2024屆河北省邢臺市高三上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省邢臺市2024屆高三上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故選：B.2.已知為虛數(shù)單位，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】由題意知，，即，所以，所以.故選：D3.已知，為兩條不同直線，，為兩個不同平面，則下列結(jié)論正確的為（）A.，，則B.，，，，則C.，，，則D.，，，則【答案】D【解析】對于A選項，，，可能，所以A選項錯誤.對于B選項，，，，，可能和相交，所以B選項錯誤.對于C選項，，，，可能、，所以C選項錯誤.對于D選項，，，則，由于，則，所以D選項正確，故選：D4.若是奇函數(shù)，則（）A.， B.，C， D.，【答案】A【解析】令根據(jù)題意得：，解得：，；故選：A.5.已知銳角的頂點在原點，始邊在軸非負(fù)半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)后，交以原點為圓心的單位圓于點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得角的終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)所得角為，為銳角，故，且P點橫坐標(biāo)為，則在第二象限，則，故，則，故選：D6.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量方向的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，又，為單位向量，則，，所以向量在向量方向的投影向量為.故選：C.7.保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長26公里．府河作為保定城區(qū)主要的河網(wǎng)水系，是城區(qū)內(nèi)主要的排瀝河道．府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標(biāo)志性建筑之一，懸鏈線函數(shù)形式為，當(dāng)其中參數(shù)時，該函數(shù)就是雙曲余弦函數(shù)，類似的有雙曲正弦函數(shù)．若設(shè)函數(shù)，若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，函數(shù)定義域為R，為增函數(shù)，由，則函數(shù)為奇函數(shù)，由，即所以，解得，所以x的取值范圍為.故選：A8.在橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內(nèi)切圓圓心，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內(nèi)切圓圓心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，由，得，即，∴橢圓的離心率為.故選：B.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.從50個個體中隨機抽取一個容量為20的樣本，則每個個體被抽到的概率為0.4B.數(shù)據(jù)11，19，15，16，19眾數(shù)是19，中位數(shù)是15C.數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7D.對于隨機事件與，若，，則事件與獨立【答案】ACD【解析】選項A：根據(jù)古典概型，,選項正確；選項B：根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)概念，眾數(shù)是19，從小到大排列，中位數(shù)是16，選項錯誤；選項C：根據(jù)百分位數(shù)概念，，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7.選項正確；選項D：,即，選項正確；故選：ACD.10.先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把圖象向右平移個單位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為 B.在上單調(diào)遞增C.時 D.其圖象關(guān)于點對稱【答案】AB【解析】將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，再把圖象向右平移個單位長度，得到，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到.對于A，，故A正確；對于B，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，當(dāng)時，，，，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，函數(shù)滿足，函數(shù)關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，故D錯誤.故選：AB.11.已知曲線：，則以下說法正確的是（）A.若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則B.若曲線為焦點在軸上的橢圓，則其短軸長取值范圍是C.曲線為橢圓時，離心率為D.若曲線為雙曲線，則浙近線方程為【答案】ABD【解析】對于A：由于為焦點在軸上的橢圓，則，，所以，即，故A正確；對于B：曲線為焦點在軸上的橢圓，則由A可知，又因為，則，即則短軸長取值范圍是，故B正確；對于C：若為橢圓時，當(dāng)焦點在軸上，離心率為，當(dāng)焦點在軸上，此時，，離心率為，故C錯誤；對于D：若曲線為雙曲線，則,令，則，雙曲線浙近線方程為：，故D正確.故選：ABD12.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在四面體中，是直角三角形，為直角，點，分別是，的中點，且，，，，則（）A.平面B.四面體是鱉臑C.是四面體外接球球心D.過A、、三點的平面截四面體的外接球，則截面的面積是【答案】ABD【解析】因為，為的中點，所以，又，平面，，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，A正確；因為平面，所以，為直角三角形，由勾股定理得，因為，所以，因為，，所以為直角三角形，所以四面體是鱉臑，B正確；由上知，，所以，故不可能為四面體外接球球心，C錯誤；記的中點為O，由上知，和都是以為斜邊的直角三角形，所以，，即O為四面體外接球球心，因為分別為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，因為，所以，，所以，記點O到平面的距離為d，則，得，所以的外接圓半徑，所以，過A、、三點的平面截四面體的外接球的截面的面積為，D正確.故選：ABD三、填空題13.已知圓，過作圓的切線，則直線的傾斜角為______．【答案】（或?qū)憺椋窘馕觥恳驗?，所以，點在圓上，直線的斜率為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故.即直線的傾斜角為（或）.故答案為：（或?qū)憺椋?14.保定某中學(xué)舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首（歌曲可重復(fù)被抽取），則高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為______．【答案】【解析】利用分步乘法原理計算出一共有25種結(jié)果，其中兩個班抽到不同歌曲的個數(shù)為20種，則根據(jù)古典概型的概率公式計算：.故答案為：15.等差數(shù)列前13項和為91，正項等比數(shù)列滿足，則______．【答案】13【解析】由題知，，解得，所以，所以.故答案為：1316.已知不等式對任意的實數(shù)恒成立，則的最大值為______．【答案】【解析】令，則原不等式可化為對任意實數(shù)恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，時，，不合題意；當(dāng)時，由，可得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，又因為恒成立，所以，所以，所以，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.故答案為：.四、解答題17.的內(nèi)角A，，C所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大小；（2）若的角平分線交于點，，，求．解：（1）由及正弦定理，可得．因為，所以．又，所以，則，又，所以．（2）∵為的平分線，，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，，又∵，在中，由余弦定理，，,∴，又∵，∴，又∵，∴在中，，∴．18.在菱形中，，，，分別為，的中點，將菱形沿折起，使，為線段中點．（1）求大??；（2）求直線與平面所成角的大小．解：（1）依題意，都是邊長為的正方形，且，由為中點，得，，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，顯然平面平面，在平面內(nèi)過作于，則平面，在平面內(nèi)過作，則直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，而分別為的中點，則，，于是，即有，所以.（2）由（1）知，，，，設(shè)平面法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，而，因此，所以直線與平面所成角的大小為.19.在正項數(shù)列中，，且．（1）求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，記數(shù)列前項和為，求證：．（1）解：由題知正項數(shù)列，且，所以有，兩式相除得，即，兩邊取對數(shù)有，即，所以，所以，結(jié)合，所以，即數(shù)列是常數(shù)列，所以，即，所以.（2）證明：由（1）知，所以，所以，故，又因為單調(diào)遞增，所以，即，得證.20.已知拋物線：（）的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，點，若的面積為1，過點作拋物線的兩條切線切點分別為，．（1）求的值及直線的方程；（2）點是拋物線弧上一動點，點處的切線與，分別交于點，，證明：．（1）解：，所以即拋物線方程為：，.方法1：：，，設(shè)切點，切線斜率為切線方程為，此切線過解得，或，得兩切點坐標(biāo)，．所以直線方程為.方法2：設(shè)，，在拋物線上，所以，，切線方程分別為：又因為兩切線相交于,所以，即，均在直線上，即．（2）證明：方法1：設(shè)切點（）可得過點切線為：，化簡得，由第一問知，點，可得直線方程為聯(lián)立解得點橫坐標(biāo)，同理由，坐標(biāo)可得直線方程，可得點橫坐標(biāo).，結(jié)論得證方法2：相減：，過的切線，交得，同理，，.所以.21.杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“蓮蓮”，聚焦共同的文化基因，蘊含獨特的城市元素．本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動的熱情．某體能訓(xùn)練營為了激勵參訓(xùn)隊員，在訓(xùn)練之余組織了一個“玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓(xùn)練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質(zhì)地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復(fù)以上步驟，當(dāng)隊員到達(dá)第7或第8步臺階時，游戲結(jié)束．規(guī)定：到達(dá)第7步臺階，認(rèn)定失敗；到達(dá)第8步臺階可贏得一組吉祥物．假設(shè)平地記為第0步臺階．記隊員到達(dá)第步臺階的概率為（），記．（1）投擲4次后，隊員站在的臺階數(shù)為第階，求的分布列；（2）①求證：數(shù)列（）是等比數(shù)列；②求隊員贏得吉祥物概率．（1）解：由題意得每輪游戲爬一步臺階的概率為，爬兩步臺階的概率為，所以隨機變量可能取值為4，5，6，7，8，可得，，，，，所以的分布列：45678（2）（?。┳C明：，即爬一步臺階，是第1次擲骰子，向上點數(shù)不是3的倍數(shù)概率，則到達(dá)第步臺階有兩種情況：①前一輪爬到第步臺階，又?jǐn)S骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺階，其概率為，②前一輪爬到第步臺階，又?jǐn)S骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺階，其概率為，所以（），則（），所以數(shù)列（）是首項為，公比為的等比數(shù)列．（ⅱ）解：因為數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，…，，各式相加，得：，所以（），所以活動參與者得到紀(jì)念品的概率為．22.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若有兩個極值點分別為，（），當(dāng)時，證明：．（1）解：得（），即（）設(shè)（），則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增所以，所以，此時，在上單調(diào)遞增故的取值范圍是．（2）證明：因為有兩個極值點，，即方程有兩個不同的實數(shù)根，則，，設(shè)，令（），即，，聯(lián)立，得，解得，，要證即證，即即（*）令，求導(dǎo)化簡可得由，可知，即，所以函數(shù)在上遞增．得到，即（*）式成立，所以原不等式成立．河北省邢臺市2024屆高三上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故選：B.2.已知為虛數(shù)單位，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】D【解析】由題意知，，即，所以，所以.故選：D3.已知，為兩條不同直線，，為兩個不同平面，則下列結(jié)論正確的為（）A.，，則B.，，，，則C.，，，則D.，，，則【答案】D【解析】對于A選項，，，可能，所以A選項錯誤.對于B選項，，，，，可能和相交，所以B選項錯誤.對于C選項，，，，可能、，所以C選項錯誤.對于D選項，，，則，由于，則，所以D選項正確，故選：D4.若是奇函數(shù)，則（）A.， B.，C， D.，【答案】A【解析】令根據(jù)題意得：，解得：，；故選：A.5.已知銳角的頂點在原點，始邊在軸非負(fù)半軸，現(xiàn)將角的終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)后，交以原點為圓心的單位圓于點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得角的終邊繞原點逆時針轉(zhuǎn)所得角為，為銳角，故，且P點橫坐標(biāo)為，則在第二象限，則，故，則，故選：D6.已知向量，為單位向量，且滿足，則向量在向量方向的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，又，為單位向量，則，，所以向量在向量方向的投影向量為.故選：C.7.保定的府河發(fā)源于保定市西郊，止于白洋淀藻雜淀，全長26公里．府河作為保定城區(qū)主要的河網(wǎng)水系，是城區(qū)內(nèi)主要的排瀝河道．府河橋其橋拱曲線形似懸鏈線，橋型優(yōu)美，是我市的標(biāo)志性建筑之一，懸鏈線函數(shù)形式為，當(dāng)其中參數(shù)時，該函數(shù)就是雙曲余弦函數(shù)，類似的有雙曲正弦函數(shù)．若設(shè)函數(shù)，若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，，函數(shù)定義域為R，為增函數(shù)，由，則函數(shù)為奇函數(shù)，由，即所以，解得，所以x的取值范圍為.故選：A8.在橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內(nèi)切圓圓心，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】橢圓（）中，，分別是左，右焦點，為橢圓上一點（非頂點），為內(nèi)切圓圓心，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，，由，得，即，∴橢圓的離心率為.故選：B.二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.從50個個體中隨機抽取一個容量為20的樣本，則每個個體被抽到的概率為0.4B.數(shù)據(jù)11，19，15，16，19眾數(shù)是19，中位數(shù)是15C.數(shù)據(jù)0，1，5，6，7，11，12，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7D.對于隨機事件與，若，，則事件與獨立【答案】ACD【解析】選項A：根據(jù)古典概型，,選項正確；選項B：根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)概念，眾數(shù)是19，從小到大排列，中位數(shù)是16，選項錯誤；選項C：根據(jù)百分位數(shù)概念，，這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為7.選項正確；選項D：,即，選項正確；故選：ACD.10.先將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，再把圖象向右平移個單位長度，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.最小正周期為 B.在上單調(diào)遞增C.時 D.其圖象關(guān)于點對稱【答案】AB【解析】將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到，再把圖象向右平移個單位長度，得到，最后把所得圖象向上平移一個單位長度，得到.對于A，，故A正確；對于B，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，當(dāng)時，，，，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，函數(shù)滿足，函數(shù)關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，故D錯誤.故選：AB.11.已知曲線：，則以下說法正確的是（）A.若曲線表示焦點在軸上的橢圓，則B.若曲線為焦點在軸上的橢圓，則其短軸長取值范圍是C.曲線為橢圓時，離心率為D.若曲線為雙曲線，則浙近線方程為【答案】ABD【解析】對于A：由于為焦點在軸上的橢圓，則，，所以，即，故A正確；對于B：曲線為焦點在軸上的橢圓，則由A可知，又因為，則，即則短軸長取值范圍是，故B正確；對于C：若為橢圓時，當(dāng)焦點在軸上，離心率為，當(dāng)焦點在軸上，此時，，離心率為，故C錯誤；對于D：若曲線為雙曲線，則,令，則，雙曲線浙近線方程為：，故D正確.故選：ABD12.《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．如圖，在四面體中，是直角三角形，為直角，點，分別是，的中點，且，，，，則（）A.平面B.四面體是鱉臑C.是四面體外接球球心D.過A、、三點的平面截四面體的外接球，則截面的面積是【答案】ABD【解析】因為，為的中點，所以，又，平面，，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面，A正確；因為平面，所以，為直角三角形，由勾股定理得，因為，所以，因為，，所以為直角三角形，所以四面體是鱉臑，B正確；由上知，，所以，故不可能為四面體外接球球心，C錯誤；記的中點為O，由上知，和都是以為斜邊的直角三角形，所以，，即O為四面體外接球球心，因為分別為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，所以，因為，所以，，所以，記點O到平面的距離為d，則，得，所以的外接圓半徑，所以，過A、、三點的平面截四面體的外接球的截面的面積為，D正確.故選：ABD三、填空題13.已知圓，過作圓的切線，則直線的傾斜角為______．【答案】（或?qū)憺椋窘馕觥恳驗?，所以，點在圓上，直線的斜率為，由圓的幾何性質(zhì)可知，，則直線的斜率為，設(shè)直線的傾斜角為，則，則，故.即直線的傾斜角為（或）.故答案為：（或?qū)憺椋?14.保定某中學(xué)舉行歌詠比賽，每班抽簽選唱5首歌曲中的1首（歌曲可重復(fù)被抽取），則高三1班和高三2班抽到不同歌曲的概率為______．【答案】【解析】利用分步乘法原理計算出一共有25種結(jié)果，其中兩個班抽到不同歌曲的個數(shù)為20種，則根據(jù)古典概型的概率公式計算：.故答案為：15.等差數(shù)列前13項和為91，正項等比數(shù)列滿足，則______．【答案】13【解析】由題知，，解得，所以，所以.故答案為：1316.已知不等式對任意的實數(shù)恒成立，則的最大值為______．【答案】【解析】令，則原不等式可化為對任意實數(shù)恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，時，，不合題意；當(dāng)時，由，可得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，又因為恒成立，所以，所以，所以，令，，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即.故答案為：.四、解答題17.的內(nèi)角A，，C所對的邊分別為，，，且．（1）求角的大?。唬?）若的角平分線交于點，，，求．解：（1）由及正弦定理，可得．因為，所以．又，所以，則，又，所以．（2）∵為的平分線，，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，，又∵，在中，由余弦定理，，,∴，又∵，∴，又∵，∴在中，，∴．18.在菱形中，，，，分別為，的中點，將菱形沿折起，使，為線段中點．（1）求大小；（2）求直線與平面所成角的大?。猓海?）依題意，都是邊長為的正方形，且，由為中點，得，，而平面，則平面，又平面，于是平面平面，顯然平面平面，在平面內(nèi)過作于，則平面，在平面內(nèi)過作，則直線兩兩垂直，以為原點，直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，則，而分別為的中點，則，，于是，即有，所以.（2）由（1）知，，，，設(shè)平面法向量為，則，即，令，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，而，因此，所以直線與平面所成角的大小為.19.在正項數(shù)列中，，且．（1）求證：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，記數(shù)列前項和為，求證：．（1）解：由題知正項數(shù)列，且，所以有，兩式相除得，即，兩邊取對數(shù)有，即，所以，所以，結(jié)合，所以，即數(shù)列是常數(shù)列，所以，即，所以.（2）證明：由（1）知，所以，所以，故，又因為單調(diào)遞增，所以，即，得證.20.已知拋物線：（）的焦點為，準(zhǔn)線交軸于點，點，若的面積為1，過點作拋物線的兩條切線切點分別為，．（1）求的值及直線的方程；（2）點是拋物線弧上一動點，點處的切線與，分別交于點，，證明：．（1）解：，所以即拋物線方程為：，.方法1：：，，設(shè)切點，切線斜率為切線方程為，此切線過解得，或，得兩切點坐標(biāo)，．所以直線方程為.方法2：設(shè)，，在拋物線上，所以，，切線方程分別為：又因為兩切線相交于,所以，即，均在直線上，即．（2）證明：方法1：設(shè)切點（）可得過點切線為：，化簡得，由第一問知，點，可得直線方程為聯(lián)立解得點橫坐標(biāo)