2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上冊(cè)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題1（含解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若直線的一個(gè)方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知兩直線，若，則與間的距離為（

）A． B． C． D．4．點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．5．設(shè)，直線，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．已知分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．已知圓，設(shè)其與軸?軸正半軸分別交于，兩點(diǎn).已知另一圓的半徑為，且與圓相外切，則的最大值為（

）A．20 B． C．10 D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知橢圓，下列結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的長軸長是B．橢圓的短半軸長是4C．經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)的最短弦長是D．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是10．已知圓，直線，則（

）A．直線恒過定點(diǎn)B．直線l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1D．圓C與圓恰有三條公切線11．如圖所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，點(diǎn)為側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，為線段中點(diǎn).則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)，使得平面B．周長的最小值為C．三棱錐的外接球的體積為D．平面與平面的夾角正弦值的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知點(diǎn)，若直線與線段相交，則直線l的傾斜角的取值范圍是．13．已知向量，且向量的夾角為銳角則的取值范圍是．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，以線段為直徑的圓與C在第一、第三象限分別交于點(diǎn)A，B，若，則C的離心率的最大值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，和是焦點(diǎn)，焦距為，且．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求的面積．16．已知圓是的外接圓，圓心為，頂點(diǎn)，，且______.在下列所給的三個(gè)條件中，任選一個(gè)補(bǔ)充在題中的橫線上，并完成解答.①頂點(diǎn)；②；③.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)為直線：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，求的最小值.17．如圖所示，在三棱柱中，，側(cè)面底面，，分別為棱和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，且平面平面，求二面角的余弦值大小.18．如圖，在四棱錐中，平面，與底面所成角為，四邊形是梯形，．

(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)T是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離．(3)點(diǎn)是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，上是否存在一點(diǎn)M，使平面，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．19．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸，過點(diǎn)且與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線與軸交于點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)點(diǎn)是橢圓C上異于的一點(diǎn)，且三角形的面積為，求直線的方程；(3)過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)（在的左側(cè)），若為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求線段的最大值．

答案1．【正確答案】D【詳解】由直線的一個(gè)方向向量為，得直線的斜率為1，所以直線的傾斜角為.故選：D2．【正確答案】A【詳解】由題意，，，則向量在向量上的投影向量為．故選：A．3．【正確答案】D【詳解】已知兩直線，若，則，解得，則直線，則與間的距離為.故選：D.4．【正確答案】B【詳解】設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則對(duì)稱點(diǎn)與已知點(diǎn)連線的中點(diǎn)為，由題意可得，解得．所以對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為．答案：B5．【正確答案】A【詳解】因?yàn)橹本€，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即可以推出，當(dāng)時(shí)，，解得或，又時(shí)，，此時(shí)，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.6．【正確答案】B【詳解】若方程表示橢圓，則有，即且，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：B．7．【正確答案】C【詳解】由橢圓定義得：，又因?yàn)?，所以解得：，再由于，，結(jié)合勾股定理可得：，解得，所以橢圓的離心率為，故選：C.8．【正確答案】A【分析】分析可知，，點(diǎn)的軌跡方程為，整理可得，利用基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于圓，整理可得：，可知圓心為，半徑為，令，則，解得或，即；令，則，解得或，即；因?yàn)榕c相外切，則，可知點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，

則點(diǎn)的軌跡方程為，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為20.故選A.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】根據(jù)題意分析可知點(diǎn)的軌跡方程為，且，進(jìn)而利用基本不等式即可得結(jié)果.9．【正確答案】AC【詳解】因?yàn)闄E圓方程為，所以，，則，所以橢圓的長軸長為，短軸長為，經(jīng)過橢圓焦點(diǎn)的最短弦長為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以A正確，B錯(cuò)誤，C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC.10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A，直線的方程為，由，得，直線過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，則直線與圓相交且有兩個(gè)交點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，直線，圓心到直線的距離為，而圓半徑為2，因此只有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，圓的方程化為，其圓心為，半徑為3，兩圓圓心距為，兩圓外切，因此它們有三條公切線，D正確.故選ABD.11．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可判斷A；如圖，確定三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，進(jìn)而判斷B；如圖，確定球心和半徑即可判斷C；利用空間向量法求解面面角即可判斷D.【詳解】A：由題意知，，又平面，所以平面，由平面，得；當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，又四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，所以，由平面，所以平面，故A正確；B：將平面和平面沿鋪成一個(gè)平面，如圖，連接，交于，此時(shí)三點(diǎn)共線，取得最小值，即的周長取得最小值，又，所以的周長的最小值為，故B錯(cuò)誤；C：易知中，，取的中點(diǎn)，過作平面，如圖，則三棱錐的外接球的球心必在上，且，所以球的半徑為，其體積為，故C正確；D：易知兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，易知為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)平面與平面所成角為，則，所以，故D正確.故選：ACD方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.12．【正確答案】【詳解】直線過定點(diǎn)，則，，如圖，要使直線與線段相交，則直線l的的斜率應(yīng)滿足，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故答案為:.13．【正確答案】【詳解】若，則，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)，方向相同，故的夾角為銳角時(shí)，且，故14．【正確答案】【詳解】連接，設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，由對(duì)稱性可知，因?yàn)椋?，即，由橢圓定義可得，由圓的性質(zhì)得⊥，由勾股定理得，所以，即，因?yàn)?，設(shè)，，則，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時(shí)，解得，即，解得當(dāng)時(shí)，解得，即，解得，綜上，所以C的離心率的最大值為.故15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）解：由，得，又，即，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）解：由，得，又由，得，可得：，即，則的面積.16．【正確答案】(1);(2)3【詳解】（1）若選①：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，因?yàn)閳A過點(diǎn)，，所以圓心在直線上，即；因?yàn)閳A過點(diǎn)，，所以圓心在直線上，即，所以圓的圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選②：因?yàn)?，所以是直角三角形，所以的外接圓圓心為斜邊的中點(diǎn)，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題知，圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；若選③：因?yàn)?，所以圓心為邊的中點(diǎn)，為圓的直徑，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題知，圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）依題意,，圓心到直線：的距離為，又因?yàn)?，所以，即，所以的最小值?.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，在中，因是的中點(diǎn)，故，且.在三棱柱中，且，又為棱的中點(diǎn)，故得，且，故得，則有，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由題意，三棱柱中所有棱長都相等，則與都是等邊三角形，如圖，取上的四等分點(diǎn)，滿足,取的中點(diǎn),連接,則,易知,且，故可得，則有，故有則四點(diǎn)共面.因平面平面，平面平面，且平面平面可得平面，又.故可建立以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸的空間直角坐標(biāo)系.不妨取，則，由可解得則有，，，則,設(shè)平面法向量為，則，取，可得，，故為平面的一個(gè)法向量，因平面，故為底面的一個(gè)法向量，則，設(shè)二面角的平面角為，由圖知二面角為銳二面角，故二面角的余弦值為.18．【正確答案】(1)證明過程見解析(2)(3)【詳解】（1）由平面，平面，平面，得，，與底面所成角為．所以三角形為等腰直角三角形，．又由四邊形是直角梯形，，可知，所以為等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，過C作，垂足為E，則四邊形為正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．則有，所以．又因?yàn)椋?，平面，平面．所以平面．因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因?yàn)門是的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，所以，．設(shè)平面的法向量為，，，則，得，取，則，得平面的一個(gè)法向量為，而,所以點(diǎn)P到平面的距離為．（3）設(shè)，注意到A0,0,0，所以，所以，設(shè)，注意到P0,0,1，所以，因?yàn)锳0,0,0，B1,0,0，所以若平面，則當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)重合，此時(shí)存在，使平面.19．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由題意知點(diǎn)在上，且軸，設(shè)橢圓焦距為，則，將代入中，得，則，結(jié)合，從而，，橢圓C方程為；（2）由