2023-2024學年江蘇省東臺市高一上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1江蘇省東臺市2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，計40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）1.設集合，則下列選項正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于選項A：由元素與集合的關系可知，故A錯誤；對于選項B：由元素與集合的關系可知，故B正確；對于選項C：由元素與集合的關系可知，故C錯誤；對于選項D：由集合與集合的關系可知，故D錯誤.故選：B.2.已知，則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性：若，又，則，故充分性成立；必要性：若，，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2008年5月12日四川省汶川縣發(fā)生里氏8.0級地震，2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生里氏6.2級地震，則汶川地震所散發(fā)出來的能量與積石山縣地震所散發(fā)出來的能量的比值為（）A.10 B.100 C.1000 D.10000【答案】C【解析】設汶川地震所散發(fā)出來的能量為，積石山縣地震所散發(fā)出來的能量為，所以，，所以，，所以.故選：C.4.函數(shù)，若，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，又，所以.故選：A.5.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由角終邊經過點，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，即，解得或（舍去），所以或（舍去），所以.故選：A.6.已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，單調遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，當時，在上單調遞增，且，，當時，根據(jù)奇函數(shù)的性質可知在上單調遞增，且，，所以.故選：D.7.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位【答案】A【解析】，設，，令，把函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.故選：A.8.已知，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，又，所以，記，則，從而，，令，，設，則，因為，所以，，所以，所以，所以在上單調遞增，所以，即的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，計20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）9.冪函數(shù)，，則下列結論正確的有（）A. B.函數(shù)在定義域內單調遞減C. D.函數(shù)的值域為【答案】AD【解析】由為冪函數(shù)可得，解得或，又，所以，所以，故A正確；因為函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，由，知函數(shù)為偶函數(shù)，由于，故在區(qū)間上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)性質知在區(qū)間上單調遞增，故B錯誤；，故C錯誤；因為的定義域為，則，所以的值域為，故D正確.故選：AD.10.狄里克雷是德國數(shù)學家，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，于1837年提出函數(shù)是x與y之間的一種對應關系的現(xiàn)代觀點，用其名字命名的“狄里克雷函數(shù)”為，下列敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.C. D.【答案】ABD【解析】A：當x是有理數(shù)，則-x是有理數(shù)，當x是無理數(shù)，則-x是無理數(shù)，所以，則是偶函數(shù)，故正確；B：當x是有理數(shù)，則x+2有理數(shù)，當x是無理數(shù)，則x+2是無理數(shù)，所以，故正確；C：當時，，，故錯誤；D：當x是有理數(shù)時，，當x是無理數(shù)時，，故正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的有（）A.的最小正周期為B.為偶函數(shù)C.在區(qū)間內的最小值為1D.的圖象關于直線對稱【答案】AC【解析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，可得，，故選項A正確；由得，又，所以，所以，所以，因為定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，故選項B錯誤；當，可得，所以，所以，故在區(qū)間內的最小值為1，選項C正確；當時，可得，所以函數(shù)的對稱中心為，即函數(shù)的圖象不關于直線對稱，所以D錯誤.故選：AC.12.已知函數(shù)則下列結論正確的有（）A.，B.函數(shù)有且僅有2個零點C.方程有唯一解D.直線與的圖象有3個交點【答案】ABD【解析】由題意，A項，在中，作出函數(shù)圖象如下圖所示，由上圖可知，，故正確；B項，在中，當時，，即與的交點，作出函數(shù)圖象如下，可知函數(shù)有且僅有2個零點，B正確；C項，在中，作出兩函數(shù)的圖象如下圖所示，∴兩函數(shù)有4個交點，方程有4解，∴方程不止有唯一解，故C錯誤；D項，由圖可知，直線與的圖象有3個交點，D正確.故選：ABD.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，計20分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）13.計算______.【答案】【解析】.故答案為：.14.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為，內弧線的長為，連接外弧與內弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為______.【答案】3【解析】依題意可得弧的長為，弧的長為，設扇形的中心角的弧度數(shù)為，如圖，則，則，即，因為，所以，則，所以該扇形的中心角的弧度數(shù).故答案為：3.15.若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對于任意的，，都有，且時，有，若的最大值為，最小值為，則的值為______.【答案】4048【解析】令得，所以，令得，所以，令，則，，因為，又定義域關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：4048.16.已知函數(shù)，若方程在內有兩個不同的解，則實數(shù)的取值范圍為__________________________.【答案】【解析】當時，的圖象如圖所示，則，令，則方程為，即，，又，當時，若方程在內有兩個不同的解，只需只有一解，即函數(shù)與，只有一個交點，又函數(shù)在上單調遞減，所以，即；當時，，方程的解為和，當時，，當時，無解，顯然方程只有一解，不合題意；當時，，方程的解為和，當時，，當時，無解，顯然方程只有一解，不合題意；當時，若方程在內有兩個不同解，只需有兩個不同的解，即函數(shù)與，有兩個不同的個交點，又函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，計70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內.）17.設集合，.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由得，，因為，所以，所以.（2）因為，所以，①當時，，符合題意；②當時，，解得；綜上所述，.18.已知.（1）化簡函數(shù)；（2）若，求.解：（1）.（2）因為，所以，所以.19.某同學用“五點法”作函數(shù)（，，）在某一個周期|的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，見下表：0

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（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）根據(jù)五點法的表格中，，，可知，，，所以，，，得，所以，令，，解之得，，即的單調遞減區(qū)間為，.（2）由于，則，所以，則，因為在區(qū)間恒成立，所以，所以的取值范圍為.20.國內某大型機械加工企業(yè)在過去的一個月內（共計30天，包括第30天），其主營產品在第x天的指導價為每件（元），且滿足，第天的日交易量（萬件）的部分數(shù)據(jù)如下表：第x天12510Q(x)（萬件）14.011210.810.38（1）給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中為常數(shù).請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中選擇你認為最合適的一種函數(shù)模型來擬合該產品日交易量（萬件）的函數(shù)關系；并且從四組數(shù)據(jù)中選擇你認為最簡潔合理的兩組數(shù)據(jù)進行合理的推理和運算，求出的函數(shù)關系式；（2）若該企業(yè)在未來一個月（共計天，包括第天）的生產經營水平維持上個月的水平基本不變，由（1）預測并求出該企業(yè)在未來一個月內第天的日交易額的函數(shù)關系式，并確定取得最小值時對應的.解：（1）由給出數(shù)據(jù)可知：隨著自變量增大，函數(shù)值在變小，同時函數(shù)模型①是遞增的指數(shù)型函數(shù)，又模型②為遞減的反比型函數(shù)，故選擇模型②，觀察表格中的4組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)簡潔并且易于計算的角度，理應選擇中間兩組數(shù)據(jù)，即，解得，可以檢驗相對合理，從而.（2）由（1）可得，當時，由基本不等式得，當且僅當時取到最小值，當時，，由單調性的性質可得在上單調遞減，故在時，有最小值，最小值為萬元，又，綜上所述，當時取得最小值.21.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值并用定義證明函數(shù)在上單調遞增；（2）若方程在內有解，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，于是得，解得，所以，滿足，函數(shù)在上單調遞增，證明如下：，，，，因為函數(shù)在上單調遞增，又，則，于是得，即，所以在上單調遞增.（2）由是上的奇函數(shù)，可化為，由在上單調遞增可得，即，，則，令，當，即時，，又，所以當時，，所以實數(shù)的取值范圍是.22.已知非常值函數(shù)的定義域為，如果存在正實數(shù)，使得，都有恒成立，則稱函數(shù)具有性質.（1）判斷下列函數(shù)是否具有性質？并說明理由；①；②.（2）若函數(shù)具有性質，求的最小值.解：（1）不具有性質，具有性質，理由如下：①假設具有性質，即存在正數(shù)，使得恒成立，則對恒成立，則此時無解，故假設不成立，所以不具有性質.②取，則，即存在正數(shù)使對恒成立，所以具有性質.（2）因為函數(shù)具有性質，所以存在正數(shù)，使都有恒成立，令，則對恒成立，下證若，取，則，矛盾，若，取，則，矛盾，所以，即，又因為當且僅當，時，對恒成立，因為，所以，所以的最小值為.江蘇省東臺市2023-2024學年高一上學期期末考試數(shù)學試題一、單項選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，計40分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）1.設集合，則下列選項正確是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于選項A：由元素與集合的關系可知，故A錯誤；對于選項B：由元素與集合的關系可知，故B正確；對于選項C：由元素與集合的關系可知，故C錯誤；對于選項D：由集合與集合的關系可知，故D錯誤.故選：B.2.已知，則“”是“”的（）條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】充分性：若，又，則，故充分性成立；必要性：若，，則，故必要性不成立；故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.科學家以里氏震級來度量地震的強度，若設為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為.2008年5月12日四川省汶川縣發(fā)生里氏8.0級地震，2023年12月18日甘肅積石山縣發(fā)生里氏6.2級地震，則汶川地震所散發(fā)出來的能量與積石山縣地震所散發(fā)出來的能量的比值為（）A.10 B.100 C.1000 D.10000【答案】C【解析】設汶川地震所散發(fā)出來的能量為，積石山縣地震所散發(fā)出來的能量為，所以，，所以，，所以.故選：C.4.函數(shù)，若，則，，的大小關系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，又，所以.故選：A.5.已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上一點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由角終邊經過點，可得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，即，解得或（舍去），所以或（舍去），所以.故選：A.6.已知是定義域為的奇函數(shù)，當時，單調遞增，且，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，當時，在上單調遞增，且，，當時，根據(jù)奇函數(shù)的性質可知在上單調遞增，且，，所以.故選：D.7.為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向右平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向左平移個單位【答案】A【解析】，設，，令，把函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.故選：A.8.已知，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，又，所以，記，則，從而，，令，，設，則，因為，所以，，所以，所以，所以在上單調遞增，所以，即的取值范圍是.故選：B.二、多項選擇題：（本大題共4小題，每小題5分，計20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分，請在答題紙的指定位置填涂答案選項.）9.冪函數(shù)，，則下列結論正確的有（）A. B.函數(shù)在定義域內單調遞減C. D.函數(shù)的值域為【答案】AD【解析】由為冪函數(shù)可得，解得或，又，所以，所以，故A正確；因為函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，由，知函數(shù)為偶函數(shù)，由于，故在區(qū)間上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)性質知在區(qū)間上單調遞增，故B錯誤；，故C錯誤；因為的定義域為，則，所以的值域為，故D正確.故選：AD.10.狄里克雷是德國數(shù)學家，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，對數(shù)論、數(shù)學分析和數(shù)學物理有突出貢獻，于1837年提出函數(shù)是x與y之間的一種對應關系的現(xiàn)代觀點，用其名字命名的“狄里克雷函數(shù)”為，下列敘述中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.C. D.【答案】ABD【解析】A：當x是有理數(shù)，則-x是有理數(shù)，當x是無理數(shù)，則-x是無理數(shù)，所以，則是偶函數(shù)，故正確；B：當x是有理數(shù)，則x+2有理數(shù)，當x是無理數(shù)，則x+2是無理數(shù)，所以，故正確；C：當時，，，故錯誤；D：當x是有理數(shù)時，，當x是無理數(shù)時，，故正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的有（）A.的最小正周期為B.為偶函數(shù)C.在區(qū)間內的最小值為1D.的圖象關于直線對稱【答案】AC【解析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得，，可得，，故選項A正確；由得，又，所以，所以，所以，因為定義域為R，且，所以為奇函數(shù)，故選項B錯誤；當，可得，所以，所以，故在區(qū)間內的最小值為1，選項C正確；當時，可得，所以函數(shù)的對稱中心為，即函數(shù)的圖象不關于直線對稱，所以D錯誤.故選：AC.12.已知函數(shù)則下列結論正確的有（）A.，B.函數(shù)有且僅有2個零點C.方程有唯一解D.直線與的圖象有3個交點【答案】ABD【解析】由題意，A項，在中，作出函數(shù)圖象如下圖所示，由上圖可知，，故正確；B項，在中，當時，，即與的交點，作出函數(shù)圖象如下，可知函數(shù)有且僅有2個零點，B正確；C項，在中，作出兩函數(shù)的圖象如下圖所示，∴兩函數(shù)有4個交點，方程有4解，∴方程不止有唯一解，故C錯誤；D項，由圖可知，直線與的圖象有3個交點，D正確.故選：ABD.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，計20分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上）13.計算______.【答案】【解析】.故答案為：.14.古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán).已知某扇形的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線的長為，內弧線的長為，連接外弧與內弧的兩端的線段均為，則該扇形的中心角的弧度數(shù)為______.【答案】3【解析】依題意可得弧的長為，弧的長為，設扇形的中心角的弧度數(shù)為，如圖，則，則，即，因為，所以，則，所以該扇形的中心角的弧度數(shù).故答案為：3.15.若定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對于任意的，，都有，且時，有，若的最大值為，最小值為，則的值為______.【答案】4048【解析】令得，所以，令得，所以，令，則，，因為，又定義域關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，所以，即，所以.故答案為：4048.16.已知函數(shù)，若方程在內有兩個不同的解，則實數(shù)的取值范圍為__________________________.【答案】【解析】當時，的圖象如圖所示，則，令，則方程為，即，，又，當時，若方程在內有兩個不同的解，只需只有一解，即函數(shù)與，只有一個交點，又函數(shù)在上單調遞減，所以，即；當時，，方程的解為和，當時，，當時，無解，顯然方程只有一解，不合題意；當時，，方程的解為和，當時，，當時，無解，顯然方程只有一解，不合題意；當時，若方程在內有兩個不同解，只需有兩個不同的解，即函數(shù)與，有兩個不同的個交點，又函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，計70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內.）17.設集合，.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由得，，因為，所以，所以.（2）因為，所以，①當時，，符合題意；②當時，，解得；綜上所述，.18.已知.（1）化簡函數(shù)；（2）若，求.解：（1）.（2）因為，所以，所以.19.某同學用“五點法”作函數(shù)（，，）在某一個周期|的圖象時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，見下表：0

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（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的單調遞減區(qū)間；（2）若在區(qū)間恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）根據(jù)五點法的表格中，，，可知，，，所以，，，得，所以，令，，解之得，，即的單調遞減區(qū)間為，.（2）由于，則，所以，則，因為在區(qū)間恒成立，所以，所以的取值范圍為.20.國內某大型機械加工企業(yè)在過去的一個月內（共計30天，包括第30天），其主營產品在第x天的指導價為每件（元），且滿足，第天的日交易量（萬件）的部分數(shù)據(jù)如下表：第x天12510Q(x)（萬件）14.011210.810.38（1）給出以下兩種函數(shù)模型：①，②，其中為常數(shù).請你根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從①②中