2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線過兩點和，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知空間四面體中，對空間內(nèi)任一點，滿足，則下列條件中能確定點，，，共面的是（

）A． B． C． D．3．平面直角坐標(biāo)系中，以為圓心且與直線相切的圓的標(biāo)準方程為（

）A． B．C． D．4．若圓被直線平分，則（

）A． B． C． D．5．已知，且與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．已知點，直線過原點且平行于，則點到的距離為（

）A． B．1 C． D．7．已知曲線與直線有兩個相異的交點，那么實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．在棱長為的正方體中，，，分別是棱，，的中點，過作平面，使得，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下說法正確的是（

）A．過點且在軸上的截距是在軸上截距的2倍的直線的方程為B．直線與直線之間的距離是C．直線恒過定點D．點在直線上運動，，，則時的最大值是10．已知點在上，點，，則（

）A．點到直線的距離最大值是B．滿足的點有2個C．當(dāng)最小時，D．過直線上任意一點作的兩條切線，切點分別為，，則直線過定點11．在棱長為2的正方體中，已知，分別為線段，的中點，點滿足，，，則（

）A．當(dāng)時，四棱錐外接球半徑為B．當(dāng)時，三棱錐的體積為C．周長的最小值為D．若，則點的軌跡長為三、填空題（本大題共3小題）12．直線與直線平行，則．13．若圓上恰有三個點到直線的距離為1，則實數(shù)的值為．14．某校的幾個高二年同學(xué)在深入研究選擇性必修第一冊教材第一章中的習(xí)題時發(fā)現(xiàn)原來空間直線與平面也有方程．教材中闡述并要求證明下面的兩個結(jié)論：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點，向量，．（1）過點且一個法向量為的平面的方程為；（2）過點且方向向量為的直線的方程為．請利用這兩個結(jié)論求解下列問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值是．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，，，且邊的中點在軸上，邊的中點在軸上．(1)求邊上的高所在直線方程；(2)設(shè)過點的直線為，且點與點到直線距離相等，求直線的方程．16．如圖，在棱長為2的正四面體中，是線段的中點，是中點，在線段上，且

(1)求線段的長；(2)直線與直線所成角的余弦值；(3)證明：平面；17．已知圓心為的圓經(jīng)過點，，且圓心在直線上．(1)求圓的標(biāo)準方程；(2)已知直線過點且直線被圓所截得的弦長為6，求直線的方程；(3)已知點，，且為圓上一動點，求的最小值．18．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，且，平面，，分別是，的中點．(1)證明：；(2)設(shè)為側(cè)棱上的動點，若直線與平面所成角的最大值為，試求平面與平面的夾角的余弦值．19．已知圓和圓．(1)若圓與圓相交，求的取值范圍；(2)若直線與圓交于兩點，且，求實數(shù)的值；(3)若，設(shè)為平面上的點，且滿足：存在過點的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點的坐標(biāo)．

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意，設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，故，由于，故.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】根據(jù)空間中四點共面可知，，解得.故選：C.3．【正確答案】D【詳解】由圓心到直線的距離，即所求圓的半徑為，所以所求圓的標(biāo)準方程為.故選：D.4．【正確答案】B【詳解】由圓，可得，圓心，因為直線平分圓，所以，解得.故選：B.5．【正確答案】A【詳解】由題意可知：，∴，又∵時，即時，共線，∴，∴.故選：A6．【正確答案】A【詳解】取,又，所以，則點到的距離為.故選：A7．【正確答案】B【詳解】由，可得，故曲線軌跡為以為圓心，1為半徑的上半圓，恒過定點，把半圓和直線畫出，如下：

當(dāng)直線過點時，滿足兩個相異的交點，且此時取得最大值，最大值為，當(dāng)直線與相切時，由到直線距離等于半徑可得，，解得，結(jié)合圖形可知要想曲線與直線有兩個相異的交點，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】如圖，以原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∴，，，，∴，，設(shè)平面的一個法向量為n=a,b,c∵，，∴，，即，令則，即為平面的一個法向量，∴點到平面的距離.故選：D9．【正確答案】CD【詳解】對于A，當(dāng)在軸上的截距和軸上截距截距均為0時，易得直線方程為，故A錯誤；對于B，直線，即為，故直線與直線之間的距離為，故B錯誤；對C：由．由，所以直線恒過定點，故C正確；對于D，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，則，解得：，即，如圖，，當(dāng)三點共線時，等號成立，所以的最大值為，故D正確.故選：CD.10．【正確答案】BCD【詳解】A選項：直線，即，圓心到直線的距離，∴點到直線的距離最大值是，A選錯誤；B選項：設(shè)，則，當(dāng)時，得，化簡得，則直線與圓的交點即為所求點，圓心到直線的距離，故有兩個交點，∴滿足的點有2個，故B選項正確；C選項：由觀察可知，當(dāng)與圓相切時，最大或最小，顯然不存在時，與圓不相切，∴設(shè)，圓心到直線的距離，解得.顯然當(dāng)時最小，聯(lián)立方程組，解得，即，此時，故C選項正確；D選項：設(shè)是直線上一點，過作兩條直線分別于圓相切與點，即，∴四點共圓，∴中點為圓心，∴圓，∵是圓和圓的公共弦，∴兩個圓方程作差得，∵，∴，∴，整理得，故直線過定點，故D選項正確.故選：BCD11．【正確答案】ABC【詳解】對于A，當(dāng)時，由題，所以此時點P為的中點，故點P到底面的距離為1，且四棱錐為正四棱錐，設(shè)底面中心為Q，則且該四棱錐外接球球心O在直線上，

設(shè)四棱錐外接球半徑為R，則有即，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，因為，，，所以三點共線，即在線段上，連接，則由題意可知為的中位線，，所以，連接交于點G，則，又由正方體性質(zhì)可得，平面即平面，因為，且平面，所以平面，所以點D到平面的距離為，

所以此時，故B正確；對于C，由題可得，所以周長為，所以該周長最小時取得最小值，因為點滿足，，，所以四點共面，即P在平面內(nèi)，

如圖，取中點I，則由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，所以，所以取得最小值時即為取得最小值時，所以由三角形兩邊之和大于第三邊可得當(dāng)三點共線時取得最小值為，所以周長最小值為，故C正確；對于D，由A知底面中心為Q，且，又由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知平面，平面，所以，所以若，則，

如圖，所以點P的軌跡是平面內(nèi)以Q為圓心半徑為2的圓與四邊形相交的交線，該交線為圓弧，因為，所以，所以，所以，所以點P的軌跡長為，故D錯誤.故選：ABC.12．【正確答案】-3【詳解】依題意，可得且，解得或，因，故.故-3.13．【正確答案】【詳解】由題意可知，圓心坐標(biāo)為，半徑為，則圓上恰有三個點到直線的距離為1，則使得圓心到直線的距離2，即，如圖所示：解得.故14．【正確答案】【詳解】因為平面的方程為，則平面的法向量為，平面與的法向量分別為，，直線是兩個平面與的交線，設(shè)直線的方向向量為，則，令，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則，則直線與平面所成角的正弦值是.故15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)，，，∵邊的中點在軸上，邊的中點在軸上，∴，∴，∵，∴，∴所在直線方程為，即.（2）方法一：當(dāng)斜率不存在時，，不滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)即，依題意得：，解得或，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.方法二：依題意，所求直線與直線平行或過線段的中點，綜上所述，直線的方程為：或，即：或.16．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）設(shè)，，．則其模長均為2，且兩兩夾角均是，從而，，由在線段上，且，可得，則，；（2）由是中點可得，∴，所以，所以直線與直線所成角的余弦值為．（3），；，，又，平面，且，平面．17．【正確答案】(1)(2)或(3)【詳解】（1）法一：，的中點為，的垂直平分線方程為，即，將聯(lián)立可得，即圓的圓心坐標(biāo)為．圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準方程為．法二：設(shè)圓的方程為．由題可得，解得，所以圓的標(biāo)準方程．法三：設(shè)圓的方程為由題可得，解得，所以圓的標(biāo)準方程為，化為標(biāo)準方程即．（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長公式得，故．①若直線的斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離為1，符合題意．②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，則有，解得，則直線的方程為．故直線的方程為或．（3）因點在圓上，可設(shè)，（為參數(shù)）又點，，故，其中，則當(dāng)時，取最小值為．18．【正確答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形.為的中點,，又，，平面，平面，，而平面，平面，且，平面，又平面，.（2）法一：由平面，平面可得，又由（1）可得，，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，設(shè)，則，由，，三點共線可設(shè)，設(shè)，則，則，故，從而，又平面的一個法向量，設(shè)與平面所成角為，則．令，故當(dāng)時，，故，即，，則，，因為，故，所以點坐標(biāo)為，則，.設(shè)平面的一個法向量為則有取，可得；同理可得平面的一個法向量，，故平面與平面的夾角余弦值為.法二：為上任意一點，連接，，由（1）知平面，所以為與平面所成的角，在中，，且，所以當(dāng)最短時，最大，即當(dāng)時，最大.因為，所以，又，所以，所以，由（1）知，，兩兩垂直，故可以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又，分別為，的中點，所以，，，，，，，所以，，，設(shè)平面的一法向量為，則，故，取，則，又由平面可得，因為，平面，平面，，所以平面，故為平面的一法向量，所以.故平面與平面的夾角的余弦值為.19．【正確答案】(1)(2)(3)或【詳解】（1）由配方得，則其圓心，半徑，由，則其圓心，半徑圓與圓相交，，即，解