2024-2025學(xué)年浙江省臺州市六校聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，由，得，所以.故選：B.2.雙曲線的焦距為（）．A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的焦距是4.故選D．3.已知平面的一個法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題得，所以到平面的距離為，故選：C.4.已知圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】圓圓心為，半徑，圓圓心，半徑，則，圓心距，因?yàn)?，所以兩圓位置關(guān)系為外切.故選：C.5.已知直線經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，且的一個方向向量為，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】已知直線經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，則，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榈囊粋€方向向量為，所以直線方程為，即，故選：C.6.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，當(dāng)點(diǎn)到漸近線的距離為時，該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)可得雙曲線漸近線為，且，所以，即，又，所以，所以.故選：D7.已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，過點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓，即，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)，又圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)得，，因?yàn)?，四邊形的面積，即，設(shè)Mx,y，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，將代入到中得，對于二次函數(shù)，其對稱軸為，所以，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故選：B.8.在三棱錐中，，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)外接球的半徑為，則，由于是外接球的直徑，所以，，所以，所以，所以，所以，，設(shè)與所成角為，則，整理得，所以外接球的表面積為.故選：A二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項(xiàng)中至少有一個是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.直線的方向向量，平面的法向量，則C.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則到的距離為D.若，則為鈍角【答案】AC【解析】A：對于空間向量，若，空間中任意兩個向量均是共面的，即、均共面，所以一定共面，故A對；B：因?yàn)椋?所以與不平行，故不成立，故B錯；C：由題設(shè)，，則直線上的單位方向向量為，故，所以到直線的距離，故C對；D：當(dāng)反向共線時，也有，但此時不是鈍角，故D錯.故選：AC10.已知直線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)直線與直線平行時，B.當(dāng)直線與直線垂直時，C.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時，直線恒過點(diǎn)D.直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是4【答案】ACD【解析】A：由題意，，則，對；B：由題意，，則，錯；C：直線可化為，聯(lián)立，直線恒過點(diǎn)，對；D：由題意，直線與負(fù)半軸均有交點(diǎn)，令，則，令，則，易知，所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是4，對.故選：ACD11.如圖，在長方體中，，點(diǎn)是平面上的動點(diǎn)，滿足，（）A.在底面上的軌跡是一條直線B.三棱錐的體積是定值C.若角是直線和平面所成角，則的最大值是D.不存在點(diǎn)，使得【答案】ABC【解析】A：在上取，連接并延長交延長線于，在和中，且，所以，則，所以，由長方體性質(zhì)易得，而都在面內(nèi)，所以面，面，故，根據(jù)題設(shè)，易知，，同理可證，由且都在面內(nèi)，所以面，即面，又面面，由，只需在直線，即在底面上的軌跡是一條直線，對；B：由長方體的結(jié)構(gòu)特征知：面，即面，所以到面的距離恒定不變，即三棱錐的體積是定值，對；C：由面，易知是直線和平面所成角的平面角，所以，要使該值最大，只需最小，顯然當(dāng)時最小，而，，且，所以，則，則，，故，對；D：由面，面，則，若存在，使，又且都在面內(nèi)，此時面，面，只需，顯然，在面上以為直徑的圓與的交點(diǎn)作為點(diǎn)，滿足，故存在點(diǎn)，使得，錯.故選：ABC三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.向量與共線，且方向相同，則__________.【答案】14【解析】因?yàn)橄蛄颗c共線，且方向相同，所以，則，得到，解得，，所以，故答案為：.13.設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且,則的面積等于__________.【答案】24【解析】由題設(shè)，令且m>0，則，即，所以，而，則，所以為直角三角形，且，故其面積為.故答案為：14.圓和圓錐曲線的關(guān)系十分密切，它們有很多相似的結(jié)論.例如，過圓上任意不同兩點(diǎn)作圓的切線，如果切線垂直且相交于點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡為圓.在橢圓中也有類似的結(jié)論.已知橢圓，過橢圓上任意不同兩點(diǎn)作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡方程是__________.【答案】【解析】設(shè)，若切線的斜率存在且不為0，則過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，消去y可得，則，整理可得，由題意可知：關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則且，整理可得；若切線的斜率不存在或?yàn)?，則點(diǎn)為，滿足；綜上所述：，即動點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：.四?解答題（本題共5小題；其中第15小題13分，第16小題15分，第17小題15分，第18小題17分，第19小題17分；共77分）15.如圖，在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，為棱（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，設(shè).（1）用表示；（2）求的長.解：（1）連接，，則；（2）由（1）可得，所以，因?yàn)槭钦拿骟w，，故夾角均為，所以，，所以，即的長為.16.在坐標(biāo)平面上有兩定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）設(shè)Px,y，因?yàn)?，所以，平方并整理得，即；?）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立，得，所以，得，，所以或，又，則.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，且，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè).若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角夾角余弦值的大小.解：（1）在四棱錐中，面面，面，面面，所以面，又面，所以面面.（2）以A為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，則，設(shè)，則，所以，設(shè)面的法向量為n=x,y,z，則，取，則，所以，即，化簡得，解得或（舍），所以，，設(shè)平面的法向量，且，，則，取，則，設(shè)二面角的夾角大小為，則，所以二面角的夾角的余弦值為.18.已知橢圓焦距為2，離心率e是（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的弦，其中在軸的上方，且在的右側(cè)，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.①若弦的斜率均存在，求四邊形面積的最小值；②判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，則求出該定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過定點(diǎn)，請說明理由.解：（1）依題意有，解得，所以橢圓的方程為；（2）①設(shè)，則聯(lián)立，，由弦長公式可得：同理可得：，所以令，則當(dāng)?shù)淖钚≈凳?；②，由代替m，得，當(dāng)，即時，，過點(diǎn).當(dāng)，即時，，，當(dāng)時，，經(jīng)驗(yàn)證直線過點(diǎn)，綜上，直線恒過點(diǎn).19.人臉識別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識別的一種生物識別技術(shù).主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有種.設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，則歐幾里得距離；曼哈頓距離（1）若，求之間曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點(diǎn)，求的最大值；（3）已知點(diǎn)是直線上的兩動點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請說明理由.解：（1）由題可得，，；（2）設(shè)，由題意得：，即，而表示的圖形是正方形，其中.即點(diǎn)在正方形的邊上運(yùn)動，，可知：當(dāng)最大時，取到最小值，相應(yīng)的有最大值，①點(diǎn)與點(diǎn)重合時，則，可得；②點(diǎn)在線段上運(yùn)動時，此時與同向，取，則，因?yàn)?，所以的最大值為；?）易知，設(shè)，則，當(dāng)時，，則，滿足題意；當(dāng)時，，由分段函數(shù)性質(zhì)可知，又且恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，綜上，滿足條件的直線有且只有兩條，和.浙江省臺州市六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，不選?多選?錯選均不得分）1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，由，得，所以.故選：B.2.雙曲線的焦距為（）．A.2 B. C. D.4【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，，因?yàn)?，所以，所以雙曲線的焦距是4.故選D．3.已知平面的一個法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.10 B.3 C. D.【答案】C【解析】由題得，所以到平面的距離為，故選：C.4.已知圓與圓的位置關(guān)系為（）A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】C【解析】圓圓心為，半徑，圓圓心，半徑，則，圓心距，因?yàn)?，所以兩圓位置關(guān)系為外切.故選：C.5.已知直線經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，且的一個方向向量為，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】已知直線經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，則，解得，故交點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榈囊粋€方向向量為，所以直線方程為，即，故選：C.6.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，且，當(dāng)點(diǎn)到漸近線的距離為時，該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)可得雙曲線漸近線為，且，所以，即，又，所以，所以.故選：D7.已知點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，過點(diǎn)引直線與圓相切，切點(diǎn)分別為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)闄E圓，即，所以右焦點(diǎn)坐標(biāo)，又圓的圓心為橢圓的右焦點(diǎn)，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)得，，因?yàn)?，四邊形的面積，即，設(shè)Mx,y，則，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，將代入到中得，對于二次函數(shù)，其對稱軸為，所以，，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故選：B.8.在三棱錐中，，若為三棱錐的外接球直徑，且與所成角的余弦值為，則該外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)外接球的半徑為，則，由于是外接球的直徑，所以，，所以，所以，所以，所以，，設(shè)與所成角為，則，整理得，所以外接球的表面積為.故選：A二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個備選項(xiàng)中至少有一個是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面B.直線的方向向量，平面的法向量，則C.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則到的距離為D.若，則為鈍角【答案】AC【解析】A：對于空間向量，若，空間中任意兩個向量均是共面的，即、均共面，所以一定共面，故A對；B：因?yàn)椋?所以與不平行，故不成立，故B錯；C：由題設(shè)，，則直線上的單位方向向量為，故，所以到直線的距離，故C對；D：當(dāng)反向共線時，也有，但此時不是鈍角，故D錯.故選：AC10.已知直線，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.當(dāng)直線與直線平行時，B.當(dāng)直線與直線垂直時，C.當(dāng)實(shí)數(shù)變化時，直線恒過點(diǎn)D.直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是4【答案】ACD【解析】A：由題意，，則，對；B：由題意，，則，錯；C：直線可化為，聯(lián)立，直線恒過點(diǎn)，對；D：由題意，直線與負(fù)半軸均有交點(diǎn)，令，則，令，則，易知，所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以直線和負(fù)半軸構(gòu)成的三角形面積最小值是4，對.故選：ACD11.如圖，在長方體中，，點(diǎn)是平面上的動點(diǎn)，滿足，（）A.在底面上的軌跡是一條直線B.三棱錐的體積是定值C.若角是直線和平面所成角，則的最大值是D.不存在點(diǎn)，使得【答案】ABC【解析】A：在上取，連接并延長交延長線于，在和中，且，所以，則，所以，由長方體性質(zhì)易得，而都在面內(nèi)，所以面，面，故，根據(jù)題設(shè)，易知，，同理可證，由且都在面內(nèi)，所以面，即面，又面面，由，只需在直線，即在底面上的軌跡是一條直線，對；B：由長方體的結(jié)構(gòu)特征知：面，即面，所以到面的距離恒定不變，即三棱錐的體積是定值，對；C：由面，易知是直線和平面所成角的平面角，所以，要使該值最大，只需最小，顯然當(dāng)時最小，而，，且，所以，則，則，，故，對；D：由面，面，則，若存在，使，又且都在面內(nèi)，此時面，面，只需，顯然，在面上以為直徑的圓與的交點(diǎn)作為點(diǎn)，滿足，故存在點(diǎn)，使得，錯.故選：ABC三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.向量與共線，且方向相同，則__________.【答案】14【解析】因?yàn)橄蛄颗c共線，且方向相同，所以，則，得到，解得，，所以，故答案為：.13.設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，是雙曲線上的一點(diǎn)，且,則的面積等于__________.【答案】24【解析】由題設(shè)，令且m>0，則，即，所以，而，則，所以為直角三角形，且，故其面積為.故答案為：14.圓和圓錐曲線的關(guān)系十分密切，它們有很多相似的結(jié)論.例如，過圓上任意不同兩點(diǎn)作圓的切線，如果切線垂直且相交于點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡為圓.在橢圓中也有類似的結(jié)論.已知橢圓，過橢圓上任意不同兩點(diǎn)作橢圓的切線，若兩切線垂直且相交于點(diǎn)，則動點(diǎn)的軌跡方程是__________.【答案】【解析】設(shè)，若切線的斜率存在且不為0，則過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立方程，消去y可得，則，整理可得，由題意可知：關(guān)于的方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則且，整理可得；若切線的斜率不存在或?yàn)?，則點(diǎn)為，滿足；綜上所述：，即動點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：.四?解答題（本題共5小題；其中第15小題13分，第16小題15分，第17小題15分，第18小題17分，第19小題17分；共77分）15.如圖，在正四面體中，為棱的中點(diǎn)，為棱（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn)，設(shè).（1）用表示；（2）求的長.解：（1）連接，，則；（2）由（1）可得，所以，因?yàn)槭钦拿骟w，，故夾角均為，所以，，所以，即的長為.16.在坐標(biāo)平面上有兩定點(diǎn)，動點(diǎn)滿足（1）求動點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與圓交于兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）設(shè)Px,y，因?yàn)?，所以，平方并整理得，即；?）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，設(shè)，聯(lián)立，得，所以，得，，所以或，又，則.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，且，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè).若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角夾角余弦值的大小.解：（1）在四棱錐中，面面，面，面面，所以面，又面，所以面面.（2）以A為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由，