【2018中考數(shù)學真題+分類匯編】一期42綜合性問題試題含解析【2018數(shù)學中考真題分項匯編系列】

綜合性問題

一、選擇題

1.（2018?湖北省孝感?3分）如圖，AABC是等邊三角形，△ABD是等腰直角三角形，NBAD=90°,AE_LBD于點E,

連CD分別交AE,AB于點F,G,過點A作AH_LCD交BD于點H.則下列結論：①NADO15。；②AF;AG；③AH=DF；④

△AFG^ACBG：⑤AF=（“-1）EF.其中正碓結論的個數(shù)為（）

【分析】①由等邊三角形與等腰直角三角形知ACAD是等腰三角形且頂角NCAD=15D°,據(jù)此可判斷；②求出NAFP和

NFAG度數(shù)，從而得出NAGF度數(shù)，據(jù)此可判斷；③證△ADFgZ\BAH即可判斷；④曰/AFG=NCBG=60°、ZAGF=ZCGB

即可得證；⑤設PF=x,則AF=2x、AP=AyAF2_pF2=V3x>設EF=a,由△ADFgaBAH知BH=AF=2x,根據(jù)4ABE是等腰

直角三角形之BE二AE=a+2x,據(jù)此得出EH=a,證△PAFs^EAH得里處，從而得出a與x的關系即可判斷.

EHAE

【解答】解：:△ABC為等邊三角形，4ABD為等腰直角三角形，

AZBAC=60°、ZBAD=90°、AC=AB=AD,ZADB=ZABD=45°,

???△CAD是等腰三角形，且頂角NCAD=150°,

???NADC=15°,故①正確;

VAE1BD,即NAED=90°,

/.ZDAE=45°,

：.ZAFG=ZADC+ZDAE=60°,NFAG=45°,

AZAGF=75°,

由NAFGW/AGF知AFWAG,故②錯誤；

記AH與CD的交點為P,

D.

由AHJ_CD且NAFG=60°知NFAP=30°，

則NBAH=NADC=15°,

在AADF和ABAH中，

'NADF二NBAH

:DA=AB，

ZDAF=ZABH=45°

AAADF^ABAH（ASA）,

???DF=AH,故③正確；

VZAFG=ZCBG=60°,ZAGF=ZCGB,

AAAFG^ACBG,故④正確；

在RtaAPF中，設PF=x,則AF=2x、AP=^AF2_pF2=V3x,

設EF=a,

VAADF^ABAH,

???BH=AF=2x,

△ABE中，VZAEB=90°、ZABE=45°,

.\BE=AE=AF+EF=a+2x,

AEH=BE-BH=a+2x-2x=a,

VZAPF=ZAEH=90°,ZFAP=ZHAE,

/.△PAF^AEAH,

.PFAPnnx-V3x

EHAEaa+2x

整理，得：2x2=（V3~1）ax,

由xWO得2x=（V3-1）a,即AF=（5?1）EF,故⑤正確；

故選：B.

【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形與

相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點.

2.（2018*山東濰坊?3分）如圖，菱形ABCD的邊長是4厘米，ZB=60°,動點P以1厘米杪的速度自A點出發(fā)

沿AB方向運動至B點停止，動點Q以2厘米/秒的速度自B點出發(fā)沿折線BCD運動至D點停止.若點P、Q同時出發(fā)

運動了t秒，記△BPQ的面積為S厘米2,下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關系的是（)

【分析】應根據(jù)0WtV2和2<tV4兩種情況進行討論.把t當作己知數(shù)值，就可以求出S,從而得到函數(shù)的解析式,

進一步即可求解.

【解答】解：當0WtV2時，S=2tx1x（4-t）=-V3t2+4V3t：

2

當2WIV4時，S=4X返X（4-t）=-2V3t+8V3；

2

只有選項D的圖形符合.

故選：D.

【點評】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，利用圖形的關系求函數(shù)的解析式，注意數(shù)形結合是解決本題的關鍵.

3.（2018?安徽?4分）如圖，直線1］、％都與直線1垂直，垂足分別為M,N,MN=1,正方形ABCD的邊長為亞，對

角線AC在直線/上，且點C位于點M處，將正方形ABCD沿1向右平移，直到點A與點N重合為止，記點C平移的距

離為x,正方形ABCD的邊位于卜匕之間分的長度和為丫，則y關于x的函數(shù)圖象大致為（）

【答案】A

【解析】【分析】由已知易得AC=2,ZACD=45°,分OWxWl、1<XW2、2GW3三種情況結合等腰直角三角形的性質(zhì)

即可得到相應的困數(shù)解析式，由此即口」判斷.

【詳解】由正方形的性質(zhì)，已知正方形ABCD的邊長為電，易得正方形的對角線AC=2,ZACDM50,

如圖，當OWxWl時，y=2必二=2億，

如圖，當l<x<2時，y=2揚+2亞=2揚（m+n）=2亞,

【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，涉及到正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等，結

合圖形正確分類是解題的關鍵.

4.（2018?浙江舟山-3分）歐幾里得的《原本》記載，形如x?+ax=b?的方程的圖解法是；畫RtAABC,使NACB=90°,

BC=號，AC=b,再在斜邊AB上截取BD=號。則該方程的一個正根是（

A.AC的長

B.AD的長

C.BC的長

D.CD的長

【考點】一元二次方程的根，勾股定理

【分析】由勾股定理不難得到AC2+BC2=AB2=(AD+BD)2,代入b和a即可得到答案【解析】【解答】解：在RtAABC

中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2=(AD+BD)2,

因為AC=b,BD=BC5,

所以「(號『=(3+號J

整理可得AD2+aAD=b2,與方程x?+ax=b〉相同，

因為AD的長度是正數(shù)，所以AD是x?+ax=b〉的一個正根

故答案為民

【點評】本題考查了一元二次方程的根與勾股定理的綜合運用，注意D是x?+ax=b2的一個正根.

5.(2018?重慶?4分)如圖，已知力8是。的直徑，點產(chǎn)在物的延長線上，加與。相切于點〃，過點8作如

的垂線交⑶的延長線于點C,若O的半徑為4,BC=6,則處的長為

A.4B.2\/5C.3D.2.5

9題圖

【考點】圓的切線、相似三角形.

【解析】作明L&7于點〃易證△尸叱△陽G.?P.UO=±0HM,...2P4L+_i4=24,...e4=4

PBBCPA+86

【點評】此題考查圓切線與相似的結合，屬于基礎題

x-\1+x

3.(2018?重慶(A)-4分)若數(shù)。使關于大的不等式組(三一,亍有且只有四個整數(shù)解，且使關于y的方程

5x-2>x+cr

*+且=2的解為非負數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)。的和為()

y-11-y

A.-3B.-2C.1D.2

【考點】不等式組和分式方程的應用

【分析】解關于x的不等式組，根據(jù)題意求出。的取值范圍，然后解關于V的方程，

排除分式方程無解的情況，結合不等式組的結果，找出符合條件的所有整數(shù)a并求其和.

x-l1+xx<5

~2~<^~得.則0</41,解得

【解答】解不等式《、c+2

x>------4

5x-2>x+a4，由于不等式有四個整數(shù)解，根據(jù)題意,

—2<a<2>解分式方程'+"+2"=2y=2-aa<2

y-i{~y得，又需排除分式方程無解的情況，故且.結合不等式

-2<a<2Ra^\-1,0,2

組的結果有a的取值范圍為，又a為整數(shù)，所以a的取值為，和為1.故選C

【點評】此題考查不等式組和分式方程的應用，需要特別注意分式方程無解情況的考慮，屬于中檔題

二.填空題

1.（2018?浙江寧波-4分）如圖，正方形ABCD的邊長為8,M是AB的中點，P是BC邊上的動點，連結PM,以點P

為圓心，PM長為半徑作OP.當G）P與正方形ABCD的邊相切時，BP的長為3或4立.

【考點】切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理

【分析】分兩種情形分別求解：如圖1中，當?P與直線CD相切時；如圖2中當。P與直線AD相切時.設切點為K,

連接PK,則PK_LAD,四邊形PKDC是矩形；

【解答】解：如圖1中，當。P與直線CD相切時，設PC=PM=m.

A

在oRt△PBM中，VPM2=BM2+PB2,

/.X2=42+(8-x))

/.x=5,

/.PC=5,BP=BC-PC=8-5=3.

如圖2中當。P與直線AD相切時.設切點為K,連接PK,則PK_LAD,四邊形PKDC是矩形.

/.PM=PK=CD=2BM,

ABM=4,PM=8,

在RtZXPBM中，PB=^g2_42=4V3.

綜上所述，BP的長為3或4傷.

【點評】本題考查切線的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學

會利用參數(shù)構建方程解決問題.

2.（2018?浙江寧波?4分）如圖，在菱形ABCD中，AB=2,/B是銳角，AE_LBC于點E,M是AB的中點，連結MD,

ME.若NEMD=90°,則cosB的值為6T.

一2一

A,D

n/

BEC

【考點】菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì).

【分析】延長DM交CB的延長線于點H.首先證明DE=EH,設BE=x,利用勾股定理構建方程求出x即可解決問題.

【解答】解：延長DU交CB的延長線于點H.

A_______D

H...........BEC

???四邊形A3CD是菱形，

.?.AB=BC=AT'=2,AD/7CII,

:.ZADM=ZH,

VAM=BM,ZAMD=ZHMB,

/.AD=HB=2,

VEMXDH,

/.EH=ED,設BE=x,

VAE±BC,

；.AE_LAD,

:.ZAEB=ZEAD=90°

VAE2=AB2-BE2=DE2-AD2,

r.22-x2=(2+x)Z-2\

z.x=V3-lag-V3-1(舍棄)，

AB2

故答案為此L.

2

【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵

是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型.

3.（2018?湖北荊門?3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，函數(shù)y=K（k>0,x>0）的圖象經(jīng)過菱形OACD的頂點

x

D和邊AC的中點E,若菱形OACD的邊長為3,則k的值為_2加

【分析】過D作DQJ_x軸于Q,過C作CMJ_x軸于M,過E作EF_Lx軸于F,設D點的坐標為（a,b）,求出C、E的

坐標，代入函數(shù)解析式，求出a,再根據(jù)勾股定理求出b,即可請求出答案.

【解答】解：過D作DQ_Lx軸于Q,過C作CM_Lx軸于M,過E作EF_Lx軸于F,

設D點的坐標為（a,b）則C點的坐標為（a+3,b）,

???E為AC的中點,

EF』MJb，AF工M=L）Q=L

22222

E點的坐標為（3+工，lb）,

22

把I）、E的坐標代入y=K得：k=ab=（3+la）」4）,

x22

解得：a=2,

在RtZ\DQO中，由勾股定理得:a+b2=32,

即22+9=9,

解得：b=V5（負數(shù)舍去），

k=ab=2

故答案為：2證.

【點評】本題考查了勾股定理、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、菱形的性質(zhì)等知識點，能得出關于a、b的方程是

解此題的關鍵.

4.（2018?山東濰坊?3分）如圖，正方形ABCD的邊K為］,點A與原點重合，點B在y軸的正半軸上，點D在x軸

的負半軸上，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°至正方形AB'C'D'的位置，B'C'與CD相交于點M,則點M的

坐標為（-1,近）.

-------3-

【分析】連接AM,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知AD=AB'=1、/BAB'=30°、NB'AD=60°,證EtAADMgRtAAB'M得NDAM二!/

2

B'AD=30°,由DM=ADtanNDAM可得答案.

???將邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形AB'C'D',

AAD=AB,=1,NBAB'=30°,

AZB,AD=60°,

在RtAADM和RtZWM中，

...[AD=AB'

,lAM=AM'

.*.RtAADM^RtAAB/M(HL),

???NDAM二NB'AM二工NB'AD=30°,

2

工DM=ADtarZDAM=1X

33

，點M的坐標為（?1,1），

3

故答案為：（?1,退）.

3

【點評】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的不變性與正方形的性質(zhì)、全等三角

形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的應用.

5.（2018?湖北省孝感?3分）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A的坐標為（-1,1）,點B在x軸

IF半釉卜.點D在第二象限的雙曲線y=2卜.過點C作小〃乂軸交雙曲線于點E,連接BE.則ABCF,的面積為7

【分析】作輔助線，構建全等三角形：過D作GH_Lx軸，過A作AG_LGH,過B作BM_LHC于M,證明4AGD絲ADHCg

△CMB,根據(jù)點D的坐標表示：AG=DH=-x-1,由DG=BM,列方程可得x的值，表示D和E的坐標，根據(jù)三角形面積

公式可得結論.

【解答】陋：過D作GH_Lx軸，過A作AG_LGH,過B作BMJ_HC丁M,

設D(x,A),

X

???四邊形ABCD是正方形，

.\AD=CD=BC,ZADC=ZDCB=90°,

易得△AGDgZ\DHCgACMB,

.\AG=DH=-x-1,

ADG=BM,

A1--1-x-A,

XX

x=-2,

AD(-2,-3),CH=DG=BM二1-邑4,

-2

VAG=DH=-1-x=l,

，點E的縱坐標為-4,

當y=-4時，x=-二，

2

.??E(-Z-4),

2

AEH=2-W=L

22

ACE=CH-EE=4-)工，

22

:.SAUEB=1￡E*BM=^X-Lx4=7；

222

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學

知識解決問題，學會構建方程解決問題，屬于中考填空題的壓軸題.

6.（2018?山東泰安?3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=10,將矩形ABCD沿BE折疊，點A落在A'處，若EA'

的延長線恰好過點C,則sinNABE的值為_逗」.

【分析】先利用勾股定理求出A'C,進而利用勾股定理建立方程求出AE,即可求巴BE,最后用三角函數(shù)即可得出結

論.

【解答】解：由折疊知，A'E=AE,A'解AB=6,NBA'E=90。，

，NBA'090°,

在RlZ\A'CB中，A*C=^BC2_A/B2=8,

設AE=x,則A'E=x,

JDE=10-x,CE=A'C+A*E=8+x,

在RtaCDE中，根據(jù)勾股定理得,（10-x）2+36=（8+x）2,

:.x=2,

AAE=2,

在RlZXABE中，根據(jù)勾股定理得，

BE=^AB2+AE2=2V10?

...sinZ>A.BnEr=-AiE=^T￥10,

BE10

故答案為：逗.

10

【點評】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，充分利用勾股定理求出線段AE是解本題的關鍵.

7.（2018?山東泰安?3分）如圖，在aABC中，AC=6,BC=10,tanC=W,點D是AC邊上的動點（不與點C重合），

過D作DE_LBC,垂足為E,點F是BD的中點，連接EF,設CD=x,ZXDEF的面積為S,則S與x之間的函數(shù)關系式為

【分析】可在直角三角形CED中，根據(jù)DE、CE的長，求出ABED的面積即可解決問題.

【解答】解：(1)在RtaCDE中，tanC=S,CD=x

4

DE=-5J(,CE=AX,

55

/.BE=10--lx,

5

ASABEF-^X(10-AX)-SX=?&X?+3X.

25525

VDF=BF,

:.S=-^-SABED=

2

故答案為S=

【點評】本題考查解直角三角形，三角形的面積等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

8.(2018?山東威海?3分)用若干個形狀、天小完全相同的矩形紙片圍成正方形，4個矩形紙片圍成如圖①所示的

正方形，其陰影部分的面積為12；8個矩形紙片圍成如圖②所示的正方形，其陰影部分的面積為8；12個矩形紙片圍

成如圖③所示的正方形，其陰影部分的面積為44-16%.

□圖①圖②圖③

【分析】圖①中陰影部分的邊長為J正2、代，圖②中，陰影部分的邊長為傳2a；設小矩形的長為a,寬為b,依

據(jù)等量關系即可得到方程組，進而得出a,b的值，即可得到圖③中，陰影部分的面積.

【解答】解：由圖可得，圖①中陰影部分的邊長為近025,圖②中，陰影部分的邊長為證=2加；

設小矩形的長為a,寬為b,依題意得

ra=b+2V3

a=2b+2&'

解得產(chǎn)隼邛,

b=273-25/2

???圖③中，陰影部分的面積為(a-3b)2=(4V3-2V2-673+672)2=44-16代，

故答案為：44?16泥.

【點評】本題主要考查了二元一次方程組的應用以及二次根式的化簡，當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關

的另一些量為未知數(shù)，即為間接設元.無論怎樣設元，設幾個未知數(shù)，就要列幾個方程.

三.解答題

1.(2018?山西?13分)綜合與探究

11

如圖，拋物線y=2一§%一44與X軸交于力”兩點(點力在點8的左側)與y軸交于點C,連

接

AC,BC.英、P是第四象限內(nèi)拋物線上的一個動點，點尸的橫坐標為加，過點尸作PMLx軸，垂足為點M,

PM交BC于點、Q,過點尸作月?〃然交x軸于點￡,交火于點尸.

(1)求4,B,C三點的坐標；

(2)試探究在點尸的運動的過程中，是否存在這樣的點0,使得以4,C,0為頂點的三角形是

等腰三角形.若存在，請算蝌出此時點0的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)請用含m的代數(shù)式表示線段〃的長，并求出R為何值時。尸有最大值.

【考點】幾何與二次函數(shù)綜合

【解析】

11…

(1)解：由y=0,得2-3工-4=。

解得司=-3,丹=4.

/.點/，笈的坐標分別為A(-3,0),B(4,0)

由X=0,得y=_4.點C的坐標為C(0,-4).

(2)答：Q/柒，孑—4),Q(1,-3).

22

（3）過點尸作尸G1困于點G.

則FG//x軸.由B(4,0)C（0,-4）得8仍等腰直角三角形.

x/2

Z.OBC=Z.QFG=45°.GQ=FG=rFQ.

乙

PE//ACtZl=Z2.

FG//A■軸，Z2=Z3.Zl=Z3.

Z.FGP=Z.AOC=9(F,△/必a

..型■包，即空■以

AOOC34

GP=^FG=Y^FQ=殍FQ

QP=GQ+GP=號FQ+^^

????Lx軸.點P的橫坐標為miMBQ=45°.

QM?MB?A-mPM---m2+—m+4.

33

:.QP=PM-QM=—+4—(4—m)——^/w2+g/n.

Q尸有最大值.

4注

2時,Q戶石最大值.

2.（2018?山東棗莊?10分）如圖1,已知二次函數(shù)y=ax2+^-x+c（aWO）的圖象與y軸交于

2

點A（0,4）,與x軸交于點B、C,點C坐標為（8,0）,連接AB、AC.

（1）請直接寫出二次函數(shù)y=ax2+^-x+c的表達式；

2

精品文檔15

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(3)若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時

點N的坐標；

(4)如圖2,若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合)，過點N作NM〃AC,交AB于點

M,當AAMN面積最大時，求此時點N的坐標.

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

(2)根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標，然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20,AC2=80,BC10,

然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△ABC是直角二角形.

(3)分別以A、C兩點為圓心，AC長為半徑畫弧，與x軸交于三個點，由AC的垂直平分線

與x軸交于一個點，即可求得點N的坐標；

(4)設點N的坐標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MDJ_x軸于點D,根據(jù)三角形相似對應

邊成比例求得Ml)-—(n+2),然后根據(jù)-SABMN

5

得出關于n的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)解析式求得即可.

【解答】解：(1)???二次函數(shù)尸a?+昌(+c的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、

2

C,點C坐標為(8,0),

.(c=4

l64a+12+c=0,

解得《a—

x=4

，拋物線表達式：y=-L、Sx+4；

42

(2)△ABC是直角三角形.

令y=0,則--X2+-^X+4=0,

42

解得Xi=8,X2=-2,

???點B的坐標為(-2,0),

由已知可得，

在RtAABO中AB2=B02+A02=22+42=20,

精品文檔16

在RtAAOC中AC2=A02+C02=42+82=80,

又???BC=OB+OC=2+8:10,

AffiAABC中AB2+AC2=20+80=10=BC2

/.△ABC是直角三角形.

（3）VA（0,4）,C（8,0）,

??AC]42+8

①以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N,此時N的坐標為（?8,0）,

②以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于N,此時N的坐標為（8-4泥，0）或（8+4泥,

0）

③作AC的垂直平分線，交x軸于N,此時N的坐標為（3,0）,

綜上，若點N在x軸上運動，當以點A、N、C為頂點的三角形是等腰三角形時，點N的坐標

設點N的坐標為(n,0),則BN=n+2,過M點作MD_Lx軸于點D,

AMD/ZOA,

/.△BMD^ABAO,

?BM.MD

??前項’

VMN/7AC

?BM_BN

?言而，

?OD.BN

一瑞而，

V0A=4,BC=10,BN=n+2

???MD=Z(n+2),

5

,**SZ\AWFSZSABN_SzsBMX

=_LBN?OA-JUSWMD

22

精品文檔17

=工（n+2）X4-工x2（n+2）2

225

=--（n-3）2+5,

5

當n=3時，Z\AMN面積最大是5,

???N點坐標為（3,0）.

???當AAMN面積最大時,N點坐標為（3,0）.

【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題，解（1）的關鍵是待定系數(shù)法求解析式，解（2）的關鍵

是勾股定理和逆定理，解（3）的關鍵是等腰三角形的性質(zhì)，解（4）的關鍵是三角形相似的

判定和性質(zhì)以及函數(shù)的最值等.

3.（2018?山東淄博?8分）如圖，以AB為直徑的O0外接于AABC,過A點的切線AP與

BC的延長線交于點P,NAPB的平分線分別交AB,AC于點D,E,其中AE,BI）（AEVBD）的

長是一元二次方程x2-5x+6=0的兩個實數(shù)根.

（1）求證：PA?BD=PB?AE；

（2）在線段BC上是否存在一點M,使得四邊形ADME是菱形？若存在，請給予證明，并求

其面積；若不存在，說明理由.

【考點】MR：圓的綜合題.

【分析】（1）易證NAPE二NBPD,ZEAP=ZB,從而可知△PAEs^PBD,利用相似三角形的性

質(zhì)即可求出答案.

PAPB

（2）過點D作DF_LPB于點F,作DG_LAC于點G,易求得AE=2,BD=3,由（1）可知：=,

23

從而可知COS/BDF=COSNBAC=COS/APC=2,從而可求出AD和DG的長度，進而證明四邊形

3

ADFE是菱形，此時F點即為M點，利用平行四邊形的面積即可求出菱形ADFE的面積.

【解答】解:（1）〈DP平分NAPB,

:.ZAPE=ZBPD,

???AP與€）0相切,

精品文檔18

工/BAP=NBAC+NEAP=90°,

〈AB是。0的直徑，

AZACB=ZBAC+ZB=90°,

AZEAP=ZB,

/.△PAE^APBD,

.PAPB

??施而

???PA?BD=PB?AE；

(2)過點D作DF_LPB于點F,作DG_LAC于點G,

〈DP平分/APB,

AD±AP,DF_LPB,

AAD=DF,

VZEAP=ZB,

:.ZAPC=ZBAC,

易證：DF〃AC,

/.ZBDF=ZBAC,

由于AE,BD(AE<BD)的長是x??5x+6=0,

解得：AE=2,BD=3,

??.由(1)可知：:A,

23

?,.COSNAPC=￡2,

PB3

:.cosZBDF=cosZAPC=—,

3

??--D-F-二2,

BD3

/.DF=2,

ADF=AE,

???四邊形ADFE是平行四邊形，

VAD=AE,

???四邊形ADFE是菱形，

此時點F即為M點，

???COSNBAOCOSNAPC=2,

3

.,?sinNBAcH^,

3

精品文檔19

?DGV5

?----=---'

AD3

/.DG=-^Z^,

3

???在線段BC上是否存在一點M,使得四邊形ADME是菱形

其面積為：DG?AE=2x22醫(yī)里5

33

【點評】本題考查圓的綜合問題，涉及圓周角定理，銳角三角函數(shù)的定義，平行四邊形的判

定及其面積公式，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合程度較高，考查學生的靈活運用知識的能

力.

4.（2018?山東淄博?9分）（1）操作發(fā)現(xiàn)：如圖①，小明畫了一個等腰三角形ABC,其中AB=AC,

在4ABC的外側分別以AB,AC為腰作了兩個等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC

的中點M,N,G,連接G\LGN.小明發(fā)現(xiàn)了：線段GM與GN的數(shù)量關系是MG=NG；位置

關系是MGJNG.

（2）類比思考:

如圖②，小明在此基礎上進行了深入思考.把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形，其中

AB>AC,其它條件不變，小明發(fā)現(xiàn)的上述結論還成立嗎？請說明理由.

（3）深入研究：

如圖③，小明在（2）的基礎上，又作了進一步的探究.向4ABC的內(nèi)側分別作等腰直角三

角形ABD,ACE,其它條件不變，試判斷△GMN的形狀，并給與證明.

【考點】KY：三角形綜合題.

【分析】（1）利用SAS判斷出△ACDgZXAEB,得出CD=BE,ZADC=ZABE,進而判斷出NBDC+

ZDBH=90°,即：NBHD=90°,最后用三角形中位線定理即可得出結論；

精品文檔20

（2）同（1）的方法即可得出結論；

（3）同（1）的方法得出MG二NG,最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結論.

【解答】解：（1）連接BE,CD相較于H,

???△ABD和4ACE都是等腰直角三角形，

AAB=AD,AC=AE,ZBAD=ZCAE=99°

:.ZCAD=ZBAE,

/.△ACD^AAEB（SAS）,

/.CD=BE,NADONABE,

:.ZBDC+ZDBH=ZBDC+ZABD+ZABE=ZBDC+ZABD+ZADC=ZADB+ZABD=90",

/.ZBHD=90°,

ACD1BE,

丁點M,G分別是BD,BC的中點，

.?.MGX-ICD,

2

同理：NG幺%E,

2

AMONG,MG±NG,

故答案為：MG=NG,MG1NG；

D￡DA

（2）連接CD,BE,相較于H,

同⑴的方法得,MG=NG,MG1NG；

（3）連接EB,DC,延長線相交于H,

同⑴的方法得,MG=NG,

同（1）的方法得，△ABE^^ADC,

:.ZAEB=ZACD,

:.ZCEH+ZECH=ZAEH-ZAEC+1800-ZACD-ZACE=ZACD-45°+180°-ZACD-

45°=90°,

???NDHE=90°，

精品文檔21

同⑴的方法得,MG1NG.

【點評】此題是三角形綜合題，主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

平行線的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，正確作出輔助線用類比的思想解決問題是解本

題的關鍵.

5.(2018?山東淄博?9分)如圖，拋物線y=ax2+bx經(jīng)過aOAB的三個頂點，其中點A(l,?),

點B(3,?“)，0為坐標原點.

(1)求這條拋物線所對應的函數(shù)表達式；

(2)若P(4,m),Q(t,n)為該拋物線上的兩點，且nVm,求t的取值范圍；

(3)若C為線段AB上的一個動點，當點A,點B到直線0C的距離之和最大時，求NB0C

的大小及點C的坐標.

【考點】HF：二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)將已知點坐標代入即可；

(2)利用拋物線增減性可解問題；

(3)觀察圖形，點A,點B到直線0C的距離之和小于等于AB；同時用點A(1,5),點B

(3,-“)求出相關角度.

【解答】解：(1)把點A(1,乃)，點B(3,-V3)分別代入y=ax?+bx得

fV3=a+b

I-^3=9a+3b

解3r_r_2AV3

"竽x2挈X

(2)由(1)拋物線開口向下，對稱軸為直線x=^

4

當x＞也時，y隨x的增大而減小

4

精品文檔22

,當t>4時，n<m.

（3）如圖，設拋物線交x軸于點F

分別過點A、B作AD_LOC于點D,BE_LOC于點E

???AD+BE2AC+BE=AB

???當OC_LAB時，點A,點B到直線0C的距離之和最大.

VA（1,6），點B（3,-V3）

AZA0F=60°,ZB0F=30°

:.ZA0B=90°

:.ZAB0=30°

當OC_LAB時，ZB0C=60°

點C坐標為（立返）.

22

【點評】本題考查綜合考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線的增減性.解答問題時

注意線段最值問題的轉(zhuǎn)化方法.

6.（2018?四川成都?9分）在田」.加。中，Z-15C=90°,?匹用,HC=2,過

點8作直線mHAC,將JABC繞點、C順時針得到dA'B'C（點、$B的對應點分別

為1,8'）射線CAf,C5'分別交直線加于點P,

Q

（1）如圖1,當尸與X'重合時，求N4C4'的度數(shù)；

⑵如圖2,設1》與5c的交點為M,當M為18'的中點時，求線段尸。的長;

精品文檔23

(3)在旋轉(zhuǎn)過程時，當點尸，。分別在CAf,C5'的延長線上時，試探究四邊形

尸.’5'0的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形尸,「5'0的最小面積；若不存在,

請說明理由.

【答案】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AC=A'C=2.VZJCB=90°,milAC,

.r—J/C-庭-更

/./.A'BC=90°,?,cos4-2,/.ZJ*CB=30°,

???ZJCJ'=60°.

(2)為H8的中點，/.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ZA/J*C=ZJ,

/.ZJ="CM.

tanZPCB=tanZJ="y：.PB=^-BC=

vtanZOManZPC^f,-J邛喟=2

1?PQ=PB+BQ=W

(3)?；Sp、B0=SjpC0-Sj^cB=Sjpcg一心,

1回

?最小，S/>C0即最小，?5尸°x5C="y尸2

法一：(幾何法)取尸。中點G,則/尸。。=90。.

???CG=^PO

當CG最小時，尸。最小，「?CGJ_尸。，即CG與C3重合時，CG最小.

；?CG5=G尸2mm=2收，(SJPC0tm=3,Sp@=3-5

法二：(代數(shù)法)設P3=x,Bp=y,

由射影定理得：芍'=3,二當尸。最小，即X+)'最小，

「.(x+y)2=x2+*+2xy=x2+*+622xy+6=12.

當x=y=小時，“=”成立，?.?尸0=6+6=2后.

【考點】三角形的面積，解直角三角形，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AC=A'C=2f根據(jù)已知易證m〃AC,得出

NA'BC是直角，利用特殊角的三角函數(shù)值，可求出NA'CB的度數(shù)，就可求出結果。

(2)根據(jù)中點的定義及性質(zhì)的性質(zhì)，可證得/A=NA'CM,利用解直角三角形求出PB和BQ

的長，再根據(jù)PQ=PB+BQ,計算即可解答。

(3)根據(jù)已知得出四邊形FA'B'Q的面積最小，則4PCQ的面積最小，可表示出4PCQ的面

精品文檔24

積，利用幾何法取尸。中點G,則/尸。。=90。，得出PQ=2CG,當CG最小時，則PQ

最小根據(jù)垂線段最短，求出CG的值，從而可求出PQ的最小值，就可求出四邊形FA'B'Q面

積的最小值。也可以利用代數(shù)式解答此題。

__5_

7.（2018?四川成都?12分）如圖，在平面直角坐標系工。、中，以直線12為對稱軸

的拋物線尸G2+加+（7與直線/3=去+“%>0）交于?L1）,B兩點,與軸交

點.

（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）設直線/與拋物線的對稱軸的交點為尸、G是拋物線上位于對稱軸右側的一點，若

3

-

=4

且」5CG與」BC。面積相等，求點G的坐標;

（3）若在x軸上有且僅有一點P,使￡APB=90。，求才的值.

立5

-

-=2

2a

【答案】（1）由題可得：S+b+c=l.解得。=1,b=-5,c=5.7?二次函數(shù)解析

式為：y="_5x+5.

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3a9U\

=-2-I

2,4

21/

k+m=L

11

--

匕+

9-12X2Iy\o

同理，9=一>+5

SJBCD=SJBCG,

__1,1

「?①DG//BC（G在BC下方）,>DG=_2A+2,

3

「,一［X+E=X2—5X+5,即2X2-9X+9=0,2一

/X>1/.x=3,.*.^3,-1）.

②G在5C上方時，直線G2G3與QGi關于5c對稱.

=-x+

??^2T,?..-2X+2=X2—5X+5,A2X2_9X_9=0

T*率產(chǎn),叫

G,（升收67-㈣

綜上所述，點G坐標為GI（3,-1）；2\44[

=x+

（3）由題意可得：k+ni=1.:.m=l-k,'yx