《電路與信號分析》課件第4章

4.1電容元件和電感元件4.2換路定則及初始值計算4.3一階電路的零輸入響應(yīng)4.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)4.5一階電路的全響應(yīng)4.6一階電路的三要素法4.7一階電路的階躍響應(yīng)4.8一階電路的沖激響應(yīng)4.9卷積積分習(xí)題4第4章一階電路分析

4.1電容元件和電感元件

4.1.1電容元件

把兩塊金屬極板用電介質(zhì)隔開就可以構(gòu)成一個簡單的電容器。由于理想介質(zhì)是不導(dǎo)電的，在外電源的作用下，兩塊極板上能分別積聚等量的異性電荷，在極板之間形成電場，可見電容器是一種能積聚電荷、儲存電場能量的器件。電容器種類很多，按介質(zhì)分有紙質(zhì)電容器、云母電容器、電解電容器等；按極板形狀分有平板電容器、圓柱形電容器等。電容元件是實際電容器的理想化模型，其電路符號如4-1所示。電容元件的定義為：若一個二端元件在任一時刻t所積累的電荷q(t)與端電壓u(t)之間的關(guān)系可以用q-u平面上的一條曲線來確定，則稱該二端元件為電容元件，簡稱電容。電容是一種電荷與電壓相約束的元件，其電荷瞬時值與電壓瞬時值之間具有代數(shù)關(guān)系。

與電阻元件相類似，若約束電容元件的q-u平面上的曲線為通過原點的直線，則稱此電容為線性電容，否則為非線性電容；若曲線不隨時間而變化，則稱其為非時變電容，否則稱為時變電容。圖4-1電容元件的電路符號如圖4-1所示，q-u取關(guān)聯(lián)參考方向，即參考正極板上的電荷也假設(shè)為+q的情況下，如果電容元件的q-u特性曲線是一條通過原點的直線，且不隨時間而變化，如圖4-2所示，則此電容元件為線性非時變電容，其q和u的關(guān)系可以寫成

q(t)=Cu(t)(4-1)

式中，C是一個與q、u及t無關(guān)的正值常量，是表征電容元件積聚電荷能力的物理量，稱為電容量，也簡稱為電容。如不特別加以說明，本書中的電容元件均系指線性非時變電容。圖4-2線性非時變電容的q-u曲線在國際單位制(SI)中，電容的單位為法［拉］(簡稱法，符號為F)。1法=1庫/伏。也可以用微法(μF)或皮法(pF)作單位，它們的關(guān)系是

1pF=10-6μF=10-12F

雖然電容是根據(jù)q-u關(guān)系定義的，但在電路分析中感興趣的是電容元件的伏安關(guān)系(VCR)。在圖4-1所示的電容中，電容端電壓u和電流i在關(guān)聯(lián)參考方向下，由電流的定義和電容的定義q(t)=Cu(t)可得

(4-2)這就是電容元件微分形式的VCR。若電容端電壓u與電流i參考方向不關(guān)聯(lián)，則上式右邊應(yīng)加負號，即

(4-3)式(4-2)表明，任一時刻通過電容的電流i取決于該時刻電容兩端電壓的變化率。若電壓恒定不變，雖有電壓，但其變化率為零，則其電流為零，這時電容相當(dāng)于開路，因此電容有隔直流的作用；若某一時刻電容電壓為零，但電容電壓的變化率不為零，則此時電容電流也不為零。這和電阻元件不同，電阻兩端只要有電壓，不論變化與否都一定有電流。由于電容電流不取決于該時刻所加電壓的大小，而取決于該時刻電容電壓的變化率，所以電容元件稱為動態(tài)元件。式(4-2)還表明，若某一時刻電容電流i為有限值，則其電壓變化率也必然為有限值。這說明該時刻電容電壓只能連續(xù)變化而不能發(fā)生跳變；反之，如果某時刻電容電壓發(fā)生跳變，則意味著該時刻電容電流為無限大。一般電路中的電流總是有限值，這說明電容電壓只能是時間t的連續(xù)函數(shù)，這種性質(zhì)稱為電容的慣性，電容元件也稱為慣性元件。電容電壓不發(fā)生跳變對于分析含電容元件的動態(tài)電路是十分重要的。對式(4-2)兩邊積分，可得電容元件積分形式的VCR為

(4-4)式中，將積分號內(nèi)的時間變量t改用ξ表示，以區(qū)別積分上限t；積分下限－∞表示電容尚未積聚電荷的時刻。顯然

是電容在t時刻所積聚的總電荷量。由式(4-4)可知，任一時刻t電容電壓并不取決于該時刻的電流值，而取決于從－∞到t所有時刻的電流值，即與t以前電容電流的全部歷史有關(guān)。因此可以說電容電壓有“記憶”電流的作用，電容是一種“記憶元件”。實際上，要搞清楚電容電流的全部作用歷史是不容易也沒有必要的。電路分析中常常只對某一時刻t0以后的情況感興趣，因此可以把式(4-4)改寫為式中，稱u(t0)為電容的初始電壓，它反映了t0前電流的全部作用對t0時刻電壓的影響。式(4-5)表明，一個電容元件只有在C和初始電壓u(t0)都給定時，才是一個完全確定的元件。如果知道了t≥t0時的電流i(t)以及電容的初始電壓u(t0)，就能確定t≥t0后的電容電壓。

在電容電壓u(t)和電流i(t)關(guān)聯(lián)參考方向下，其瞬時吸收功率為

p(t)=u(t)·i(t)

(4-6)當(dāng)電容充電時，u(t)、i(t)符號相同，p為正值，表示電容吸收能量；當(dāng)電容放電時，u(t)、i(t)符號相反，p為負值，表示電容釋放能量。這與電阻元件吸收功率恒為正值的性質(zhì)完全不同。任意時刻t電容吸收的總能量即電容的儲能為由于u(－∞)=0，故

(4-7)

式(4-7)表明，電容在任一時刻的儲能只取決于該時刻的電容電壓值，而與該時刻電容電流值無關(guān)；任一時刻電容儲能與該時刻電容電壓的平方成正比。電容儲能不能為負，這表明電容是一個無源元件。電容充電時，儲能增加；電容放電時，儲能減少。所以電容元件是一個儲能元件而不是耗能元件。電容電壓具有記憶性質(zhì)是電容的儲能本質(zhì)使然。電容電壓在一般情況下不能跳變是能量不能突變的緣故。如果儲能突變，能量的變化率(功率)將為無限大，這在電容電流為有限的條件下是不可能的。

例4-1在如圖4-3(a)所示電路中，uS(t)波形如圖4-3(b)所示，已知電容C=4F。求iC(t)、pC(t)和wC(t)，并畫出它們的波形。

解寫出uS(t)的函數(shù)表達式圖4-3例4-1圖由式(4-2)，得由式(4-6)，得由式(4-7)，得

由iC(t)、pC(t)、wC(t)的數(shù)學(xué)表達式畫出它們的波形，分別如圖4-4(a)、(b)和(c)所示。圖4-4例4-1波形圖從本例可以看出：

(1)電容電流是可以跳變的。

(2)電容的功率也是可以跳變的，這是由于電容電流跳變的原因。功率值可正、可負。功率為正值，表示電容從電源uS(t)吸收功率；功率為負值，表示電容釋放功率且交還電源。

(3)wC(t)總是大于或等于零，儲能值可升、可降，但為連續(xù)函數(shù)。

例4-2在圖4-5(a)所示電路中，iS(t)波形如圖4-5(b)所示，已知電容C=2F，初始電壓u(0)=0.5V。試求t≥0時的電容電壓，并畫出其波形。

解寫出iS(t)的數(shù)學(xué)表達式圖4-5例4-2圖根據(jù)電容VCR的積分形式，得

其波形如圖4-5(c)所示。4.1.2電感元件

通常把導(dǎo)線繞成的線圈稱為電感器或電感線圈。當(dāng)線圈通過電流時即在其線圈內(nèi)外建立磁場并產(chǎn)生磁通Φ，如圖4-6所示。各線匝磁通的總和稱為磁鏈j，若線圈匝數(shù)為N，則j=NΦ。可見電感器是一種能建立磁場、儲存磁場能量的器件。

電感元件是實際電感器的理想化模型，其電路符號如圖

4-7所示。它的定義為：一個二端元件，如果在任一時刻t，它所交鏈的磁鏈j(t)與其電流i(t)之間的關(guān)系可以用j-i平面上的一條曲線來確定，則此二端元件稱為電感元件，簡稱電感。電感元件是一種磁鏈與電流相約束的元件，其磁鏈瞬時值與電流瞬時值之間具有代數(shù)關(guān)系。圖4-6電感線圈及其磁通圖4-7電感元件的電路符號與電阻元件和電容元件相類似，若約束電感元件的j-i平面上的曲線為通過原點的直線，則稱它為線性電感；否則為非線性電感。若曲線不隨時間而變化，則稱為非時變電感，否則稱為時變電感。

在討論i(t)與j(t)的關(guān)系時，通常采用關(guān)聯(lián)參考方向，即兩者的參考方向符合右手螺旋定則。由于電感元件的符號并不顯示繞線方向，在假定電流的流入端處標(biāo)以磁鏈的“+”號，這就表示，與該元件相對應(yīng)的電感線圈中電流與磁鏈的參考方向符合右手螺旋定則。在圖4-7中，“+”、“-”號既表示磁鏈，也表示電壓的參考方向。如果電感元件的j-i特性曲線是一條通過原點的直線，且不隨時間而變化，如圖4-8所示，則此電感元件稱為線性非時變電感元件，其j和i的關(guān)系可以寫成

j(t)=Li(t)(4-8)

式中，L是一個與j、i及t無關(guān)的正值常量，是表征電感元件產(chǎn)生磁鏈能力的物理量，稱為電感量，簡稱為電感。如不加特別說明，本書中的電感元件均系指線性非時變電感。圖4-8線性非時變電感的j-i曲線在國際單位制(SI)中，電感的單位為亨［利］(簡稱亨，符號為H)。1亨=1韋/安。也可以用毫亨(mH)或微亨(μH)作單位，它們的關(guān)系是

1μH=10-3mH=10-6H

雖然電感是根據(jù)j-i關(guān)系定義的，但在電路分析中感興趣的是電感元件的伏安關(guān)系(VCR)。在圖4-7所示的電感中，電感端電壓u和電流i在關(guān)聯(lián)參考方向下，由電磁感應(yīng)定律，可得將式(4-8)代入上式，得

(4-9)

這就是電感元件微分形式的VCR。若電感元件端電壓u與電流i參考方向不關(guān)聯(lián)，則上式右邊應(yīng)加負號，即

(4-10)式(4-9)表明，任一時刻電感端電壓u取決于該時刻電感電流的變化率di/dt。若電流恒定不變，則雖有電流，但其變化率為零，使其電壓為零，這時電感相當(dāng)于短路，因此電感對直流起著短路的作用；若某一時刻電感電流為零，但電感電流的變化率不為零，則此時電感電壓也不為零。由于電感電壓不取決于該時刻電感電流的大小，而取決于該時刻電感電流的變化率，所以電感元件也稱為動態(tài)元件。式(4-9)還表明，若某一時刻電感電壓u為有限值，則其電流變化率di/dt也必然為有限值，這說明該時刻電感電流只能連續(xù)變化而不能發(fā)生跳變；反之，如果某時刻電感電流發(fā)生跳變，則意味著該時刻電感電壓為無限大。如電感與理想電流源接通的瞬間，由KCL的約束，電感電流一躍為電流源的電流值，此時刻電路中電感電壓為無限大。當(dāng)然，這是一種理想情況。一般電路中的端電壓總是有限值，這說明電感電流只能是時間的連續(xù)函數(shù)，這種性質(zhì)稱為電感的慣性，電感元件也稱為慣性元件。電感電流不發(fā)生跳變對于分析含電感元件的動態(tài)電路是十分重要的。對式(4-9)兩邊積分，可得電感元件積分形式的VCR為

(4-11)

把式(4-11)積分號內(nèi)的時間變量t改用ξ表示，以區(qū)別積分上限t；積分下限－∞表示電感尚未建立磁場的時刻。顯然，

是電感在t時刻所交鏈的總磁鏈數(shù)。由式

(4-11)可知，某一時刻電感電流并不取決于該時刻的電壓值，而取決于從－∞到t所有時刻的電壓值，即與t以前電感電壓的全部歷史有關(guān)。因此，可以說電感電流有“記憶”電壓的作用，電感也是一種記憶元件。類似前面分析電容的情況，在選擇起始時刻后，式(4-11)可以改寫為

(4-12)式中，i(t0)稱為電感的初始電流，它反映了t0前電壓的全部作用對t0時刻電流的影響。式(4-12)表明，一個電感元件只有在L和初始電流i(t0)都給定時，才是一個完全確定的元件。如果知道了t≥t0時的電壓u(t)以及電感的初始電流i(t0)，就可以確定t≥t0后的電感電流。在電感電壓u(t)和電流i(t)關(guān)聯(lián)參考方向下，其瞬時吸收功率為

p(t)=u(t)·i(t)

(4-13)

電感元件的功率與電容元件一樣有時為正，有時為負。功率為正值時，表示電感吸收能量，儲存在磁場中；功率為負值時，表示電感釋放儲存在磁場中的能量。因此電感也是一個儲能元件，而不是耗能元件。任意時刻t電感吸收的總能量即電感的儲能為由于i(－∞)=0，故

(4-14)

式(4-14)表明，電感任一時刻的儲能只取決于該時刻的電感電流值，而與該時刻電感電壓值無關(guān)。顯然，電感儲能不能為負，這表明電感是一個無源元件。

電感電流一般情況下不能跳變也正是能量不能突變的緣故。

例4-3在圖4-9(a)所示電路中，uS(t)波形如圖4-9(b)所示。

(1)求t≥0時的電感電流iL(t)，并繪出波形圖；

(2)求t=2.5s時，電感儲存的能量。

解(1)由uS(t)的波形可以寫出函數(shù)的表達式為分段計算電流:

當(dāng)0≤t<1時，因電感無初始儲能，iL(0)=0A，所以

當(dāng)t=1時，iL(1)=1A。當(dāng)1≤t≤3時

當(dāng)t=3時，iL(3)=－1A。當(dāng)t>3時

iL(t)的波形如圖4-9(c)所示，可以看到盡管電感兩端的電壓有跳變，但iL(t)的波形并未發(fā)生跳變。

(2)t=2.5s時，iL(2.5)=2－2.5=－0.5A，電感儲存的能量為

如果將電容和電感的VCR加以比較，就會發(fā)現(xiàn)，把電容VCR式(4-2)中的i與u對換，C換成L，就可得到電感VCR式

(4-9)；反之，通過類似的變換，也可由后者得到前者。因此，電容元件和電感元件互為對偶元件，它們的含義、特性都具有相應(yīng)的對偶關(guān)系，這在表3-1中已經(jīng)列出。圖4-9例4-3圖4.1.3電容、電感的串并聯(lián)

圖4-10(a)是n個電容相串聯(lián)的電路，流過各電容的電流為同一電流i。根據(jù)電容的伏安關(guān)系，有由KVL得端口電壓上式可理解為圖4-10(a)所示串聯(lián)電路的VCR，由此可得到等效電路如圖4-10(b)所示，其中

(4-15)

式(4-15)表明，n個電容相串聯(lián)可等效成一個電容，其等效電容的倒數(shù)為各串聯(lián)電容倒數(shù)的總和。圖4-10電容的串聯(lián)圖4-11(a)是n個電容相并聯(lián)的電路，各電容的端電壓為同一電壓u。根據(jù)電容的伏安關(guān)系，有

由KCL得端口電流上式可理解為圖4-11(a)所示并聯(lián)電路的VCR，由此可得到等效電路如圖4-11(b)所示，其中

Ceq=C1+C2+…+Cn

(4-16)

式(4-16)表明，n個電容相并聯(lián)的等效電容等于各并聯(lián)電容的總和。圖4-11電容的并聯(lián)由電容元件和電感元件的對偶特性，可得到：對于n個電感相串聯(lián)的電路，若串聯(lián)電感為L1，L2，…，Ln，則其等效電感為各串聯(lián)電感的總和，即

Leq=L1+L2+…+Ln

(4-17)

對于n個電感相并聯(lián)的電路，若并聯(lián)電感為L1，L2，…，Ln，則其等效電感的倒數(shù)為各并聯(lián)電感倒數(shù)的總和，即

(4-18)表4-1列出了電容元件和電感元件在串聯(lián)和并聯(lián)情況下的等效計算公式、分壓公式和分流公式。為便于對照，將電阻元件也列入表中。表4-1元件串聯(lián)和并聯(lián)的關(guān)系式

4.2換路定則及初始值計算

在電路分析中，把電路元件的連接方式或參數(shù)的突然改變稱為換路。換路常用開關(guān)來完成。換路意味著電路工作狀態(tài)的改變。

在動態(tài)電路中，由于含有慣性元件，換路后能量的存儲或釋放不能瞬間完成，表現(xiàn)為電容電壓、電感電流只能連續(xù)變化而不能發(fā)生跳變，因而換路后電路的響應(yīng)有一個逐步過渡的過程，簡稱過渡過程或瞬態(tài)過程。電阻電路無過渡過程。動態(tài)電路分析即瞬態(tài)過程分析的任務(wù)是分析動態(tài)電路換路后的電壓、電流變量的變化規(guī)律。動態(tài)電路的經(jīng)典時域分析法包括以下兩個主要步驟。

(1)依據(jù)電路的兩類約束，即基爾霍夫定律和元件的VCR建立換路后以所求響應(yīng)為變量的微分方程。

(2)找出所需的初始條件，求解微分方程。不論是電阻電路還是動態(tài)電路，電路中的各支路電流和支路電壓都分別受到KCL和KVL的約束，但動態(tài)電路中含有動態(tài)元件，它們的VCR約束關(guān)系是微分或積分形式。因此，線性時不變動態(tài)電路的方程是微分方程。如果描述電路動態(tài)過程的微分方程是n階的，就需要n個初始條件。設(shè)t=0是換路的計時起點，而t=0-和t=0+分別表示開關(guān)動作前的最后一個瞬間和開關(guān)動作后的第一個瞬間，則這些初始條件是所求變量(電壓或電流)及其1，2，…，n-1階導(dǎo)數(shù)在t=0+時的值，也稱為初始值。其中電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)由初始儲能決定，其余變量(如iC、uL、iR、uR等)的初始值將由激勵(電壓源或電流源)以及初始儲能共同決定。初始儲能是指換路前t=0-瞬間電路的儲能狀態(tài)即uC(0-)或iL(0-)，通常也稱為電路的初始狀態(tài)。4.2.1換路定則

在關(guān)聯(lián)參考方向下，電容VCR的積分形式為

令t0=0-，得式中，uC(0-)為換路前最后瞬間的電壓值，即初始狀態(tài)。為求取換路后電容電壓的初始值，取t=0+并代入上式，得

(4-19)如果換路(開關(guān)動作)是理想的，即不需要時間，則有

0-=0=0+，且換路瞬間電容電流iC為有限值，則式(4-19)中積分項將為零，即

或

qC(0+)=qC(0-)

(4-20)式(4-20)的結(jié)論正是物理學(xué)中給出的封閉系統(tǒng)(即與外界無能量交換的系統(tǒng))中電荷守恒定律在瞬態(tài)分析中的體現(xiàn)。在滿足式(4-20)時，式(4-19)變?yōu)?/p>

uC(0+)=uC(0-)

(4-21)

式(4-21)表明，換路雖然使電路的工作狀態(tài)發(fā)生了改變，但只要換路瞬間電容電流為有限值，則電容電壓在換路前后瞬間將保持同一數(shù)值，這正是電容慣性特性的體現(xiàn)。由于電感與電容是對偶元件，根據(jù)對偶特性，可知電感具有如下特性：

或

jL(0+)=jL(0-)

(4-22)

iL(0+)=iL(0-)(4-23)式(4-22)表示封閉系統(tǒng)換路瞬間服從磁鏈?zhǔn)睾愣伞Ｊ?/p>

(4-23)表明，只要換路瞬間電感電壓為有限值，則電感電流在換路前后瞬間將保持同一數(shù)值，這正是電感慣性特性的體現(xiàn)。

式(4-21)和式(4-23)通稱為換路定則。當(dāng)取t=t0時，換路定則表示為

(4-24a)

(4-24b)必須指出，應(yīng)用換路定則是有條件的，即必須保證電路在換路瞬間電容電流、電感電壓為有限值。一般電路均能滿足這個條件，換路定則成立。對于某些不滿足上述條件的電路，換路定則失效，換路時刻電容電壓、電感電流可能發(fā)生跳變，這類電路將在4.8節(jié)中討論。4.2.2初始值計算

如前所述，電容電壓和電感電流反映了電路的儲能狀態(tài)，它們具有連續(xù)的特性。當(dāng)電路的初始狀態(tài)uC(0-)和iL(0-)確定后，可根據(jù)換路定則得到電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)。除了電容電壓、電感電流以外的其它變量(如iC、uL、iR、uR等)都不受換路定則的約束，在換路瞬間可能發(fā)生跳變。在計算這些變量的初始值時，需要由激勵以及uC(0+)和iL(0+)的值作出t=0+時的等效電路，再根據(jù)KCL、KVL和各元件的VCR來確定。

例4-4電路如圖4-12所示，開關(guān)S閉合前電路已穩(wěn)定，已知uS=10V，R1=30Ω，R2=20Ω，R3=40Ω，t=0時開關(guān)閉合。試求開關(guān)閉合時各電流、電壓的初始值。

解

(1)首先必須求得電路的初始狀態(tài)，即uC(0-)和iL(0-)。

由于t<0時，電路處于穩(wěn)態(tài)，電路各處電壓、電流為常量，，故uL=0，電感可看做短路；，故iC=0，電容可看做開路。因此根據(jù)替代定理可作出t=0-時刻的等效電路如圖4-13(a)所示，該圖簡稱為0-圖。圖4-12例4-4圖運用電阻電路的方法求得

(2)用換路定則，求出uC(0+)和iL(0+)，并作出0+時刻電路的等效電路，通常稱為初始值等效電路，簡稱0+圖。

由換路定則，得

由于要求的各電流和電壓的初始值是在t=0+時刻的值，而在t=0+時刻，各電感電流和電容電壓均為常數(shù)，即為前面求得的iL(0+)=0.2A和uC(0+)=4V。根據(jù)替代定理，電感可以用0.2A電流源替代，電容可以用4V電壓源替代，于是作出t=0+時刻的等效電路如圖4-13(b)所示。圖4-13例4-4的等效電路(a)t=0-時的等效電路；(b)t=0+時的等效電路

(3)由初始值等效電路，求出需求變量的初始值。顯然，初始值等效電路是線性電阻電路，可以運用電阻電路的各種分析方法求解：

i1(0+)=iL(0+)=0.2A

u1(0+)=i1(0+)·R1=6V

u2(0+)=u3(0+)=uC(0+)=4V

iC(0+)=iL(0+)-i2(0+)-i3(0+)=-0.1A

uL(0+)=-u1(0+)+uS-uC(0+)=0V

例4-5已知電路如圖4-14所示，開關(guān)S換路前電路已處于穩(wěn)定，當(dāng)t=0時，開關(guān)打開。求初始值iC(0+)、uL(0+)、i1(0+)、

和。

解

(1)t<0時電路處于穩(wěn)態(tài)，電感看做短路，電容看做開路。作出t=0-時刻的等效電路如圖4-15(a)所示，得

uC(0-)=10V圖4-14例4-5圖

(2)由換路定則，得

iL(0+)=iL(0-)=5A

uC(0+)=uC(0-)=10V

作出t=0+時刻的初始值等效電路如圖4-15(b)所示。圖4-15例4-5的等效電路(a)t=0-時的等效電路；(b)t=0+時的等效電路

(3)由初始值等效電路可求得從以上兩個例題可以看出，在求解初始值時，首先應(yīng)用替代定理得到t=0-的等效電路求解初始狀態(tài)；然后應(yīng)用換路定則得到uC(0+)和iL(0+)；最后應(yīng)用替代定理得到t=0+時的初始值等效電路，再利用求解電阻電路的各種方法求解。

4.3一階電路的零輸入響應(yīng)

由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。從電路結(jié)構(gòu)來看，一階電路只包含一個動態(tài)元件。凡是可以用等效概念化歸為一個等效動態(tài)元件的電路都是一階電路。

對于任意一階電路，換路后總可以用圖4-16(a)來描述，即一階電路總可以看成一個有源二端電阻網(wǎng)絡(luò)N外接一個電容或電感所組成。根據(jù)戴維寧定理和諾頓定理，圖4-16(a)電路總可以簡化為圖4-16(b)或(c)所示電路。電路在沒有外加激勵時的響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)。因此，零輸入響應(yīng)僅僅是由非零初始狀態(tài)所引起的，也可以說，是由初始時刻電容的電場儲能或電感的磁場儲能所引起的。

本節(jié)分析一階電路的零輸入響應(yīng)，即分析圖4-16中uOC=0或iSC=0且動態(tài)元件初始狀態(tài)不為零時的響應(yīng)問題。圖4-16一階電路及其等效電路(a)一階電路；(b)戴維寧等效電路；(c)諾頓等效電路4.3.1

RC電路的零輸入響應(yīng)

已知電路如圖4-17所示，在t<0時，開關(guān)S在位置1，電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電容的初始狀態(tài)uC(0-)=U0；當(dāng)t=0時，開關(guān)S由位置1倒向位置2。根據(jù)換路定則uC(0+)=uC(0-)=U0，換路后，R、C形成回路，電容C將通過R放電，從而在電路中引起電壓、電流的變化。由于R是耗能元件，且電路在零輸入條件下得不到能量的補充，電容電壓將逐漸下降，放電電流也將逐漸減小，最后，電容儲能全部被電阻耗盡，電路中的電壓、電流也趨向于零。圖4-17

RC零輸入電路下面進行定量的數(shù)學(xué)分析。

不論是電阻電路還是動態(tài)電路，電路中的各支路電流和支路電壓都分別受到兩種約束。對于圖4-17換路后的電路，可得

uC－uR=0，t>0

(KVL)

uR=Ri

(VCR)

i=及uC(0+)=U0

(VCR)如果需求解電容電壓uC(t)，則從以上三式，可得一階常系數(shù)線性齊次微分方程為

,

t>0(4-25)

uC(0+)=U0(4-26)

由高等數(shù)學(xué)可知，一階齊次微分方程通解形式為

uC(t)=AeSt，t>0

(4-27)其中S為特征方程RCS+1=0的根，因此得

故得

(4-28)

待定常數(shù)A則由初始條件確定。用t=0+代入式(4-28)，得

得A=U0

所以電容電壓的零輸入響應(yīng)為

t>0

它是一個隨時間衰減的指數(shù)函數(shù)。注意到在t=0時，即開關(guān)S動作進行換路時uC是連續(xù)的，沒有跳變，表達式uC的時間定義域可以延伸至原點，即

,

t≥0(4-29)

其波形如圖4-18(a)所示。圖4-18

RC零輸入電路的電壓、電流波形(a)電壓波形；(b)電流波形求得uC(t)后，根據(jù)電容元件的VCR，可得電流為

,

t>0

電阻電壓為

,

t>0

與電容電壓不同的是，i(t)、uR(t)在t=0處發(fā)生了跳變，其波形如圖4-18(b)所示。比較電壓、電流表達式可知，RC電路零輸入響應(yīng)各變量具有相同的變化規(guī)律，即都是以各自的初始值為起點，按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減到零。衰減的快慢取決于特征根

的大小。

特征根S1具有頻率的量綱(1/秒)，它的數(shù)值取決于電路的結(jié)構(gòu)和元件值，故S1稱為電路的固有頻率。令

τ=RC

(4-30)

τ具有時間的量綱，稱為RC電路的時間常數(shù)。當(dāng)R單位為

歐，C單位為法時，歐·法=

=秒，τ的單位為秒。

顯然，零輸入響應(yīng)衰減的快慢也可用τ來衡量。下面以uC為例說明時間常數(shù)τ的意義。

t=0時，uC(0)=U0；

t=τ時，uC(τ)=U0e-1=0.368U0；

t=2τ時，uC(2τ)=U0e-2=0.135U0；

t=3τ時，uC(3τ)=U0e-3=0.050U0；

t=4τ時，uC(4τ)=U0e-4=0.018U0；

t=5τ時，uC(5τ)=U0e-5=0.0067U0。由上述計算可知，當(dāng)t=τ時，uC衰減到初始值的36.8％。因此，時間常數(shù)τ也可以認(rèn)為是電路零輸入響應(yīng)衰減到初始值36.8％所需要的時間。從理論上講，t→∞時，uC才能衰減到零。但實際上，當(dāng)t=4τ時，uC已衰減為初始值的1.8％，一般可以認(rèn)為零輸入響應(yīng)已基本結(jié)束。工程技術(shù)中時間常數(shù)一般不會大于毫秒(ms)數(shù)量級，故過渡過程常稱為瞬態(tài)過程。通常認(rèn)為經(jīng)過(4~5)τ時間，動態(tài)電路的過渡過程結(jié)束，從而進入穩(wěn)定的工作狀態(tài)。時間常數(shù)τ在曲線上也有明確的意義。由

,

t≥0

則若取t=0+，得

上式中表示曲線在t=0+處切線的斜率。

從圖4-19中可以找到切線的斜率為，即得切線與橫軸交

點(切距)為τ。圖4-19時間常數(shù)在曲線上的位置若取t=t0，得

由圖4-19可得，指數(shù)曲線上任意一點uC(t0)的次切距長度ab也等于τ。

若取t=t0+τ，得

可見時間常數(shù)τ表示任意時刻衰減到原來值36.8％所需要的時間。由上述分析可知，τ是反映一階電路本身特性的重要物理量。τ的大小由R與C的大小決定，R與C越大，其響應(yīng)衰減得越慢。這是因為在一定的初始值情況下，C越大，意味著電容儲存的電場能量越多；而R越大，意味著放電電流越小，衰減越慢，反之衰減得越快。不同τ值的響應(yīng)曲線如圖4-20所示。圖4-20不同t

值的響應(yīng)曲線在整個放電過程中，電阻R消耗的總能量為

其值恰好等于電容的初始儲能。可見，電容的全部儲能在放電過程中被電阻耗盡。這符合能量守恒定律。4.3.2

RL電路的零輸入響應(yīng)

已知電路如圖4-21所示，在t<0時，開關(guān)S在位置1，電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電感的初始狀態(tài)iL(0-)=I0；當(dāng)t=0時，開關(guān)S由位置1倒向位置2。根據(jù)換路定則iL(0+)=iL(0-)=I0，電感電流繼續(xù)在換路后的RL回路中流動，由于電阻R的耗能，電感電流將逐漸減小。最后，電感儲存的全部能量被電阻耗盡，電路中的電流、電壓也趨向于零。圖4-21

RL零輸入電路對于圖4-21換路后的電路，由兩類約束關(guān)系，得

uL+uR=0,t>0

(KVL)

uR=RiL (VCR)

uL=及iL(0+)=I0

(VCR)可得一階常系數(shù)線性微分方程為

方程解的形式為

iL(t)=BeSt

t>0

(4-33)

其中S為特征方程S+1=0的根，因此得

待定常數(shù)B由初始條件確定，用t=0+代入式(4-33)，得

得

B=I0于是，可解得電感電流的零輸入響應(yīng)為

由于電感電流在換路瞬間連續(xù)，表達式的時間定義可延伸至原點，即

(4-34)

電感電壓為

(4-35)電阻電壓為

(4-36)

與電感電流不同的是，uL(t)、uR(t)在t=0處發(fā)生了跳變，其波形分別如圖4-22(a)、(b)所示。圖4-22

RL零輸入電路的電壓、電流波形(a)電流波形；(b)電壓波形與RC零輸入電路類似，RL零輸入電路各變量也具有相同的變化規(guī)律，即都是以自己的初始值為起點，按同樣的指數(shù)規(guī)

律衰減到零。衰減的快慢取決于固有頻率

。令

(4-37)稱為RL電路的時間常數(shù)，當(dāng)L單位為亨，R單位為歐時，τ的單位為秒。顯然，零輸入響應(yīng)的衰減快慢也可用τ來衡量。τ越大，衰減得越慢。這是因為在一定的初始值情況下，L越大，電感儲存的磁場能量越多，而R越小，消耗能量越少，電流下降越慢，反之，則衰減得越快。在整個放電過程中，電阻R消耗的總能量為

這是符合能量守恒定律的。

RL電路時間常數(shù)τ的其他描述完全類似于RC電路的情況。4.3.3一階電路零輸入響應(yīng)解的一般公式

電路的零輸入響應(yīng)是輸入為零且僅由電路非零初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)，它的變化規(guī)律取決于電路本身的特性(電路結(jié)構(gòu)、元件參數(shù))，與外界的激勵無關(guān)。所以，零輸入響應(yīng)又稱為電路的自然響應(yīng)或固有響應(yīng)。盡管一階電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)可以千差萬別，從前面RC、RL零輸入電路分析中可以看出，零

輸入響應(yīng)均是以其初始值為起點按指數(shù)的規(guī)律衰減至

零。故零輸入響應(yīng)的變化形式均可以表示為

(4-38)

式中，rzi(t)為一階電路任意需求的零輸入響應(yīng)；初始值rzi(0+)反映了電路初始狀態(tài)的影響；時間常數(shù)τ則體現(xiàn)了電路的固有特征。

由式(4-38)可知，只要確定rzi(0+)和τ，無須列寫和求解電路的微分方程，就可寫出要求的零輸入響應(yīng)表達式。在零輸入電路中，初始狀態(tài)可認(rèn)為是電路的內(nèi)激勵。從式(4-29)、式(4-34)~式(4-36)等可見，電路初始狀態(tài)(U0或I0)增大

K倍，則由此引起的零輸入響應(yīng)也相應(yīng)地增大K倍。這種初始狀態(tài)和零輸入響應(yīng)間的線性關(guān)系稱為零輸入線性，它是線性電路激勵與響應(yīng)線性關(guān)系的必然反映。

例4-6電路如圖4-23(a)所示，已知R1=4Ω，R2=8Ω，R3=3Ω，R4=1Ω，uC(0-)=6V，t=0時開關(guān)閉合。試求開關(guān)閉合時后的uC(t)和uab(t)。

解

(1)t=0+時由換路定則得

uC(0+)=uC(0-)=6V

作出t=0+時刻的初始值等效電路如圖4-23(b)所示。

圖4-23例4-6圖(a)原電路；(b)t=0+時刻的初始值等效電路

(2)先求出cd端右邊網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，再求時間常數(shù)。

τ=RcdC=3×1=3s

(3)代入式(4-38)，得

4.4一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

零狀態(tài)響應(yīng)即零初始狀態(tài)響應(yīng)，是電路僅由外激勵引起的響應(yīng)。本節(jié)只討論一階電路在恒定激勵(直流)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，且主要研究動態(tài)元件電壓和電流的變化規(guī)律。4.4.1

RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

已知電路如圖4-24所示，當(dāng)t<0時，開關(guān)S在位置1，電路已經(jīng)處于穩(wěn)態(tài)，即電容的初始狀態(tài)uC(0-)=0；當(dāng)t=0時，開關(guān)S由位置1倒向位置2。根據(jù)換路定則，uC(0+)=uC(0-)=0，t=0+時刻電容相當(dāng)于短路，由t=0+時刻的等效電路可看出，電源電壓US全部施加于電阻R兩端，此時刻電流達到最大值，i(0+)=。隨著充電的進行，電容電壓逐漸升高，充電電流逐漸減小，直到uC=US，i=0，充電過程結(jié)束，電容相當(dāng)于開路，電路進入穩(wěn)態(tài)。圖4-24

RC零狀態(tài)電路下面進行定量的數(shù)學(xué)分析。

對于圖4-24換路后的電路，由KVL可得

uR+uC=US，t>0

把元件伏安關(guān)系uR=Ri，代入上式，得一階常系數(shù)線

性非齊次微分方程為

(4-39)

uC(0+)=0(4-40)由高等數(shù)學(xué)可知，該微分方程的完全解由相應(yīng)的齊次方程的通解uCh和非齊次方程的特解uCp兩部分組成，即

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

式(4-39)微分方程的齊次方程與式(4-25)相同，通解為

(4-41)

非齊次方程的特解由外激勵強制建立，通常與外激勵有相同的函數(shù)形式。當(dāng)激勵為直流時，其特解為常量，設(shè)

uCh(t)=K代入式(4-39)得

解得

K=US

故特解為

uCh(t)=US于是式(4-39)的完全解為

(4-42)

式中待定常數(shù)A由初始條件確定。用t=0+代入式(4-42)，得

得

A=－US于是得電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為

(4-43)

式中τ=RC

為電路的時間常數(shù)。當(dāng)t=τ

時，得可見，在充電過程中，電容電壓由零隨時間按指數(shù)規(guī)律增長，經(jīng)過時間τ電容電壓達0.632US，最后趨于穩(wěn)定值US，其波形如圖4-25(a)所示。從理論上講，t→∞時，uC才能充電到US，但在工程上，通常認(rèn)為經(jīng)過(4～6)τ時間，電路充電過程結(jié)束，從而進入穩(wěn)定的工作狀態(tài)。顯然，τ的大小決定過渡過程的長短，τ越大，過渡過程越長，反之則越短。圖4-25

RC零狀態(tài)電路uC(t)和i(t)的波形(a)uC(t)的波形；(b)i(t)的波形充電電流可根據(jù)電容的VCR求得

(4-44)

其波形如圖4-25(b)所示。在整個充電過程中，電阻R消耗的總能量為

wR與充電結(jié)束時電容所存儲的電場能量相同?？梢?，不論電阻R和電容C為何值，充電效率僅為50％。4.4.2

RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)

已知電路如圖4-26所示，t<0，開關(guān)S閉合，電路已經(jīng)穩(wěn)定，即電感的初始狀態(tài)iL(0-)=0。當(dāng)t=0時，開關(guān)S打開，根據(jù)換路定則，iL(0+)=iL(0-)=0。對于圖4-26換路后的電路，由KCL可得

iR+iL=IS，t>0

圖4-26

RL零狀態(tài)電路

把元件伏安關(guān)系，代入上式，得一階

常系數(shù)線性非齊次微分方程為

(4-45)

iL(0+)=0

(4-46)類似RC電路零狀態(tài)響應(yīng)的求解過程，可知

iL(t)=iLh(t)+iLp(t)

其中

設(shè)

iLp(t)=K

代入式(4-45)得

K=IS

于是式(4-45)的完全解為

(4-47)

式中待定常數(shù)B由初始條件確定，用t=0+代入式(4-47)，得

得

B=－IS

于是電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為

(4-48)

式中τ=L/R為電路的時間常數(shù)。

(4-49)

RL零狀態(tài)電路的波形如圖4-27所示。

RL零狀態(tài)電路的有關(guān)其它分析與RC零狀態(tài)電路完全類似，這里不再贅述。圖4-27

RL零狀態(tài)電路iL(t)和u(t)的波形(a)iL(t)的波形；(b)u(t)的波形4.4.3一階電路電容電壓、電感電流零狀態(tài)響應(yīng)的一般公式

恒定激勵下零狀態(tài)電路的過渡過程實質(zhì)上是動態(tài)元件的儲能由零逐漸增長到某一定值的過程。因此，盡管一階電路的結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)可以千差萬別，但電路中表征電容或電感儲能狀態(tài)的變量uC或iL卻都是從零值按指數(shù)規(guī)律逐漸增長至穩(wěn)態(tài)值。此穩(wěn)態(tài)值可以根據(jù)電容相當(dāng)于開路、電感相當(dāng)于短路的等效電路來求取，此電路稱為終值電路?？梢姡浑A零狀態(tài)電路的電容電壓或電感電流可分別表示為

(4-50)

(4-51)

式中，穩(wěn)態(tài)值uC(∞)、iL(∞)簡稱為終值，可以從終值電路中求取；電路的時間常數(shù)τ=RC

或τ=L/R，其中R為動態(tài)元件所接電阻網(wǎng)絡(luò)戴維寧等效電路的等效電阻。

由式(4-50)和式(4-51)可知，只要確定了uC(∞)或iL(∞)和τ，無須列寫和求解電路的微分方程，就可寫出電容電壓或電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)表達式。求得uCzs(t)或iLzs(t)后，在求解其它支路的電壓和電流時，可以根據(jù)替代定理用電壓源uCzs(t)去替代電容，用電流源iLzs(t)去替代電感，使原電路變成一個電阻電路，然后運用電阻電路的分析方法求解或元件的VCR去求解。

由式(4-43)、式(4-44)、式(4-48)和式(4-49)可見，激勵(US或IS)增大K倍，零狀態(tài)響應(yīng)也相應(yīng)增大K倍。若電路有多個激勵，則響應(yīng)是每個激勵分別作用時產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。這種關(guān)系稱為零狀態(tài)線性，它是線性電路中齊次性和可加性在零狀態(tài)電路中的反映。

例4-7已知電路如圖4-28(a)所示，電路原已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S閉合。試求t>0時的iL(t)和u(t)。

解

(1)t<0時，電感無電流，iL(0-)=0，為零狀態(tài)電路。由換路定則，iL(0+)=iL(0-)=0。

(2)t→∞時，電感相當(dāng)于短路，畫出終值電路如圖4-28(b)所示，解得

(3)計算時間常數(shù)τ。由圖4-28(a)，電感所接電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻為

R=3+6∥6=6Ω

(4)將τ代入式(4-51)，得

iL(t)=0.5(1-e-3t)，t≥0

(5)用電流源iL(t)去替代電感，得圖4-28(c)。由此，根據(jù)疊加定理可得圖4-28例4-7圖

4.5一階電路的全響應(yīng)

上兩節(jié)分別討論了只有非零初始狀態(tài)和只有外激勵作用時一階電路的響應(yīng)，即零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。本節(jié)將討論非零初始狀態(tài)和外激勵(仍限于直流電流)共同作用時的一階電路的響應(yīng)，這種響應(yīng)稱為全響應(yīng)。從電路換路后的能量來源可以推論：電路的全響應(yīng)必然是其零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。下面以RC電路為例進行分析。

如圖4-29所示，已知開關(guān)S未閉合前，電容初始狀態(tài)uC(0-)

=U0；t=0時，開關(guān)S閉合，電路與直流電壓US接通。圖4-29

RC全響應(yīng)電路以電容電壓為響應(yīng)變量在圖示參考方向下，可得電路全響應(yīng)的微分方程為

(4-52)

uC(0+)=U0

(4-53)

與式(4-39)、式(4-40)的零狀態(tài)方程相比較，差別僅為初始條件不同。故有

uC(t)=uCh(t)+uCp(t)

式中，uCh(t)=，uCh(t)=US，于是

(4-54)

式中待定常數(shù)A由初始條件確定。用t=0+代入式(4-54)，得

uC(0+)=A+US=U0

得

A=U0－US于是，電容電壓的全響應(yīng)為

(4-55)在全響應(yīng)式(4-55)中，第一項(即齊次解)的函數(shù)形式由特征根確定，而與激勵的函數(shù)形式無關(guān)(它的系數(shù)與激勵有關(guān))，稱為固有響應(yīng)或自然響應(yīng)；第二項(即特解)與激勵具有相同的函數(shù)形式，稱為強制響應(yīng)?？梢?，按電路的響應(yīng)形式，全響應(yīng)可分解為

全響應(yīng)=固有響應(yīng)(自然響應(yīng))+強制響應(yīng)

圖4-30分別畫出了U0<US和U0>US兩種情況下uC(t)及各個分量的波形。圖4-30

RC全響應(yīng)電壓uC(t)及各個分量波形由圖可知，U0<US時，電容充電；U0>US時，電容放電；U0=US時，電路換路后立即進入穩(wěn)態(tài)。可見只有電路初始值和終值不同時，才會有過渡過程。

在全響應(yīng)式(4-55)中，第一項按指數(shù)規(guī)律衰減，當(dāng)t→∞時，該分量將衰減至零，故又稱為電路的暫態(tài)響應(yīng)；第二項在任何時刻都保持穩(wěn)定，故又稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，它是t趨近于無窮大，暫態(tài)響應(yīng)衰減為零時的電路響應(yīng)。因此，按電路的響應(yīng)特性，全響應(yīng)可分解為

全響應(yīng)=暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將式(4-55)重新整理，可表示為

(4-56)式中，第一項是外激勵US=0時，由初始狀態(tài)uC(0-)=U0產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)；第二項是初始狀態(tài)uC(0-)=0時，由外激勵US產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。式(4-56)說明動態(tài)電路的全響應(yīng)符合線性的疊加定理，即

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

在換路后激勵恒定且R>0的情況下，一階電路的固有響應(yīng)就是暫態(tài)響應(yīng)，強制響應(yīng)就是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

4.6一階電路的三要素法

前面幾節(jié)分析了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，并指出全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加。本節(jié)介紹的三要素法是一種能直接計算一階電路的簡便方法，它可用于求解任一變量的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。4.6.1三要素公式

在線性非時變一階電路中，設(shè)t=0時換路。換路后電路任一響應(yīng)與激勵之間的關(guān)系均可用一個一階常系數(shù)線性微分方程來描述，其一般形式為

(4-57)

其中，r(t)為電路的任一響應(yīng)；w(t)是與外激勵有關(guān)的時間t的函數(shù)；a、b為實常數(shù)。響應(yīng)r(t)的完全解為該微分方程相應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程特解之和，即響應(yīng)r(t)為

r(t)=rh(t)+rp(t)，t>0

(4-58)

其中rh(t)=，rp(t)的形式由外激勵決定。得

(4-59)

設(shè)響應(yīng)的初始值為r(0+)，將t=0+代入式(4-59)，得

r(0+)=A+rp(0+)

得

A=r(0+)－rp(0+)

(4-60)將式(4-60)代入式(4-59)，得

(4-61)

式(4-61)為求取一階電路任意激勵下任一響應(yīng)的公式，式中rp(0+)為非齊次方程特解或強制響應(yīng)在t=0+時的值。換路后在恒定激勵作用下，式(4-61)中非齊次方程特解rp(t)為常數(shù)，即為響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值r(∞)。顯然有rp(t)=r(∞)=rp(0+)，故式(4-61)可表示為

(4-62)

式中，r(0+)、r(∞)和τ分別代表響應(yīng)的初始值、穩(wěn)態(tài)值(也稱終值)和時間常數(shù)，稱為恒定激勵下一階電路響應(yīng)的三要素。式(4-62)表明，恒定激勵下一階電路任一響應(yīng)由三要素確定，只要求出這三個要素，就能確定響應(yīng)的表達式，而不用求解微分方程。這種直接根據(jù)式(4-62)求解恒定激勵下一階電路響應(yīng)的方法稱為三要素法，式(4-62)相應(yīng)地稱為三要素公式。三要素公式適用于計算恒定激勵下一階電路任意支路的電流或任意兩端的電壓，而且不僅適用于計算全響應(yīng)，同樣也適用于求解零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。4.6.2三要素法的計算步驟

三要素法可按下列步驟進行，其中三要素的求法在前面已作了討論，這里統(tǒng)一歸納說明。

(1)設(shè)換路時刻t=0，且換路前電路已穩(wěn)定。此時，

＝0，即iC=0，或=0，即uL=0。因此，將電容元

件視做開路，將電感元件視做短路，畫出t=0-時刻的等效電路，用電阻電路方法求出初始狀態(tài)uC(0-)或iL(0-)。然后根據(jù)換路定則，求得uC(0+)=uC(0-)或iL(0+)=iL(0-)。接著，將電容元件用電壓為uC(0+)的直流電壓源替代，電感元件用電流為iL(0+)的直流電流源替代，得出t=0+時刻的初始值等效電路，用電阻電路分析方法求出任一所需求的初始值r(0+)。

(2)電路在t→∞時達到新的穩(wěn)態(tài)，將電容元件視做開路，將電感元件視做短路，這樣可作出穩(wěn)態(tài)電路，求得任一變量的穩(wěn)態(tài)值r(∞)。

(3)將換路后電路中的動態(tài)元件(電容或電感)從電路中取出，求出剩余電路的戴維寧(或諾頓)等效電路的電阻R0，也就是說R0等于電路中獨立源置零時從動態(tài)元件兩端看進去的等效電阻。對于RC電路，τ=R0C；對于RL電路，τ=L/R0。

(4)將初始值r(0+)、穩(wěn)態(tài)值r(∞)和時間常數(shù)τ代入三要素公式(4-62)，寫出響應(yīng)r(t)的表達式，這里r(t)泛指任一電壓或電流。

例4-8已知電路如圖4-31(a)所示，t=0時開關(guān)S由1倒向2，開關(guān)換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定。試求t>0時的響應(yīng)i(t)，并畫出其波形。

解

(1)求取i(0+)。首先求取iL(0-)，已知開關(guān)S換路前電路已經(jīng)穩(wěn)定，則電感相當(dāng)于短路，得t=0-等效電路，如圖4-31(b)所示，得

iL(0-)=2A

圖4-31例4-8圖(a)原圖；(b)t=0-等效電路；(c)t=0+等效電路；(d)t→∞等效電路；(e)R0的求??；(f)i(t)波形然后應(yīng)用換路定則，iL(0+)=iL(0-)=2A，畫出換路后t=0+等效電路，如圖4-31(c)所示，由疊加定理得

(2)求取i(∞)。t→∞時，電路達到新的穩(wěn)定，電感相當(dāng)于短路，得t→∞等效電路如圖4-31(d)所示，得

i(∞)=1A

(3)求取τ。動態(tài)元件所接電阻電路如圖4-31(e)所示，得

R0=4∥12=3Ω

(4)將三要素代入式(4-62)，得

i(t)=1+［1.75-1］e-10t=1+0.75e-10t，t>0

其波形圖如圖4-31(f)所示。

例4-