2023-2024學(xué)年廣東省揭陽市普寧市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省揭陽市普寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求.1.已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】由橢圓的標準方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B2.已知直線m經(jīng)過，兩點，則直線m的斜率為（）A.-2 B. C. D.2【答案】A【解析】直線的斜率為：.故選：A3.已知空間向量，，則（）A. B.19 C.17 D.【答案】D【解析】因為，，所以，故，故選：D.4.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項之和為（）A.12 B.32 C.36 D.37【答案】C【解析】數(shù)列的前6項之和為.故選：C.5.地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險警報信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺子臺陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.在一次地震預(yù)警中，兩地震臺站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺站的距離至少為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)震中為，依題意有，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線靠近的一支，因為，當且僅當三點共線時，取等號，所以,所以，所以震中到地震臺站的距離至少為.故選：A6.已知圓和存在公共點，則m的值不可能為（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】因為圓和存在公共點，所以兩圓相交或者相內(nèi)切或者相外切，即，解得，選項ABC滿足，m的值不能為D.故選：D7.如圖，在四面體中，是的中點,設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，．故選：B．8.對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在,則稱數(shù)列是無界的.記數(shù)列的前項和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列是無界的 B.若，則數(shù)列是有界的C.若，則數(shù)列是有界的 D.若，則數(shù)列是有界的【答案】C【解析】對于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，A錯誤；對于B，，，，即隨著的增大，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，B錯誤；對于C，當偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，C正確；對于D，，；在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知向量，則與同向共線的單位向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為向量，所以，所以與同向共線的單位向量為：，故選：C.10.已知數(shù)列滿足，，記，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題意可得，所以，所以A錯誤，B正確；又，故，即，所以為等差數(shù)列，故，所以C正確，D錯誤，故選：BC.11.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在，使得的傾斜角為B.存在，使得的傾斜角為C.存在，使直線與圓相離D.對任意的，直線與圓相交，且時相交弦最短【答案】AD【解析】對于A中，當時，直線，此時直線的傾斜角為，所以A正確；對于B中，當時，可得直線的斜率為，若直線的傾斜角為，可得，即，此時方程無解，所以B錯誤；對于C中，由直線，可化為，令，解得，即直線恒經(jīng)過點，又由圓圓心坐標為，半徑為，因為，則，所以點在圓內(nèi)部，所以無論為何值，直線與圓總相交，所以C錯誤；對于D中，當時，直線，此時直線的斜率為，又由，此時，即，根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，此時弦長最短，所以D正確.故選：AD.12.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，為雙曲線右支上的一點，且直線與的斜率之積等于，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若，且，則C.分別以線段、為直徑的兩個圓內(nèi)切D.【答案】ACD【解析】對于A選項，設(shè)點，則，因為、，所以，由，得，故雙曲線的漸近線方程為，A對；對于B選項，因為，所以，根據(jù)雙曲線的定義可得，又因為，所以，整理得.由，可得，即，解得，B錯；對于C，設(shè)的中點為，為原點.因為、分別為、的中點，所以，則可知以線段、為直徑的兩個圓內(nèi)切，C對；對于D，當點在第一象限時，設(shè)點，則，.因為漸近線方程為，所以，.當時，即當軸時，則，所以，，可得，所以，，此時，為等腰直角三角形，則，滿足；當時，，，所以，因為，所以；當點在第四象限時，同理可得，綜上可知，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則___________.【答案】【解析】由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗符合要求.故答案為：14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則___________．【答案】【解析】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以雙曲線的方程可設(shè)為，即，因為，所以，解得（負值舍去），所以.故答案為：.15.已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，，所以前4項都滿足的一個通項公式為.故答案為：16.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點,,,,若，則_________．【答案】【解析】設(shè),如下圖所示，建立空間直角坐標系，，，，，，則所以又因為所以故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線和直線．（1）若時，求a的值；（2）當平行，求兩直線，的距離．解：（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為．18.已知直線l：與x軸的交點為A，圓O：經(jīng)過點A．（1）求r的值；（2）若點B為圓O上一點，且直線垂直于直線l，求弦長．解：（1）在中，令，得，故.因為圓O：經(jīng)過點A，所以，解得.（2）直線l的斜率為2，因為直線垂直于直線l，所以直線的斜率為.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，所以.19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積．解：（1）由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC（2）過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面ACD的一個法向量，設(shè)平面MAC的一個法向量為.則有，取，解得由二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，有，解得，所以M為PD中點.所以20.已知數(shù)列的前項和為..（1）求數(shù)列的通項公式；（2）從下面兩個條件中選擇一個填在橫線上，并完成下面的問題.①，；②是和的等比中項,.若公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，且______，求數(shù)列的前項和.解：（1）當時，，可得；當時，，所以，即，因為，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以；（2）設(shè)數(shù)列的公差為，若選擇①，由題意，解得；所以，由（1）得，，所以，所以，，兩式相減得，所以；若選擇②，有，即，即，因為，所以，所以，解得，所以，由（1）得，，所以，所以，.兩式相減，得，所以.21.在平面直角坐標系中，點在拋物線上．（1）求的值；（2）若直線l與拋物線C交于，兩點，，且，求的最小值．解：（1）將代入拋物線，解得：.（2），在拋物線C上，故，，解得：或2，因，所以，即，故，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.22.已知圓：，定點，A是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點．（1）求P點的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線過點且與曲線C相交于M，N兩點，不經(jīng)過點．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值．解：（1）圓：的圓心，半徑為8，因A是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于P點，則，于是得，因此，P點的軌跡C是以，為左右焦點，長軸長2a=8的橢圓，短半軸長b有，所以P點的軌跡C的方程是.（2）因直線過點且與曲線C：相交于M，N兩點，則直線的斜率存在且不為0，又不經(jīng)過點，即直線的斜率不等于-1，設(shè)直線的斜率為k，且，直線的方程為：，即，由消去y并整理得：，，即，則有且，設(shè)，則，直線MQ的斜率，直線NQ的斜率，，所以直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值.廣東省揭陽市普寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求.1.已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】由橢圓的標準方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B2.已知直線m經(jīng)過，兩點，則直線m的斜率為（）A.-2 B. C. D.2【答案】A【解析】直線的斜率為：.故選：A3.已知空間向量，，則（）A. B.19 C.17 D.【答案】D【解析】因為，，所以，故，故選：D.4.在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前6項之和為（）A.12 B.32 C.36 D.37【答案】C【解析】數(shù)列的前6項之和為.故選：C.5.地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險警報信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺子臺陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過兩個地震臺站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個地震臺站的位置就是該雙曲線的兩個焦點.在一次地震預(yù)警中，兩地震臺站和站相距.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到站與震中到站的距離之差為.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺站的距離至少為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)震中為，依題意有，所以點的軌跡是以為焦點的雙曲線靠近的一支，因為，當且僅當三點共線時，取等號，所以,所以，所以震中到地震臺站的距離至少為.故選：A6.已知圓和存在公共點，則m的值不可能為（）A.3 B. C.5 D.【答案】D【解析】因為圓和存在公共點，所以兩圓相交或者相內(nèi)切或者相外切，即，解得，選項ABC滿足，m的值不能為D.故選：D7.如圖，在四面體中，是的中點,設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，．故選：B．8.對于數(shù)列，若存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列是有界的.若這樣的正數(shù)不存在,則稱數(shù)列是無界的.記數(shù)列的前項和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則數(shù)列是無界的 B.若，則數(shù)列是有界的C.若，則數(shù)列是有界的 D.若，則數(shù)列是有界的【答案】C【解析】對于A，恒成立，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，A錯誤；對于B，，，，即隨著的增大，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，B錯誤；對于C，當偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，；，存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是有界的，C正確；對于D，，；在上單調(diào)遞增，，不存在正數(shù)，使得恒成立，數(shù)列是無界的，D錯誤.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.已知向量，則與同向共線的單位向量（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為向量，所以，所以與同向共線的單位向量為：，故選：C.10.已知數(shù)列滿足，，記，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題意可得，所以，所以A錯誤，B正確；又，故，即，所以為等差數(shù)列，故，所以C正確，D錯誤，故選：BC.11.已知直線與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在，使得的傾斜角為B.存在，使得的傾斜角為C.存在，使直線與圓相離D.對任意的，直線與圓相交，且時相交弦最短【答案】AD【解析】對于A中，當時，直線，此時直線的傾斜角為，所以A正確；對于B中，當時，可得直線的斜率為，若直線的傾斜角為，可得，即，此時方程無解，所以B錯誤；對于C中，由直線，可化為，令，解得，即直線恒經(jīng)過點，又由圓圓心坐標為，半徑為，因為，則，所以點在圓內(nèi)部，所以無論為何值，直線與圓總相交，所以C錯誤；對于D中，當時，直線，此時直線的斜率為，又由，此時，即，根據(jù)圓的弦的性質(zhì)，此時弦長最短，所以D正確.故選：AD.12.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，左、右頂點分別為、，為雙曲線右支上的一點，且直線與的斜率之積等于，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若，且，則C.分別以線段、為直徑的兩個圓內(nèi)切D.【答案】ACD【解析】對于A選項，設(shè)點，則，因為、，所以，由，得，故雙曲線的漸近線方程為，A對；對于B選項，因為，所以，根據(jù)雙曲線的定義可得，又因為，所以，整理得.由，可得，即，解得，B錯；對于C，設(shè)的中點為，為原點.因為、分別為、的中點，所以，則可知以線段、為直徑的兩個圓內(nèi)切，C對；對于D，當點在第一象限時，設(shè)點，則，.因為漸近線方程為，所以，.當時，即當軸時，則，所以，，可得，所以，，此時，為等腰直角三角形，則，滿足；當時，，，所以，因為，所以；當點在第四象限時，同理可得，綜上可知，D對.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則___________.【答案】【解析】由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗符合要求.故答案為：14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則___________．【答案】【解析】因為雙曲線的一條漸近線方程為，所以雙曲線的方程可設(shè)為，即，因為，所以，解得（負值舍去），所以.故答案為：.15.已知數(shù)列為，，，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以是________．【答案】（答案不唯一）【解析】依題意，，所以前4項都滿足的一個通項公式為.故答案為：16.《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱．如圖，在塹堵，中，M是的中點,,,,若，則_________．【答案】【解析】設(shè),如下圖所示，建立空間直角坐標系，，，，，，則所以又因為所以故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線和直線．（1）若時，求a的值；（2）當平行，求兩直線，的距離．解：（1）∵，且，∴，解得．（2）∵，，且，∴且，解得，∴，即∴直線間的距離為．18.已知直線l：與x軸的交點為A，圓O：經(jīng)過點A．（1）求r的值；（2）若點B為圓O上一點，且直線垂直于直線l，求弦長．解：（1）在中，令，得，故.因為圓O：經(jīng)過點A，所以，解得.（2）直線l的斜率為2，因為直線垂直于直線l，所以直線的斜率為.所以直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，所以.19.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD＝CD＝1，BC＝2，PA＝1．（1）求證：AB⊥PC；（2）點M在線段PD上，二面角M﹣AC﹣D的余弦值為，求三棱錐M﹣ACP體積．解：（1）由題意得四邊形ADCB是直角梯形，AD=CD=1，故∠ACD=45°，∠ACB=45°，AC=.又BC=2，所以，所以，所以AB⊥AC.又PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.而PA平面PAC，AC平面PAC，，所以AB⊥平面PAC.又PC平面PAC，所以AB⊥PC（2）過點A作AE⊥BC于E，易知E為BC中點，以A為原點，AE，AD，AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則，，，.則設(shè)，.顯然，是平面