《電工基礎(chǔ)》課件第2章

技能訓(xùn)練四分壓器

技能訓(xùn)練五疊加定理的驗(yàn)證

技能訓(xùn)練六有源二端網(wǎng)絡(luò)的研究

2.1電阻的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路分析2.2電阻的星形連接與三角形連接及其等效變換2.3實(shí)際電源模型的等效變換2.4支路電流法和網(wǎng)孔電流法2.5節(jié)點(diǎn)電壓法

2.6疊加定理

2.7戴維寧定理與諾頓定理2.8最大功率傳輸定理小結(jié)

習(xí)題二

1.訓(xùn)練目的

(1)掌握選擇分壓器的基本原則和使用方法。

(2)學(xué)習(xí)直流穩(wěn)壓電源和數(shù)字萬用表的使用方法。

2.原理說明

在直流電路中，若施加的電源電壓是一個(gè)恒定的數(shù)值時(shí)，為了得到一個(gè)可以調(diào)節(jié)的直流電源，通常使用滑線變阻器接成分壓器。這種分壓器在電工實(shí)驗(yàn)及電子技術(shù)中得到了普遍的應(yīng)用。

本訓(xùn)練用滑線變阻器接成分壓器，其電路如訓(xùn)練圖4-1所示。技能訓(xùn)練四分壓器訓(xùn)練圖4-1由該圖可知，分壓器中的電流在AC段和BC段是不同的，根據(jù)KCL可知：

I1=I2+I3

因此，滑線電阻的額定電流的選擇要根據(jù)I1的大小來決定。由簡單直流電路的基本關(guān)系可得

(1)

在負(fù)載電阻RL一定的情況下，當(dāng)滑動(dòng)端鈕C滑到接近A點(diǎn)時(shí)，r=R時(shí)，通過AC段的電流接近最大值：

(2)所以，分壓器的額定電流按這個(gè)最大電流來選擇總是安全的。

使用分壓器時(shí)，除了考慮其額定電流值外，我們還需要考慮在調(diào)節(jié)分壓器的滑動(dòng)端鈕C時(shí)，得到的輸出電壓UL能與分壓器的可調(diào)節(jié)電阻r成正比關(guān)系。為了達(dá)到這個(gè)目的，就必須根據(jù)負(fù)載電阻RL的大小，適當(dāng)選擇分壓器R的數(shù)值。應(yīng)用直流電路的計(jì)算方法，可得到下列兩個(gè)關(guān)系式：

(3)

(4)以上兩式中，I0=Ui/R，K=r/R。由(3)、(4)式可知，只有當(dāng)RL≥R時(shí)，才能使I2≈I0，UL≈KUi，這時(shí)輸出電壓的線性度才比較好。

3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)直流穩(wěn)壓電源0~30V 一臺(tái)

(2)數(shù)字萬用表M840D 一塊

(3)直流毫安表50~100mA 一塊

(4)滑線式變阻器500Ω/0.8A，112Ω/2.1A各一只

4.訓(xùn)練內(nèi)容

(1)確定R/RL＝0.25,即將標(biāo)有112Ω的滑線變阻器作為分壓器R，將標(biāo)有500Ω的滑線變阻器用萬用表測出450Ω作為負(fù)載電阻RL。

(2)按訓(xùn)練圖4-1所示電路接線，由穩(wěn)壓電源提供10V的直流電壓，作為分壓器的輸入電壓Ui。

(3)調(diào)節(jié)K值。K值分別取為0，0.25，0.5，0.75，1，將所測得電流I2及輸出的電壓UL記入訓(xùn)練表4-1中。

(4)將計(jì)算UL/Ui及I2/I0，并將計(jì)算結(jié)果分別填入訓(xùn)練表4-1中。

(5)確定R/RL＝1。仍將標(biāo)有112Ω的滑線變阻器作為分壓器R，將標(biāo)有500Ω的滑線變阻器用萬用表測出約為112Ω作為負(fù)載電阻RL。然后重復(fù)訓(xùn)練內(nèi)容(3)、(4)即可。訓(xùn)練表4-1分壓器訓(xùn)練

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)使用滑線變阻器時(shí)應(yīng)平滑調(diào)節(jié)。

(2)注意當(dāng)R/RL=1時(shí)，UL/Ui與K值的變化是否不再接近于線性，且I2與I0之間的比例有哪些變化。

6.思考題

(1)當(dāng)用滑線變阻器作為分壓器時(shí)，是否分壓器的電阻比負(fù)載的電阻值越小越好？為什么？

(2)I2隨著K值的變化過程中，是否存在著一個(gè)極值，你能用數(shù)學(xué)知識(shí)證明嗎？它的物理意義是什么呢？

(3)有人說，選擇分壓器額定電流時(shí)，可以不考慮負(fù)載電阻的大小，這種說法對(duì)嗎？為什么？

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，分別在坐標(biāo)紙上繪制出兩種情況下的Ui-UL關(guān)系曲線。

(2)對(duì)本次實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕忉尅?/p>

(3)必要的誤差分析。

(4)總結(jié)本次實(shí)驗(yàn)的收獲。

1.訓(xùn)練目的

(1)驗(yàn)證基爾霍夫電流定律和疊加定理；

(2)加深對(duì)電流、電壓參考方向的理解；

(3)進(jìn)一步熟悉直流穩(wěn)壓電源、萬用表的使用。

2.原理說明

(1)基爾霍夫電流定律(KCL)：∑I=0；

(2)疊加定理：在線性電路中，當(dāng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立電源作用時(shí)，則任意支路的電流或電壓，都可以認(rèn)為是電路中各個(gè)電源單獨(dú)作用而其他電源不作用時(shí)，在該支路中產(chǎn)生的各電流分量或電壓分量的代數(shù)和。技能訓(xùn)練五疊加定理的驗(yàn)證訓(xùn)練圖5-1

(3)電壓、電流的參考方向。

如訓(xùn)練圖5-1所示，設(shè)電流參考方向由A到B，則當(dāng)電流從電流表正極流入負(fù)極流出，電流表正向偏轉(zhuǎn)，電流的實(shí)際方向與參考方向一致；將電流表正負(fù)極交換連接后，讀取讀數(shù)，電流即為負(fù)值，表示電流的實(shí)際方向與參考方向相反。電壓的參考方向與測量時(shí)正負(fù)值的確定與電流的類似。

3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)直流穩(wěn)壓電源(DA1718型) 1臺(tái)

(2)萬用表(500型) 1塊

(3)線路板 1塊

(4)表筆導(dǎo)線若干

4.訓(xùn)練內(nèi)容

(1)按訓(xùn)練圖5-2接線，借助于萬用表調(diào)整穩(wěn)壓電源輸出電壓US1=9V(左邊)，US2=6V(右邊)，然后將左右兩路電源接入電路板。訓(xùn)練圖5-2

(2)兩電源共同作用時(shí)，測量各電流、電壓值。

開關(guān)S1、S2分別合向1—1′、3—3′，接通US1

、US2，線路板上面的接線端子用導(dǎo)線連接。

電壓擋量程取10V，電流擋量程取100mA(根據(jù)預(yù)習(xí)時(shí)計(jì)算出的電流值和電壓值，選取萬用表電壓擋和電流擋的合適量程)，根據(jù)圖中電壓、電流的參考方向，測量各電流、電壓值，并確定正負(fù)號(hào)，記入訓(xùn)練表5-1中。訓(xùn)練表5-1

(3)電源US1單獨(dú)作用時(shí)，測量各電流、電壓值。

開關(guān)S1合向1—1′，開關(guān)S2合向4—4′，電源US2不起作用，按上述方法測出U1′、U2′、U3′和I1′、I2′、I3′，并確定正負(fù)號(hào)，將測量結(jié)果記入實(shí)訓(xùn)表2中。

(4)電源US2單獨(dú)作用時(shí)，測量各電流、電壓值。

開關(guān)S1合向2—2′，開關(guān)S2合向3—3′，電源US1不起作用，按上述方法測出U1″、U2″、U3″和I1″、I2″、I3″，并確定正負(fù)號(hào)，將測量結(jié)果記入訓(xùn)練表5-2中。訓(xùn)練表5-2

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)用電流插頭測量各支路電流時(shí)，應(yīng)注意儀表的極性。(2)注意儀表量程的及時(shí)更換。

6.思考題

(1)根據(jù)訓(xùn)練表1和訓(xùn)練表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證KCL和疊加定理的正確性，分析產(chǎn)生誤差的原因。

(2)訓(xùn)練中為什么要假定電流、電壓的參考方向？它與電流、電壓的測量及數(shù)值正負(fù)有什么關(guān)系？

(3)用測量所得的數(shù)據(jù)驗(yàn)證R3上的功率是否符合疊加定理，疊加定理為什么不適用于功率？

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)用測量所得的數(shù)據(jù)驗(yàn)證電路各元件上的電壓、電流、功率是否符合疊加定理。

(2)用測量所得的數(shù)據(jù)驗(yàn)證電路各元件上的功率是否符合疊加定理，并做解釋。

1.訓(xùn)練目的

(1)用實(shí)驗(yàn)方法驗(yàn)證戴維寧定理；

(2)掌握有源二端網(wǎng)絡(luò)開路電壓UOC和入端等效電阻Ri

的測定方法；

(3)理解負(fù)載獲最大功率的阻抗匹配條件。技能訓(xùn)練六有源二端網(wǎng)絡(luò)的研究

2.原理說明

1)戴維寧定理

含獨(dú)立源的線性二端電阻網(wǎng)絡(luò)，對(duì)其外部而言，都可以用電壓源和電阻串聯(lián)的組合等效代替；該電壓源的電壓等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓，該電阻等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨(dú)立源作用為零時(shí)網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

2)開路電壓UOC的測定方法

(1)直接測量：有源二端網(wǎng)絡(luò)入端等效電阻Ri與電壓表內(nèi)阻RV相比可忽略不記時(shí)，可用電壓表直接測量開路電壓UOC(見訓(xùn)練圖6-1)。

(2)補(bǔ)償法：當(dāng)入端等效電阻Ri較大時(shí)，用電壓表直接測量時(shí)誤差較大，采用補(bǔ)償法測UOC比較準(zhǔn)確。訓(xùn)練圖6-2中US1為另一直流電壓源，可變電阻R接成分壓器使用，調(diào)節(jié)可變電阻，使檢流計(jì)G指示為0，電壓表的讀數(shù)即為開路電壓UOC。訓(xùn)練圖6-1訓(xùn)練圖6-2

3)入端等效電阻Ri的測定方法

(1)外加電壓源：使有源二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)獨(dú)立源作用為0，端鈕上外加電源電壓U，測量端鈕電流I，如訓(xùn)練圖6-3所示，則Ri=U/I。

(2)開路短路法：分別測量有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓UOC和短路電流ISC，則Ri=UOC/ISC。

(3)半偏法：先測出有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓UOC，再按訓(xùn)練圖6-4接線，RL為電阻箱電阻。

調(diào)RL使其端電壓URL即電壓表的讀數(shù)為開路電壓UOC

的一半，即URL=

UOC，此時(shí)RL=Ri。

本次技能訓(xùn)練采用半偏法測量Ri。訓(xùn)練圖6-3訓(xùn)練圖6-4

(4)當(dāng)負(fù)載電阻等于電源等效電阻，即RL=Ri時(shí)，負(fù)載RL

將獲得最大功率，這種情況稱為負(fù)載阻抗的匹配。

3.訓(xùn)練設(shè)備

(1)直流穩(wěn)壓電源(2)萬用表(3)電壓表

(4)線路板(5)電阻箱

4.訓(xùn)練內(nèi)容

1)測量有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓UOC和入端等效電阻Ri

調(diào)直流穩(wěn)壓電源US=10V(用電壓表測出)，然后與線路板相連接，組成有源二端網(wǎng)絡(luò)，如訓(xùn)練圖6-5所示。用直接測量法測出AB端開路電壓UOC。

在AB端接電阻箱，采用半偏法調(diào)電阻箱電阻，使其兩端的電壓讀數(shù)為UOC/2，則電阻箱電阻即為入端電阻Ri(如訓(xùn)練圖6-6所示)。將UOC和Ri的數(shù)據(jù)記入訓(xùn)練表6-1中。訓(xùn)練圖6-5訓(xùn)練圖6-6

2)測定有源二端網(wǎng)絡(luò)的外特性

在有源二端網(wǎng)絡(luò)AB端鈕上，按訓(xùn)練圖6-7接線，取電阻箱電阻RL為訓(xùn)練表6-1中所列各值，用電壓表和電流表測出相應(yīng)的電壓和電流，將測量結(jié)果記入訓(xùn)練表6-1中。訓(xùn)練圖6-7訓(xùn)練圖6-8

3)測定戴維南等效電路的外特性

按訓(xùn)練圖6-8接線，圖中UOC和Ri即為訓(xùn)練內(nèi)容1)中有源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓UOC和入端等效電阻Ri。UOC從直流穩(wěn)壓電源取得，Ri從電阻箱取得。A、B端接另一電阻箱作為負(fù)載電阻RL，使Ri取訓(xùn)練表6-1中所列各電阻值，測出相應(yīng)的端電壓U和電流I，將測量結(jié)果記入訓(xùn)練表6-1中。訓(xùn)練表6-1有源二端網(wǎng)絡(luò)的研究

5.訓(xùn)練注意事項(xiàng)

(1)測量時(shí)，注意電流表量程的更換。

(2)改接線路時(shí)，要關(guān)掉電源。

6.思考題

(1)如何測量電路開路電壓？

(2)如何測量電路短路電流？

(3)如何測量電路等效電源內(nèi)阻？

(4)為什么當(dāng)負(fù)載電阻等于等效電源內(nèi)阻，即RL=Ri時(shí)，負(fù)載RL將獲得最大功率？

7.訓(xùn)練報(bào)告內(nèi)容

(1)根據(jù)訓(xùn)練表6-1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪出有源二端網(wǎng)絡(luò)和戴維南等效電路的外特性即U—I曲線。

根據(jù)特性曲線說明兩個(gè)電路等效的意義。

(2)根據(jù)訓(xùn)練表6-1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，繪出有源二端網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載功率與負(fù)載電阻RL的關(guān)系曲線P=f(RL)，在曲線上找出負(fù)載功率的最大點(diǎn)，該點(diǎn)是否符合RL=Ri的條件？由線性電阻元件和電源元件組成的電路叫做線性電阻電路，簡稱電阻性電路或電阻電路。電阻電路中的電源可以是直流的，也可以是交流的。當(dāng)電路中的電源都是直流時(shí)，這

類電路簡稱為直流電路。本章主要分析直流電路，但當(dāng)電源是交流時(shí)，所得結(jié)論仍是正確的。2.1電阻的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路分析2.1.1等效網(wǎng)絡(luò)的定義

電路分析中，如果研究的是整個(gè)電路中的一部分，可以把這一部分作為一個(gè)整體看待。

當(dāng)這個(gè)整體只有兩個(gè)端鈕與外部相連時(shí)，就叫做二端網(wǎng)絡(luò)。二端網(wǎng)絡(luò)的一般符號(hào)如圖2-1-1所示。二端網(wǎng)絡(luò)的端鈕電流、端鈕間的電壓分別叫做端口電流、端口電壓。圖2-1-1中標(biāo)出了二端網(wǎng)絡(luò)的端口電流i和端口電壓u，電流電壓的參考方向是關(guān)聯(lián)的，ui應(yīng)看成是它接受的功率。圖2-1-1二端網(wǎng)絡(luò)一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流關(guān)系和另一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流關(guān)系相同時(shí)，這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)互為等效網(wǎng)絡(luò)。等效網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)雖然不同，但對(duì)任何外電路，它們的作用完全相同。也就是說，等效網(wǎng)絡(luò)互換，它們的外部特性不變。一個(gè)內(nèi)部沒有獨(dú)立源的電阻性二端網(wǎng)絡(luò)，總可以與一個(gè)電阻元件等效。這個(gè)電阻元件的電阻值等于該網(wǎng)絡(luò)關(guān)聯(lián)參考方向下端口電壓與端口電流的比值，該電阻元件叫做該網(wǎng)絡(luò)的等效電阻或輸入電阻，用Ri表示。Ri也叫總電阻。同樣，還有三端，…，n端網(wǎng)絡(luò)。兩個(gè)n端網(wǎng)絡(luò)，如果對(duì)應(yīng)各端鈕的電壓、電流關(guān)系相同，則它們也是等效的。

進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的等效變換，是分析、計(jì)算電路的一個(gè)重要手段。用結(jié)構(gòu)較簡單的網(wǎng)絡(luò)等效代替結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)，將簡化電路的分析、計(jì)算。2.1.2電阻的串聯(lián)分析

在電路中，把幾個(gè)電阻元件依次一個(gè)一個(gè)首尾連接起來，中間沒有分支，在電源的作用下流過各電阻的是同一電流。這種連接方式叫做電阻的串聯(lián)。

圖2-1-2(a)表示3個(gè)電阻串聯(lián)后由一個(gè)直流電源供電的電路。以U代表總電壓，I代表電流，R1、R2、R3代表各電阻，U1、U2、U3代表各電阻的電壓，由KVL有

U=U1+U2+U3=(R1+R2+R3)I上式表明，圖2-1-2(b)所示的電阻值為R1+R2+R3的一個(gè)電阻元件的電路，與圖2-1-2(a)所示二端網(wǎng)絡(luò)有相同的端口電壓、電流關(guān)系，即串聯(lián)電阻的等效電阻等于各電阻的和:

Ri=R1+R2+R3(2-1)

電阻串聯(lián)時(shí)，各電阻上的電壓為

(2-2)即串聯(lián)的每個(gè)電阻的電壓與總電壓的比等于該電阻與等效電阻的比。串聯(lián)的每個(gè)電阻吸收的功率也與它們的電阻值成正比。圖2-1-2電阻的串聯(lián)

例2-1

如圖2-1-3所示，用一個(gè)滿刻度偏轉(zhuǎn)電流為50μA，電阻Rg為2kΩ的表頭制成100V量程的直流電壓表，應(yīng)串聯(lián)多大的附加電阻Rf？圖2-1-3例2-1圖

解滿刻度時(shí)表頭電壓為

Ug=50×10-6×2×103=0.1V

附加電阻上的電壓為

Uf=100-0.1=99.9V

代入式(2-2)，得

解得

Rf=1998kΩ2.1.3電阻的并聯(lián)分析

在電路中，把幾個(gè)電阻元件的首尾兩端分別連接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上，在電源的作用下，它們兩端的電壓都相同，這種連接方式叫做電阻的并聯(lián)。圖2-1-4(a)表示3個(gè)電阻并聯(lián)后由一個(gè)直流電源供電的電路。以I代表總電流，U代表電阻上的電壓，G1、G2、G3代表各電阻的電導(dǎo)，I1、I2、I3代表各電阻中的電流。由KCL有

I=I1+I2+I3=(G1+G2+G3)U

可見，并聯(lián)電阻的等效電導(dǎo)等于各電導(dǎo)的和(如圖2-1-4(b)所示)，即

Gi=G1+G2+G3

(2-3)圖2-1-4電阻的并聯(lián)

并聯(lián)電阻的電壓相等，各電阻的電流與總電流的關(guān)系為

(2-4)即并聯(lián)的每個(gè)電阻的電流與總電流的比等于其電導(dǎo)與等效電導(dǎo)的比。我們常會(huì)遇到兩個(gè)電阻并聯(lián)的情況。兩個(gè)電阻R1、R2并聯(lián)，由

得等效電阻為

如果總電流為I，兩個(gè)電阻的電流各為

(2-5)

并聯(lián)的每個(gè)電阻吸收的功率與它們的電導(dǎo)成正比。圖2-1-5例2-2圖

例2-2

如圖2-1-5所示，用一個(gè)滿刻度偏轉(zhuǎn)電流為50μA，電阻Rg為2kΩ的表頭制成量程為50mA的直流電流表，應(yīng)并聯(lián)多大的分流電阻R2?

解由題意已知，I1=50μA，R1=Rg=2kΩ，I=50mA，代入公式(2-5)得

解得

R2=2.002Ω2.1.4電阻的混聯(lián)分析

電阻的串聯(lián)和并聯(lián)相結(jié)合的連接方式稱為電阻的串、并聯(lián)或混聯(lián)。只有一個(gè)電源作用的電阻串、并聯(lián)電路，可用電阻串、并聯(lián)化簡的辦法，化簡成一個(gè)等效電阻和電源組成的單回路，這種電路又稱簡單電路。反之，不能用串、并聯(lián)等效變換化簡為單回路的電路則稱為復(fù)雜電路。簡單電路的計(jì)算步驟是：首先將電阻逐步化簡成一個(gè)總的等效電阻，算出總電流(或總電壓)，然后用分壓、分流的辦法逐步計(jì)算出化簡前原電路中各電阻的電流和電壓，再計(jì)算出功率。下面通過例題說明計(jì)算的過程。

例2-3進(jìn)行電工實(shí)驗(yàn)時(shí)，常用滑線變阻器接成分壓器電路來調(diào)節(jié)負(fù)載電阻上電壓的高低。圖2-1-6中R1和R2是滑線變阻器，RL是負(fù)載電阻。已知滑線變阻器額定值是100Ω、

3A，端鈕A、B上輸入電壓U1=220V，RL=50Ω。試問：

(1)當(dāng)R2=50Ω時(shí)，輸出電壓U2是多少？

(2)當(dāng)R2=75Ω時(shí)，輸出電壓U2是多少？滑線變阻器能否安全工作？

解

(1)當(dāng)R2=50Ω時(shí)，端鈕A、B的等效電阻

滑線變阻器R1段流過的電流

負(fù)載電阻流過的電流可由電流分配公式(2-5)求得，即

圖2-1-6例2-3圖

(2)當(dāng)R2=75Ω時(shí)，計(jì)算方法同上，可得

因I1=4A，大于滑線變阻器額定電流3A，因此R1段電阻有被燒壞的危險(xiǎn)。求解簡單電路，關(guān)鍵是判斷哪些電阻串聯(lián)，哪些電阻并聯(lián)。一般情況下，通過觀察可以進(jìn)行判斷。當(dāng)電阻串、并聯(lián)的關(guān)系不易看出時(shí)，可以在不改變?cè)g連接關(guān)系的條件下

將電路畫成比較容易判斷串、并聯(lián)的形式。這時(shí)無電阻的導(dǎo)線最好縮成一點(diǎn)，并且盡量避免相互交叉。重畫時(shí)可以先標(biāo)出各節(jié)點(diǎn)代號(hào)，再將各元件連在相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)間。

例2-4

在圖2-1-7所示電路中，求AB端口的等效電阻。圖2-1-7例2-4圖

解為便于判斷串并聯(lián)關(guān)系，在圖中標(biāo)出一節(jié)點(diǎn)C，先求出CB兩點(diǎn)間的等效電阻

因此A、B之間的等效電阻為

2.2.1電阻的星形連接和三角形連接

3個(gè)電阻元件首尾相連，連成一個(gè)三角形，就叫做三角形連接，簡稱△形連接，如圖2-2-1(a)所示。3個(gè)電阻元件的一端連接在一起，另一端分別連接到電路的3個(gè)節(jié)點(diǎn)，這種連接方式叫做星形連接，簡稱Y形連接，如圖2-2-1(b)所示。2.2電阻的星形連接與三角形連接及其等效變換圖2-2-1電阻的三角形和星形連接2.2.2電阻的星形連接和三角形連接的等效變換

在電路分析中，常利用Y形網(wǎng)絡(luò)與△形網(wǎng)絡(luò)的等效變換來簡化電路的計(jì)算。根據(jù)等效網(wǎng)絡(luò)的定義，在圖2-2-1所示的Y形網(wǎng)絡(luò)與△形網(wǎng)絡(luò)中，若電壓U12、U23、U31和電流I1、I2、I3都分別相等，則兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)外是等效的。據(jù)此，可導(dǎo)出Y形連接電阻R1、R2、R3與△形連接電阻R12、R23、R31之間的等效關(guān)系。應(yīng)用KVL于2-2-1(a)中的回路1231，得

R12I12+R23I23+R31I31=0

由KCL得

I23=I2+I12

I31=I12-I1

代入上式，得

R12I12+R23(I2+I12)+R31(I12-I1)=0經(jīng)過整理后，得

(2-6a)同理可求得

(2-6b)對(duì)于圖2-2-1(b)有

U12=R12-R2I2

U23=R2I2-R3I3

U31=R3I3-R1I1

(2-7)比較式(2-6)和式(2-7)可得：若滿足等效條件，兩組方程式I1、I2、I3前面的系數(shù)必須相等，即

(2-8)式(2-8)就是從已知的△形連接電阻變換為等效Y形連接電阻的計(jì)算公式。解方程組(2-8)，可得

(2-9)式(2-9)就是從已知的Y形連接電阻變換為等效△形連接電阻的計(jì)算公式。

若△形(或Y形)連接的3個(gè)電阻相等，則變換后的Y形(或△形)連接的3個(gè)電阻也相等。設(shè)△形3個(gè)電阻R12=R23=R31=R△，則等效Y形的3個(gè)電阻為(2-10)反之

R△=R12=R23=R31=3RY

(2-11)

例2-5

在圖2-2-2(a)所示電路中，已知US=225V，R0=1Ω，R1=40Ω，R2=36Ω，R3=50Ω，R4=55Ω，R5=10Ω，試求各電阻的電流。圖2-2-2例2-5圖

解將△形連接的R1、R3、R5等效變換為Y形連接的RA、RC、RD，如圖2-2-2(b)所示，代入式(2-8)求得圖2-2-2(b)是電阻混聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，串聯(lián)的RC、R2的等效電阻RC2=40Ω，串聯(lián)的RD、R4的等效電阻RD4=60Ω，二者并聯(lián)的等效電阻

RA與ROB串聯(lián)，A、B間橋式電阻的等效電阻

Ri=20+24=44Ω橋式電阻的端口電流

R2、R4的電流各為

從圖2-2-2(b)求得

UAC=RAI+RCI2=20×5+4×3=112V

回到圖2-2-2(a)電路，利用KCL可求得流過R1、R3和R5的電流

2.3.1實(shí)際電源的模型

一個(gè)實(shí)際的直流電壓源在向電阻負(fù)載供電時(shí)，其端電壓隨負(fù)載電流的增大而下降。在一定范圍內(nèi)端電壓、電流的關(guān)系近似于直線，這是由實(shí)際直流電源內(nèi)阻引起的內(nèi)阻壓降

造成的。2.3實(shí)際電源模型的等效變換

1.實(shí)際電壓源

圖2-3-1(a)是直流電壓源和電阻串聯(lián)的組合，其端電壓U和電流I的參考方向如圖所示。U和I都隨外電路改變而變化，其外特性方程為

U=US-RI

(2-12)

圖2-3-1(b)是按公式(2-12)畫出的伏安特性曲線，它是一條直線。只要適當(dāng)選擇R值，電壓源US和電阻R的串聯(lián)組合就可作為實(shí)際直流電壓源的電路模型。圖2-3-1電壓源和電阻串聯(lián)組合

2.實(shí)際電流源

圖2-3-2(a)是電流源和電導(dǎo)的并聯(lián)組合，其端電壓和電流的參考方向如圖中所示，其外特性為

I=IS-GU

(2-13)

圖2-3-2(b)是按公式(2-13)畫出的伏安特性曲線，它也是一條直線。只要適當(dāng)選擇G值，電流源和電導(dǎo)并聯(lián)的組合也可以作為實(shí)際直流電流源的電路模型。圖2-3-2電流源和電導(dǎo)并聯(lián)組合2.3.2兩種實(shí)際電源模型的等效變換

比較式(2-12)和式(2-13)，只要滿足

(2-14)則式(2-12)和式(2-13)所表示的方程完全相同，它們?cè)贗—U平面上將表示同一直線，所以圖2-3-1(a)和圖2-3-2(a)所示電路對(duì)外完全等效。因此，在滿足式(2-14)的條件下，電壓源、電阻的串聯(lián)組合與電流源、電導(dǎo)的并聯(lián)組合之間可互相等效變換，這使得某些電路問題的解決更加靈活方便。

注意：

(1)IS的參考方向由US的負(fù)極指向其正極。

(2)一般情況下，這兩種等效模型內(nèi)部的結(jié)構(gòu)情況并不相同，但是對(duì)外部來說，它們吸收或供出的功率總是一樣的，所以，兩電源對(duì)外等效，對(duì)內(nèi)不等效。

(3)沒有串聯(lián)電阻的電壓源和沒有并聯(lián)電阻的電流源之間沒有等效關(guān)系。

例2-6

求圖2-3-3(a)所示的電路中R支路的電流。已知US1=10V，US2=6V，R1=1Ω，R2=3Ω，R=6Ω。圖2-3-3例2-6圖

解先把每個(gè)電壓源電阻串聯(lián)支路變換為電流源電阻并聯(lián)支路。網(wǎng)絡(luò)變換如圖2-2-3(b)所示，其中

圖2-2-3(b)中兩個(gè)并聯(lián)電流源可以用一個(gè)電流源代替

IS=IS1+IS2=10+2=12A

并聯(lián)R1、R2的等效電阻

網(wǎng)絡(luò)簡化如圖2-2-3(c)所示。

對(duì)圖2-2-3(c)電路，可按分流關(guān)系求得R的電流I為

2.4.1支路電流法

前幾節(jié)介紹了電阻電路的等效變換法。此法適用于一定結(jié)構(gòu)形式的電路，不便于對(duì)電路進(jìn)行一般性探討。

分析電路的一般方法是選擇一些電路變量，根據(jù)KCL和KVL以及元件特性方程，列寫出電路變量的方程，從方程中解出電路變量，這類方法稱為網(wǎng)絡(luò)方程法。本書主要介紹網(wǎng)絡(luò)方程法中的一種——支路電流法。支路電流法以每個(gè)支路的電流為求解的未知量。設(shè)電路有b條支路，則有b個(gè)未知電流變量，須有b個(gè)獨(dú)立方程才能求解。2.4支路電流法和網(wǎng)孔電流法圖2-4-1下面以圖2-4-1所示的電路為例來說明支路電流法的應(yīng)用。該電路中支路數(shù)b=3，節(jié)點(diǎn)數(shù)n=2，回路數(shù)為3，網(wǎng)孔數(shù)為2，3個(gè)電流要３個(gè)獨(dú)立方程才能求解。列方程前指定各支路電流的參考方向如圖2-4-1所示。

首先，根據(jù)電流的參考方向，對(duì)節(jié)點(diǎn)A列寫KCL方程

-I1-I2+I3=0

(2-15)對(duì)節(jié)點(diǎn)B列寫KCL方程

I1+I2-I3=0

(2-16)

節(jié)點(diǎn)數(shù)為n的電路中，按KCL列出的節(jié)點(diǎn)電流方程只有(n-1)個(gè)是獨(dú)立的。這一結(jié)果可以推廣到一般電路：節(jié)點(diǎn)數(shù)為n的電路中，按KCL列出的節(jié)點(diǎn)電流方程只有n-1個(gè)是獨(dú)立的，并將n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為一組獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。這是因?yàn)槊總€(gè)支路連到兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)支路電流在n個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程中各出現(xiàn)兩次；又因?yàn)橥恢冯娏鲗?duì)這個(gè)支路所連的一個(gè)節(jié)點(diǎn)取正號(hào)，對(duì)所連的另一個(gè)節(jié)點(diǎn)必定取負(fù)號(hào)，所以n個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程相加所得必定是個(gè)“0=0”的恒等式。至于哪個(gè)節(jié)點(diǎn)不獨(dú)立，則是任選的。其次，選擇回路，應(yīng)用KVL列出其余b-(n-1)個(gè)方程。每次列出的KVL方程與已經(jīng)列寫過的KVL方程必須是互相獨(dú)立的。通常，可取網(wǎng)孔來列KVL方程。圖2-4-1中有兩個(gè)網(wǎng)孔，

按順時(shí)針方向繞行，對(duì)左面的網(wǎng)孔列寫KVL方程：

R1I1-R2I2=US1-US2

(2-17)按順時(shí)針方向繞行對(duì)右面的網(wǎng)孔列寫KVL方程：

R2I2+R3I3=US2

(2-18)

網(wǎng)孔的數(shù)目恰好等于b-(n-1)=3-(2-1)=2。因?yàn)槊總€(gè)網(wǎng)孔都包含一條互不相同的支路，因此每個(gè)網(wǎng)孔都是一個(gè)獨(dú)立回路，可以列出一個(gè)獨(dú)立的KVL方程。

應(yīng)用KCL和KVL一共可列出(n-1)+［b-(n-1)］=b個(gè)獨(dú)立方程，它們都是以支路電流為變量的方程，因而可以解出b個(gè)支路電流。綜上所述，支路電流法分析計(jì)算電路的一般步驟如下：(1)在電路圖中選定各支路(b個(gè))電流的參考方向，設(shè)出各支路電流。

(2)對(duì)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)列出(n-1)個(gè)KCL方程。

(3)通常對(duì)網(wǎng)孔列寫KVL方程。設(shè)定各網(wǎng)孔繞行方向，列出b-(n-1)個(gè)KVL方程。

(4)聯(lián)立求解上述b個(gè)獨(dú)立方程，便得出待求的各支路電流。例2-7

在圖2-4-1所示電路中，US1=130V、R1=1Ω為直流發(fā)電機(jī)的模型，電阻負(fù)載R3=24Ω，US2=117V、R2=0.6Ω為蓄電池組的模型。試求各支路電流和各元件的功率。

解以支路電流為變量，應(yīng)用KCL、KVL列出式(2-15)、(2-17)和式(2-18)，并將已知數(shù)據(jù)代入，即得解得I1=10A，I2=-5A，I3=5A。I2為負(fù)值，表明它的實(shí)際方向與所選參考方向相反，這個(gè)電池組在充電時(shí)是負(fù)載。US1發(fā)出的功率為

US1I1=130×10=1300W

US2發(fā)出的功率為

US2I2=117×(-5)=-585W即US2接收的功率為585W。各電阻接收的功率為

功率平衡，表明計(jì)算正確。圖2-4-2網(wǎng)孔電流法2.4.2網(wǎng)孔電流法

前面介紹了支路電流法。對(duì)于具有b條支路和n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，要列n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程和(b-n+1)個(gè)網(wǎng)孔電壓方程，聯(lián)立求解。這種方法的方程較多，求解較麻煩。為了減少方程數(shù)目，可采用網(wǎng)孔電流作為電路的變量來列寫方程，這種方法稱為網(wǎng)孔法(網(wǎng)孔法僅適用于平面電路)。下面通過圖2-4-2所示的電路加以說明。圖2-4-2中共有3個(gè)支路，兩個(gè)網(wǎng)孔。設(shè)想在每個(gè)網(wǎng)孔中，都有一個(gè)電流沿網(wǎng)孔邊界環(huán)流，其參考方向如圖所示，這樣一個(gè)在網(wǎng)孔內(nèi)環(huán)行的假想電流，叫做網(wǎng)孔電流。

從圖中可以看出，各網(wǎng)孔電流與各支路電流之間的關(guān)系為

由于每一個(gè)網(wǎng)孔電流在流經(jīng)電路的某一節(jié)點(diǎn)時(shí)，流入該節(jié)點(diǎn)之后，又同時(shí)從該節(jié)點(diǎn)流出，因此各網(wǎng)孔電流都能自動(dòng)滿足KCL，就不必對(duì)各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)另列KCL方程，所以省去了n-1個(gè)方程。這樣，只要列出KVL方程就可以了，使方程數(shù)目減少為b-(n-1)個(gè)。電路的變量——網(wǎng)孔電流也是b-(n-1)個(gè)。

注意：用網(wǎng)孔法列寫KVL方程時(shí)，有些電阻中會(huì)有幾個(gè)網(wǎng)孔電流同時(shí)流過，列寫方程時(shí)應(yīng)該把各網(wǎng)孔電流引起的電壓降都計(jì)算進(jìn)去。通常，選取網(wǎng)孔的繞行方向與網(wǎng)孔電流的

參考方向一致。于是，對(duì)于圖2-4-2所示電路，有

經(jīng)過整理后，得

(2-19)

這就是以網(wǎng)孔電流為未知量時(shí)列寫的KVL方程，稱為網(wǎng)孔方程。方程組(2-19)可以進(jìn)一步寫成

(2-20)

上式就是當(dāng)電路具有兩個(gè)網(wǎng)孔時(shí)網(wǎng)孔方程的一般形式。其中：R11=R1+R2、R22=R2+R3分別是網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2的電阻之和，稱為各網(wǎng)孔的自電阻。因?yàn)檫x取自電阻的電壓與電流為關(guān)聯(lián)參考方向，所以自電阻都取正號(hào)。

R12=R21=-R2是網(wǎng)孔1與網(wǎng)孔2公共支路的電阻，稱為相鄰網(wǎng)孔的互電阻?；ル娮杩梢允钦?hào)，也可以是負(fù)號(hào)。當(dāng)流過互電阻的兩個(gè)相鄰網(wǎng)孔電流的參考方向一致時(shí)，互電阻取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。本例中，由于各網(wǎng)孔電流的參考方向都選取為順時(shí)針方向，即流過各互電阻的兩個(gè)相鄰網(wǎng)孔電流的參考方向都相反，因而它們都取負(fù)號(hào)。

US11=US1-US2、US22=US2-US3分別是各網(wǎng)孔中電壓源電壓的代數(shù)和，稱為網(wǎng)孔電源電壓。凡參考方向與網(wǎng)孔繞行方向一致的電源電壓取負(fù)號(hào)，反之取正號(hào)，這是因?yàn)閷㈦娫措妷阂频降仁接疫呉兲?hào)的緣

式(2-20)也可以推廣到具有m個(gè)網(wǎng)孔的平面電路，其網(wǎng)孔方程的規(guī)范形式為(2-21)如果電路中含有電流源與電阻的并聯(lián)組合，先把它們等效換成電壓源與電阻的串聯(lián)組合，再列寫網(wǎng)孔方程。如果電路中含有電流源，且沒有與其并聯(lián)的電阻，這時(shí)可根據(jù)電路的結(jié)構(gòu)形式采用下面兩種方法進(jìn)行處理：一種方法是，當(dāng)電流源支路僅屬一個(gè)網(wǎng)孔時(shí)，選擇該網(wǎng)孔電流等于電流源的電流，這樣可減少一個(gè)網(wǎng)孔方程，其余網(wǎng)孔方程仍按一般方法列寫；另一種方法是，在建立網(wǎng)孔方程時(shí)，可將電流源的電壓作為一個(gè)未知量，每引入這樣一個(gè)未知量，同時(shí)應(yīng)增加一個(gè)網(wǎng)孔電流與該電流源電流之間的約束關(guān)系，從而列出一個(gè)補(bǔ)充方程。這樣一來，獨(dú)立方程數(shù)與未知量仍然相等，可解出各未知量。

例2-8

用網(wǎng)孔法求圖2-4-3所示電路的各支路電流。圖2-4-3例2-8圖

解

(1)選擇各網(wǎng)孔電流的參考方向，如圖2-4-3所示。

(2)計(jì)算各網(wǎng)孔的自電阻和相關(guān)網(wǎng)孔的互電阻及每一網(wǎng)孔的電源電壓。

(3)求解網(wǎng)孔方程組，可得

Im1=6.25A,Im2=2.5A,Im3=3.75A

(4)任選各支路電流的參考方向，如圖所示。由網(wǎng)孔電流求出各支路電流分別為

I1=Im1=6.25A,I2=Im2=2.5A

I3=Im1-Im2=3.75A,I4=Im1-Im3=2.5A

I5=Im3-Im2=1.25A,I6=Im3=3.75A

例2-9

用網(wǎng)孔法求圖2-4-4所示電路各支路電流及電流源的電壓。圖2-4-4例2-9圖

解

(1)選取各網(wǎng)孔電流的參考方向及電流源電壓的參考方向，如圖所示。

(2)列網(wǎng)孔方程組：

(10+10)Im1-10Im2=100-30-10-10Im1+(10+5+6)Im2-6Im3

=30+U-6Im2+(6+15)Im3=10-U

補(bǔ)充方程

Im2-Im3=2

(3)解方程組，得

Im1=5A,Im2=4A

Im3=2A,U=-8V

(4)選取各支路電流的參考方向如圖所示，各支路電流分別為

節(jié)點(diǎn)電壓法是以電路的節(jié)點(diǎn)電壓為未知量來分析電路的一種方法，它不僅適用于平面電路，同時(shí)也適用于非平面電路。鑒于這一優(yōu)點(diǎn)，在計(jì)算機(jī)輔助電路分析中，一般也采用節(jié)點(diǎn)電壓法求解電路。

在電路的n個(gè)節(jié)點(diǎn)中，任選一個(gè)為參考點(diǎn)，把其余(n-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)各自對(duì)參考點(diǎn)的電壓叫做該節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓。電路中所有支路電壓都可以用節(jié)點(diǎn)電壓來表示。電路中的支路分成兩種：一種是接在獨(dú)立節(jié)點(diǎn)和參考節(jié)點(diǎn)之間，它的支路電壓就是節(jié)點(diǎn)電壓；另一種是接在各獨(dú)立節(jié)點(diǎn)之間，它的支路電壓則是兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓之差。2.5節(jié)點(diǎn)電壓法如能求出各節(jié)點(diǎn)電壓，就能求出各支路電壓及其他待求量。要求n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓，需列n-1個(gè)獨(dú)立方程。用節(jié)點(diǎn)電壓代替支路電壓，已經(jīng)滿足KVL的約束，只需列KCL的約束方

程即可，而所能列出的獨(dú)立的KCL方程正好是n-1個(gè)。

以圖2-5-1所示電路為例，獨(dú)立節(jié)點(diǎn)數(shù)為n-1=2。選取各支路電流的參考方向，如圖所示。對(duì)節(jié)點(diǎn)1、2分別由KCL列出節(jié)點(diǎn)電流方程：

I1+I3+I4-IS1-IS3=0

I2-I3-I4-IS2+IS3=0以節(jié)點(diǎn)3為參考點(diǎn)，則節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓分別為U1、U2。將支路電流用節(jié)點(diǎn)電壓表示為

I1=G1U1

I2=G2U2

I3=G3U12=G3(U1-U2)=G3U1-G3U2

I4=G4U12=G4(U1-U2)=G4U1-G4U2將它們代入兩個(gè)節(jié)點(diǎn)電流方程中，經(jīng)移項(xiàng)整理后得

(G1+G3+G4)U1-(G3+U4)U2

=IS1+IS3-(G3+G4)U1+(G2+G3+G4)U2

=IS2-IS3

(2-22)

式(2-22)就是圖2-5-1所示電路以節(jié)點(diǎn)電壓U1、U2為未知變量列出的節(jié)點(diǎn)電壓方程，簡稱節(jié)點(diǎn)方程。圖2-5-1將式(2-22)寫成

G11U1+G12U2=IS11

G21U1+G22U2=IS22

(2-23)這就是當(dāng)電路具有3個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)電路的節(jié)點(diǎn)方程的一般形式。式(2-23)中左邊的G11=(G1+G３+G４)、G22=(G2+G3+G4)分別是與節(jié)點(diǎn)1、節(jié)點(diǎn)2相連接的各支路電導(dǎo)之和，稱為各節(jié)點(diǎn)的自電導(dǎo)，自電導(dǎo)總是正的；G12=G21=-(G3+G4)是連接在節(jié)點(diǎn)1與節(jié)點(diǎn)2之間的各公共支路的電導(dǎo)之和的負(fù)值，稱為兩相鄰節(jié)點(diǎn)的互電導(dǎo)，互電導(dǎo)總是負(fù)的。式(2-23)中右邊的I

S11=(IS1+IS3)、IS22=(IS2-IS3)分別是流入節(jié)點(diǎn)1和節(jié)點(diǎn)2的各電流源電流的代數(shù)和，稱為節(jié)點(diǎn)電源電流，流入節(jié)點(diǎn)的取正號(hào)，流出的取負(fù)號(hào)。如果電流源支路串有電導(dǎo)，計(jì)算自電導(dǎo)時(shí)

不考慮。上述關(guān)系可推廣到一般電路。對(duì)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，其節(jié)點(diǎn)方程的規(guī)范形式為

G11U1+G12U2+…+G1(n-1)

Un-1=IS11

G21U1+G22U2+…+G2(n-1)

Un-1=IS22

G(n-1)1U1+G(n-1)2U2+…+G

(n-1)(n-1)

Un-1=IS(n-1)(n-1)

(2-24)當(dāng)電路中含有電壓源和電阻串聯(lián)組合的支路時(shí)，先把電壓源和電阻串聯(lián)組合變換成電流源和電阻并聯(lián)組合，然后再依式(2-24)列方程。

當(dāng)電路中含有電壓源支路時(shí)，這時(shí)可以采用以下措施：(1)盡可能取電壓源支路的負(fù)極性端作為參考點(diǎn)。這時(shí)該支路的另一端電壓等于該電壓源電壓，是已知量因而不必再對(duì)這個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫節(jié)點(diǎn)方程。

(2)把電壓源中的電流作為變量列入節(jié)點(diǎn)方程，并將其電壓與兩端節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系作為補(bǔ)充方程一并求解。

對(duì)于只有一個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電路，如圖2-5-2(a)所示的電路，可用節(jié)點(diǎn)電壓法直接求出獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的電壓。先把圖2-5-2(a)中電壓源和電阻串聯(lián)組合變?yōu)殡娏髟春碗娮璨⒙?lián)組合，如圖2-5-2(b)所示，則

寫成一般形式

(2-25)圖2-5-2彌爾曼定理舉例式(2-25)稱為彌爾曼定理。

代數(shù)和∑(GkUSk)中，當(dāng)電壓源的正極性端接到節(jié)點(diǎn)1時(shí)，GkUSk前取“+”號(hào)，反之取“-”號(hào)。

如果圖2-5-2(a)含有電流源，式(2-25)還應(yīng)包括電流源，改為

電流流入節(jié)點(diǎn),Isk取“+”號(hào)，電流流出節(jié)點(diǎn)，Isk取“-”號(hào)，如果電流源支路串有電導(dǎo)，分子和分母都不考慮。即電流源支路串接電導(dǎo)不起作用。

例2-10

試用節(jié)點(diǎn)電壓法求圖2-5-3所示電路中的各支路電流。 圖2-5-3例2-10圖

解取節(jié)點(diǎn)0為參考節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1、2的節(jié)點(diǎn)電壓為U1、U2，按式(2-24)得

解得

U1=6V,U2=12V取各支路電流的參考方向如圖2-5-3所示。根據(jù)支路電流與節(jié)點(diǎn)電壓的關(guān)系，有

例2-11

應(yīng)用彌爾曼定理求圖2-5-4所示電路中各支路電流。

解本電路只有一個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)，設(shè)其電壓為U1，設(shè)各支路電流I1、I2、I3的參考方向如圖中所示，求得各支路電流為圖2-5-4例2-11圖疊加定理是線性電路的一個(gè)基本定理。疊加定理可表述如下：在線性電路中，當(dāng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上的獨(dú)立電源作用時(shí)，則任意支路的電流或電壓，都可以認(rèn)為是電路中各個(gè)電源單獨(dú)作用而其他電源不作用時(shí)，在該支路中產(chǎn)生的各電流分量或電壓分量的代數(shù)和。下面以圖2-6-1(a)中R2支路電流I為例說明疊加定理在線性電路中的體現(xiàn)。2.6疊加定理圖2-6-1疊加定理舉例圖2-6-1(a)是一個(gè)含有兩個(gè)獨(dú)立源的線性電路，根據(jù)彌爾曼定理，可得這個(gè)電路兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的電壓為

R2支路的電流

圖2-6-1(b)是電壓源US單獨(dú)作用下的情況。此情況下電流源的作用為零，零電流源相當(dāng)于無限大電阻(即開路)。在US單獨(dú)作用下，R2支路的電流為

圖2-6-1(c)是電流源IS單獨(dú)作用下的情況。此情況下電壓源的作用為零，零電壓源相當(dāng)于零電阻(即短路)。在IS單獨(dú)作用下，R2支路的電流為

求所有獨(dú)立源單獨(dú)作用下R2支路電流的代數(shù)和，得

I′取正號(hào)，是因?yàn)槠鋮⒖挤较蚺cI的參考方向一致；I″取負(fù)號(hào)，是因?yàn)槠鋮⒖挤较蚺cI的參考方向相反。使用疊加定理時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)只能用來計(jì)算線性電路的電流和電壓，對(duì)非線性電路，疊加定理不適用。

(2)疊加時(shí)要注意電流和電壓的參考方向，求其代數(shù)和。

(3)化為幾個(gè)單獨(dú)電源的電路來進(jìn)行計(jì)算時(shí)，電壓源單獨(dú)作用，電流源處用開路代替；電流源單獨(dú)作用，電壓源處用短路代替。

(4)不能用疊加定理直接來計(jì)算功率。

疊加定理在線性電路分析中起重要作用，它是分析線性電路的基礎(chǔ)。線性電路的許多定理可從疊加定理導(dǎo)出。

獨(dú)立電源代表外界對(duì)電路的作用，我們稱其為激勵(lì)。激勵(lì)在電路中產(chǎn)生的電流和電壓稱為響應(yīng)。由線性電路的性質(zhì)得知：當(dāng)電路中只有一個(gè)激勵(lì)時(shí)，網(wǎng)絡(luò)的響應(yīng)與激勵(lì)成正比。

這個(gè)關(guān)系稱為齊次定理。用齊次定理分析梯形電路比較方便。

例2-12

圖2-6-2(a)所示橋形電路中R1=2Ω，R2=1Ω，R3=3Ω，R4=0.5Ω，US=4.5V，IS=1A。試用疊加定理求電壓源的電流I和電流源的端電壓U。圖2-6-2例2-12圖

解

(1)當(dāng)電壓源單獨(dú)作用時(shí)，電流源開路，如圖2-6-2(b)所示，各支路電流分別為

電流源支路的端電壓U′為

(2)當(dāng)電流源單獨(dú)作用時(shí)，電壓源短路，如圖2-6-2(c)所示，各支路電流為

電流源的端電壓為

(3)兩個(gè)獨(dú)立源共同作用時(shí)，電壓源的電流為

I=I′+I″=3.9+0.267=4.167A電流源的端電壓為

U=U′+U″=-1.2+1.5333=0.333V

例2-13

求圖2-6-3所示梯形電路中支路電流I5。圖2-6-3例2-13圖

解此電路是簡單電路，可以用電阻串并聯(lián)的方法化簡。但這樣很繁瑣。為此，可應(yīng)用齊次定理采用“倒推法”來計(jì)算。

先給出I5一個(gè)假定值，用加(′)的符號(hào)表示。

依次推算出其他電壓、電流的假定值：

由于實(shí)際電壓為10V，根據(jù)齊次定理可計(jì)算得

在某些情況下，我們只需計(jì)算復(fù)雜電路中某一特定支路的電流或電壓，為了使計(jì)算簡便，可不必如前面所述對(duì)復(fù)雜電路進(jìn)行全面求解來算出這一支路的電流或電壓值，這就要

用到戴維寧定理與諾頓定理。

任何一個(gè)具有兩個(gè)端鈕的網(wǎng)絡(luò)，不管其內(nèi)部結(jié)構(gòu)如何，都稱為二端網(wǎng)絡(luò)，也稱為單口網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部若含有獨(dú)立電源(電壓源或電流源)，則稱為有源二端網(wǎng)絡(luò)，否則稱為無源

二端網(wǎng)絡(luò)。2.7戴維寧定理與諾頓定理2.7.1戴維寧定理

對(duì)于任意線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路的作用可以用一個(gè)理想電壓源和內(nèi)阻串聯(lián)的電源模型來等效，其中電壓源的電壓等于該二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓UOC，內(nèi)阻R0等于有源二端網(wǎng)絡(luò)除去電源(理想電壓源短路，理想電流源開路)后所得無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，這就是戴維寧定理。

戴維寧定理可用圖2-7-1所示圖形來描述。圖2-7-1戴維寧定理在實(shí)際應(yīng)用中，戴維寧定理常用來分析和計(jì)算復(fù)雜電路中某一支路的電流(或電壓)。

方法是：先將待求支路斷開，則待求支路以外的部分就是一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)，這時(shí)先應(yīng)用戴維寧定理求出該有源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電壓源電壓UOC和內(nèi)阻R0，然后接上待求支路，即可求得待求量。圖2-7-2(a)所示為含源二端網(wǎng)絡(luò)(虛線內(nèi)部的電路)與外電路電阻R串聯(lián)的電路，根據(jù)戴維寧定理，含源二端網(wǎng)絡(luò)(虛線內(nèi)部的電路)對(duì)外電路的作用可用圖2-7-2(b)所示虛線內(nèi)部的電路來等效。所謂等效仍是指對(duì)外部電路而言的，即變換前后該網(wǎng)絡(luò)的端口電壓U和電流I保持不變。圖2-7-2戴維寧定理的應(yīng)用

2-7-2(b)的等效電路是一個(gè)簡單的電路，其中電流可由下式計(jì)算：

(2-26)

等效電壓源電壓UOC和內(nèi)阻R0可通過下述方法計(jì)算：

(1)電壓UOC在數(shù)值上等于把外電路斷開后，A、B兩端之間的電壓，即二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓。如圖2-7-2(c)所示，由圖可得該電路的開路電壓為

UOC=ISR1+US

(2)內(nèi)阻R0等于有源二端網(wǎng)絡(luò)化為無源二端網(wǎng)絡(luò)，即所有電源均除去(將各理想電壓源短路，理想電流源開路)后,從A、B兩端看進(jìn)去的等效電阻，如圖2-7-2(d)所示，由圖可得該電路的等效電阻為

R0=R1+R2值得注意的是，應(yīng)用戴維寧定理時(shí)，對(duì)于含有受控源的電路，求開路電壓UOC是對(duì)含受控源電路的計(jì)算，前面介紹的含受控源電路的分析方法均可采用；求等效電壓源的內(nèi)阻

R0時(shí)，去掉獨(dú)立源，但受控源要同電阻一樣保留，此時(shí)采用外加電源法計(jì)算等效電阻，即在兩端口處外加一電壓U，求得端口處的電流I，則U/I即為等效電阻R0。

例2-14

求圖2-7-3(a)所示電路的戴維寧等效電路。圖2-7-3例2-14圖

解先求開路電壓UOC，如圖2-7-3(a)所示，

然后求等效電阻R0，如圖2-7-3(b)所示,

戴維寧等效電路如圖2-7-3(c)所示。

例2-15

圖2-7-4(a)所示為一不平衡電橋電路，試求檢流計(jì)的電流I。

解將檢流計(jì)從A、B處斷開，余下的部分是有源二端網(wǎng)絡(luò)，利用戴維寧定理求解。

圖2-7-4例2-15圖

例2-16

圖2-7-5(a)電路中，已知R1=6Ω，R2=4Ω，US=10V，IS=4A，r=10Ω，用戴維寧定理求電流源的端電壓U3。

解將待求支路斷開，即將電流源從原電路中斷開移去，在如圖2-7-5(b)所示電路中求開路電壓UOC。因?yàn)槎蒜o電流為零，所以有

圖2-7-5例2-16圖

做出相應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)如圖2-7-5(c)所示。注意該圖中僅將原網(wǎng)絡(luò)中的電壓源看做短路，而保留了受控電壓源。利用外加電源法求等效電阻。在端鈕間外加一電壓U，端鈕處電流為I，則

所以其等效電阻為

做出戴維寧等效電路并與待求支路相連，如圖2-7-5(d)所示。因?yàn)橛?jì)算出的UOC=-6V，因而(d)圖電路中的等效電壓源實(shí)際極性為上負(fù)下正。由圖可求得

U3=ISR0+UOC=4×40-6=154V2.7.2諾頓定理

在戴維寧定理中等效電源是用電壓源來表示的。根據(jù)前面所述，一個(gè)電源除了可以用理想電壓源和內(nèi)阻串聯(lián)的電源模型表示外，還可以用理想電流源和內(nèi)阻并聯(lián)的電源模型來等效。

諾頓定理的內(nèi)容是：任何一個(gè)線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，對(duì)外電路來說，可以用一個(gè)理想電流源和內(nèi)阻并聯(lián)的電源模型來代替，其中理想電流源的電流IS等于二端網(wǎng)絡(luò)的短路電流ISC(即將兩端鈕短接后其中的電流)，內(nèi)阻R0等于有源二端網(wǎng)絡(luò)中所有電源均除去(理想電壓源短路，理想電流源開路)后所得無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻。

例2-17

對(duì)如圖2-7-6(a)所示電路，用諾頓定理求電阻R3上的電流I3。圖2-7-6例2-17圖

解將R3電阻支路短路，電路的其余部分構(gòu)成一個(gè)有源二端網(wǎng)絡(luò)，求此網(wǎng)絡(luò)的短路電流ISC，電路如圖2-7-6(b)所示。計(jì)算如下：

無源二端網(wǎng)絡(luò)等效電阻為

化簡后的等效電路如圖2-7-6(c)所示。由分流公式得R3上電流為

2.7.3含受控源電路的分析

以上介紹的各種方法和定理都可用來計(jì)算有受控源的電路，下面簡要介紹含受控源電路的特點(diǎn)。

(1)受控電壓源和電阻串聯(lián)組合與受控電流源和電阻并聯(lián)組合之間，像獨(dú)立源一樣可以進(jìn)行等效變換。但在變換過程中，必須保留控制變量的所在支路。

(2)應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)方程法分析計(jì)算含受控源的電路時(shí)，受控源按獨(dú)立源一樣對(duì)待和處理，但在網(wǎng)絡(luò)方程中，要將受控源的控制量用電路變量來表示。即在節(jié)點(diǎn)方程中，受控源的控

制量用節(jié)點(diǎn)電壓表示；在網(wǎng)孔方程中，受控源的控制量用網(wǎng)孔電流表示。

(3)用疊加定理求每個(gè)獨(dú)立源單獨(dú)作用下的響應(yīng)時(shí)，受控源要像電阻那樣全部保留。

同樣，用戴維寧定理求網(wǎng)絡(luò)除源后的等效電阻時(shí)，受控源也要全部保留。

(4)含受控源的二端電阻網(wǎng)絡(luò)，其等效電阻可能為負(fù)值，這表明該網(wǎng)絡(luò)向外部電路發(fā)出能量。

例2-18

電路如圖2-7-7所示。已知g=2S，求節(jié)點(diǎn)電壓和受控電流源發(fā)出的功率。圖2-7-7例2-18圖

解首先把受控源當(dāng)獨(dú)立電源處理，當(dāng)電路中存在受控電壓源時(shí)，應(yīng)增加電壓源電流變量i來建立節(jié)點(diǎn)方程。

(1+1)u1-1·u2=6-i

-1·u1+(1+1+1)u2-1·u3=0

-1·u2+(1+1)u3=gu2+i

補(bǔ)充方程

u1-u3=0.5u4=0.5(u2-u3)代入g=2S，消去電流i，經(jīng)整理得到以下節(jié)點(diǎn)方程：

2u1-4u2+2u3=6

-u1+3u2-u3=0

u1-0.5u2-0.5u3=0

求解可得

u1=4V，u2=3V，u3=5V

受控電流源發(fā)出的功率為

p=u3(gu2)=5×2×3=30W

注意：如問吸收的功率則計(jì)算公式要加負(fù)號(hào)。在測量、電子和信息工程的電子設(shè)備設(shè)計(jì)中，常常遇到電阻負(fù)載如何從電路獲得最大功率的問題。這類問題可以抽象為圖2-8-1(a)所示的電路模型來分析。2.8最大功率傳輸定理圖2-8-1最大功率傳輸定理網(wǎng)絡(luò)N表示供給電阻負(fù)載能量的含源線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)，它可用戴維寧等效電路來代替，如圖2-8-1(b)所示。電阻RL表示獲得能量的負(fù)載。此處要討論的問題是，電阻RL為何

值時(shí)，可以從單口網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率。寫出負(fù)載RL吸收功率的表達(dá)式

欲求p的最大值，應(yīng)滿足dp/dRL，即

由此式求得p為極大值或極小值的條件是

RL=R0

(2-27)由于

由此可知，當(dāng)R0>0，且RL=R０時(shí)，負(fù)載電阻RL從單口網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率。最大功率傳輸定理：含源線性電阻單口網(wǎng)絡(luò)(R0>0)向可變電阻負(fù)載RL傳輸最大功率的條件是：負(fù)載電阻RL與單口網(wǎng)絡(luò)的輸出電阻R0相等。滿足RL=R0條件時(shí)，稱為最大功率匹配，

此時(shí)負(fù)載電阻RL獲得的最大功率為

(2-28)若用諾頓等效電路，則可表為

(2-29)滿足最大功率匹配條件(RL=R0>0)時(shí)，R0吸收功率與RL

吸收功率相等，對(duì)電壓源uoc而言，功率傳輸效率為η=50%，對(duì)單口網(wǎng)絡(luò)N中的獨(dú)立源而言，效率可能更低。電力系統(tǒng)要求盡可能提高效率，以便更充分的利用能源，不能采用功率匹配條件。但是在測量、電子與信息工程中，常常著眼于從微弱信號(hào)中獲得最大功率，而不看重效率的高低。

例2-19

在如圖2-8-2(a)所示電路中，試求：

(1)RL為何值時(shí)獲得最大功率；

(2)RL獲得的最大功率；

(3)10V電壓源的功率傳輸效率。

解

(1)斷開負(fù)載RL，求得單口網(wǎng)絡(luò)N1的戴維寧等效電路參數(shù)為

如圖2-8-2(b)所示，由此可知當(dāng)RL=R0=1Ω時(shí)可獲得最大功率。圖2-8-2例2-19圖

(2)由式2-28求得RL獲得的最大功率為

(3)先計(jì)算10V電壓源發(fā)出的功率。當(dāng)RL=1Ω時(shí)，

10V電壓源發(fā)出37.5W功率，電阻RL吸收功率為6.25W，其功率傳輸效率為

1.等效變換

(1)n個(gè)電阻串聯(lián)。

等效電阻：

分壓公式：

小結(jié)

(2)n個(gè)電導(dǎo)并聯(lián)。

等效電導(dǎo)：