命題與證明-2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞

2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之命題與證明（2024年3月）

一.選擇題（共10小題）

1.在桌面上分開(kāi)放著“（。24）枚硬幣，其中有〃枚硬幣反面朝上，其余正面朝上.規(guī)定1

次操作是將?。枚硬幣中的4枚進(jìn)行翻轉(zhuǎn).設(shè)經(jīng)過(guò)c次操作后所有硬幣都正面朝上.對(duì)于

以下命題：①如果〃=。=4,那么c的最小值為1；②如果。=6,且b=2,那么c的最

小值為2：③如果〃=4,且（）＜。＜4,那么。不存在；④如果〃=4奸2"為正整數(shù)），且

b=a-1,那么。不存在.正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.下列命題中，真命題是（）

A.同位角相等

B.如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角

C.等腰三角形的兩底角相等

D.如果必=0,那么Q=0,h=0

3.下列命題中，真命題的是（）

A.同旁內(nèi)角相等

B.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.若b//c,貝ija〃c

D.三角形的一個(gè)外角大于它的內(nèi)角

4.下列命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

①三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

②兩邊對(duì)應(yīng)相等且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

③兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

④一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

5.下列命題是假命題的是（）

A.全等三角形的面積相等

B.兩直線平行，同位角相等

C.如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角

D.平行于同一條直線的兩條直線平行

6.對(duì)于命題“如果于1+/2=90°,那么N1WN2.”能說(shuō)明它是假命題的反例是（)

A.Z1=Z2=45°B.Zl=40°,Z2=50°

C.Zl=50a,Z2=50°D.Zl=40°,Z2=40°

7.下列說(shuō)法正確的是（）

A.命題一定是正確的

B.不正確的判斷就不是命題

C.定埋都是真命題

D.基本事實(shí)不一定是真命題

8.下列命題中，屬于真命題的是（）

A.8的立方根是±2B.眄是無(wú)理數(shù)

C.。的平方根是0D."的相反數(shù)是2

9.下列命題正確的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形全等

B.平移前后的兩個(gè)三角形全等

C.等邊三角形是中心對(duì)稱圖形

D.直知三角形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

10.下列命題中是假命題的是（）

A.在△A8C中，若則△44C是直角三角形

B.在△A8C中，若三邊長(zhǎng)為9、40、41,則△44C是直角三角形

C.在△A8C中，若NA：NB：ZC=3：4：5,則AABC是直角三角形

D.在△ABC中，若a：btc=5：4：3,則aABC是直角三角形

二.填空題（共5小題）

II.命題“/=/,貝||。=8，，是命題（填，，真”或，，假，，）.

12.如圖，在Riz2xA6C中，ZACB-900,—60°,AC-6V3,將△A6C繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)到△￡QC的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。首次落在斜邊AB上，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)

CB

13.將命題“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”改為“如果……，那么

的形式為.

14.將命題“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等”改寫成“如果…那么…”的形

式?

15.現(xiàn)有四個(gè)命題：

①同位角相等；

②如果”_L〃，aLc,那么〃_Lc；

③在同一平面內(nèi)，如果兩直線不相交，那么它們就平行；

④當(dāng)〃為正整數(shù)時(shí)，〃2+3〃+1的值一定是質(zhì)數(shù).

其中是假命題的是.（只填序號(hào)）

三.解答題（共5小題）

16.如圖，點(diǎn)O,E,廠分別是三角形A3。的功A4,AC,4。功上的點(diǎn)，有下列三個(gè)條件：

①DE〃BC；

@DF//AC；

③N1=NC.

（1）若從這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，組成命題，請(qǐng)寫出所有可

以組成的命題；

（2）判斷上面所寫命題是否是真命題，并對(duì)其中的一個(gè)真命題進(jìn)行推理證明.

①②Nl=/2；③BE//CF,以其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，組

成一個(gè)真命題，并證明.

12,

F

D

18.如圖，平行四邊形ABC。的對(duì)角線AC、B。相交于點(diǎn)0,延長(zhǎng)4B至點(diǎn)E,連接CE.現(xiàn)

有以下信息：①乙48c=90°；?EC//BD；③AC=EC.從三條信息中選擇兩條作為條

件，另一條作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題并說(shuō)明理由.你選擇的條件是,結(jié)論

是（填寫序號(hào)）.

E

19.如圖，在△A8C和△￡>￡/中，B,E,C,/在同一條直線上.下面四個(gè)條件：①.48=

DE；②AB//DE；?BE=CF；?ZA=ZD.

（1）請(qǐng)選擇其中的三個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題（寫出兩種情況即

可，填序號(hào)）.

①已知：；求證：.

②已知：；求證：.

（2）在（1）的條件下，選擇一種情況進(jìn)行證明.

20.在學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)后，小紅進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)在直角梯形中，如果兩內(nèi)

角（非直角內(nèi)角）的隹平分線相交丁腰上同點(diǎn)，那么兩底邊的K度之和等丁這兩內(nèi)角

夾邊的長(zhǎng)度.她的解決思路是：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等使問(wèn)題得到解決，請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)上作AO的垂線，垂足為點(diǎn)尸（只保留作圖痕跡）.

已知：在四邊形4BCO中，AB//CD,N8=90°,4E平分N84。，OE平分NADC.

求證：AB+CD=AD.

證明：???/1￡平分N8AD,

^EFIAD,

，NAFE=90°.

，N8=90°,

A.ZB=ZAFE.

在△ABE和△人在中，

(乙B=Z.AFE

J/-BAE=/-FAE,

1()=()

/.^ABE^/\AFE(AAS).

同理可得：CD=DF

：,AB+CD=AF+DF=AD.

小紅再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條

腰上同一點(diǎn)，均有此結(jié)論.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點(diǎn)，那

么_______________________.

D

2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之命題與證明（2024年3月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.在桌面上分開(kāi)放著。（。24）枚硬幣，其中有。枚硬幣反面朝上，其余正面朝上.規(guī)定1

次操作是將。枚硬幣中的4枚進(jìn)行翻轉(zhuǎn).設(shè)經(jīng)過(guò)c次操作后所有硬幣都正面朝上.對(duì)于

以下命題：①如果。=〃=4,那么c的最小值為1；②如果。=6,Hb=2,那么c的最

小值為2；③如果〃=4,且0VAV4,那么。不存在；④如果。=4女+2（M為正整數(shù)），且

b=a-I,那么。不存在.正確的命題個(gè)數(shù)是（）

A.I個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】命題與定理；列代數(shù)式；一元一次不等式的應(yīng)用.

【答案】。

【分析】讀懂題意理解規(guī)則，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可得到答案.

【解答】解：①如果。=6=4,根據(jù)題意有4枚硬幣反面朝上，1次操作是將4枚硬幣中

的4枚進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，從而確定經(jīng)過(guò)1次操作即可使所有硬幣都正面朝上，故①正確；

②如果〃=6,b=2,根據(jù)題意有4枚硬幣正面朝上、2枚反面朝上，1次操作是將3枚正

面朝上的硬幣和1枚反面朝上的硬幣進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，得到2枚正面朝上、4枚反面朝上，2次

操作將4枚反面朝上的硬幣進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，即可使所有硬幣都正面朝上，故②正確；

③如果a=4,0VAV4,則〃可取1、2、3,即有1人或2個(gè)或3個(gè)反面朝上，1次操作

是將4枚硬幣中的4枚進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，總會(huì)有正面也有反面朝上，故不可能使所有硬幣都正

面朝上，故③正確；

④如果。=奴+2a為正整數(shù)），且/>=4-i,則只有1枚硬幣正面朝上，軟+1枚硬幣反

面朝上，I次操作是將4枚硬幣進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，A次可將軟枚反面朝上的硬幣全部翻轉(zhuǎn)成正

面朝上，也就轉(zhuǎn)變成了軟+2枚硬幣中有1枚反面朝上，每次翻動(dòng)4枚的操作，最終無(wú)論

翻轉(zhuǎn)多少次都無(wú)法使所有硬幣都正面朝上，故④正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題與定理、列代數(shù)式及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是

熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用.

2.下列命題中，真命題是（）

A.同位角相等

B.如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角

C.等腰三角形的兩底角相等

D.如果ab=O,那么B=0,b=0

【考點(diǎn)】命題與定理；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；等腰三角形的性

質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí).

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角，對(duì)頂角的定義，等腰三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)即可判斷.

【解答】解：4.同位角不一定相等，所以原命題是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.兩個(gè)角相等不?定是對(duì)頂角，所以原命題是假命題，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.等腰三角形的兩個(gè)底角相等，所以原命題是真命題，故本選項(xiàng)符合題意；

D.如果“〃=0,那么0=0或方=0,所以原命潁是假命撅，故本詵項(xiàng)不符合題章：

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題和定理，同位角，對(duì)頂角的定義，等腰三角形的性質(zhì)及等式

的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.下列命題中，真命題的是（）

A.同旁內(nèi)角相等

B.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.若〃〃兒b//c,則”〃c

D.三角形的一個(gè)外角大于它的內(nèi)角

【考點(diǎn)】命題與定理；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；平行公理及推論；平行線的判定與

性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.：三角形的外角性質(zhì).

【專題】線段、角、框交線與平行線；三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，、三角形外角性質(zhì)等逐人判斷即可.

【解答】解：人、兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，故原命題是假命題，不符合題意；

仄過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，故原命題是假命題，不符合題意；

C、根據(jù)平行于同一直線的兩直線平行，故原命題是真命題，符合題意；

。、若三角形的外角也可能等于它相鄰的內(nèi)角，此時(shí)三角形為直角三角形，故原命題是假

命題，不符合題怠.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等，屬于基礎(chǔ)題，記牢各性質(zhì)即可.

4.下列命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

①三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

②兩邊對(duì)應(yīng)相等且一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；

③兩邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等；

④一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等.

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】命題與定理：全等三角形的判定；直角三角形全等的判定；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形全等的判定逐一判斷即可.

【解答】解：①SSS全等三角形判定，是真命題；

②S4S或SSA,但.SSA不能作為全等三角形判定，是假命題；

③S4S或"L都可以判定兩個(gè)直角三角形全等，是真命題；

④等邊三角形三邊都柱等，一邊對(duì)應(yīng)相等即三邊都對(duì)應(yīng)相等，即SSS,是真命題：

有3個(gè)真命題，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳的是命題與定理的知識(shí)，熟練掌握三角形全等的判定是解題的關(guān)

鍵.

5.下列命題是假命題的是（）

A.全等三角形的面積相等

B.兩直線平行，同位角相等

C.如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角

D.平行于同一條直線的兩條直線平行

【考點(diǎn)】命題與定理；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；平行公理及推論；全等三角形的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)全等二角形的性質(zhì)對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的性質(zhì)對(duì)8選項(xiàng)進(jìn)行判

斷；根據(jù)對(duì)頂角的定義對(duì)C選項(xiàng)進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線公理對(duì)。選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：A.全等三角形的面積相等，此命題為真命題，所以A選項(xiàng)不符合題意；

B.兩直線平行，同位由相等，此命題為真命題，所以8選項(xiàng)不符合題意；

C.如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角，此命題為假命題，所以。選項(xiàng)符合題意；

D.平行于同一條直線的兩條直線平行，此命題為真命題，所以。選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題：要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一

個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.掌握對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、平行線公理和全等三

角形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

6.對(duì)于命題“如果Nl+N2=90°,那么N1WN2.”能說(shuō)明它是假命題的反例是（）

A.Z1=Z2=45°B.Zl=40°,Z2=50°

C.Zl=50°,N2=50°D.Zl=40°,Z2=40°

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；數(shù)感.

【答案】A

【分析】能說(shuō)明是假命題的反例就是能滿足已知條件，但不滿足結(jié)論的例子，逐項(xiàng)判斷

即可.

【解答】解：4、N1=N2=45°滿足Nl+N2=9（）°,但不滿足N1KN2,滿足題意；

B、Zl=40°,N2=50°滿足命題“如果Nl+N2=90°,那么N1KN2."，不符合題

意；

C、Zl=50°,Z2=50°不滿足命題“如果Nl+N2=90°,那么N1WN2."，不符合

題意；

。、Zl=40c,Z2=40°不滿足命題“如果Nl+N2=90°,那么N1W/2."，不符合

題意；

故選:A.

【點(diǎn)評(píng)】考查了命題與定理的知識(shí)，理解能說(shuō)明它是假命題的反例的含義是解決本題的

關(guān)鍵.

7.下列說(shuō)法正確的是（）

A.命題一定是正確的

B.不正確的判斷就不是命題

C.定理都是真命題

D.基本事實(shí)不一定是真命題

【考點(diǎn)】命題與定理.

【答案】C

【分析】根據(jù)真、假命題的意義對(duì)A、B、。進(jìn)行判斷；根據(jù)定理的定義對(duì)。進(jìn)行判斷.

【解答】解：人、命題有真命題與假命題，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不正確的判斷是假命題，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、定理都是經(jīng)過(guò)推論、論證得到的真命題，所以。選項(xiàng)正確；

。、基本事實(shí)是真命題，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題：正確的命題稱為真命題；錯(cuò)

誤的命撅稱為假命題：經(jīng)過(guò)推論、論訐得到的真命題稱為定理.

8.下列命題中，屬卜真命題的是（）

A.8的立方根是±2B.眄是無(wú)理數(shù)

C.0的平方根是0D.勺相反數(shù)是2

【考點(diǎn)】命題與定理；平方根；算術(shù)平方根；立方根；無(wú)理數(shù)；實(shí)數(shù)的性質(zhì).

【專題】實(shí)數(shù)：運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)立方根的意義可對(duì)選項(xiàng)A進(jìn)行判斷；根據(jù)眄=3可對(duì)選項(xiàng)3進(jìn)行判斷；根

據(jù)平方根的意義可時(shí)選項(xiàng)。進(jìn)行判斷:根據(jù)逐=2及相反數(shù)的定義可對(duì)選項(xiàng)。進(jìn)行判斷.

【解答】解：???8的立方根為2,

???選項(xiàng)A不正確，

故命題8的立方根是±2是假命題，不符合題意；

V>/9=3,

???g不是無(wú)理數(shù)，

，選項(xiàng)B不正確，

故命題g是無(wú)理數(shù)是假命題，不符合題意；

:0的平方根是0,

???選項(xiàng)C正確，

故命題。的平方根是0是真命題，符合題怠:

V>/4=2,

?.?"相反數(shù)是-2,

???命題〃相反數(shù)是2是假命題，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方根和立方根的意義，把反數(shù)的定義，熟練掌握平方根和立

方根的意義，理解相反數(shù)的定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

9.下列命題正確的是（）

A.兩個(gè)等腰三角形全等

B.平移前后的兩個(gè)三角形全等

C.等邊三角形是中心對(duì)稱圖形

D.直角三角形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形

【考點(diǎn)】命題與定理：軸對(duì)稱圖形：平移的性質(zhì)：中心對(duì)稱圖形：全等三角形的判定：

等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；推理能力.

【答案】B

【分析】由軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的定義，全等三角形的判定方法，平移的性質(zhì)，

等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，即可判斷.

【解答】解：A、兩個(gè)等腰三角形不一定仝等，故4不符合題意：

B、平移前后的兩個(gè)三角形全等，正確，故8符合題意；

C、等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故B不符合題意；

D,等腰直角三角形是軸對(duì)稱圖形，其他的直角三角形既不是軸對(duì)稱圖形乂不是中心對(duì)稱

圖形，故。不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形，全等三角形的判定，平移的性質(zhì)，等邊

三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

10.下列命題中是假命題的是（）

A.在△/WC中，若則△ABC是直角三角形

B.在△ABC中，若三邊長(zhǎng)為9、40、41,則△ABC是直角三角形

C.在△48C中，若NA：/B：ZC=3：4：5,則4人合。是直角三角形

D.在△A8C中，若a：b：c=5：4：3,則△A8C'是直角二角形

【考點(diǎn)】命題與定理；勾股定理的逆定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】利用直角三角形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：A、在△A3C中，若N8=NC+NA,貝!Z\A4c是直角三角形，正確，是真

命題，不符合題意；

B、在ABC中，若三邊長(zhǎng)為9、40、41,則△ABC不是直角三角形，正確，是真命題，

不符合題意；

C、在△A8C中，若N4：/B：ZC=3：4：5,則△ABC是銳角三角形，故原命題錯(cuò)誤，

是假命題，符合題意；

D、在△A8C中，若。b：c=5：4：3,則△ABC是直角三角形，正確，是真命題，不

符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解直角三角形的判定方法，難

度不大.

二.填空題（共5小題）

n

11.命題“〃=說(shuō)RlJa=b是真命題（填“真”或"假”）.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】真.

【分析】根據(jù)要證明一個(gè)結(jié)論不成立，可以通過(guò)舉反例的方法來(lái)證明一個(gè)命題是假命題.

【解答】解:a3=b\則是真命題，

故答案為：真：

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握要說(shuō)明數(shù)學(xué)命題的錯(cuò)誤，只需舉

出一個(gè)反例即可這是數(shù)學(xué)中常用的一種方法.

12.如圖，在RtZXABC中，ZACZ^=90<>,N3=60°,AC=6V3,將3c繞點(diǎn)C逆時(shí)

針旋轉(zhuǎn)到△EOC的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。首次落在斜邊AB上，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)

為2鬲.

A

ED

CB

【考點(diǎn)】軌跡；旋轉(zhuǎn)佗性質(zhì)；含30度角的直角三角形：勾股定理.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱：推理能力.

【答案】2V3K.

【分析】由直角三角形的性質(zhì)可求BC,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求CB=CD,NBCD=NACE,

可證△ACO是等邊三角形，可得N8CO=NACE=60°,由弧長(zhǎng)公式可求解.

【解答】解:VZACB=9()°,N8=60°,AC=6%/3,

又將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△￡：丸?的位置，

:.CB=CD,/BCD=/ACE,

.??△3CO是等邊三角形，

：,ZBCD=ZACE=60°,

???點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為60"6與=2V3TT,

180

故答案為：2V3TC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軌跡，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，直角三角形的性質(zhì)，求出旋轉(zhuǎn)角

是解題的關(guān)鍵.

13.將命題“角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”改為“如果……，那么……”

的形式為如果角內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線

±..

【考點(diǎn)】命題與定理；角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】首先要分清原命題的題設(shè)與結(jié)論，題設(shè)前是如果，結(jié)論前是那么，如此答案可

得.

【解答】解：把命題“帶的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”改寫成“如果…

那么…”的形式是：如果角內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的角

平分線上，

故答案為：如果角內(nèi)部一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的改寫問(wèn)題.找準(zhǔn)原命題的題設(shè)與結(jié)論是正確解答本題的關(guān)鍵.

14.將命題“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等”改寫成“如果…那么…”的形式如果兩個(gè)

三角形全等，那么對(duì)應(yīng)邊上的中線相等.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】“全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等”的條件是：兩個(gè)三角形全等，結(jié)論是：對(duì)應(yīng)

邊上的中線相等.據(jù)此即可寫出所求的形式.

【解答】解：“全等三帶形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等”的條件是：兩個(gè)三角形全等，結(jié)論是：

對(duì)應(yīng)邊上的中線相等.

則改寫成“如果…那么…”的形式是：如果兩個(gè)三角形全等，那么對(duì)應(yīng)邊上的中線相等.

故答案為：如果兩個(gè)三角形全等，那么對(duì)應(yīng)邊上的中線相等.

【點(diǎn)評(píng)】本潁考杳了命撅的敘述，正確分清命撅的條件和結(jié)論是杷命題寫成“如果…那

么…”的形式的關(guān)鍵.

15.現(xiàn)有四個(gè)命題：

①同位角相等；

②如果a_LZ?,a_Lc,那么Z?_Lc；

③在同?平面內(nèi)，如果兩直線不相交，那么它們就平行；

④當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，〃2+3〃+1的值一定是質(zhì)數(shù).

其中是假命題的是①②④.（只填序號(hào)）

【考點(diǎn)】命題與定理；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；配方法的應(yīng)用；同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁

內(nèi)角；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】①②④.

【分析】根據(jù)同位角的定義、平行線的判定、兩條直線的位置關(guān)系、質(zhì)數(shù)的定義判斷即

可.

【解答】解：①同位角不一定相等，故①是假命題；

②在同一平面內(nèi)，如果。，力，ale,那么〃〃c,故②是假命題；

③在同一平面內(nèi)，如果兩直線不相交，那么它們就平行，故③是真命題；

④當(dāng)〃=6時(shí)，〃2+3〃+|=55,而55不是質(zhì)數(shù)，故④是假命題.

具中是假命題的是①

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考看命題與定理的知識(shí)，熟練掌握同位角的定義、平行線的判定、兩

條直線的位置關(guān)系、質(zhì)數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.如圖，點(diǎn)。，“分別是三角形ABC的邊AC,4C邊上的點(diǎn)，有下列三個(gè)條件：

?DE//BCx

?DF//AC；

③N1=NC.

（1）若從這三個(gè)條件中任選兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，組成命題，請(qǐng)寫出所有可

以組成的命題：

（2）判斷上面所寫命題是否是真命題，并對(duì)其中的一個(gè)真命題進(jìn)行推理證明.

【考點(diǎn)】命題與定理；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；推理能力.

【答案】（1）可以組成三個(gè)命題，（i）如果①OE〃8C,②。/〃AC,那么③Nl=NC.（ii）

如果①③N1=NC,那么②。尸〃4c.（iii）如果②。尸〃AC,③N1=NC,那

么①DE〃BC；

（2）三個(gè)命題都是真命題，證明見(jiàn)解答過(guò)程.

【分析】（I）可以組成三個(gè)命題，（i）①②為題設(shè)，③為結(jié)論；（ii）①③為題設(shè)，②

為結(jié)論；（適）②③為題設(shè)，①為結(jié)論；

（2）上述的三個(gè)命題都是真命題，（i）由。E〃8c得NC+NOEC=180°,再由D/〃

AC得Nl+NQEC=180°,由此可得出結(jié)論；（ii）由?！辍?C得NC+/O￡C=180°,

再根據(jù)N1=NC得NI+NQEC=180°,由此可得出結(jié)論；（造）由。AC這/I+N

DEC=I8O°,再根據(jù)/l=NC得NC+NDEC=18（）c,由此可得出結(jié)論.

【解答】解：（1）可以組成三個(gè)命題，

(i)如果①。E〃BC@DF//AC,那么③N1=NC.

(ii)如果①DE〃3c③NUNC,那么②OF〃AC.

(iii)如果②。/〃AC③/1=NC,那么①O￡〃8c.

(2)上述的三個(gè)命題都是真命題，證明如下：

(i)*：DE//BC,

AZC+ZDEC=180°,

又尸〃AC,

/.Zl+ZDEC=180°,

AZ1=ZC.

(ii)VDE/7BC,

AZC+ZDEC=180°,

VZ1=ZC,

AZ1+ZD￡C=180°,

：,DF//AC.

(iii)9：DF//AC,

AZl+ZD￡：C=180o,

*/Zl=ZC,

：.ZC+ZDEC=\^°,

：.DE//BC.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了命題，平行線的判定和性質(zhì)，理解命題的定義，準(zhǔn)確識(shí)圖，熟

練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.如圖，有如下三個(gè)論斷：

①AB〃CD；②Nl=/2；③8E〃CH以其中兩個(gè)作為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，組

成個(gè)真命題，并證明.

【考點(diǎn)】命題與定理.

【專題】線段、角、杵交線與平行線；推理能力；應(yīng)用意識(shí).

【答案】若AB〃C。，Z1=Z2,^\BE//CF.證明見(jiàn)解析部分.

【分析】可以有①?得到③（答案不唯一）.

【解答】解：可以選①?=③.

即：潦AB//CD,ZI=Z2,則

理由：*：AB//CD,

，NABC=NDCB,

VZ1=Z2,

/.NEBC=/FCB,

：,BE//FC.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了命題與定理：判斷事物的語(yǔ)句叫命題：正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤

的命題叫假命題；經(jīng)過(guò)推理論證的真命題稱為定理.也考查了平行線的性質(zhì).

18.如圖，平行四功形的對(duì)角線AC、4。相交于點(diǎn)O,延長(zhǎng)A4至點(diǎn)E,連接現(xiàn)

有以下信息：①//WC=90°；②EC〃B?③AC=EC從三條信息中選擇兩條作為條

件，另一條作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題并說(shuō)明理由.你選擇的條件是??,結(jié)論是

③（答案不唯一）（填寫序號(hào)）.

E

【考點(diǎn)】命題與定理；平行四邊形的性質(zhì).

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】①②；③（答案不唯一）.

【分析1任選其中兩條作為已知條件，剩余一條作為結(jié)論，均為真命題，結(jié)合平行四邊

形、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)進(jìn)行證明即可.

【解答】解：情況一：選擇條件是①②，結(jié)論是③，是真命題；理由如下：

;四邊形A8CD是平行四邊形，ZABC=90°,

???四邊形A8CO為矩形，

：.AC=BD,AB//CD,

?:EC"BD,

???BEC。為平行四邊形，

:.BD=CE,

：,AC=CE；

情況二：選擇條件是①③，結(jié)論是②，是真命題；理由如下：

\'AC=EC,N4BC=90°,

：,AB=BE,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

：,AB//CD,AB=CD,

:?BE=CD,

???四功形3QCE星平行四功形，

：,EC//BD；

情況三：選擇條件是②結(jié)論是①，是真命題；理由如下：

???四邊形ABCO是平行四邊形，

J.AB//CD,

*：EC//BD,

...四邊形是平行四邊形，

:.BD=EC,

\*AC=EC,

：,AC=BD,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

???四邊形ABC。是矩形，

AZABC=90°.

故答案為：①②；③（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查命題與定理知識(shí)，熟練掌握平行四邊形、矩形的判定與性質(zhì)，等

腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵.

19.如圖，在△ABC和△￡>￡/中，B,E,C,尸在同一條直線上.下面四個(gè)條件：①48=

DE；②AB〃DE；③BE=CF；?ZA=ZD.

（1）請(qǐng)選擇具中的二個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，組成一個(gè)真命題（寫出兩種情況即

可，填序號(hào)).

①已知：①②③：求證：④.

②已知：②③④；求證：①.

(2)在(1)的條件下，選擇一種情況進(jìn)行證明.

【考點(diǎn)】命題與定理；平行線的判定與性質(zhì).

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】(1)①②③，④；②③④，①；答案不唯一

(2)見(jiàn)解答.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的判定方法選則條件即可；

(2)若已知①②③，求證④，則根據(jù)“SAS”證明△ABCgaDEF,從而得到NA=ND.

【解答】(1)解：①可以選擇①②③為條件，④為結(jié)論；

故答案為：①②③，④；

②可以選擇②③④為條件，①為結(jié)論；

故答案為：②③④，①；

(2)已知①@③，求證④；

證明：-：AB//DE,

：?NB=NDEF,

?:BE=CF,

:,BE+EC=EC+CF,

即BC=EF,

在△ABC和△￡)￡：/中，

(AB=DE

=乙DEF，

(BC=EF

/.AABC^ADEF(SAS),

ZA=ZD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題：要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一

個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可.

20.在學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)后，小紅進(jìn)行了拓展性探究.她發(fā)現(xiàn)在直角梯形中，如果兩內(nèi)

角（非直角內(nèi)角）的隹平分線相交于腰上同一點(diǎn)，那么兩底邊的長(zhǎng)度之和等于這兩內(nèi)角

夾邊的長(zhǎng)度.她的解決思路是：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的

對(duì)應(yīng)邊相等使問(wèn)題得到解決，請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，過(guò)點(diǎn)七作的垂線，垂足為點(diǎn)尸（只保留作圖痕跡）.

已知：在四邊形ABCO中，AB//CD,NB=90°,4E平分DE平分NADC.

求證：AB+CD=AD.

證明：平分N84D,

，/BAE=/FAE.

*：EF±AD,

產(chǎn)E=90°.

AZB=90°,

...ZB=ZAFE.

在AABE和△AFE中，

（乙B=Z.AFE

jLBAE=ZLFAE,

:（AAS）.

AAB=AF.

同理可得：CD=DF

：.AB+CD=AF+DF=AD.

小紅再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，只要梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條

腰上同點(diǎn)，均有此結(jié)論.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

如果一個(gè)梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點(diǎn)，那么

兩底邊的長(zhǎng)度之和等「這兩內(nèi)角夾邊的長(zhǎng)度..

【考點(diǎn)】命題與定理；全等三角形的判定與性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)；直角梯形；作圖一

基本作圖.

【專題】圖形的全等；梯形；尺規(guī)作圖；推理能力.

【答案】ZBAE=ZFAE,AE=AE,AB=AF；兩底邊的長(zhǎng)度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長(zhǎng)

度.

【分析】用尺規(guī)作E凡LA。，見(jiàn)作圖；由A4S證明得到4B=AF,同理

可得：CD=DF,即可證明問(wèn)題，如果一個(gè)梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相

交于另一條腰上同一點(diǎn)，那么兩底邊的長(zhǎng)度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長(zhǎng)度.

【解答】解:EFLAD,見(jiàn)作圖；

證明：???AE平分N8AD,

：.^BAE=Z.FAE,

'/EFLAD,

/.ZAFE=90°.

VZ5=90°,

：.ZB=ZAFE,

在AABE和△AFE中，

ZB=Z.AFE

匕BAE=Z.FAE,

AE=AE

：.^ABE^/XAFE(AAS),

：.AB=AF,

同理可得：CD=DF,

：.AB+CD=AF+DF=AD.

如果一個(gè)梯形滿足夾同一條腰的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于另一條腰上同一點(diǎn)，那么兩

底邊的長(zhǎng)度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的長(zhǎng)度.

故答案為：/BAE=/FAE,AE=AEfAB=AF；兩底邊的長(zhǎng)度之和等于這兩內(nèi)角夾邊的

長(zhǎng)度.

DC

【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，作圖-基本作圖，直角梯形，角平分線定

義，關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形.

考點(diǎn)卡片

1.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方

偶次方具有非負(fù)性.

任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為。時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都

必須等于0.

2.平方根

（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于小這個(gè)數(shù)就叫做〃的平方根，也叫做〃的二次方根.

一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù)，零的平方根是零，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

（2）求一個(gè)數(shù)。的平方根的運(yùn)算，叫做開(kāi)平方.

一個(gè)正數(shù)。的正的平方根表示為“介,負(fù)的平方根表示為“-6”.

正數(shù)。的正的平方根，叫做。的算術(shù)平方根，記作6.零的算術(shù)平方根仍舊是零.

平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，

0的立方根是0.

3.算術(shù)平方根

（1）算術(shù)平方根的概念：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于小即/=〃，那么這個(gè)正數(shù)

X叫做4的算術(shù)平方根.記為

（2）非負(fù)數(shù)。的算術(shù)平方根。有雙重非負(fù)性：①被開(kāi)方數(shù)。是非負(fù)數(shù)：②算術(shù)平方根。本

身是非負(fù)數(shù).

（3）求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)數(shù)的平方互為逆運(yùn)算，在求一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平

方根時(shí)，可以借助乘方運(yùn)算來(lái)尋找.

4.立方根

（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于。，那么這個(gè)數(shù)叫做。的立方根或三次方根.這就是說(shuō)，

如果f=〃，那么x叫做a的立方根.記作：VH.

（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).即任意數(shù)都有立方根.

（3）求一個(gè)數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫開(kāi)立方，其中〃叫做被開(kāi)方數(shù).

注意：符號(hào)狙中的根指數(shù)“3”不能省略：對(duì)于立方根，被開(kāi)方數(shù)沒(méi)有限制，正數(shù)、零、負(fù)

數(shù)都有唯一一個(gè)立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方根的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)：。的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方

根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，

0的立方根是0.

5.無(wú)理數(shù)

（1）＞定義：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù).

說(shuō)明：無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù)，即無(wú)限不循環(huán)小數(shù).如圓周率、

2的平方根等.

（2）、無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：

①杷有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí)，有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)，

比如4=4.0,：=0.33333…而無(wú)理數(shù)只能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，比如a=1.414213562.

②所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無(wú)理數(shù)不能.

（3）學(xué)習(xí)要求：會(huì)判斷無(wú)理數(shù)，了解它的三種形式：①開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)，②無(wú)限不循環(huán)小

數(shù)，③含有n的數(shù)，如分?jǐn)?shù)］是無(wú)理數(shù)，因?yàn)閚是無(wú)理數(shù).

無(wú)理數(shù)常見(jiàn)的三種類型

（1）開(kāi)不盡的方根，如虎，V5,遙等.

（2）特定結(jié)構(gòu)的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，

如0.303003000300003…（兩個(gè)3之間依次多一個(gè)0）.

（3）含有二的絕大部分?jǐn)?shù),如2n.

注意：判斷一個(gè)數(shù)是否為無(wú)理數(shù)，不能只看形式，要看化簡(jiǎn)結(jié)果.如S%是有理數(shù)，而不是

無(wú)理數(shù).

6.實(shí)數(shù)的性質(zhì)

（1）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值的概念與在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣.實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值就是在數(shù)軸上這

個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離.

（2）實(shí)數(shù)的絕對(duì)值：正實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值是它本身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，。的絕

對(duì)值是0.

（3）實(shí)數(shù)〃的絕對(duì)值可表示為|〃|=5（。20）（〃V0）,就是說(shuō)實(shí)數(shù)。的絕對(duì)值一定是

一個(gè)非負(fù)數(shù)，即同20.并且有若用=〃（〃20）,則工=±”.

實(shí)數(shù)的倒數(shù)

乘積為1的兩個(gè)實(shí)數(shù)互為倒數(shù)，即若。與〃互為倒數(shù)，則"=1；反之，若必=1,則。與

〃互為倒數(shù)，這里應(yīng)特別注意的是0沒(méi)有倒數(shù).

7.列代數(shù)式

（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，

就是列代數(shù)式.

（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義.列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，

仔細(xì)辯析詞義.如“除”與“除以”,“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分.②

分清數(shù)量關(guān)系.要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系.③注意運(yùn)算順序.列代數(shù)式

時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低

級(jí)運(yùn)算，耍杷代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái).⑷規(guī)范書寫格式.列代數(shù)時(shí)要按要求

規(guī)范地書寫.像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫，數(shù)與數(shù)相乘必須寫乘號(hào)；除

法可寫成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書寫單位名稱什么時(shí)不加括

號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào).注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用.⑤正確進(jìn)行代換.列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)

需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換.

【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題

I.在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量.

2.要注意書寫的規(guī)范性.用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“X”

簡(jiǎn)寫作“V或者省略不寫.

3.在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成

假分?jǐn)?shù).

4.含有字母的除法，般不用“+”（除弓），而是寫成分?jǐn)?shù)的形式.

8.配方法的應(yīng)用

I、用配方法解一元二次方程.

配方法的理論依據(jù)是公式/±2心沙2=（〃土方）2

配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)

系數(shù)一半的平方.

2、利用配方法求二次二式是一個(gè)完全平方式時(shí)所含字母系數(shù)的值.

關(guān)鍵是：二次三項(xiàng)式是完全平方式，則常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.

3、配方法的綜合應(yīng)用.

9.一元一次不等式的應(yīng)用

（1）由實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系列出不等式，建立解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)解不等式可以

得到實(shí)際問(wèn)題的答案.

（2）列不等式解應(yīng)用題需要以“至少”、“最多”、“不超過(guò)”、“不低下”等詞來(lái)體現(xiàn)問(wèn)題中

的不等關(guān)系.因此，建立不等式要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵.

（3）列一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題的方法和步驟：

①弄清題中數(shù)量關(guān)系，用字母表示未知數(shù).

②根據(jù)題中的不等關(guān)系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④寫出符合潁意的解.

10.對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角

（1）對(duì)頂角：有一個(gè)公關(guān)頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，

具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.

（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，

互為鄰補(bǔ)角.

（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等.

（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180。.

（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè).鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角

都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系.它們都是在兩直線相交的前提下形

成的.

11.同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角

<1）同位角：兩條直線被笫三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且

在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位用.

（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且

在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)定.

（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所載形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并

且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角.

（4）二線八角中的某兩個(gè)角是不是同位先、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中

的相對(duì)位置決定.在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必

有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即

為被截的線.同位角的邊構(gòu)成“產(chǎn)”形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z”形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”

形.

12.平行公理及推論

（1）平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條宜線與這條直線平行.

（2）平行公理中要準(zhǔn)確理解“有且只有”的含義.從作圖的角度說(shuō)，它是“能但只能畫出

一條”的意思.

（3）推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也?互相平行.

（4）平行公理的推論可以看做是平行線的?種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直

線平行時(shí)應(yīng)用.

13.平行線的判定與性質(zhì)

（I）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系

來(lái)尋找角的數(shù)量關(guān)系.

（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行.

聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān).

（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角.

14.三角形內(nèi)角和定理

（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且

每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°.

（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

<3）三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在

轉(zhuǎn)化中借助平行線.

（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的發(fā)數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，

用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

15.二角形的外角性質(zhì)

（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì).

（2）三角形的外角性質(zhì)：

①三角形的外角和為360°.

②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.

（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去.

（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開(kāi)始，觀察它是哪個(gè)三角

形的外角.

16.全等三角形的性質(zhì)

（1）性質(zhì)1：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等

性質(zhì)2：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等

說(shuō)明：①全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高、中線以及對(duì)應(yīng)角的平分線相等

②全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等

③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等

（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意

①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時(shí)要會(huì)找對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.

②要正確區(qū)分對(duì)應(yīng)邊與對(duì)邊，對(duì)應(yīng)角9對(duì)角的概念，一般地：對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角是對(duì)兩個(gè)三角

形而言，而對(duì)邊、對(duì)角是對(duì)同一個(gè)三角形的邊和角而言的，對(duì)邊是指角的對(duì)?邊，對(duì)角是指邊

的對(duì)角.

17.全等三角形的判定

（1）判定定理1：SSS--三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（2）判定定理2：SAS■■兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

<3）判定定理3：ASA■一兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（4）判定定理4：AAS--兩角及其中一個(gè)角的對(duì)■邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

（5）判定定理5：-斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若

已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊

對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)

鄰邊.

18.直角三角形全等的判定

1、斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊"或

2、直角三角形首先是三角形，所以?般三角形全等的判定方法都適合它，同時(shí)，直角三角

形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法.所

以直角三角形的判定方法最多，使用時(shí)應(yīng)該抓住“直角”這個(gè)隱含的已知條件.

19.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔

助線構(gòu)造三角形.

20.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩山的距離箱等.

注意：①這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長(zhǎng)；②該性質(zhì)可以獨(dú)立.作為證明兩條線段相

等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分

線的性質(zhì)語(yǔ)言：如圖，TC在NAQB的平分線上，CQ1O4,CELOB：.CD=CE

21.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等隹】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從