a)=14a.所以，a>1,所以l<a<9.FO分

③若aW9,則/(x)在IM1上單調(diào)遞減，/(x)min=/(3)=3+1.

所以，3+色22,即42-3,所以aW9.F2分

3

綜合①②③，a>l.F4分

【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，在給定區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù)七,々，且西<々，

通過判定/(%)—/(9)的符號(hào)，來證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)xc［l,3］時(shí)，不等式/(x)22

恒成立，只需xe［l,3］時(shí)/(尤Ln22即可，利用/(%)的單調(diào)性，通過討論a的取值情況，

確定/(%)在區(qū)間［1,3］上的最小值情況.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆浙江省嘉興市高三上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測試(201409)】6.已知函數(shù)

f(x)=cos2x-4sinx,則函數(shù)/(尤)的最大值是

A.4B,3C.5D.A/17

【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式；函數(shù)的最值.C6B3

【答案解析】B解析：/(x)=l-2sin2x-4sinx=-2(sinx+l)2+3,當(dāng)

sinx=—1時(shí)函數(shù)取得最大值3,所以選B.

【思路點(diǎn)撥】利用二倍角公式把已知函數(shù)化為關(guān)于sinx的二次函數(shù)，再配方求得最值.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣西桂林中學(xué)高三8月月考(201408)】21.(本題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=lnx+—3—,“為常數(shù).

x+1

(1)若。=^,求函數(shù)/(x)在［l,e］上的值域；(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e-2.72)

(2)若函數(shù)g(x)=/(%)+x在［1,2］上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的值域.B3B12

3Q27

【答案解析】(1)［ln2+-,-］(2)［一,+8)

242

解析：(1)由題意/'(x)=L——J

X(X+1)

9

當(dāng)。==9時(shí)，f(x)=1------o(x-2)(2x-l)

2x(x+1)22x(x+l)2

%€口,句二/(%)在［1,2)為減函數(shù)，［2,0為增函數(shù)4分

399

又/(2)=ln2+-,/(l)=-,f(e)=l+——比較可得/(I)>f(e)

242e+2

.?./。)的值域?yàn)椋凵?+—3二］96分

24

(2)由題意得g'(x)=L——J+1W0在xe［l,2］恒成立

X(x+1)

/.a>"+D+(%+1尸=x2+3x+—+3恒成立8分

XX

1

設(shè)/z(x)=爐9+3%H---1-3(1<x<2)

X

二.當(dāng)1<%<2時(shí)h'(x)=2x+3——>0恒成立

%

2727

-hM^=K2)=—^a>—

乙乙

27

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是+00)12分

2

【思路點(diǎn)撥】(1)先利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、端點(diǎn)處函數(shù)值，比較它們大小關(guān)系，

可得最小值、最大值；(2)分離參數(shù)a后，構(gòu)造函數(shù)求最值，利用導(dǎo)數(shù)可求最值.

【數(shù)學(xué)文卷?2015屆廣西桂林中學(xué)高三8月月考(201408)】16.已知/"(X)是定義域?yàn)镽

的偶函數(shù)，當(dāng)x20時(shí)，/(x)=》2-4x那么，

不等式/(X+2)<5的解集是.

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；一元二次不等式的解法.B3E3

【答案解析】(-7,3)解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(|x+2|)=f(x+2),

則f(x+2)V5可化為f(|x+2|)<5,即|x+2/-4|x+2|<5,(|x+2|+l)(|x+2|-5)<0,

所以|x+2|<5,解得-7<x<3,

所以不等式f(x+2)<5的解集是(-7,3).

故答案為：(-7,3).

【思路點(diǎn)撥】由偶函數(shù)性質(zhì)得：f(|x+2|)=f(x+2),則f(x+2)<5