高考數(shù)學總復習《基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學總復習《基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積》專項測試卷及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復習要點1.認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.3.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合)的直觀圖．一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點，但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點延長線交于一點—軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)—二直觀圖1．畫法：常用斜二測畫法．2．規(guī)則(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄臻g幾何體的側(cè)面積和表面積1．多面體的表面積因為多面體的各面都是平面，所以多面體的表面積就是各個面的面積之和，即展開圖的面積，側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積．2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖及其表面積與側(cè)面積名稱側(cè)面展開圖表面積側(cè)面積圓柱S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)S側(cè)＝2πrl圓錐S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)S側(cè)＝πrl圓臺S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)S側(cè)＝π(r＋r′)l球—S＝4πr2(r為半徑)—四空間幾何體的體積名稱體積圓柱V＝Sh＝πr2h圓錐V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圓臺V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h棱柱V＝Sh棱錐V＝eq\f(1,3)Sh棱臺V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球V＝eq\f(4,3)πR3常/用/結(jié)/論幾個與球有關的切、接常用結(jié)論(1)設正方體的棱長為a，球的半徑為R.①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a.棱切球．(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1.1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．()(2)有兩個平面互相平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺．()(3)直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的面所圍成的幾何體都是圓錐．()(4)若在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線．()2．如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，則原圖形的面積是()A．4 B．10eq\r(2)C．4eq\r(2) D．5eq\r(2)解析：在平行四邊形O′A′B′C′中，O′A′＝5，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°，所以平行四邊形O′A′B′C′的面積為S′＝O′A′·O′C′sin30°＝5×2×eq\f(1,2)＝5，所以原圖形的面積是S＝2eq\r(2)S′＝2eq\r(2)×5＝10eq\r(2).故選B.答案：B3．(2024·廣東佛山階段考試)下列平面圖形中，繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到如圖所示的空間圖形的是()ABCD解析：題圖中的空間圖形是一個圓錐和一個圓臺的組合體．圓臺是由直角梯形以DE(如圖1)為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體，圓錐是由直角三角形以AB(如圖2)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體．兩者拼接，與選項對比，發(fā)現(xiàn)A符合題意．故選A.圖1圖2答案：A4．(1)如果圓柱的底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的側(cè)面積是________．(2)若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的表面積為________．(3)若一個球的體積為4eq\r(3)π，則它的表面積為________．解析：(1)設底面圓半徑為r，∵πr2＝S，∴r＝eq\r(\f(S,π))，∴側(cè)面展開圖邊長為2πr＝2π·eq\r(\f(S,π))，∴側(cè)面積為4π2·eq\f(S,π)＝4πS.(2)如圖所示，設圓錐的軸截面三角形的邊長為a，則eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，∴a2＝4，∴a＝2.∴圓錐的表面積為S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋π·eq\f(a,2)·a＝3π.(3)設球的半徑為r，∵eq\f(4,3)πr3＝4eq\r(3)π，∴r＝eq\r(3)，∴S球＝4πr2＝12π.答案：(1)4πS(2)3π(3)12π題型基本立體圖形的多維研討維度1基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征典例1(1)(多選)下列說法中不正確的是()A．以直角梯形的一條腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的幾何體是圓臺B．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(2)(多選)(2023·新高考全國Ⅰ卷)下列物體中，能夠被整體放入棱長為1(單位：m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有()A．直徑為0.99m的球體能放入的最大的球體是內(nèi)切球．B．所有棱長均為1.4m的四面體能放入的最大的正四面體是棱長為eq\r(2)m的正四面體．C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體選項C，D的圓柱，放置狀態(tài)是圓柱的軸線重合于正方體的體對角線．解析：(1)由圓臺定義知，以直角梯形垂直于底邊的腰為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺，故A錯誤；由棱柱定義可知，棱柱是有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體，故B錯誤；強調(diào)這一點，可推得側(cè)面為平行四邊形．底面是正多邊形的棱錐，不能保證頂點在底面上的射影為底面正多邊形的中心，故C錯誤；可推得各側(cè)棱相等．棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點，故D正確．故選ABC.(2)對于A選項，正方體內(nèi)切球的直徑為1m，故A符合題意；對于B選項，正方體內(nèi)部最大的正四面體棱長為eq\r(2)m，eq\r(2)m>1.4m，故B符合題意；對于C選項，圓柱底面直徑為0.01m，高為1.8m，正方體的體對角線為AC1＝eq\r(3)m<1.8m，體對角線都比不上圓柱的高，所以此圓柱不能放入．故C不符合題意；對于選項D，因為1.2m>1m，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，如圖，過AC1的中點O作OE⊥AC1，設OE∩AC＝E，可知AC＝eq\r(2)，CC1＝1，AC1＝eq\r(3)，OA＝eq\f(\r(3),2)，那么tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(OE,AO)，即eq\f(1,\r(2))＝eq\f(OE,\f(\r(3),2))，解得OE＝eq\f(\r(6),4)，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),4)))2＝eq\f(3,8)＝eq\f(9,24)>eq\f(9,25)＝0.62，即eq\f(\r(6),4)>0.6，所以以AC1為軸可能對稱放置底面直徑為1.2m圓柱，若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，設圓柱的底面圓心為O1，與正方體的下底面的切點為M，可知AC1⊥O1M，O1M＝0.6，那么tan∠CAC1＝eq\f(CC1,AC)＝eq\f(O1M,AO1)，即eq\f(1,\r(2))＝eq\f(0.6,AO1)，解得AO1＝0.6eq\r(2)，根據(jù)對稱性可知圓柱的高為eq\r(3)－2×0.6eq\r(2)≈1.732－1.2×1.414＝0.0352>0.01，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D符合題意．故選ABD.空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．對點練1(多選)如圖，從一個正方體中挖掉一個四棱錐，然后從任意面剖開此幾何體，下面圖形可能是該幾何體的截面的是()ABCD解析：對于A，由于截面中間是矩形，如果可能的話，一定是用和正方體底面平行的截面去剖開正方體并且是從挖去四棱錐的那部分剖開，但此時剖面中間應該是一個正方形，因此A圖形不可能是截面；對于B，當從正方體底面的一組相對棱的中點處剖開時，截面正好通過四棱錐頂點，如圖1中截面EFNM，此時截面形狀如B圖形，故B可能是該幾何體的截面；對于C，當截面垂直于底面不經(jīng)過底面一組相對棱的中點處，并和另一組棱平行去剖開正方體時，如圖2中截面PDGH，截面形狀如C圖形，故C可能是該幾何體的截面；圖1圖2圖3對于D，如圖3所示，按圖中截面A1B1C1的位置去剖開正方體，截面形狀如D圖形，故D可能是該幾何體的截面，故選BCD.答案：BCD維度2斜二測畫法典例2有一塊多邊形的菜地，它水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，如圖所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．直觀圖面積為S′＝eq\f(2\r(2)＋1,4)，可利用S′＝eq\f(\r(2),4)·S原圖形．求得原圖形的面積．解析：在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，如圖1，則在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq\f(\r(2),2).還原圖形關鍵兩點A′B′＝2AB，A′D′＝AD.又四邊形AECD為矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq\f(\r(2),2)＋1.由此可還原原圖形如圖2所示．在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq\f(\r(2),2)＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴這塊菜地的面積為S＝eq\f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)＋1))×2＝2＋eq\f(\r(2),2).故答案為2＋eq\f(\r(2),2).平面圖形與其直觀圖的關系(1)在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半．(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形面積的關系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形．以三角形為例說明原因：S直觀圖＝eq\f(1,2)B′C′·O′A′·sin45°＝eq\f(1,2)BC·eq\f(1,2)OA·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2)BC·OA·eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),4)·S原圖形．對點練2(2024·江西南昌月考)用斜二測畫法畫一個上底面邊長為1cm，下底面邊長為2cm，高(兩底面之間的距離，即兩底面中心連線的長度)為2cm的正四棱臺．解：①畫軸．如圖1所示，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②畫下底面．以點O為中點，在x軸上截取線段MN＝2cm，在y軸上截取線段PQ＝1cm，分別過點M，N作y軸的平行線，過點P，Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A，B，C，D，四邊形ABCD就是正四棱臺的下底面．③畫高．在Oz上截取OO′＝2cm，過O′分別作平行于Ox，Oy的直線O′x′，O′y′.④畫上底面．在平面x′O′y′上用畫正四棱臺下底面的方法畫出邊長為1cm的正四棱臺的上底面的直觀圖A′B′C′D′.⑤成圖．順次連接AA′，BB′，CC′，DD′，整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)得正四棱臺的直觀圖，如圖2所示．圖1圖2題型空間幾何體的表面積典例3(1)(2024·云南麗江模擬)已知三棱錐的三條側(cè)棱長均為2，有兩個側(cè)面是等腰直角三角形，底面為等腰三角形且底上的高為eq\r(5)，則這個三棱錐的表面積為()計算每個面的面積．A．4＋3eq\r(3)＋eq\r(15) B．4＋eq\r(3)＋2eq\r(15)C．4＋eq\r(3)＋eq\r(15) D．4＋2eq\r(3)＋eq\r(15)(2)(2024·江蘇南京質(zhì)檢)如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq\r(2)，AD＝2，則四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為________．解析：(1)結(jié)合題目邊長關系，三棱錐如圖所示，AB＝AC＝AD＝2，CE＝eq\r(5)，由題意得△ABC，△ACD是等腰直角三角形，則BC＝CD＝2eq\r(2)，則BE＝eq\r(BC2－CE2)＝eq\r(3)，BD＝2eq\r(3)，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝1，則該三棱錐的表面積△BCD是等腰三角形，△ABD也是等腰三角形．為S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2×2＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＋eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(5)＝4＋eq\r(3)＋eq\r(15).故選C.(2)由題意可得，四邊形ABCD繞AD旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體為圓臺挖去一個圓錐的組合體．如圖，過C作CE⊥AD交AD的延長線于E，過C作AB的垂線，垂足為F.則∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，所以EC＝CD·sin45°＝2，ED＝EC＝2，所以CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，所以BC＝eq\r(32＋42)＝5.故圓臺的上底面半徑r1＝2，下底面半徑R＝5，高h1＝4，母線長l1＝5.圓錐底面半徑r2＝2，高h2＝2，母線長l2＝2eq\r(2).所以圓臺側(cè)面積S1＝π(R＋r1)l1＝π(5＋2)×5＝35π，圓臺側(cè)面積公式．圓錐側(cè)面積S2＝πr2l2＝π×2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)π，圓臺下底面面積S3＝πR2＝25π.故該幾何體的表面積S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4eq\r(2)π＋25π＝(60＋4eq\r(2))π.故答案為(60＋4eq\r(2))π.求解幾何體表面積的類型及求法(1)求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積．(2)求旋轉(zhuǎn)體的表面積 可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其側(cè)面展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側(cè)面展開圖中的關系．(3)求不規(guī)則幾何體的表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積．對點練3(1)(多選)已知正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，若θ＝30°，側(cè)棱長為eq\r(21)，則()A．正四棱錐的底面邊長為6B．正四棱錐的底面邊長為3C．正四棱錐的側(cè)面積為24eq\r(3)D．正四棱錐的側(cè)面積為12eq\r(3)(2)圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖(扇環(huán))所在的扇形的圓心角是180°，那么圓臺的表面積為________cm2(結(jié)果中保留π)．解析：(1)如圖，在正四棱錐S-ABCD中，O為正方形ABCD的中心，SH⊥AB，設底面邊長為2a(a>0)，因為∠SHO＝30°，OH＝a，所以OS＝eq\f(\r(3),3)a，SH＝eq\f(2\r(3),3)a，在Rt△SAH中，因為a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)a))2＝21，所以a＝3，底面邊長為6，SH＝2eq\r(3)，所以側(cè)面積為S＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)×4＝24eq\r(3).故選AC.(2)如圖所示，設圓臺的上底面周長為C，因為扇環(huán)的圓心角是180°，所以C＝π·SA.又C＝2π×10＝20π(cm)，所以SA＝20cm.同理SB＝40cm.所以AB＝SB－SA＝20(cm)．S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π×(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.答案：(1)AC(2)1100π題型空間幾何體的體積典例4(1)(2023·全國乙卷，理)已知圓錐PO的底面半徑為eq\r(3)，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，∠AOB＝120°，若可知AB的弦心距OD＝eq\f(\r(3),2)，且AB＝3.△PAB的面積等于eq\f(9\r(3),4)，則該圓錐的體積為此條件轉(zhuǎn)化為△PAB的斜高PD＝eq\f(3\r(3),2)，由此再計算高PO的長．()A．π B.eq\r(6)πC．3π D．3eq\r(6)π(2)(2023·全國甲卷，文)在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長為2的等邊三角形，PA＝PB＝2，PC＝eq\r(6)，則該棱錐的體積為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．3解析：(1)因為∠AOB＝120°，OA＝OB＝eq\r(3)，所以AB＝3.常見數(shù)量關系要記準確.①頂角為120°的等腰三角形中：底邊＝eq\r(3)·腰長；②等腰直角三角形中：斜邊＝eq\r(2)·直角邊．如圖，設AB的中點為D，連接OD，PD，則OD＝eq\f(\r(3),2).又因為△PAB為等腰三角形，面積為eq\f(9\r(3),4)，則有eq\f(1,2)×3×PD＝eq\f(9\r(3),4)，所以PD＝eq\f(3\r(3),2).在Rt△POD中，PO＝eq\r(PD2－OD2)＝eq\r(6)，所以該圓錐的體積為eq\f(1,3)×π(eq\r(3))2×eq\r(6)＝eq\r(6)π.故選B.(2)如圖，取AB的中點M，連接PM，CM.由題意可知，△PAB與△ABC均為邊長為2的等邊三角形，則PM＝CM＝eq\r(3)，又PC＝eq\r(6)，所以PM2＋CM2＝PC2，所以PM⊥CM.由這些特殊的數(shù)量關系推得位置關系：PM⊥平面ABC，因此空間幾何是位置關系和數(shù)量關系的完美統(tǒng)一．另：本例中AB⊥平面PMC，則有VP-ABC＝eq\f(1,3)S△PMC·AB.此法也很精妙！又PM⊥AB，且CM∩AB＝M，所以PM⊥平面ABC.因為S△ABC＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，所以三棱錐P-ABC的體積為eq\f(1,3)·S△ABC·PM＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.故選A.求多面體體積的幾種轉(zhuǎn)化方法(1)分割法：通過對不規(guī)則幾何體進行分割，化為規(guī)則幾何體，分別求出體積后再相加即得所求幾何體體積．(2)補形法：通過補形構(gòu)造出一個規(guī)則幾何體，然后進行計算．(3)等體積法：三棱錐的體積求解具有較多的靈活性，因為三棱錐的任意一個頂點都可以作為頂點，任何一個面都可以作為棱錐的底面，常常需要對其頂點和底面進行轉(zhuǎn)換，以方便求解．換頂點，換底面的常見技巧就是盡量讓底面在幾何體的表面上，這樣的底面數(shù)量關系更明顯.對點練4(1)(多選)(2023·新高考全國Ⅱ卷)已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB＝120°，PA＝2，點C在底面圓周上，且二面角P-AC-O為45°，則()A．該圓錐的體積為πB．該圓錐的側(cè)面積為4eq\r(3)πC．AC＝2eq\r(2)D．△PAC的面積