2025屆高考數學二輪總復習專題6解析幾何第1講直線與圓課件

第1講直線與圓領航高考風向標通覽主干知識1.兩直線位置關系、距離公式

2.圓的定義與方程

對含參數的圓的一般式方程形式,一定要注意其表示圓的條件.3.圓錐曲線

知識點內容定義(1)橢圓:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|);(2)雙曲線:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|);(3)拋物線:|MF|=d(d為點M到準線的距離)

若點F在準線l上,點的軌跡是過F且與l垂直的直線

4.圓錐曲線中的幾個重要結論(1)圓錐曲線的中點弦斜率公式(2)過曲線上點P(x0,y0)的切線方程過曲線C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0上一點P(x0,y0)的切線方程為微點撥

1.求解兩條直線平行的問題時,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數的值后,要注意代入檢驗,排除兩條直線重合的可能性.2.與直線Ax+By+C=0平行的直線方程可設為Ax+By+m=0(m≠C);與直線Ax+By+C=0垂直的直線方程可設為Bx-Ay+m=0.鏈高考1.(2021新高考Ⅱ,3)拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1的距離為,則p=(

)B鏈高考2.(2024全國甲,理12)已知b是a,c的等差中項,直線ax+by+c=0與圓x2+y2+4y-1=0交于A,B兩點,則|AB|的最小值為(

)A.1 B.2C.4 D.2C微點撥

在雙曲線的定義中,有兩點是缺一不可的:其一,絕對值;其二,0<2a<|F1F2|.如果滿足第二個條件但不滿足第一個條件,那么其軌跡只能是雙曲線的一支.鏈高考3.(2024新高考Ⅰ,12)設雙曲線C:=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過F2作平行于y軸的直線交C于A,B兩點.若|F1A|=13,|AB|=10,則C的離心率為

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解析

如圖,由雙曲線的對稱性不妨設點A為雙曲線C與直線AB在第一象限的交點.由題意知,|AF2|=5,2a=|F1A|-|AF2|=13-5=8,∴a=4.(1)求C的方程;(2)過點P(4,0)的直線交C于A,B兩點,N為線段FP的中點,直線NB交直線MF于點Q.證明:AQ⊥y軸.考點一直線的方程及其應用例1(1)(2024重慶高三檢測)已知直線m:(a-2)x+ay-2=0和直線n:x+3ay+1=0,則“a=”是“m∥n”的(

)A.充要條件

B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件A(2)直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0,)為端點的線段有公共點,則直線l斜率的取值范圍為

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解析

設PA與PB的傾斜角分別為α,β,直線PA的斜率kAP=1,直線PB的斜率kBP=-.如圖,當直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時,它的傾斜角由α增至90°,斜率的取值范圍為[1,+∞).當直線l由PC變化到PB的位置時,它的傾斜角由90°增至β,斜率的變化范圍是(-∞,-].故斜率的取值范圍是(-∞,-]∪[1,+∞).延伸探究1若本例(2)中P(1,0)改為P(-1,0),其他條件不變,求直線l斜率的取值范圍.延伸探究2若將本例(2)中的點B坐標改為B(2,-1),其他條件不變,求直線l傾斜角的取值范圍.解

設直線PA與PB的傾斜角分別為α,β,直線PA的斜率kAP=1,直線PB的斜率kBP=-1,當直線l由PB變化到PA的位置時,它的斜率的取值范圍是[-1,1].[對點訓練1](2024福建南平模擬)兩直線3x+y-3=0與6x+my+1=0平行,則它們之間的距離為(

)D考點二圓的方程例2(2022全國乙,理14)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

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解析

(方法一)若圓過點(0,0),(4,0),(-1,1),則設圓心為(a1,b1),半徑為r1,∴圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=13.若圓過點(0,0),(4,0),(4,2),則設圓心為(a2,b2),半徑為r2,若圓過點(0,0),(-1,1),(4,2),則設圓心為(a3,b3),半徑為r3,若圓過點(4,0),(-1,1),(4,2),則設圓心為(a4,b4),半徑為r4,(方法二

幾何法)設點A(0,0),B(4,0),C(-1,1),D(4,2),規(guī)律方法求圓的方程的兩種方法幾何法通過研究圓的性質、直線和圓、圓與圓的位置關系,進而求得圓的基本量和方程代數法用待定系數法先設出圓的方程,再由條件求得各系數,進而求得圓的方程[對點訓練2](2022全國甲,文14)設點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為

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(x-1)2+(y+1)2=5(方法三)設圓心M(a,1-2a),☉M的半徑為r,則r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-1)2,整理可得-10a+10=0,即a=1.則圓心M(1,-1),故所求☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.考點三直線與圓的位置關系(多考向探究預測)考向1切線問題例3(1)(2024湖北鄂州模擬)已知點P為直線l:3x-4y+12=0上的一點,過點P作圓C:(x-3)2+(y-2)2=1的切線PM,切點為M,則切線長|PM|的最小值為(

)A(2)(2022新高考Ⅰ,14)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程:

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解析

在平面直角坐標系中,畫出圓x2+y2=1和圓(x-3)2+(y-4)2=16.設點O(0,0),O1(3,4),由圖得兩圓外切,則☉O與☉O1有兩條外公切線和一條內公切線,易得其中一條外公切線l的方程為x=-1.由圖可知,內公切線l1與另一條外公切線l2的斜率均存在.[對點訓練3](2024廣東韶關二模)過點P(-2,3)作斜率為-2的直線,若光線沿該直線傳播經x軸反射后與圓C:(x-3)2+(y-2)2=r2(r>0)相切,則r=(

)D考向2弦長問題例4(1)(2024河北石家莊二模)已知圓O1:x2+y2=5與圓O2:x2+y2-2x-4y=0交于A,B兩點,則|AB|=(

)C(2)(2023新高考Ⅱ,15)已知直線x-my+1=0與☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B兩點,寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值:

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增分技巧

求解圓的弦長的3種方法

關系法根據半徑、弦心距、弦長構成的直角三角形,得三者間的關系為r2=d2+(其中l(wèi)為弦長,r為圓的半徑,d為圓心到直線的距離)公式法根據公式

求解(其中l(wèi)為弦長,x1,x2為直線與圓相交所得交點的橫坐標,k為直線的斜率)距離法聯立直線與圓的方程,解方程組求出兩交點坐標,用兩點間距離公式求解[對點訓練4](2024河南洛陽模擬)已知直線y=kx+1與圓x2+y2=4相交于M,N兩點,若|MN|=,則|k|=(

)B考點四圓與圓的位置關系例5(多選題)(2024江蘇連云港模擬)已知圓C1:x2+y2=1,圓C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),P,Q分別是圓C1與圓C2上的動點,(

)A.若圓C1與圓C2無公共點,則0<r<4B.當r=5時,兩圓公共弦所在直線方程為6x-8y-1=0C.當r=2時,|PQ|的取值范圍為[2,8]D.當r=3時,過點P作圓C2的兩條切線,切點分別為A,B,則∠APB不可能等于BC解析

如圖,易知圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1;圓C2:(x-3)2+(y+4)2=r2的圓心為C2(3,-4),半徑為r,圓心距|C1C2|=5.對于A,圓C1與圓C2無公共點,則|C1C2|>r1+r2或|C1C2|<|r-1|,即可得5>r+1或5<|r-1|,解得0<r<4或r>6,所以A錯誤;對于B,當r=5時,公共弦所在直線方程為x2+y2-[(x-3)2+(y+4)2]=1-25,整理可得6x-8y-1=0,所以B正確;對于C,當r=2時,|C1C2|>r+1=3,可知兩圓外離,|PQ|∈[|C1C2|-3,|C