2023-2024學(xué)年北京市順義區(qū)高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市順義區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，，所?故選：A.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】令，得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.3.命題“，使得”的否定為（）A.， B.，都有C.， D.，都有【答案】D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題可得：命題“，使得”的否定為，都有.故選：D.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于B：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于C：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于D：函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：D.5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故選：A.6.已知是任意實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，有，因此“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.8.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬.專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)兩歲燕子的飛行速度v（單位：）可以表示為，其中Q表示燕子耗氧量的單位數(shù).某只兩歲燕子耗氧量的單位數(shù)為時(shí)的飛行速度為，耗氧量的單位數(shù)為時(shí)的飛行速度為，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：D.9.已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又，當(dāng)時(shí)，都是單調(diào)增函數(shù)，故也是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，都是單調(diào)增函數(shù)，故也是單調(diào)增函數(shù)；則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也即的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；在直角坐標(biāo)系中，作出的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，要滿(mǎn)足題意，則.故選：B.10.懸鏈線(xiàn)指的是一種曲線(xiàn)，如鐵塔之間懸垂的電線(xiàn)，橫跨深澗的觀光索道的電纜等等，這些現(xiàn)象中都有相似的曲線(xiàn)形態(tài)，這些曲線(xiàn)在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為懸鏈線(xiàn)，懸鏈線(xiàn)的方程為，其中c為參數(shù)，當(dāng)時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類(lèi)似的我們有雙曲正弦函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.函數(shù)的值域C.，恒成立 D.方程有且只有一個(gè)實(shí)根【答案】C【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以函?shù)的值域，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令，函數(shù)為增函數(shù)，且，而函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，令，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，且在上，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：C.二、填空題：共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么________.【答案】【解析】將點(diǎn)代入得，所以，所以.故答案為：.12.若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】由已知得扇形的半徑為，所以該扇形面積為.故答案為：.13.已知函數(shù)，則當(dāng)________時(shí)，函數(shù)取到最大值且最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.14.若點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則角α的一個(gè)取值為_(kāi)_______.【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以有，由可得：，由可得：或，顯然無(wú)實(shí)數(shù)解，由，于是當(dāng)時(shí)，即，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.15.如圖，函數(shù)的圖象為折線(xiàn)，函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；③；④不等式的解集.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________.【答案】①③④【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，故，即，故①正確；又，所以，所以，即，所以函數(shù)周期為，由圖象可知，所以，由周期知，，故函數(shù)內(nèi)有共5個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，由圖象可知，，，又，所以，故③正確；由圖象，利用待定系數(shù)法可知，在同一坐標(biāo)系下，作出，的圖象如下，由圖易知，，所以結(jié)合圖象知不等式的解集，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知不等式的解集為A，非空集合.（1）求集合A；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）由.（2）當(dāng)時(shí)，，所以.（3）因?yàn)椋?，所以有，因此?shí)數(shù)m的取值范圍為.17.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于第三象限點(diǎn).（1）求的值；（2）若角的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，與單位圓交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）由三角函數(shù)的定義可得，所以.（2）角的終邊繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到角，則，，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.18.已知且的范圍是________.從①，②，③，④，這四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)倪x項(xiàng)填在上面的橫線(xiàn)上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問(wèn)題：（1）求，的值；（2）化簡(jiǎn)求值：.解：（1）已知，故為第二，三象限的角，則①④不能選擇，選擇②：，，所以，.選擇③：，，所以，.（2），選擇②：.選擇③：.19.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值：（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出k的范圍（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）.解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解可得.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減；證明：任取，，且，則，又由，，且，則，，，，則有，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．（3）因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，任取，，且，由（2）知，因?yàn)?，，，，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，又，，時(shí)，，作出圖象如圖：所以當(dāng)且時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，故k的范圍為.20.美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A，B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2億元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1億元，公司獲得毛收入0.25億元；生產(chǎn)芯片的毛收入（億元）與投入的資金（億元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示：（1）試分別求出生產(chǎn)兩種芯片的毛收入(億元)與投入資金(億元)的函數(shù)關(guān)系式.（2）如果公司只生產(chǎn)一種芯片，那么生產(chǎn)哪種芯片毛收入更大？（3）現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40億元資金同時(shí)生產(chǎn)兩種芯片，設(shè)投入億元生產(chǎn)芯片，用表示公司所獲凈利潤(rùn)，當(dāng)為多少時(shí)，可以獲得最大凈利潤(rùn)？并求出最大凈利潤(rùn).（凈利潤(rùn)芯片毛收入芯片毛收入一研發(fā)耗費(fèi)資金）解：（1）設(shè)投入資金億元，則生產(chǎn)A芯片的毛收入，將代入，得，解得，生產(chǎn)B芯片的毛收入.（2）由，得；由，得；由，得，當(dāng)投入資金大于16億元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入更大；當(dāng)投入資金等于16億元時(shí)，生產(chǎn)芯片的毛收入相等；當(dāng)投入資金小于16億元時(shí)，生產(chǎn)B芯片的毛收入更大.（3）由題意知投入億元生產(chǎn)芯片，則投入億元資金生產(chǎn)A芯片，公司所獲凈利潤(rùn)，令，則，，故當(dāng)，即億時(shí)，公司所獲凈利潤(rùn)最大，最大凈利潤(rùn)為9億元.21.對(duì)于定義域?yàn)镮的函數(shù)，如果存在區(qū)間，使得在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)，的值域是，則稱(chēng)區(qū)間是函數(shù)的一個(gè)“優(yōu)美區(qū)間”.（1）判斷函數(shù)和函數(shù)是否存在“優(yōu)美區(qū)間”?（直接寫(xiě)出結(jié)論，不要求證明）（2）如果函數(shù)在R上存在“優(yōu)美區(qū)間”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1），在上單調(diào)遞增，由得或1，所以存在優(yōu)美區(qū)間，是增函數(shù)，若存在優(yōu)美區(qū)間，則，無(wú)解，即函數(shù)不存在優(yōu)美區(qū)間.（2）函數(shù)在上存在“優(yōu)美區(qū)間”，設(shè)是一個(gè)優(yōu)美區(qū)間，在上遞減，在上遞增，若，則，即有兩個(gè)不等的非負(fù)根，即，可得，當(dāng)，即時(shí)，設(shè)方程兩根分別為，則，則，所以；若，則，即，兩式相減得，即，所以，所以方程有兩個(gè)不等的非正根，方程整理為，由，解得，又滿(mǎn)足題意，由，解得，所以；綜上，的取值范圍是或．北京市順義區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)榧?，，所?故選：A.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】C【解析】令，得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.3.命題“，使得”的否定為（）A.， B.，都有C.， D.，都有【答案】D【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題可得：命題“，使得”的否定為，都有.故選：D.4.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于A：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于B：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于C：函數(shù)在上單調(diào)遞減；對(duì)于D：函數(shù)在上單調(diào)遞增.故選：D.5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，所以.故選：A.6.已知是任意實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B.7.已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí)，有，因此“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A.8.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過(guò)冬.專(zhuān)家發(fā)現(xiàn)兩歲燕子的飛行速度v（單位：）可以表示為，其中Q表示燕子耗氧量的單位數(shù).某只兩歲燕子耗氧量的單位數(shù)為時(shí)的飛行速度為，耗氧量的單位數(shù)為時(shí)的飛行速度為，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所?故選：D.9.已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又，當(dāng)時(shí)，都是單調(diào)增函數(shù)，故也是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，都是單調(diào)增函數(shù)，故也是單調(diào)增函數(shù)；則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，也即的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；在直角坐標(biāo)系中，作出的圖象如下所示：數(shù)形結(jié)合可知，要滿(mǎn)足題意，則.故選：B.10.懸鏈線(xiàn)指的是一種曲線(xiàn)，如鐵塔之間懸垂的電線(xiàn)，橫跨深澗的觀光索道的電纜等等，這些現(xiàn)象中都有相似的曲線(xiàn)形態(tài)，這些曲線(xiàn)在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為懸鏈線(xiàn)，懸鏈線(xiàn)的方程為，其中c為參數(shù)，當(dāng)時(shí)，該方程就是雙曲余弦函數(shù)，類(lèi)似的我們有雙曲正弦函數(shù)，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A. B.函數(shù)的值域C.，恒成立 D.方程有且只有一個(gè)實(shí)根【答案】C【解析】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以函?shù)的值域，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令，函數(shù)為增函數(shù)，且，而函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，令，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，又，所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，且在上，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根，故D正確.故選：C.二、填空題：共5道小題，每題5分，共25分，把答案填在答題卡上.11.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，那么________.【答案】【解析】將點(diǎn)代入得，所以，所以.故答案為：.12.若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】由已知得扇形的半徑為，所以該扇形面積為.故答案為：.13.已知函數(shù)，則當(dāng)________時(shí)，函數(shù)取到最大值且最大值為_(kāi)_______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.14.若點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則角α的一個(gè)取值為_(kāi)_______.【答案】（答案不唯一）【解析】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以有，由可得：，由可得：或，顯然無(wú)實(shí)數(shù)解，由，于是當(dāng)時(shí)，即，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.15.如圖，函數(shù)的圖象為折線(xiàn)，函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②函數(shù)在內(nèi)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)；③；④不等式的解集.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____________.【答案】①③④【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，所以，故，即，故①正確；又，所以，所以，即，所以函數(shù)周期為，由圖象可知，所以，由周期知，，故函數(shù)內(nèi)有共5個(gè)零點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；因?yàn)?，，，由圖象可知，，，又，所以，故③正確；由圖象，利用待定系數(shù)法可知，在同一坐標(biāo)系下，作出，的圖象如下，由圖易知，，所以結(jié)合圖象知不等式的解集，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6道題，共85分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.已知不等式的解集為A，非空集合.（1）求集合A；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）由.（2）當(dāng)時(shí)，，所以.（3）因?yàn)?，，所以有，因此?shí)數(shù)m的取值范圍為.17.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于第三象限點(diǎn).（1）求的值；（2）若角的終邊繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，與單位圓交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）由三角函數(shù)的定義可得，所以.（2）角的終邊繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到角，則，，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.18.已知且的范圍是________.從①，②，③，④，這四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)你認(rèn)為恰當(dāng)?shù)倪x項(xiàng)填在上面的橫線(xiàn)上，并根據(jù)你的選擇，解答以下問(wèn)題：（1）求，的值；（2）化簡(jiǎn)求值：.解：（1）已知，故為第二，三象限的角，則①④不能選擇，選擇②：，，所以，.選擇③：，，所以，.（2），選擇②：.選擇③：.19.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)a的值：（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出k的范圍（直接寫(xiě)出結(jié)論即可）.解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解可得.（2）由（1）知，在上單調(diào)遞減；證明：任取，，且，則，又由，，且，則，，，，則有，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．（3）因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等的實(shí)根，任取，，且，由（2）知，因?yàn)椋?，，，所以，即，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，又，，時(shí)，，作出圖象如圖：所以當(dāng)且時(shí)，與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根，故k的范圍為.20.美國(guó)對(duì)中國(guó)芯片的技術(shù)封鎖，激發(fā)了中國(guó)“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A，B兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2億元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn).經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，已知每投入1億元，公司獲得毛收入0.25億元；生產(chǎn)芯片的毛收入（億元）與投入的資金