2024-2025學(xué)年福建省三明市四校聯(lián)考高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省三明市四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則1與集合的關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，這也意味著，從而只有選項A正確.故選：A.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：B.3.下列表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】A【解析】A：定義域均為，且，所以是同一函數(shù)；B：定義域為，定義域為，定義域不同，所以不是同一函數(shù)；C：中，解得，所以定義域為，中，解得或，定義域為，由上可知，定義域不同，所以不是同一函數(shù)；D：的定義域為，的定義域為，定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，即，所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，解得，所以定義域為.故選：D.6.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A.， B.，C.，， D.，，【答案】D【解析】因為在每段定義域?qū)?yīng)的解析式上都有可能使得成立，所以將原不等式轉(zhuǎn)化為：或，從而得或．故選：D．7.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項；當(dāng)時，，則，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，排除C選項.故選：A.8.已知函數(shù)若，則函數(shù)零點個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出與的圖象如下，由圖可知，與的圖象有個交點，則函數(shù)的零點個數(shù)是.故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.若，則函數(shù)的最小值為3B.若，則的最小值為4C.若，，，則的最大值為1D.若，滿足，則的最大值為【答案】AC【解析】對于A：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為，故正確；對于B：因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故錯誤；對于C：因為，所以，所以，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為，故正確；對于D：因為，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故錯誤.故選：AC.10.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A：因為且在上單調(diào)遞增，所以，故正確；對于B：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，故正確；對于C：因為，且在上單調(diào)遞增，由于，所以，故正確；對于D：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，故錯誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，滿足：，且．當(dāng)時，．則下列選項正確的是（）A. B.C.為上的增函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】BD【解析】對于A：令，則，令，則，令，則，故錯誤；對于B：由A選項的計算可知，故正確；對于C：，則，則，因為，所以，又時，，所以，所以，所以為上減函數(shù)，故錯誤；對于D：令，則，則，所以，所以，且定義域為關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，故正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)＝_______.【答案】2【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，∴，解得或，當(dāng)時，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，舍去；當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；∴實數(shù)．13.已知函數(shù)且，則的值為______．【答案】【解析】令，定義域為且關(guān)于原點對稱，因為，所以為奇函數(shù)，所以，所以，代入，可得.14.若，，，，使則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】原問題等價于函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集．在上，二次函數(shù)的值域是，單調(diào)遞增的一次函數(shù)的值域是，則，則且，解得．四、解答題：本題共7小題，共84分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.計算：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.16.設(shè)全集，集合，．（1）求，；（2）若集合，，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，所以，因為且在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，且，所以.（2）因為，所以，當(dāng)時，顯然不滿足，所以；因為，所以，解得，所以的取值范圍是.17.已知函數(shù)，且.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由題得，解得，故函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱；，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）由，函數(shù)為增函數(shù)，所以：函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)（同增異減），所以函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值為.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)，．（1）求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以.（2），，則，因為，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.（3）因為是上的奇函數(shù)，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以恒成立，所以；因為，當(dāng)時取等號，所以，所以.19.布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)實函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點"函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點．現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動點．（1）判斷函數(shù)是否是“不動點”函數(shù)，若是，求出其不動點；若不是，請說明理由（2）已知函數(shù)，若是的次不動點，求實數(shù)的值：（3）若函數(shù)在上僅有一個不動點和一個次不動點，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）依題意，設(shè)為f(x)的不動點，即，于是得，解得或，所以是“不動點”函數(shù)，不動點是2和.（2）因是“次不動點”函數(shù)，依題意有，即，顯然，解得，所以實數(shù)的值是.（3）設(shè)分別是函數(shù)在上的不動點和次不動點，且唯一，由得：，即，整理得：，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，則，由得：，即，整理得：，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，則，綜上得：，所以實數(shù)的取值范圍.福建省三明市四校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則1與集合的關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，這也意味著，從而只有選項A正確.故選：A.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題“，”的否定是“，”.故選：B.3.下列表示同一函數(shù)的是（）A.與 B.與C.與 D.與【答案】A【解析】A：定義域均為，且，所以是同一函數(shù)；B：定義域為，定義域為，定義域不同，所以不是同一函數(shù)；C：中，解得，所以定義域為，中，解得或，定義域為，由上可知，定義域不同，所以不是同一函數(shù)；D：的定義域為，的定義域為，定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：A.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因為，即，所以“”是“”的充要條件.故選：C.5.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意可知，解得，所以定義域為.故選：D.6.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A.， B.，C.，， D.，，【答案】D【解析】因為在每段定義域?qū)?yīng)的解析式上都有可能使得成立，所以將原不等式轉(zhuǎn)化為：或，從而得或．故選：D．7.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域為，，所以，函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD選項；當(dāng)時，，則，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，排除C選項.故選：A.8.已知函數(shù)若，則函數(shù)零點個數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】作出與的圖象如下，由圖可知，與的圖象有個交點，則函數(shù)的零點個數(shù)是.故選：C．二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.若，則函數(shù)的最小值為3B.若，則的最小值為4C.若，，，則的最大值為1D.若，滿足，則的最大值為【答案】AC【解析】對于A：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以函數(shù)的最小值為，故正確；對于B：因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故錯誤；對于C：因為，所以，所以，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為，故正確；對于D：因為，所以，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為，故錯誤.故選：AC.10.下列大小關(guān)系正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A：因為且在上單調(diào)遞增，所以，故正確；對于B：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，故正確；對于C：因為，且在上單調(diào)遞增，由于，所以，故正確；對于D：因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以，故錯誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)的定義域為，對任意實數(shù)，滿足：，且．當(dāng)時，．則下列選項正確的是（）A. B.C.為上的增函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】BD【解析】對于A：令，則，令，則，令，則，故錯誤；對于B：由A選項的計算可知，故正確；對于C：，則，則，因為，所以，又時，，所以，所以，所以為上減函數(shù)，故錯誤；對于D：令，則，則，所以，所以，且定義域為關(guān)于原點對稱，所以為奇函數(shù)，故正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實數(shù)＝_______.【答案】2【解析】函數(shù)是冪函數(shù)，∴，解得或，當(dāng)時，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，舍去；當(dāng)時，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱；∴實數(shù)．13.已知函數(shù)且，則的值為______．【答案】【解析】令，定義域為且關(guān)于原點對稱，因為，所以為奇函數(shù)，所以，所以，代入，可得.14.若，，，，使則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】原問題等價于函數(shù)的值域是函數(shù)值域的子集．在上，二次函數(shù)的值域是，單調(diào)遞增的一次函數(shù)的值域是，則，則且，解得．四、解答題：本題共7小題，共84分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.計算：（1）；（2）．解：（1）原式.（2）原式.16.設(shè)全集，集合，．（1）求，；（2）若集合，，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，所以，因為且在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，且，所以.（2）因為，所以，當(dāng)時，顯然不滿足，所以；因為，所以，解得，所以的取值范圍是.17.已知函數(shù)，且.（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值解：（1）函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由題得，解得，故函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱；，所以函數(shù)為奇函數(shù).（2）由，函數(shù)為增函數(shù)，所以：函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)（同增異減），所以函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值為.18.已知函數(shù)為奇函數(shù)，．（1）求的值；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以.（2），，則，因為，所以，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增.（3）因為是上的奇函數(shù)，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，所以恒成立，所以；因為，當(dāng)時取等號，所以，所以.19.布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)實函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點"函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個不動點．現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動點．（1）判斷函數(shù)是否是“