2023-2024學(xué)年四川省雅安市高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省雅安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時，下列事件為必然事件的是（）A.A燈亮，B燈不亮 B.A燈不亮，B燈亮C.A，B兩盞燈均亮 D.A，B兩盞燈均不亮【答案】C【解析】由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時，可知A，B兩盞燈均亮.故選：C.2.經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】∵直線經(jīng)過兩點，，∴直線垂直軸，故傾斜角為．故選：C．3.在等差數(shù)列中，已知，，則（）A.15 B.20 C.25 D.30【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.故選：B4.已知橢圓的焦點在x軸上，，，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，可得，由于焦點在x軸上，所以橢圓方程為，故選：A5.若點在空間直角坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影為點B，則A，B兩點的中點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于題意可得,所以A，B兩點的中點坐標(biāo)，故選：B6.已知圓，圓，則這兩個圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離C.外切 D.內(nèi)含【答案】A【解析】由可得圓心為，半徑，由，即，故圓心為，半徑為，則，，，故，故這兩個圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.7.已知點，平面的法向量，若平面，則下列各點中在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，記，則，∴，故該點不在平面內(nèi)，故A錯誤；對于B，記，則，∴，故該點不在平面內(nèi)，故B錯誤；對于C，記，則，∴，故該點不在平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，記，則，∴，故該點在平面內(nèi)，故D正確.故選：D.8.若曲線與曲線有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】曲線可化簡為，曲線表示以點為圓心，1為半徑的右半圓，曲線表示兩條直線和，顯然直線過圓心與半圓有兩個交點和，所以直線與半圓有兩個除了外的交點，由直線得，過定點，，當(dāng)直線與半圓相切時，可得，解得或（舍去）.所以當(dāng)時，直線與半圓有兩個除了外的交點，此時曲線與曲線有四個不同的交點.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】∵，∴，故A正確；當(dāng)時，，∴，也適合，∴，故D錯誤；∵，∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，故C正確；∵，公比大于1，∴數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確.故選：ABC.10.已知點P在雙曲線的右支上，，是雙曲線的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A. B.離心率C.漸近線方程為 D.點到漸近線的距離為3【答案】ABD【解析】由雙曲線方程得，，∵點P在雙曲線右支上，∴，故A正確；離心率，故B正確；漸近線方程為，故C錯誤；漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離為，故D正確.故選：ABD.11.若圓上恰有四個點到直線的距離為2，則實數(shù)a的取值可以為下列（）A.2 B.0 C.1 D.【答案】BCD【解析】由于圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，因為圓上恰有四個點到直線的距離為2，所以，即，解得，經(jīng)驗證可知，A錯誤；BCD正確.故選：BCD.12.在正方體中，若棱長為1，點E，F(xiàn)分別為線段，上的動點（不包括端點），則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.異面直線AF與DC所成角的余弦值范圍為C.三棱錐的體積為定值D.直線AE與平面所成的角的正弦值為【答案】AC【解析】連接，在正方體中，,平面,平面,故平面,故A正確，由于,所以即為異面直線AF與DC所成角，由于,則三角形為直角三角形，，所以當(dāng),故，B錯誤，,由于四棱錐的體積為定值，所以三棱錐的體積為定值，C正確，由于平面平面,且交線為，,平面,所以平面，所以為直線AE與平面所成的角，由于長度不確定，所以不為定值，故D錯誤，故選：AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線，，若，則m的值為______．【答案】4【解析】由題意得，解得.故答案為：4.14.若空間向量，，且，則實數(shù)______．【答案】4【解析】因為，所以，所以，解得，故答案為：415.某學(xué)校舉行乒乓球比賽，采取五局三勝制，甲、乙兩位同學(xué)角逐冠亞軍．若甲發(fā)球甲獲勝的概率為，乙發(fā)球甲獲勝的概率為，要求甲先發(fā)球后交替進(jìn)行，則打滿局甲一舉奪冠的概率為______．【答案】【解析】發(fā)球順序是：甲、乙、甲，所以打滿局甲一舉奪冠的概率為.故答案為：16.已知橢圓的右頂點為A，左焦點為F，若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率，若點M為橢圓上任意一點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為橢圓的上頂點到焦點的距離為2，所以，因為離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.設(shè)，則，因為，所以.因為，所以，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.記為等比數(shù)列的前n項和，已知公比，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并判斷，，是否成等差數(shù)列，說明理由．解：（1）由題意得，，，整理得，解之得或2．因為公比，所以．由等比數(shù)列通項公式可得．（2）由等比數(shù)列的前n項和公式及（1）得．所以，又，，因此，所以，，成等差數(shù)列．18.新高考科目設(shè)置采用“”模式，普通高中學(xué)生從高一升高二時將面臨選擇物理還是歷史的問題，某校進(jìn)行了大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，在1000名學(xué)生的問卷調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)有800名學(xué)生選擇了物理，200名學(xué)生選擇了歷史．（1）從這1000名學(xué)生中按選科比例選出五名學(xué)生將選科信息錄入系統(tǒng)，同時在這五名學(xué)生中抽取兩名學(xué)生作為組長，寫出樣本空間；（2）求出（1）中兩名組長出自不同選科的概率．解：（1）因為在1000名學(xué)生的問卷調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)有800名學(xué)生選擇了物理，200名學(xué)生選擇了歷史，按照比例抽取五名學(xué)生，因此選擇物理的4人，選擇歷史的1人．記選擇物理的四個人分別為1，2，3，4，選擇歷史的一個人為a，五個人中抽取兩個人的樣本空間：，共10個樣本點．（2）由（1）知，抽出的兩個人來自不同選科的情況共有：共4個樣本點，所以．19.如圖，四面體的所有棱長均為2，D，F(xiàn)分別為，的中點，且點E為的三等分點（靠近點B）．（1）設(shè)向量，，，用，，表示向量；（2）求點D到平面的距離．解：（1）向量，，，，．因為點D為的中點，E為的三等分點（靠近點B），所以，，．（2）因為四面體的所有棱長都是2，所以它的四個面都為全等的等邊三角形．又D，F(xiàn)分別為，的中點，有，，又，平面，所以平面，又因為D為中點，所以點D到平面的距離等于點A到平面的距離的一半，因此點D到平面的距離等于．20.已知過點的直線與直線平行，圓．（1）若直線為圓C切線，求直線的方程；（2）若直線與圓C交于M，N兩點，求面積的最大值，并求此時實數(shù)m的值．解：（1）因為直線與直線平行，設(shè)直線的方程為，又直線過點，則，得，所以直線的方程為．由圓，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為．因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解之得，直線的方程為．（2）由直線與圓相交于M，N兩點，三角形的面積，而，為半徑1，因此當(dāng)最大時，即，此時，最大為．所以圓心C到直線的距離為．由（1）得直線的方程為，所以圓心C到直線l的距離，解之得或．綜上所述，最大為，或．21.在①平面平面，；②，；③平面，這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解答．問題：如圖，在四棱錐中，底面是梯形，點E在上，，，，且______．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）選①，因為平面平面，兩個平面交于，，平面，所以平面，而平面，則，又，所以，，兩兩垂直．建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．，，，．設(shè)平面的一個法向量為．由得令，則，，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由得令，則，，所以，因為，則，所以平面平面．選②，，，平面，底面是梯形，，與相交，則平面，而平面，．又，，，AB兩兩垂直．建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．，，，．設(shè)平面的一個法向量為．由得令，則，，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由得令，則，，所以，因為，則，所以平面平面．選③，平面，平面，，，，，，，，兩兩垂直．建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，．，，，．設(shè)平面的一個法向量為．由得令，則，，所以．設(shè)平面的一個法向量為，由得令，則，，所以，因為，則，所以平面平面．（2），，設(shè)平面的一個法向量為．由得令，則，，所以．而平面的一個法向量為．由，所以平面與平面夾角的余弦值為．22.已知拋物線：的焦點為點F，點M在第一象限，且在拋物線上，若，且點M到y(tǒng)軸的距離1，延長MF交拋物線點N．（1）求拋物線的方程及線段MN的長；（2）直線l與拋物線交于A，B兩點，記直線MA的斜率為，直線MB的斜率為，當(dāng)時，直線l是否過定點？若是，求出定點坐標(biāo)；若不是，請說明理由．解：（1），且點M到y(tǒng)軸的距離1，由拋物線的定義得，即，解得．拋物線E的方程為．拋物線的焦點．又點M到y(tǒng)軸的距離為1，且在拋物線上，點M的橫坐標(biāo)為1．直線MN的方程為．聯(lián)立，解之得或，點M在第一象限，，，；（2）設(shè)，，，，同理可得：，，整理得，（*）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程，消去x，則，，由韋達(dá)定理得，，將其代入（*）式得，解得，直線AB的方程為，當(dāng)時，，直線l過定點．四川省雅安市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時，下列事件為必然事件的是（）A.A燈亮，B燈不亮 B.A燈不亮，B燈亮C.A，B兩盞燈均亮 D.A，B兩盞燈均不亮【答案】C【解析】由A，B兩盞正常的小燈泡組成并聯(lián)電路，當(dāng)閉合開關(guān)時，可知A，B兩盞燈均亮.故選：C.2.經(jīng)過兩點，的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】∵直線經(jīng)過兩點，，∴直線垂直軸，故傾斜角為．故選：C．3.在等差數(shù)列中，已知，，則（）A.15 B.20 C.25 D.30【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.故選：B4.已知橢圓的焦點在x軸上，，，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，可得，由于焦點在x軸上，所以橢圓方程為，故選：A5.若點在空間直角坐標(biāo)平面yOz內(nèi)的射影為點B，則A，B兩點的中點坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由于題意可得,所以A，B兩點的中點坐標(biāo)，故選：B6.已知圓，圓，則這兩個圓的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相離C.外切 D.內(nèi)含【答案】A【解析】由可得圓心為，半徑，由，即，故圓心為，半徑為，則，，，故，故這兩個圓的位置關(guān)系為相交.故選：A.7.已知點，平面的法向量，若平面，則下列各點中在平面內(nèi)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，記，則，∴，故該點不在平面內(nèi)，故A錯誤；對于B，記，則，∴，故該點不在平面內(nèi)，故B錯誤；對于C，記，則，∴，故該點不在平面內(nèi)，故C錯誤；對于D，記，則，∴，故該點在平面內(nèi)，故D正確.故選：D.8.若曲線與曲線有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.或 B.C. D.【答案】C【解析】曲線可化簡為，曲線表示以點為圓心，1為半徑的右半圓，曲線表示兩條直線和，顯然直線過圓心與半圓有兩個交點和，所以直線與半圓有兩個除了外的交點，由直線得，過定點，，當(dāng)直線與半圓相切時，可得，解得或（舍去）.所以當(dāng)時，直線與半圓有兩個除了外的交點，此時曲線與曲線有四個不同的交點.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前項和，則下列說法正確的是（）A. B.數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】ABC【解析】∵，∴，故A正確；當(dāng)時，，∴，也適合，∴，故D錯誤；∵，∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，故C正確；∵，公比大于1，∴數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，故B正確.故選：ABC.10.已知點P在雙曲線的右支上，，是雙曲線的左、右焦點，則下列說法正確的是（）A. B.離心率C.漸近線方程為 D.點到漸近線的距離為3【答案】ABD【解析】由雙曲線方程得，，∵點P在雙曲線右支上，∴，故A正確；離心率，故B正確；漸近線方程為，故C錯誤；漸近線方程為，即，則點到漸近線的距離為，故D正確.故選：ABD.11.若圓上恰有四個點到直線的距離為2，則實數(shù)a的取值可以為下列（）A.2 B.0 C.1 D.【答案】BCD【解析】由于圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，因為圓上恰有四個點到直線的距離為2，所以，即，解得，經(jīng)驗證可知，A錯誤；BCD正確.故選：BCD.12.在正方體中，若棱長為1，點E，F(xiàn)分別為線段，上的動點（不包括端點），則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.異面直線AF與DC所成角的余弦值范圍為C.三棱錐的體積為定值D.直線AE與平面所成的角的正弦值為【答案】AC【解析】連接，在正方體中，,平面,平面,故平面,故A正確，由于,所以即為異面直線AF與DC所成角，由于,則三角形為直角三角形，，所以當(dāng),故，B錯誤，,由于四棱錐的體積為定值，所以三棱錐的體積為定值，C正確，由于平面平面,且交線為，,平面,所以平面，所以為直線AE與平面所成的角，由于長度不確定，所以不為定值，故D錯誤，故選：AC三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線，，若，則m的值為______．【答案】4【解析】由題意得，解得.故答案為：4.14.若空間向量，，且，則實數(shù)______．【答案】4【解析】因為，所以，所以，解得，故答案為：415.某學(xué)校舉行乒乓球比賽，采取五局三勝制，甲、乙兩位同學(xué)角逐冠亞軍．若甲發(fā)球甲獲勝的概率為，乙發(fā)球甲獲勝的概率為，要求甲先發(fā)球后交替進(jìn)行，則打滿局甲一舉奪冠的概率為______．【答案】【解析】發(fā)球順序是：甲、乙、甲，所以打滿局甲一舉奪冠的概率為.故答案為：16.已知橢圓的右頂點為A，左焦點為F，若該橢圓的上頂點到焦點的距離為2，離心率，若點M為橢圓上任意一點，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為橢圓的上頂點到焦點的距離為2，所以，因為離心率，所以，所以，所以橢圓的方程為.設(shè)，則，因為，所以.因為，所以，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17.記為等比數(shù)列的前n項和，已知公比，且，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并判斷，，是否成等差數(shù)列，說明理由．解：（1）由題意得，，，整理得，解之得或2．因為公比，所以．由等比數(shù)列通項公式可得．（2）由等比數(shù)列的前n項和公式及（1）得．所以，又，，因此，所以，，成等差數(shù)列．18.新高考科目設(shè)置采用“”模式，普通高中學(xué)生從高一升高二時將面臨選擇物理還是歷史的問題，某校進(jìn)行了大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，在1000名學(xué)生的問卷調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)有800名學(xué)生選擇了物理，200名學(xué)生選擇了歷史．（1）從這1000名學(xué)生中按選科比例選出五名學(xué)生將選科信息錄入系統(tǒng)，同時在這五名學(xué)生中抽取兩名學(xué)生作為組長，寫出樣本空間；（2）求出（1）中兩名組長出自不同選科的概率．解：（1）因為在1000名學(xué)生的問卷調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)有800名學(xué)生選擇了物理，200名學(xué)生選擇了歷史，按照比例抽取五名學(xué)生，因此選擇物理的4人，選擇歷史的1人．記選擇物理的四個人分別為1，2，3，4，選擇歷史的一個人為a，五個人中抽取兩個人的樣本空間：，共10個樣本點．（2）由（1）知，抽出的兩個人來自不同選科的情況共有：共4個樣本點，所以．19.如圖，四面體的所有棱長均為2，D，F(xiàn)分別為，的中點，且點E為的三等分點（靠近點B）．（1）設(shè)向量，，，用，，表示向量；（2）求點D到平面的距離．解：（1）向量，，，，．因為點D為的中點，E為的三等分點（靠近點B），所以，，．（2）因為四面體的所有棱長都是2，所以它的四個面都為全等的等邊三角形．又D，F(xiàn)分別為，的中點，有，，又，平面，所以平面，又因為D為中點，所以點D到平面的距離等于點A到平面的距離的一半，因此點D到平面的距離等于．20.已知過點的直線與直線平行，圓．（1）若直線為圓C切線，求直線的方程；（2）若直線與圓C交于M，N兩點，求面積的最大值，并求此時實數(shù)m的值．解：（1）因為直線與直線平行，設(shè)直線的方程為，又直線過點，則，得，所以直線的方程為．由圓，得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑為．因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，解之得，直線的方程為．（2）由直線與圓相交于M，N兩點，三角形的面積，而，為半徑1，因此當(dāng)最大時，即，此時，最大為．所以圓心C到直線的距離為．由（1）得直線的方程為，所以圓心C到直線l的距離，解之