2024屆內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟高三上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟2024屆高三上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故，故選：B2.復(fù)數(shù)，，其中，為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（）A. B. C.6 D.7【答案】A【解析】由題意，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，為純虛數(shù)，所以，得，所以.故選：A.3.為了鼓勵學(xué)生積極鍛煉身體，強(qiáng)健體魄，某學(xué)校決定每學(xué)期對體育成績在年級前100名的學(xué)生給予專項(xiàng)獎勵.已知該校高三年級共有600名學(xué)生，如圖是該年級學(xué)生本學(xué)期體育測試成績的頻率分布直方圖.據(jù)此估計(jì)，該校高三年級學(xué)生體育成績的中位數(shù)為（）A.70 B.70.5 C.71.25 D.72【答案】C【解析】由給定的頻率分布直方圖，可得前2個矩形的面積為，前3個小矩形的面積為，所以學(xué)生體育成績的中位數(shù)位于之間，設(shè)學(xué)生體育成績的總位數(shù)為，可得分.故選：C.4.若，滿足約束條件，則的最大值為（）A.4 B.3 C. D.【答案】A【解析】由約束條件作出可行域如下圖：由圖可知，，由，可得，由圖可得當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線在軸上的截距最大，所以故選：A5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以為奇函數(shù)，此時可排除AC,由于當(dāng)時，，故此時可排除D，故選：B6.若，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知，得，則，所以.故選：C7.如圖，已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離分別為，，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】由于平面,平面,故,且，,因此,故，又,所以,平面，故平面，平面，故,同理可得又，因此四邊形為正方形，所以故選：B8.已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以離心率的范圍，故選：D.9.在三棱錐中，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，畫出三棱錐，分別作出的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，所得圖形如下圖：根據(jù)中位線的性質(zhì)可得：，，且，，所以異面直線與所成角即為和所成銳角，由于，，所以在等邊中，，同理在等邊中，，故，所以為等邊三角形，故，所以在中，，，，故由余弦定理可得：，由于異面直線的夾角范圍為，所以異面直線與所成角為的補(bǔ)角，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B10.已知圓錐的母線長為，為底面的圓心，高，其軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意可得，解得：，因此，該圓錐的體積為.故選：C11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法錯誤的是（）A.B.C.函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】由函數(shù)（，，）的部分圖象，可得，可得，則，又由，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以A正確；由，可得，又由，所以B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，此時函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以C正確；由，可得，當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以D錯誤.故選：D.12.若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)為,，過切點(diǎn)的切線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)化簡為，即這個方程有三個不等式實(shí)根，令，求導(dǎo)得到，由，得，由，得，或，故函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故得,結(jié)合，，當(dāng)時，，時，，得，故選：D．二、填空題13.已知向量，滿足，，，則______.【答案】【解析】由向量，滿足，，且，則，所以.故答案為：.14.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】對于雙曲線，其漸近線方程為,對于圓，有，圓心為，半徑為，漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：,則由則.故答案為：.15.從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為______.【答案】【解析】由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的總數(shù)為個，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：，共有15個，所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為：.16.已知為銳角三角形，，，，是角，，分別所對的邊，若；且，則面積的取值范圍是______.【答案】【解析】在銳角中，由，得，即，由正弦定理得，而，則，又，則有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，則，因此，由，得，即，于是，所以面積的取值范圍是.故答案為：三、解答題（一）必考題17.已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）求，，；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式解：（1）由條件可得，將代入，得，而，所以，將代入，得，所以，又，從而，，.（2）數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：由條件可得，即，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列（3）由（2）可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接.在底面中，因?yàn)?，且，由，可得，因?yàn)?，即，所以在中，，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由，，可得為等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，平面，所以?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在等邊三角形中，，所以，可得，所以，，由平面，可得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，可得，則，易知二面角的正弦值為.19.為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的9名隊(duì)員來自高一年級2人，高二年級3人，高三年級4人，本次決定比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行8場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍，積分規(guī)則如下：每場比賽5局中以或3:1獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；而每場比賽5局中以獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分，（1）求比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同年級的概率；（2）已知最后一輪比賽兩位選手是甲和乙，假設(shè)每局比賽甲獲勝概率均為0.6，①若設(shè)最后一輪每局比賽甲獲勝為事件，乙獲勝為事件，則事件與是什么關(guān)系，并求和；②記這輪比賽甲所得積分為求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.（1）解：由題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同年級的概率.（2）解：①事件與為對立事件，所以，，②的可能取值為，可得；；；.所以的分布列為01230.17920.138240.207360.4752所以期望為.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點(diǎn).點(diǎn)在上，且.（1）求的方程；（2）若過點(diǎn)作兩條直線與，與相交于A，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，線段和中點(diǎn)的連線的斜率為，直線，，，的斜率分別為，，，，證明：，且為定值.（1）解：設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)?，，所以，，所以點(diǎn)，代入方程中，得，所以的方程為.（2）證明：設(shè)點(diǎn)，，，，則直線的斜率，同理得直線的斜率，直線的斜率，直線的斜率，所以，，從而得.由消去得，所以，由，得或.設(shè)和的中點(diǎn)分別為，，則，，同理，，所以，即，所以得.21.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：在上.（1）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，且，?dāng)時，，在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，可得，由，可得，故在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減.（2）證明：因時，要證，只需證明，由（1）知，當(dāng)時，在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，所以.故，令，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，則，所以當(dāng)，時，，所以.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，（1）寫出的普通方程，并指出它是什么曲線；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，求與交點(diǎn)的極徑與極角的正切值.（1）解：由曲線參數(shù)方程為為參數(shù)，將代入，可得，整理得，所以曲線的普通方程為，該曲線是以點(diǎn)為頂點(diǎn)，開口向上的拋物線.（2）解：因?yàn)?，可得，根?jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式，可得曲線的普通方程為，聯(lián)立方程組，解得或，即交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為和，設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，；設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則，.[選修4-5：不等式選講]23.已知，，均為正數(shù)，且，證明：（1）；（2）若，則.證明：（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，又因?yàn)椋?，均為正?shù)，所以.（2）因?yàn)?，由條件可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，解得，把和，代入，求得，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，時，取得等號.內(nèi)蒙古自治區(qū)錫林郭勒盟2024屆高三上學(xué)期1月期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故，故選：B2.復(fù)數(shù)，，其中，為實(shí)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，為純虛數(shù)，則（）A. B. C.6 D.7【答案】A【解析】由題意，，因?yàn)闉閷?shí)數(shù)，為純虛數(shù)，所以，得，所以.故選：A.3.為了鼓勵學(xué)生積極鍛煉身體，強(qiáng)健體魄，某學(xué)校決定每學(xué)期對體育成績在年級前100名的學(xué)生給予專項(xiàng)獎勵.已知該校高三年級共有600名學(xué)生，如圖是該年級學(xué)生本學(xué)期體育測試成績的頻率分布直方圖.據(jù)此估計(jì)，該校高三年級學(xué)生體育成績的中位數(shù)為（）A.70 B.70.5 C.71.25 D.72【答案】C【解析】由給定的頻率分布直方圖，可得前2個矩形的面積為，前3個小矩形的面積為，所以學(xué)生體育成績的中位數(shù)位于之間，設(shè)學(xué)生體育成績的總位數(shù)為，可得分.故選：C.4.若，滿足約束條件，則的最大值為（）A.4 B.3 C. D.【答案】A【解析】由約束條件作出可行域如下圖：由圖可知，，由，可得，由圖可得當(dāng)直線過點(diǎn)時，直線在軸上的截距最大，所以故選：A5.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，所以為奇函數(shù)，此時可排除AC,由于當(dāng)時，，故此時可排除D，故選：B6.若，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知，得，則，所以.故選：C7.如圖，已知，為平面外一點(diǎn)，，點(diǎn)到兩邊，的距離分別為，，且，則點(diǎn)到平面的距離為（）A.4 B. C.2 D.【答案】B【解析】由于平面,平面,故,且，,因此,故，又,所以,平面，故平面，平面，故,同理可得又，因此四邊形為正方形，所以故選：B8.已知橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，所以，，因?yàn)椋?，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，所以離心率的范圍，故選：D.9.在三棱錐中，，，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意，畫出三棱錐，分別作出的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，所得圖形如下圖：根據(jù)中位線的性質(zhì)可得：，，且，，所以異面直線與所成角即為和所成銳角，由于，，所以在等邊中，，同理在等邊中，，故，所以為等邊三角形，故，所以在中，，，，故由余弦定理可得：，由于異面直線的夾角范圍為，所以異面直線與所成角為的補(bǔ)角，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B10.已知圓錐的母線長為，為底面的圓心，高，其軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，由題意可得，解得：，因此，該圓錐的體積為.故選：C11.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象，則下列說法錯誤的是（）A.B.C.函數(shù)為奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】D【解析】由函數(shù)（，，）的部分圖象，可得，可得，則，又由，可得，所以，因?yàn)椋?，所以A正確；由，可得，又由，所以B正確；將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，此時函數(shù)，所以為奇函數(shù)，所以C正確；由，可得，當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)不是單調(diào)遞減函數(shù)，所以D錯誤.故選：D.12.若過點(diǎn)可以作三條直線與曲線相切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，設(shè)切點(diǎn)為,，過切點(diǎn)的切線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)化簡為，即這個方程有三個不等式實(shí)根，令，求導(dǎo)得到，由，得，由，得，或，故函數(shù)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故得,結(jié)合，，當(dāng)時，，時，，得，故選：D．二、填空題13.已知向量，滿足，，，則______.【答案】【解析】由向量，滿足，，且，則，所以.故答案為：.14.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】對于雙曲線，其漸近線方程為,對于圓，有，圓心為，半徑為，漸近線被圓截得的弦長為，所以圓心到漸近線的距離為，由點(diǎn)到直線距離公式得：,則由則.故答案為：.15.從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為______.【答案】【解析】由從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，基本事件的總數(shù)為個，則抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件為：，共有15個，所以抽到的第一張卡片上的數(shù)不小于第二張卡片上的數(shù)的概率為.故答案為：.16.已知為銳角三角形，，，，是角，，分別所對的邊，若；且，則面積的取值范圍是______.【答案】【解析】在銳角中，由，得，即，由正弦定理得，而，則，又，則有，得，，由，解得，由正弦定理得，而，則，因此，由，得，即，于是，所以面積的取值范圍是.故答案為：三、解答題（一）必考題17.已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）求，，；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式解：（1）由條件可得，將代入，得，而，所以，將代入，得，所以，又，從而，，.（2）數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，理由如下：由條件可得，即，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列（3）由（2）可得，所以.18.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接.在底面中，因?yàn)椋?，由，可得，因?yàn)?，即，所以在中，，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：取的中點(diǎn)，連接，由，，可得為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫妫?，平面，所以?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，在等邊三角形中，，所以，可得，所以，，由平面，可得平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，可得，則，易知二面角的正弦值為.19.為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅(jiān)持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的9名隊(duì)員來自高一年級2人，高二年級3人，高三年級4人，本次決定比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊(duì)員進(jìn)行8場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍，亞軍和季軍，積分規(guī)則如下：每場比賽5局中以或3:1獲勝的隊(duì)員積3分，落敗的隊(duì)員積0分；而每場比賽5局中以獲勝的隊(duì)員積2分，落敗的隊(duì)員積1分，（1）求比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同年級的概率；（2）已知最后一輪比賽兩位選手是甲和乙，假設(shè)每局比賽甲獲勝概率均為0.6，①若設(shè)最后一輪每局比賽甲獲勝為事件，乙獲勝為事件，則事件與是什么關(guān)系，并求和；②記這輪比賽甲所得積分為求的概率分布列及數(shù)學(xué)期望.（1）解：由題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同年級的概率.（2）解：①事件與為對立事件，所以，，②的可能取值為，可得；；；.所以的分布列為01230.17920.138240.207360.4752所以期望為.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線和點(diǎn).點(diǎn)在上，且.