華師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試卷及答案

華師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期中考試試題一、選擇題。（每小題只有一個正確答案）1．下列根式是最簡二次根式的是（）A．B．C．D．2．下列運算正確的是（）A．B．C．D．3．已知關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C．且 D．無法確定4．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，下列說法中不正確的是A．B．C．△ADE∽△ABCD．5．某商品經(jīng)過連續(xù)兩次降價，售價由原來的每件25元降到每件16元，則平均每次降價的百分率為（）.A．； B．； C．； D．.6．如圖，在△ABC中，D、F分別是AB、BC上的點，且DF∥AC，若S△BDF：S△DFC=1：4，則S△BDF：S△DCA=（）A．1：16 B．1：18 C．1：20 D．1：247．如圖，點在線段上，在的同側(cè)作等腰和等腰，與、分別交于點、.對于下列結(jié)論：①；②；③.其中正確的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③8．在中，，則邊長為（）A．7 B．8 C．7或17 D．8或179．如圖，在直角中，延長斜邊到點C，使，連接，若tanB=，則的值（）A． B． C． D．10．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，則∠C1的度數(shù)為（）A．40° B．60° C．80° D．100°二、填空題11．若，則______________．12．一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣7x+10＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是_____．13．如圖，在一塊長為22m、寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路各與矩形一邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪面積為300m2．若設(shè)道路寬為xm，則根據(jù)題意可列方程為．14．如圖，在矩形ABCD中，點E為AB的中點，點F為射線AD上一動點，EF與AEF關(guān)于EF所在直線對稱，連接AC，分別交E、EF于點M、N，AB＝2，AD＝2．若EMN與AEF相似，則AF的長為_____．三、解答題15．（1）計算：（2）解下列方程①②（配方法）16．先化簡，再求值：，其中x滿足x2﹣4x+3＝0．17．已知關(guān)于的一元二次方程．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）如果方程的兩實數(shù)根為，且，求的值．18．小麗為校合唱隊購買某種服裝時，商店經(jīng)理給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購買不超過10件，單價為80元；如果一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，但單價不得低于50元．按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1200元．請問她購買了多少件這種服裝？19．如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點，AE＝ED，DF=DC，連結(jié)EF并延長交BC的延長線于點G，連結(jié)BE．（1）求證：△ABE∽△DEF．（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．20．如圖，在中，，，垂足分別為，．求證：（1）；（2）．21．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數(shù)式y(tǒng)2＋4y＋8的最小值．解：y2＋4y＋8＝y(tǒng)2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4，∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4，∴y2＋4y＋8的最小值是4.(1)求代數(shù)式m2＋m＋4的最小值；(2)求代數(shù)式4－x2＋2x的最大值；(3)某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上建一個長方形花園ABCD，花園一邊靠墻，另三邊用總長為20m的柵欄圍成．如圖，設(shè)AB＝x(m)，請問：當(dāng)x取何值時，花園的面積最大？最大面積是多少？22．在△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B為銳角且cosB＝．（1）求△ABC的面積．（2）求tanC．23．如圖，在△ABC中，點N為AC邊的任意一點，D為線段AB上一點，若∠MPN的頂點P為線段CD上任一點，其兩邊分別與邊BC，AC交于點M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．（1）如圖1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D為AB的中點時，則=，請證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D為AB的中點時，則=；（3）如圖3，若=k，BC=m，AC=n，請直接寫出的值．（用k，m，n表示）參考答案1．A【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，逐一驗證排除即可．【詳解】A．是最簡二次根式，故此選項正確；B．=，故此選項錯誤；C．=，故此選項錯誤；D．=，故此選項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，熟記最簡二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)二次根式的加減乘除運算法則進行計算即可．【詳解】A．，不能合并，故此選項錯誤；B．，故此選項錯誤；C．，故此選項正確；D．，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的混合運算是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】根據(jù)方程有實數(shù)根，分情況討論：方程為關(guān)于的一次方程時，則=0計算可得；方程為關(guān)于的二次方程時，且計算即可得，綜合二種情況即可．【詳解】根據(jù)題意知，若方程是關(guān)于的一次方程時，可得=0，解得=1；若方程為二次方程時，且，解得且，綜合二種情況可得，故選：B．【點睛】本題考查了方程的根的判定，分情況討論的思想，掌握分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．4．D【解析】∵在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，，∴.由此可知：A、B、C三個選項中的結(jié)論正確，D選項中結(jié)論錯誤.故選D.5．A【分析】可設(shè)降價的百分率為，第一次降價后的價格為，第一次降價后的價格為，根據(jù)題意列方程求解即可.【詳解】解：設(shè)降價的百分率為根據(jù)題意可列方程為解方程得，（舍）∴每次降價得百分率為故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的在銷售問題中的應(yīng)用，正確理解題意，找出題中等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.6．C【分析】根據(jù)等高三角形面積的比等于底的比和相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解出結(jié)果．【詳解】∵S△BDF：S△DFC=1：4，

∴BF：FC=1：4，

∴BF：BC=1：5，

∵DF∥AC，

∴△BFD∽△BCA，

∴，

設(shè)S△BFD=k，則S△DFC=4k，S△ABC=25k，

∴S△ADC=20k，

∴S△BDF：S△DCA=1：20．

故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形面積的比等于相似比的平方，注意各三角形面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．A【詳解】分析：（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證；（2）通過等積式倒推可知，證明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2轉(zhuǎn)化為AC2，證明△ACP∽△MCA，問題可證．詳解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正確∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正確∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四點共圓∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°-∠BAC-∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP?CM∵AC=AB∴2CB2=CP?CM所以③正確故選A．點睛：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判斷．在等積式和比例式的證明中應(yīng)注意應(yīng)用倒推的方法尋找相似三角形進行證明，進而得到答案．8．C【分析】由的余弦值得到它的度數(shù)，再分情況討論，畫出圖象，利用銳角三角函數(shù)求出BC的長．【詳解】解：∵，∴，如圖，當(dāng)是鈍角三角形時，∵，，∴，∵，∴，∴，如圖，當(dāng)是銳角三角形時，．故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握解直角三角形的方法，需要注意進行分類討論．9．D【分析】延長，過點作，垂足為，由，即，設(shè)，則，然后可證明，然后相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得：，進而可得，，從而可求．【詳解】解：如圖，延長，過點作，垂足為，，即，設(shè)，則，，，，，，，，．故選：．【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線，將放在直角三角形中．10．C【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等進而得出答案．【詳解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，則∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．故選：C．【點睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，正確得出對應(yīng)角度數(shù)是解題關(guān)鍵．11．5【分析】根據(jù)題意，把化簡整理得，代入所求代數(shù)式計算即可．【詳解】由題意得，，代入所求代數(shù)式，可得原式=，故答案為：5.【點睛】本題考查了分式的化簡求值，整體代換的思想，掌握整體代換的思想是解題的關(guān)鍵．12．12【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三邊關(guān)系得出各邊長，進而得出答案.【詳解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰長只能為5，5，底邊長為2，則其周長為：5+5+2＝12．故答案為：12．【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì).13．（22－x）（17－x）=300.【分析】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程．【詳解】設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，由題意有（22﹣x）（17﹣x）=300，故答案為（22﹣x）（17﹣x）=300．14．1或3【分析】分兩種情形①當(dāng)EM⊥AC時，△EMN∽△EAF．②當(dāng)EN⊥AC時，△ENM∽△EAF，分別求解．【詳解】解：①當(dāng)EM⊥AC時，△EMN∽△EAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠B＝90°，∴tan∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠AEM＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AF＝AE?tan30°＝＝1，②當(dāng)EN⊥AC時，△ENM∽△EAF，由（1）可知，∠CAB＝30°，EN⊥AC∴∠AEN=∠MEN=60°，∵，∴，∴，∴AF＝3，故答案為：1或3．【點睛】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．15．（1）①，②；（2）①，；②，【分析】（1）①先把每個二次根式進行化簡，化成最簡二次根式，然后進行合并計算即可；②先把每個式子進行化簡，利用最簡二次根式，二次根式平方的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，化簡后進行計算即可；（2）①先去括號，把一元二次方程化簡為一般形式，然后利用因式分解法解方程即可；②利用配方法直接求解一元二次方程即可．【詳解】（1）①原式，，故答案為：；②原式，，故答案為：；（2）①把原方程化簡為：，，，解得：或，故答案為：或；②原方程可化為：，，解得：或，故答案為：或．【點睛】本題考查了二次根式的化簡計算，絕對值的性質(zhì)，二次根式平方的性質(zhì)，一元二次方程的解法，掌握計算的方法是解題的關(guān)鍵．16．化簡結(jié)果是，求值結(jié)果是：．【分析】先根據(jù)分式混合運算的法則把原式進行化簡，再求出x的值代入進行計算即可．【詳解】解：原式＝＝＝＝，∵x滿足x2﹣4x+3＝0，∴(x-3)(x-1)＝0，∴x1＝3，x2＝1，當(dāng)x＝3時，原式＝﹣＝；當(dāng)x＝1時，分母等于0，原式無意義．∴分式的值為．故答案為：化簡結(jié)果是，求值結(jié)果是：.【點睛】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則及解一元二次方程的能力．17．（1）證明見詳解．（2）的值為3或.【分析】（1）根據(jù)，即可證明方程有兩個不相等的實數(shù)根（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，通過變形計算即可求出答案．【詳解】解：（1）證明：∵==∴該方程有兩個不相等的實數(shù)根．（2）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得：，．∵，∴，即，化簡，得，解得，，∴的值為3或.【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練運用根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解法，本題屬于中等題型．18．解：設(shè)購買了x件這種服裝，根據(jù)題意得：，解得：x1=20，x2=30．當(dāng)x=30時，80﹣2（30﹣10）=40（元）＜50不合題意舍去．答：她購買了30件這種服裝．【詳解】試題分析：根據(jù)一次性購買多于10件，那么每增加1件，購買的所有服裝的單價降低2元，表示出每件服裝的單價，進而得出等式方程求出即可．19．（1）見解析；（2）BG=BC+CG=10．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，可得∠A=∠D，根據(jù)已知可得AE：AB=DF：DE，根據(jù)有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根據(jù)相似三角形的預(yù)備定理得到△EDF∽△GCF，再根據(jù)相似的性質(zhì)即可求得CG的長，那么BG的長也就不難得到.【詳解】（1）證明：∵ABCD為正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°.∵AE=ED，∴AE：AB=1：2.∵DF=DC，∴DF：DE=1：2，∴AE：AB=DF：DE，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD為正方形，∴ED∥BG，∴△EDF∽△GCF，∴ED：CG=DF：CF.又∵DF=DC，正方形的邊長為4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10.【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.20．（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得，，再由，得到，然后根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到結(jié)論；（2）由得到，再證明出，利用，從而證明出即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）四邊形為平行四邊形，，，，，，；（2），，而，①，，，，而，，而，②，由①②得，，．【點睛】本題考查了平行四邊行的性質(zhì)應(yīng)用，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（1）；（2）5；（3）當(dāng)x=5m時，花園的面積最大，最大面積是50m2．【詳解】試題分析：(1)、將原式進行配方，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出最小值；(2)、將原式進行配方，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出最大值；(2)、根據(jù)題意得出代數(shù)式，然后進行配方得出最值.試題解析：(1)、m2+m+4=（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，則m2+m+4的最小值是；(2)、4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，則4﹣x2+2x的最大值為5；(3)、由題意，得花園的面積是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此時x=5，則當(dāng)x=5m時，花園的面積最大，最大面積是50m2．考點：一元二次方程的應(yīng)用22．（1）12；（2）2．【分析】（1）如圖，過點A作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH即可解決問題．（2）解直角三角形求出AH，CH即可解決問題．【詳解】（1）如圖，過點A作AH⊥BC于H．∵cosB=，∴∠B=60°，∴BH=AB?cosB=8=4，AH=，∴S△ABC=?BC?AH=×6×=；（2）在Rt△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=，CH=BC﹣BH=7﹣4=2，∴tanC．【點睛】本題考查了解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．23．（1）1，證明見解析；（2）