2024-2025學(xué)年北京市高一上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試卷本試卷共4頁，120分.考試時長90分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．設(shè)全集為，，，則（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．3．已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（

）A． B．0 C．1 D．24．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，下列區(qū)間中含有零點(diǎn)的是（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．7．下列說法錯誤的是（

）A．命題“，使得”是真命題B．若，則“”是“”的充要條件C．當(dāng)時，方程恰有四個實根D．命題“”的否定為“”8．在不考慮空氣阻力的條件下，火箭的最大速度（單位：與燃料的質(zhì)量（單位：），火箭（除燃料外）的質(zhì)量（單位：）的函數(shù)關(guān)系是．當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時，火箭的最大速度可達(dá)到．若要使火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為（

）A． B． C． D．9．已知是函數(shù)的圖像上的相異兩點(diǎn)，若點(diǎn)到直線的距離相等，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是（

）A． B．C． D．10．對于函數(shù)，若存在，使，則稱點(diǎn)是曲線的“優(yōu)美點(diǎn)”，已知，若曲線存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分.11．不等式的解集為．12．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，那么.13．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且定義域為，則14．已知函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則實數(shù)的值是.15．設(shè)函數(shù)①當(dāng)時，；②若恰有2個零點(diǎn)，則a的取值范圍是．三、解答題：本大題共5小題，共60分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16．計算：(1)(2)17．已知函數(shù)，且.(1)求的值；(2)判斷在上的單調(diào)性，并用定義證明.(3)求不等式的解集.18．已知函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．當(dāng)時，.(1)求函數(shù)的解析式.(2)求不等式的解集.(3)設(shè)函數(shù)其中的定義域為集合，若，求實數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域.(2)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由.(3)對，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．集合由有限個實數(shù)組成，定義集合的離距如下：實數(shù)軸上，集合中的每個實數(shù)對應(yīng)一個點(diǎn)，實數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與所有這些點(diǎn)的距離的算術(shù)平均數(shù)記為，稱函數(shù)的最小值為集合的離距，記為.例如，集合的離距是0，集合的離距是2.(1)分別求出集合的離距；(2)求數(shù)集的離距；(3)已知非空數(shù)集滿足，試寫出一個關(guān)于的大小關(guān)系的等式或不等式，并給出證明.1．A【分析】利用集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解.【詳解】解：因為全集為，，所以，又，所以，所以，故選：A2．D【分析】利用函數(shù)的奇偶性，排除BC，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，排除A.可得正確結(jié)果.【詳解】對A：，所以為奇函數(shù)，又與都是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，故A錯；對B：，故為偶函數(shù)，故B錯；對C：的定義域為，故函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯；對D：，所以為奇函數(shù)，又為上的增函數(shù)，所以是上的減函數(shù)，故D對.故選：D3．C【分析】由偶函數(shù)性質(zhì)以及對數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】已知是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則.故選：C.4．D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，即可解出．【詳解】因為，，，所以．故選：D．5．D【分析】利用零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可【詳解】因為在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞增，所以在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以在上無零點(diǎn)，因為，，，所以在區(qū)間有零點(diǎn)，故選：D6．A【分析】由解析式判斷奇偶性及的符號，即可確定圖象.【詳解】由且定義域為，所以為奇函數(shù)，排除C、D；又，排除B.故選：A.7．C【分析】對于A，對代數(shù)式配方后分析判斷，對于B，根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析判斷，對于C，令，，作出兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析判斷，對于D，根據(jù)命題的否定的定義分析判斷.【詳解】對于A，因為，所以命題“，使得”是真命題，所以A正確，對于B，時，在上遞增，所以當(dāng)時，有，反之也成立，所以若，則“”是“”的充要條件，所以B正確，對于C，令，，的圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有4個交點(diǎn)，此時方程恰有四個實根，當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，此時方程恰有兩個實根，所以C錯誤，對于D，命題“”的否定為“”，所以D正確，故選：C8．B【分析】設(shè)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時，火箭的最大速度達(dá)到，根據(jù)題意得到，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值為時，火箭的最大速度達(dá)到，根據(jù)題意得，所以，所以，可得，所以，即要使火箭的最大速度達(dá)到，則燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量的比值應(yīng)為.故選：B.9．D【分析】根據(jù)題意，得到，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】不妨設(shè)，且，根據(jù)題意，可得，可得，由基本不等式，可得，可得，解得，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的取值范圍是.故選：D.10．B【分析】存在，使，則函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以只要把的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱后與射線有公共點(diǎn)即可.【詳解】由題意可知，若函數(shù)存在“優(yōu)美點(diǎn)”，則函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，當(dāng)時，，將其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，如圖，所得圖象的解析式為，所以只要射線與的圖象有公共點(diǎn)即可，圖中射線與的圖象相切，由，得，由，得，由圖象可知，所以，即實數(shù)的取值范圍為，故選：B關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查新定義問題，考查函數(shù)與方程的綜合問題，解題的關(guān)鍵是問題的轉(zhuǎn)化，題中新概念“優(yōu)美點(diǎn)”，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為射線與的圖象有公共點(diǎn)即可，考查轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.11．【分析】將原不等式等價轉(zhuǎn)化為，然后解該二次不等式可得出結(jié)果.【詳解】不等式等價于，解得，因此，不等式的解集為，故答案為.本題考查分式不等式的解法，解題的關(guān)鍵就是將分式不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12．【分析】先將點(diǎn)代入函數(shù)求出，進(jìn)而可得.【詳解】將點(diǎn)代入得，所以.所以.故答案為.13．【分析】由函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可求得的值，再由函數(shù)為偶函數(shù)可求得的值，由此可求得的值.【詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，且定義域為，則，解得，由，可得，對任意的恒成立，可得，即，因此，.故答案為.14．2【分析】利用換元法把原函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個偶函數(shù)，因為偶函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，必有，可求的值.【詳解】設(shè)，則原函數(shù)可化為：，因為，所以為定義在上的偶函數(shù).原函數(shù)只有唯一零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有唯一零點(diǎn)，又的圖象關(guān)于軸對稱，所以只有.故15．【分析】由分段函數(shù)解析式先求，再求的值，結(jié)合零點(diǎn)的定義分段求零點(diǎn)，由條件求a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，所以，所以，令，可得當(dāng)時，，所以或，當(dāng)或時，方程在上有唯一解，當(dāng)或時，方程在上的解為或，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，方程在上無解，綜上，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點(diǎn)，當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，因為恰有2個零點(diǎn)，所以或，所以a的取值范圍是.故；.16．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】（1）解：由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可得.（2）解：由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得17．(1)(2)在上的單調(diào)遞減，證明見解析(3)【分析】（1）由可求得的值；（2）任取，且，然后計算變形，再判斷符號，可得結(jié)論；（3）由的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為，再令，可得，求出的范圍，從而可求得的范圍.【詳解】（1）由，得，則.（2）在上的單調(diào)遞減．證明如下：任取，且，則，∵，且，，∴，即，在上單調(diào)遞減.（3）由（2）可得，在上單調(diào)遞減，而，則由可得，令，可得.解得：或.所以或.不等式的解集為18．(1)(2)(3)【分析】由時，，根據(jù)為奇函數(shù)，求得，結(jié)合，即可求得函數(shù)的解析式；（2）由（1）中函數(shù)的解析式，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的定義域，結(jié)合可得，即，，即可求解.【詳解】（1）解：因為函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時，.當(dāng)時，，則，因為為奇函數(shù)，所以，可得，即，綜上可得，函數(shù)的解析式為.（2）解：當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，不等式成立.綜上可得，不等式的解集為（3）解：由函數(shù)的定義域，可得，即，又因為，所以的定義域，又因為，所以，且所以實數(shù)的取值范圍是.19．(1)(2)函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，理由見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，得出不等式組，即可求解；（2）根據(jù)函數(shù)的定義域的不關(guān)于原點(diǎn)對稱，即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求得，得到，法一：轉(zhuǎn)化為，令，求得，即可求解；法二：分，和，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)有意義，則滿足，解得，所以函數(shù)的定義域為.（2）解：因為的定義域為，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）解：由“對，不等式恒成立”，可得，當(dāng)時，由在上單調(diào)遞減，，根據(jù)題意得，對法一：可轉(zhuǎn)化為，令，由在上單調(diào)遞減得，可得，實數(shù)的取值范圍為.法二：設(shè)函數(shù)，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，可得，解得，則；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，可得，解得，則；③當(dāng)，即時，在先減后增，可得，解得，所以，綜上，實數(shù)的取值范圍為.20．(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）先根據(jù)題目條件理解集合離距的概念，得出，代入計算即可；（2）根據(jù)上述公式，代入計算；（3）例如，集合的元素個數(shù)都是偶數(shù)時，，否則.依據(jù)定義證明即可.【詳解】（1）首先，單元素數(shù)集的離距