高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等比數(shù)列》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《等比數(shù)列》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點1.理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義.2.掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系.3.體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．一等比數(shù)列的有關(guān)概念1．等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示．2．等比數(shù)列的通項公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1qn－1.3．等比中項如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，即G是a與b的等比中項?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab.二等比數(shù)列的有關(guān)公式1．通項公式：an＝a1qn－1.2．前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)，q≠1)).三等比數(shù)列的性質(zhì)1．通項公式的推廣：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．2．對任意的正整數(shù)m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).3．若等比數(shù)列前n項和為Sn，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比數(shù)列(m為偶數(shù)且q＝－1除外)．4．在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.5．若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,0<q<1，))則等比數(shù)列{an}遞增；若eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0，,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0，,q>1，))則等比數(shù)列{an}遞減．常/用/結(jié)/論1．若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))仍是等比數(shù)列．衍生數(shù)列，仔細(xì)體會．2．當(dāng)q≠－1或q＝－1且n為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比數(shù)列，其公比為qn.3．{an}為等比數(shù)列，若a1·a2·…·an＝Tn，則Tn，eq\f(T2n,Tn)，eq\f(T3n,T2n)，…仍成等比數(shù)列．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)等比數(shù)列的公比q是一個常數(shù)，它可以是任意實數(shù)．()(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.()(3)若數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和Sn＝eq\f(a1－an,1－a).()(4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．()2．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，則a4a5a6＝________.解析：a1a2a3×a7a8a9＝aeq\o\al(6,5)＝50，∴a4a5a6＝aeq\o\al(3,5)＝5eq\r(2).答案：5eq\r(2)3．在等比數(shù)列{an}中，a3＝4，a7＝16，則a3與a7的等比中項為________．解析：設(shè)a3與a7的等比中項為G，因為a3＝4，a7＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8.答案：±84．《八駿圖》是從六朝起就很流行的一幅圖，傳說中有8匹善于奔跑的馬，它們奔跑的速度各有差異．已知第i(i＝1,2，…，7)匹馬的最長日行路程是第i＋1匹馬最長日行路程的1.1倍，且第8匹馬的最長日行路程為400里，則這8匹馬的最長日行路程之和為________里．(取1.18≈2.14)解析：依題意可得，第8匹馬、第7匹馬、…、第1匹馬的最長日行路程里數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，且首項為400，公比為1.1，故這8匹馬的最長日行路程之和為eq\f(400×1－1.18,1－1.1)≈4000×(2.14－1)＝4560(里)．答案：4560題型等比數(shù)列基本量的計算典例1(1)(2023·全國甲卷，理)已知正項等比數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為{an}的前n項和，S5＝5S3－4，則S4＝()A．7 B．9C．15 D．30(2)(2023·全國甲卷，文)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若8S6＝7S3，則{an}的公轉(zhuǎn)化為基本量a1，q的方程．高考試題的設(shè)計也常以基本量的計算為主．比為________．(3)(2023·全國乙卷，理)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝________.解析：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由S5＝5S3－4得，S5－S3＝4S3－4，即a4＋a5＝4(a1＋a2＋a3)－4.因為a1＝1，所以q3＋q4＝4(1＋q＋q2)－4，所以q3(1＋q)＝4q(1＋q)，所以q2將條件轉(zhuǎn)化為a1，q的方程，求解q的值．＝4.因為q>0，所以q＝2，所以S4＝eq\f(a11－q4,1－q)＝eq\f(1－24,1－2)＝15，故選C.(2)因為8S6＝7S3，顯然公比q≠1，則8×eq\f(a11－q6,1－q)＝7×eq\f(a11－q3,1－q)，整理得1＋q3＝eq\f(7,8)，解得q＝－eq\f(1,2).故答案為－eq\f(1,2).(3)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，則由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5，,a1q8·a1q9＝－8，))將條件轉(zhuǎn)化為a1，q的方程，利用乘除法求解q的值．解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q＝1，,q5＝－2，))所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.故答案為－2.解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法(1)方程的思想：在等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．(2)分類討論的思想：等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練1(1)(2024·廣西桂林模擬)朱載堉(1536年—1611年)是中國明代一位杰出的音樂家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說》中闡述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音(八度)分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”．即一個八度12個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音的頻率是最初那個音的2倍．設(shè)第二個音的頻率為f1，第八個音的頻率為f2，則eq\f(f2,f1)等于()A.eq\r(11,26) B.eq\r(8,2)C.eq\r(12,2) D．4eq\r(12,2)(2)在1和2之間插入11個數(shù)使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個數(shù)之和為M，插入11個數(shù)后這13個數(shù)之和為N，則依此規(guī)則，下列說法錯誤的是()A．插入的第8個數(shù)為eq\r(3,4)B．插入的第5個數(shù)是插入的第1個數(shù)的eq\r(3,2)倍C．M>3D．N<7解析：(1)設(shè)第一個音的頻率為a，相鄰兩個音之間的頻率之比為q，那么an＝aqn－1，根據(jù)最后一個音的頻率是最初那個音的2倍，得a12＝2a＝aq11，即q＝2eq\f(1,11)，所以eq\f(f2,f1)＝eq\f(a8,a2)＝q6＝eq\r(11,26).(2)設(shè)該等比數(shù)列為{an}，公比為q，則a1＝1，a13＝2，故q12＝eq\f(a13,a1)＝2.插入的第8個數(shù)為a9＝a1q8＝eq\r(3,4)，故A正確；插入的第5個數(shù)為a6＝a1q5，插入的第1個數(shù)為a2＝a1q，所以eq\f(a6,a2)＝eq\f(a1q5,a1q)＝q4＝eq\r(3,2)，故B正確；M＝eq\f(a21－q11,1－q)＝eq\f(\r(12,2)1－\r(12,211),1－\r(12,2))＝－1－eq\f(1,1－2eq\s\up15(eq\f(1,12)))，要證M>3，即證－1－eq\f(1,1－2eq\s\up15(eq\f(1,12)))>3，即證eq\f(1,2eq\s\up15(eq\f(1,12))－1)>4，即證eq\f(5,4)>2eq\s\up15(eq\f(1,12))，即證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))12>2，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))12>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))6>2成立，故C正確；N＝M＋3.因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))12>(1.4)6>(1.9)3>2，所以eq\f(6,5)>2eq\s\up15(eq\f(1,12))，所以eq\f(1,2eq\s\up15(eq\f(1,12))－1)>5，所以－1－eq\f(1,1－2eq\s\up15(eq\f(1,12)))>4，即M>4.所以N＝M＋3>7，故D錯誤．答案：(1)A(2)D題型等比數(shù)列性質(zhì)的多維研討維度1等比數(shù)列通項的性質(zhì)典例2(1)在等比數(shù)列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，則eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)的值為()A．2 B．4C．8 D．16(2)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知a1011＝3，那么log3a1＋log3a2＋…＋log3a2021＝()對數(shù)運算性質(zhì)的應(yīng)用，同時運用等比數(shù)列積的對稱性．A．4042 B．2021C．4036 D．2018解析：(1)eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)＝eq\f(a1＋a8,a1a8)＋eq\f(a2＋a7,a2a7)＋eq\f(a3＋a6,a3a6)＋eq\f(a4＋a5,a4a5).巧妙應(yīng)用積的對稱性，把兩個條件代入求值，此法只適用于偶數(shù)項的情形．若奇數(shù)項呢？a1＋a2＋…＋a7＝8，且a1·a2·a3·…·a7＝128，求eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a7)的值，可先求a4＝2，a1·a7＝a2·a6＝a3·a5＝4.因為a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5，所以原式＝eq\f(a1＋a2＋…＋a8,a4a5)＝eq\f(4,a4a5)，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an>0，所以a4a5＝2，所以eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,a8)＝2.故選A.(2)因為a1011＝3，所以a1a2…a2021＝(a1011)2021＝32021，所以log3a1＋log3a2＋…＋log3a2021＝log3(a1a2…a2021)＝log332021＝2021.故選B.在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般是利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則有aman＝apaq”，則可減少運算量．解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．對點練2(1)在等比數(shù)列{an}中，a1，a17是方程x2－14x＋9＝0的兩根，則eq\f(a2a16,a9)的值為()A.eq\r(,14) B．3C．±eq\r(,14) D．±3(2)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，已知0<a1<1，其前n項之積為Tn，且T12＝T6，則Tn取得最小值時，n的值是________．解析：(1)因為a1，a17是方程x2－14x＋9＝0的兩根，所以a1a17＝9，a1＋a17＝14，所以a1>0，a17>0.又?jǐn)?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a1a17＝a2a16＝aeq\o\al(2,9)＝9，且a9>0，所以a9＝3，因此eq\f(a2a16,a9)＝a9＝3.故選B.(2)由T12＝T6得eq\f(T12,T6)＝1，即a7a8a9a10a11a12＝(a9a10)3＝1，故a9a10＝1，因為a1a18＝a9a10，則a1a18＝1，由于0<a1<1，得a18>1，所以等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，故0<a9<1<a10，則Tn取得最小值時，n＝9.答案：(1)B(2)9維度2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)典例3(1)(2021·全國甲卷，文)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若S2＝4，S4＝6，則S6＝()A．7 B．8C．9 D．10(2)已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比q＝________.解析：(1)方法一：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，因為S2＝4，S4＝6，則易知公比q≠±1，所以由等比數(shù)列的前n項和公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S2＝\f(a11－q2,1－q)＝a11＋q＝4，,S4＝\f(a11－q4,1－q)＝a11＋q1＋q2＝6，))此法是方程思想的應(yīng)用，這也是數(shù)列問題中常用的方法，不致于失去解題方向．兩式相除，得q2＝eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝42－\r(,2)，,q＝\f(\r(,2),2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝42＋\r(,2)，,q＝－\f(\r(,2),2)，))所以S6＝eq\f(a11－q6,1－q)＝7.方法二：易知S2，S4－S2，S6－S4構(gòu)成等比數(shù)列，此法屬于整體思想的應(yīng)用，由此得S2，S4，S6的方程．由等比中項的性質(zhì)得S2(S6－S4)＝(S4－S2)2，即4(S6－6)＝22，所以S6＝7.故選A.(2)由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，,S奇－S偶＝80，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，,S偶＝－160，))所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(－160,－80)＝2.本題的核心在于理解eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(a2＋a4＋…＋a2n,a1＋a3＋…＋a2n－1)＝q，巧妙應(yīng)用條件，求得S奇，S偶．故答案為2.1．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)主要是若Sn≠0，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列(q＝－1且n為偶數(shù)除外)．2．注意等比數(shù)列前n項和公式的變形．當(dāng)q≠1時，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，即Sn＝A－Aqn(q≠1)．?dāng)?shù)列{an}為等比數(shù)列?前n項和Sn＝A(1－qn)．3．利用等比數(shù)列的性質(zhì)可以減少運算量，提高解題速度．解題時，根據(jù)題目條件，分析具體的變化特征，即可找到解決問題的突破口.對點練3(1)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝t·2n－1－1，則t＝()A．2 B．－2C．1 D．－1(2)(2024·安徽安慶模擬)已知等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若q>0，則eq\f(S1＋S3,S2)的最小值是________．解析：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，不符合題意；當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式為Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)·qn＋eq\f(a1,1－q)，依題意Sn＝t·2n－1－1＝eq\f(1,2)t·2n－1，即eq\f(1,2)t＋(－1)＝0，解得t＝2.(2)由題意知，eq\f(S1＋S3,S2)＝eq\f(a1＋a1＋a2＋a3,a1＋a2)＝eq\f(2＋q＋q2,1＋q)＝eq\f(q＋12－q＋1＋2,1＋q)＝q＋1＋eq\f(2,q＋1)－1，又q>0，則q＋1＋eq\f(2,q＋1)－1≥2eq\r(,2)－1，當(dāng)且僅當(dāng)q＝eq\r(,2)－1時，等號成立．即eq\f(S1＋S3,S2)的最小值是2eq\r(,2)－1.答案：(1)A(2)2eq\r(,2)－1題型等比數(shù)列的判定典例4已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①數(shù)列{an}是等比數(shù)列；②數(shù)列{Sn＋a1}是等比數(shù)列；③a2＝2a1.注：如果選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．解：選①②作為條件證明③：設(shè)Sn＋a1＝Aqn－1(A≠0)，則Sn＝Aqn－1－a1，從通項公式反映出Sn＋a1是等比數(shù)列，這是對條件②的描述．當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；從而得到基本量a1＝eq\f(A,2).當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝Aqn－2(q－1)，利用Sn求得an.因為{an}是等比數(shù)列，所以eq\f(Aq－1,q)＝eq\f(A,2)，解得q＝2，所以a2＝2a1.選①③作為條件證明②：這樣選已知條件較簡單，計算過程也是從基本量入手．因為a2＝2a1，{an}是等比數(shù)列，所以公比q＝2，所以Sn＝eq\f(a11－2n,1－2)＝a1(2n－1)，即Sn＋a1＝a12n，所以eq\f(Sn＋1＋a1,Sn＋a1)＝2