【中考】2017數(shù)學(xué)匯編專題19-等腰三角形含解析

專題19：等腰三角形

一、選擇題

1、6.（3分）（2017?包頭）若等腰三角形的周長(zhǎng)為10cm,其中一邊長(zhǎng)為2cm,

則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【分析】分為兩種情況：2cm是等腰三角形的腰或2cm是筆腰三角形的底邊，

然后進(jìn)一步根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分析能否構(gòu)成三角形.

【解答】解：若2cm為等腰三角形的腰長(zhǎng)，則底邊長(zhǎng)為10-2-2=6（cm）,2+2

<6,不符合三角形的三邊關(guān)系；

若2cm為等腰三角形的底邊，則腰長(zhǎng)為（10-2）=2=4（cm）,此時(shí)三角形的三

邊長(zhǎng)分別為2cm,4cm,4cm,符合三角形的三邊關(guān)系；

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時(shí)注意三角形的三邊關(guān)系：

三角形任意兩邊之和大于第三邊.

2、9.（3分）（2017?廣東）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于DA=DC,ZCBE=50°,

則NDAC的大小為（）

A.130°B.100°C.65°D.50°

【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)求出NABC的度數(shù)，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出

NADC的度數(shù)，由等腰三角形的性質(zhì)求得NDAC的度數(shù).

【解答】解：YNCBE=500,

??.ZABC=180°-ZCBE=180°-50°=130°,

,/四邊形ABCD為OO的內(nèi)接四邊形，

.*.ZD=I800-ZABC=180°-130°=50°,

VDA=DC,

???NDAC」800-ND.。,

2

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，即在同圓或等

圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

3、14.（3分）（2017?畢節(jié)市）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC,

CD上，且NEAF=45。，將4ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E處，

則下列判斷不正確的是（）

A.ZiAEE，是等腰直角三角形B,AF垂直平分EE

C.AETC^AAFDD.ZkAETt是等腰三角形

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE，=AE,ZEzAE=90°,于是得到AAEE，是等腰直角

三角形，故A正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到/E，AD=NBAE,由正方形的性質(zhì)得到N

DAB=90°,推出NE，AF=NEAF,于是得到AF垂直平分EE,故B正確；根據(jù)

余角的性質(zhì)得到NFE，E=NDAF,于是得到△E，ECs/\AFD,故C正確；由于

不一定等于NDAE，,于是得到AAET不一定是等腰三角形,

故D錯(cuò)誤.

【解答】解：,??將4ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，使點(diǎn)E落在點(diǎn)E，處,

???AE'=AE,NE'AE=90。，

???△AEE，是等腰直角三角形，故A正確；

??,將4ABE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使點(diǎn)E落在點(diǎn)E處,

???NE，AD=NBAE,

???四邊形ABCD是正方形，

.\ZDAB=90°,

*.*ZEAF=45°,

/.ZBAE+ZDAF=45°,

???"ADiNPAD=45。，

.*.ZE'AF=ZEAF,

VAE^AE,

.??AF垂直平分EE,故B正確；

VAFXE'E,ZADF=90°,

???NFEE+NAFD=NAFD+NDAF,

，NFE，E=NDAF,

AAE'EC^AAFD,故C正確；

VAD1ET,但NE'AD不一定等于NDAE',

???△AET不一定是等腰三角形，故D錯(cuò)誤；

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定，等腰直角

三角形的判定，線段垂直平分線的判定，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

4、10.（3分）（2017?黃石）如圖，己知凸五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)均相等，且N

DBE=NABE+NCBD,AC=L貝ijBD必定滿足（）

A.BD<2B.BD=2

C.BD>2D.以上情況均有可能

【分析】先根據(jù)等腰三角形的底角相等，得出NAED+NCDE=180。，判定AE〃

CD,再根據(jù)一個(gè)角是60。的等腰三角形是等邊三角形，得出4ABC是等邊三角

形.

【解答】證明：TAE=AB,

AZABE=ZAEB,同理NCBD=NCDB

VZABC=2ZDBE,

???ZABE+ZCBD=ZDBE,

VZABE=ZAEB,ZCBD=ZCDB,

NAEB+NCDB=NDBE,

.?.ZAED+ZCDE=180°,

AAE/7CD,

VAE=CD,

???四邊形AEDC為平行四邊形.

，DE=AC=AB=BC.

???△ABC是等邊三角形，

ABC=CD=1,

在4BCD中，VBD<BC+CD,

ABD<2.

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的底角相等，以及等邊三

角形的判定定理.解題時(shí)注意，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

5、6.（3分）（2017?荊州）如圖，在ZkABC中,AB=AC,ZA=30°,AB的垂直

平分線1交AC于點(diǎn)D,則ZCBD的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.50°D.75°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出NC,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，

推得NA=NABD=30。，由外角的性質(zhì)求出NBDC的度數(shù)，從而得出NCBD=45。.

【解答】解：???AB=AC,ZA=30°,

/.ZABC=ZACB=75°,

VAB的垂直平分線交AC于D,

AAD=BD,

.e.ZA=ZABD=30°,

AZBDC=60°,

/.ZCBD=180°-75°-60°=45°.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；利用三角

形外角的性質(zhì)求得求得NBDC=60。是解答本題的關(guān)鍵.本題的解法很多，用底角

750?30。更簡(jiǎn)單些.

6、10.（3分）（2017?包頭）已知下列命題:

①若且＞1,則a＞b；

b

②若a+b=0,貝ij|a|二b|；

③等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等；

④底角相等的兩個(gè)等腰三角形全等.

其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判

定、相反數(shù)逐個(gè)判斷即可.

【解答】解：???當(dāng)bVO時(shí)，如果亙＞1,那么aVb,???①錯(cuò)誤；

b

,若a+b=O,則|a|二b|正確,但是若|a|二|b|,則a+b=O錯(cuò)誤，，②錯(cuò)誤；

??,等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，正確，逆命題也正確，，③正確;

??,底角相等的兩個(gè)等腰三角形不一定全等，，④錯(cuò)誤;

其中原命題與逆命題均為真命題的個(gè)數(shù)是1個(gè),

故選A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了不等式的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性

質(zhì)和判定、相反數(shù)、命題與定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容是解此題的關(guān)鍵.

7、9.（3分）（2017?聊城）如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形，線段AB

的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn)，連接PA、PB,那

么使4ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的判定即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，使4ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是3,

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定，正確的找出符合條件的點(diǎn)P是解題

的關(guān)鍵.

8、11.（3分）（2017?聊城）如圖，將AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B落在

AB邊上點(diǎn)B，處，此時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A〃恰好落在BC邊的延長(zhǎng)線上，下列結(jié)論

錯(cuò)誤的（）

B\

BcA

A.NBCB^NACA'B.ZACB=2ZB

C.NB'CA=NB'ACD.B'C平分NBB'A'

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NBCB，=NACA，，故A正確，根據(jù)等腰三角形的

性質(zhì)得到NB二NBBC,根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到NACB，=2NB,等量代換

得到NACB=2NB,故B正確；等量代換得到NABC=NBB，C,于是得到B'C

平分NBB7V,故D正確.

【解答】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，NBCB，和NACA，都是旋轉(zhuǎn)角，則NBCB，=N

ACAS故A正確，

VCB=CB1,

/.ZB=ZBB,C,

又：NA'CB'二NB+NBB'C,

.?.ZArCB'=2ZB,

XVZACB=ZA'CBr,

???NACB=2NB,故B正確：

???NABC=NB,

???NABC=NBBC

，B，C平分NBB'A）故D正確；

故選C.

A

B,/\

BCA

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的性質(zhì)，正確的

識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

9、19.（3分）（2017?泰安）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是邊CD

上一點(diǎn)，且BC=EC,CF_LBE交AB于點(diǎn)F,P是EB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，下列結(jié)論:

①BE平分/CBF；②CF平分NDCB；③BOFB；④PF=PC,

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分別利用平行線的性質(zhì)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性

質(zhì)分別判斷得出答案.

【解答】證明：???BC=EC,

JZCEB=ZCBE,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

...DC〃AB,

AZCEB=ZEBF,

.*.ZCBE=ZEBF,

，①BE平分NCBF,正確；

VBC=EC,CF±BE,

???NECF=NBCF,

???②CF平分NDCB,正確；

VDC/ZAB,

.e.ZDCF=ZCFB,

VZECF=ZBCF,

JZCFB=ZBCF,

ABF=BC,

???③正確；

VFB=BC,CF±BE,

???B點(diǎn)一定在FC的垂直平分線上，即PB垂直平分FC,

?,.PF=PC,故④正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三

角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10>10.（3分）（2017?威海）如圖，在口ABCD中，NDAB的平分線交CD于

點(diǎn)E,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,NABC的平分線交CD于點(diǎn)F,交AD的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)H,AG與BH交于點(diǎn)O,連接BE,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.BO=OHB.DF=CEC.DH=CGD.AB=AE

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)一一判斷即可.

【解答】解：???四邊形ABCD是平行四邊形,

.?.AH//BG,AD=BC,

AZH=ZHBG,

VZHBG=ZHBA,

AZH=ZHBA,

AH=AB,同理可證BG=AB,

???AH=BG,VAD=BC,

??.DH;CG,故③正確，

VAII=AD,ZOAII=ZOAB,

AOH=OB,故①正確，

VDF/7AB,

ZDFH=ZABH,

VZH=ZABH,

AZH=ZDFH,

ADF=DH,同理可證EC二CG,

VDH-CG,

???DF=CE,故②正確，

無(wú)法證明AE=AB,

故選D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的

關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

11、9.（4分）（2017?淄博）如圖，半圓的直徑BC恰與等腰直角三角形ABC的

一條直角邊完全重合，若BC=4,則圖中陰影部分的面積是（）

+

A.27tB.2+2冗C.4+JCD.2+4兀

【分析】如圖，連接CD,OD,根據(jù)已知條件得到OB=2,/B=45。，根據(jù)三角

形和扇形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，連接CD,OD,

VBC=4,

/.OB=2,

VZB=45°,

，ZCOD=90°,

2

???圖中陰影部分的面積二SABOD+S朗形COD二工x2X2+9°■天義，=2+兀,

2360

故選A.

A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積的計(jì)算，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

—（x>0）

12.10.（3分）（2017?達(dá)州）已知函數(shù)尸々X的圖象如圖所示，點(diǎn)P

x

是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線交圖象于A,B兩點(diǎn)，連接OA、

OB.下列結(jié)論：

①若點(diǎn)Mi（xi,yi）,M2（X2,yz）在圖象上，且xiVx2V0,則yiVy2；

②當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0,-3）時(shí)，AAOB是等腰三角形；

③無(wú)論點(diǎn)P在什么位置，始終有S4AOB=7.5,AP=4BP；

④當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到使NAOB=90。時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2%，-我）.

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（）

v

A.1B.2C.3D.4

【分析】①錯(cuò)誤.因?yàn)閄iVx2V0,函數(shù)y隨X是增大而減小，所以yi>y2；

②正確.求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問(wèn)題;

③正確.設(shè)P(0,m),則B(3,m),A(-絲，m),可得PB=-2,PA=-絲,

IDIDIDID

推出PA=4PB,SAOB=SAOPB+SAOPA=^.+1^=7.5；

22

④正確.設(shè)P(0,m),則B(—,m),A(--1^-,m),推出PB=--?PA=--,

IDIDIDID

OP=-m,由△OPBs^APO，可得OP2=PB?PA,列出方程即可解決問(wèn)題；

【解答】解：①錯(cuò)誤.???xiVx2V0,函數(shù)y隨x是增大而減小，

.*.yi>y2?故①錯(cuò)誤.

②正確.VP(0,-3),

AB(-1,-3),A(4,-3),

AB=5,6\=在2+4A5,

；?AB=AO,

??.△AOB是等腰三角形，故②正確.

③正確.設(shè)P(0,m),則B(S,m),A(-—,m),

mm

APB=-XPA=-H,

mm

??.PA=4PB,

SAOB=SAOPB+SAOPA=—+A2^7.5,故③正確.

22

④正確.設(shè)P(0,m)?則B(―,m),A(-A2.,m),

mm

/.PB=--,PA=-OP=-m,

mm

VZAOB=90°,ZOPB=ZOPA=90°,

.?.ZBOP+ZAOP=90°,ZAOP+ZOPA=90°,

AZBOP=ZOAP,

AAOPB^AAPO,

.OP二PB

AP-OP，

AOP2=PB*PA,

?m2__3./12）

min

m4=36,

Vm<0,

m=-V6?

AA（2泥，-泥），故④正確.

???②③④正確，

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)綜合題、等腰三角形的判定、兩點(diǎn)間距離公式、相

似三角形的判定和性質(zhì)、待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

13、13.（3分）（2017?海南）己知AABC的三邊長(zhǎng)分別為4、4、6,在4ABC

所在平面內(nèi)畫一條直線，將AABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三

角形，則這樣的直線最多可畫（）條.

A.3B.4C.5D.6

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，利用4作為腰或底邊得出符合題意的圖形即可.

【解答】解：如圖所示:

當(dāng)AC=CD,AB=BG,AF=CF,AE=BE時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形.

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的判定以及應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖等知識(shí)，正確利

用圖形分類討論得出是解題關(guān)鍵.

14、11.（3分）（2017?天津）如圖，在aABC中，AB=AC,AD、CE^AABC

的兩條中線，P是AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長(zhǎng)度等于BP+EP最小值的是

（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

【分析】如圖連接PC,只要證明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PC

2CE,推出P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度.

【解答】解：如圖連接PC,

VAB=AC,BD=CD,

???AD_LBC,

???PB=PC,

???PB+PE=PC+PE,

;PE+PC2CE,

，P、C、E共線時(shí)，PB+PE的值最小，最小值為CE的長(zhǎng)度，

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱■最短問(wèn)題，等腰三角形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

15>10.（3分）（2017?杭州）如圖，在4ABC中,AB=AC,BC=12,E為AC

邊的中點(diǎn)，線段BE的垂直平分線交邊BC于點(diǎn)D.設(shè)BD二x,tanZACB=y,則

（）

A.x-y2=3B.2x-y2=9C.3x-y2=15D.4x-y2=21

【分析】過(guò)A作AQ_LBC于Q,過(guò)E作EM_LBC于M,連接DE,根據(jù)線段垂

直平分線求出DE=BD=x,根據(jù)等腰三角形求出BD=DC=6,求出CM=DM=3,

解直角三角形求出EM=3y,AQ=6y,在Rt^DEM中，根據(jù)勾股定理求出即可.

過(guò)A作AQ_LBC于Q,過(guò)E作EM_LBC于M,連接DE,

TBE的垂直平分線交BC于D,BD=x,

BD=DE=x,

VAB=AC,BC=12,tanZACB=y,

??.耨詈y,BQ=CQ=6,

...AQ=6y,

VAQ±BC,EM±BC,

，AQ〃EM,

YE為AC中點(diǎn),

.\CM=QM=1CQ=3,

EM=3y,

ADM=12-3-x=9-x,

在Rt^EDM中，由勾股定理得：x2=(3y)2+(9-x)2,

即2x-y2=9,

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直

角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵.

16、7.(3分)(2017?麗水)如圖，在口ABCD中,連結(jié)AC,ZABC=ZCAD=45°,

AB=2,貝I」BC的長(zhǎng)是()

A.V2B.2C.2V2D.4

【分析】證出4ACD是等腰直角三角形，由勾股定理求出AD,即可得出BC的

長(zhǎng).

【解答】解：,??四邊形ABCD是平行四邊形，

ACD=AB=2,BC=AD,ZD=ZABC=ZCAD=45°,

AAC=CD=2,ZACD=90°,

即aACD是等腰直角三角形，

BC=AD=J22+2i2^"^；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了平行四功形的性質(zhì)、勾股定理、等腰百角三角形的判定與性

質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明aACD是等腰直角三角形是解決問(wèn)題的

關(guān)鍵.

17、11.（4分）（2017?寧波）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E

在邊AB上，BE=4,過(guò)點(diǎn)E作EF〃BC,分別交BD,CD于G,F兩點(diǎn).若M,

N分別是DG,CE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）

【分析】作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△EMFg^CMD,則EM二CM,利

用勾股定理得：BD=*7記=6&，EC=展25，可得4EBG是等腰直

角三角形，分別求EM=CM的長(zhǎng)，利用勾股定理的逆定理可得aEMC是等腰直

角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得MN的長(zhǎng).

【解答】解：連接FM、EM、CM,

???四邊形ABCD為正方形,

/.ZABC=ZBCD=ZADC=90°,BC=CD,

VEF//BC,

AZGFD=ZBCD=90°,EF=BC,

AEF=BC=DC,

???ZBDC=^ZADC=45°,

2

???△GFD是等腰直角三角形，

???M是DG的中點(diǎn)，

AFM=DM=MG,FM_LDG,

JZGFM=ZCDM=45°,

AEM=CM,

過(guò)M作MH_LCD于H,

由勾股定理得：BD=^/62+62=6V2?

EC=^422=2VT3?

VZEBG=45°,

???△EBG是等腰直角三角形，

AEG=BE=4,

???BG=4&,

ADM=V2

AMH=DH=1,

ACH=6-1=5,

???CM=EM=^12+5a=V26,

VCE2=EM2+CM2,

???ZEMC=90°,

???N是EC的中點(diǎn),

2

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰直角三角形

的性質(zhì)和判定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理，屬于基礎(chǔ)題，

本題的關(guān)鍵是證明4EMC是直角三角形.

18、6.（3分）（2017?遵義）把一塊等腰直角三角尺和直尺如圖放置，如果Nl=30。,

則N2的度數(shù)為（）

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得N4的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可

得到N2的度數(shù).

【解答】解：???Nl=30。，

JZ3=90°-30°=60°,

??,直尺的對(duì)邊平行，

??.Z4=Z3=60°,

又?.?N4=N2+N5,Z5=45°,

/.Z2=60°-45°=15°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意:

兩直線平行，同位角相等.

19、8.（4分）（2017?臺(tái)州）如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以點(diǎn)B

為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E,則卜列結(jié)論一定正確的是（）

A.AE=ECB.AE=BEC.ZEBC=ZBACD.ZEBC=ZABE

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：VAB=AC,

AZABC=ZACB,

???以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E,

.\BE=BC,

.?.ZACB=ZBEC,

???ZBEC=ZABC=ZACB,

???NA=NEBC,

故選c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉菍?duì)應(yīng)相等時(shí)其頂角

也相等，難度不大.

二、填空題

12.（4分）（2017?麗水）等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°,則頂角的度數(shù)是

100。.

【分析】根據(jù)100。角是鈍角判斷出只能是頂角，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相

等解答.

【解答】解：VI00°>90°,

???100。的角是頂角,

故答案為：100。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，先判斷出100。的角是頂角

是解題的關(guān)鍵.

2、15.（3分）（2017?邵陽(yáng)）如圖所示的正六邊形ABCDEF,連結(jié)FD,則NFDC

的大小為90°.

【分析】首先求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???在正六邊形ABCDEF中，ZE=ZEDC=120°f

VEF=DE,

???ZEDF=ZEFD=30°,

.??NFDC=90。，

故答案為：90°

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正多邊形和圓.等腰三角形的性質(zhì)，此題難度不大，注意數(shù)

形結(jié)合思想的應(yīng)用.

3、14.（3分）（2017?白銀）如圖，4ABC內(nèi)接于。O,若NOAB=32。，則NC二

58°.

【分析】由題意可知aOAB是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)求出NAOB,

再利用圓周角定理確定NC.

【解答】解：如圖，連接OB,

VOA=OB,

??.△AOB是等腰三角形，

AZOAB=ZOBA,

???ZOAB=32°,

.e.ZOAB=ZOAB=32°,

.,.ZAOB=116°,

???ZC=58°.

故答案為58.

【點(diǎn)評(píng)】本題是利用圓周角定理解題的典型題目，題目難度不大，正確添加輔助

線是解題關(guān)鍵，在解決和圓有關(guān)的題目時(shí)往往要添加圓的半徑.

4、15.（3分）（2017?株洲）如圖，已知AM為。O的直徑,直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,

且AB=AC,NBAM;NCAM,線段AB和AC分別交。0于點(diǎn)D、E,ZBMD=40°,

則ZEOM=80°.

【分析】連接EM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AM±BC,進(jìn)而求出NAMD=70。,

于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接EM,

VAB=AC,ZBAM=ZCAM,

AAMIBC,

???AM為。O的直徑,

.?.ZADM=ZAEM=90°,

/.ZAME=ZAMD=90°-ZBMD=50°

.??ZEAM=40°,

.e.ZEOM=2ZEAM=80°,

故答案為：80°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解

題的關(guān)鍵.

5、13.（3分）（2017?武漢）如圖，在。ABCD中，ZD=100°,NDAB的平分線

AE交DC于點(diǎn)E,連接BE.若AE=AB,則NEBC的度數(shù)為30。.

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得出NABOND=100。，AB〃CD,得出/

BAD=180°-ZD=80°,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出/

ABE=70°,即可得出NEBC的度數(shù).

【解答】解：,??四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.ZABC=ZD=100°,AB//CD,

AZBAD=180°-ZD=80°,

〈AE平分NDAB,

.?.ZBAE=80°4-2=40°,

VAE=AB,

/.ZABE=(180°-40°)4-2=70°,

???ZEBC=ZABC-ZABE=30°；

故答案為：30°.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形和內(nèi)角

和定理等知識(shí)；關(guān)鍵是掌握平行四邊形對(duì)邊平行，對(duì)角相等.

6、20.（4分）（2017?蘭州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，口ABCO的頂點(diǎn)

A,B的坐標(biāo)分別是A（3,0）,B（0,2）.動(dòng)點(diǎn)P在直線y二-1x上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P

為圓心，PB長(zhǎng)為半徑的。P隨點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)，當(dāng)OP與uABCO的邊相切時(shí)，P點(diǎn)的

坐標(biāo)為（0,0）或（2,1）或（3-泥，空匹）.

3——2

【分析】設(shè)P（X,2x）,OP的半徑為「，由題意BCJ_y軸，直線OP的解析式

2

y=lx,直線OC的解析式為v=-2x,可知OPLOC,分分四種情形討論即可.

23

【解答】解：①當(dāng)。P與BC相切時(shí)，;動(dòng)點(diǎn)P在直線y=&c上，

2

???P與O重合，此時(shí)圓心P到BC的距離為OB,

???p（0,0）.

②如圖1中，當(dāng)。P與OC相切時(shí)，則OP=BP,ZXOPB是等腰三角形，作PE_L

y軸于E,則EB=EO,易知P的縱坐標(biāo)為1,可得P（~1,1）.

③如圖2中，當(dāng)。P與OA相切時(shí)，則點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離與點(diǎn)P到x軸的距離相

等，可得Jx2+(,x-2),

解得x=3+加或3-泥，

Vx=3+V5>OA,

???P不會(huì)與0A相切，

???x=3+逐不合題意，

???p(3-泥，型匹).

2

④如圖3中，當(dāng)。P與AB相切時(shí)，設(shè)線段AB與直線0P的交點(diǎn)為G,此時(shí)PB二PG,

圖3

VOP±AB,

???/BGP二NPBG=900不成立，

?,?此種情形，不存在P.

綜上所述，滿足條件的P的坐標(biāo)為（0,0）或（2,1）或（3-巡，空匹）.

32

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、一次函數(shù)的應(yīng)用、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)

等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題,

屬于中考填空題中的壓軸題.

7、16.（3分）（2017?貴港）如圖，點(diǎn)P在等邊AABC的內(nèi)部，且PC=6,PA=8,

PB=10,將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到P'C,連接AP,則sin/PAP的值

【分析】連接PP,如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CP=CP，=6,ZPCPr=60°,則可判

定aCPP，為等邊三角形得到PP，=PC=6,再證明△PCBgaPCA得到PB=P，A=10,

接著利用勾股定理的逆定理證明aAPP為直角三角形，NAPP』90。，然后根據(jù)正

弦的定義求解.

【解答】解：連接PPI如圖，

???線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到PC,

??.CP=CP'=6,NPCP'=60。，

???△CPP為等邊三角形,

???PP'=PC=6,

VAABC為等邊三角形，

???CB=CA,ZACB=60°,

???NPCB=NPCA,

在apcB和APCA中

'POP'c

<NPCB=NP，CA，

CB=CA

.,.△PCB^APZCA,

，PB=P，A=10,

V62+82=102,

APP^+AP^P/A2,

???△APP為直角三角形，ZAPPf=90o,

/.sin/PAP，=PP'

PzA105

故答案為旦

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)

中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.也考查了等邊三角形

的性質(zhì)和勾股定理的逆定理.

8、17.（4分）（2017?安順）如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,ZXABE是等

邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P,使PD+PE的和

最小，則這個(gè)最小值為6

【分析】由于點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，所以連接BD,交AC于P點(diǎn).此時(shí)PD+PE

的最小值二BE,而BE是等邊4ABE的邊，BE=AB,由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

6,可求出AB的長(zhǎng)，從而得出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P,連接BD,

??,點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱，

APD=PB,

???PD+PE=PB+PE=BE最小.

即P在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度;

???正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,

AAB=6.

又???△ABE是等邊三角形,

ABE=AB=6.

故所求最小值為6.

故答案為：6.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查軸對(duì)稱--最短路線問(wèn)題，要靈活運(yùn)用對(duì)稱性解決此類問(wèn)

題.

9、18.（4分）（2017?安順）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線1：y=x+2交x軸

于點(diǎn)A,交y軸于點(diǎn)Ai,點(diǎn)A2,A3,…在直線1上，點(diǎn)Bi,B2,B3,…在x軸

的正半軸上，若△AQBi,AA2B1B2,△A3B2B3,…，依次均為等腰直角三角形,

直角頂點(diǎn)都在x軸上，則第n個(gè)等腰直角三角形AnBn」Bn頂點(diǎn)Bn的橫坐標(biāo)為

2n，1-2.

?y

A/

.p<N\?

/oBiB2B3X

【分析】先求出Bl、B2、B3…的坐標(biāo)，探究規(guī)律后,即可根據(jù)規(guī)律解決問(wèn)題.

【解答】解：由題意得OA=OA『2,

/.OBI=OAI=2,

BIB2=BIA2=4,B2A3=BZB3=8,

ABI(2,0),Ba(6,0),Bj(14,0)

2=22-2,6=23-2,14=24-2,...

???Bn的橫坐標(biāo)為2館-2.

故答案為2nf,-2.

八y

A/

菱(RI\?

/。&B2B3X

【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是從特殊到一般，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型

10、16.（5分）（2017?六盤水）如圖，在正方形ABCD中，等邊三角形AEF的

頂點(diǎn)E、F分別在邊BC和CD上，則NAEB=75度.

【分析】只要證明△ABEg^ADF,可得NBAE二NDAF=（90°-60°）4-2=15°,

即可解決問(wèn)題.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形,

AAB=AD,ZB=ZD=ZBAD=90°,

在RtAABE和RtAADF中,

[AB=AD,

lAE=AF，

/.△ABE^AADF,

.*.ZBAE=ZDAF=(90°-60°)4-2=15°,

/.ZAEB=75°,

故答案為75.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確

尋找全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

11、16.（5分）（2017?紹興）如圖，ZAOB=45°,點(diǎn)M,N在邊OA上，OM=x,

ON=x+4,點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)，若使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好

有三個(gè)，貝|Jx的值是_x=0或x=4爽?4或4VxV4包.

【分析】分三種情況討論：先確定特殊位置時(shí)成立的x值，

①如圖1,當(dāng)M與0重合時(shí)，即x=0時(shí)，點(diǎn)P恰好有三個(gè)；

②如圖2,構(gòu)建腰長(zhǎng)為4的等腰直角△OMC,和半徑為4的。M,發(fā)現(xiàn)M在點(diǎn)

D的位置時(shí)，滿足條件；

③如圖3,根據(jù)等腰三角形三種情況的畫法：分別以M、N為圓心，以MN為半

徑畫弧，與0B的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P,再以MN為底邊的等腰三角形，通

過(guò)畫圖發(fā)現(xiàn)，無(wú)論x取何值，以MN為底邊的等腰三角形都存在一個(gè)，所以只

要滿足以MN為腰的三角形有兩個(gè)即可.

【解答】解：分三種情況：

①如圖1,當(dāng)M與O重合時(shí)，即x=0時(shí)，點(diǎn)P恰好有三個(gè)；

②如圖2,以M為圓心，以4為半徑畫圓，當(dāng)。M與0B相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C,

OM與0A交于D,

A

圖2

AMC±OB,

???ZAOB=45°,

AAMCO是等腰直角三角形，

AMC=OC=4,

???OM=4&,

當(dāng)M與D重合時(shí)，即x=OM-DM=4加-4時(shí)，同理可知：點(diǎn)P恰好有三個(gè)；

③如圖3,取OM=4,以M為圓心，以O(shè)M為半徑畫圓，

則。M與OB除了O外只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)x=4,即以NPMN為頂角，MN為

腰，符合條件的點(diǎn)P有一個(gè)，以N圓心，以MN為半徑畫圓，與直線0B相離,

說(shuō)明此時(shí)以NPNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點(diǎn)P不存在，還有一個(gè)是

以NM為底邊的符合條件的點(diǎn)P；

點(diǎn)M沿OA運(yùn)動(dòng)，到Mi時(shí)，發(fā)現(xiàn)。Mi與直線OB有一個(gè)交點(diǎn)：

???當(dāng)4VxV4加時(shí)，圓M在移動(dòng)過(guò)程中，則會(huì)與0B除了。外有兩個(gè)交點(diǎn)，滿

足點(diǎn)P恰好有三個(gè)；

綜上所述，若使點(diǎn)P,M,N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是：

x=0或x=4V2-4或4<x<4-72.

故答案為：x=0或x=4V^-4或4<x<4加.

A

圖3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，有難度，本題通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想解決

問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握已知一邊，作等腰三角形的畫法.

12、17.（3分）（2017?齊齊哈爾）經(jīng)過(guò)三邊都不相等的三角形的一個(gè)頂點(diǎn)的線段

把三角形分成兩個(gè)小三角形，如果其中一個(gè)是等腰三角形，另夕I、一個(gè)三角形和原

三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線如圖，線段CD

是4ABC的“和諧分割線”，AACD為等腰三角形，Z\CBD和4ABC相似，Z

A=46°,則NACB的度數(shù)為113?；?2。.

【分析】由4ACD是等腰三角形，ZADOZBCD,推出NADONA,即AC

WCD,分兩種情形討論①當(dāng)AC=AD時(shí)，②當(dāng)DA=DC時(shí)，分別求解即可.

【解答】解：VABCD^ABAC,

.?.ZBCD=ZA=46°,

???△ACD是等腰三角形，VZADOZBCD,

AZADOZA,即ACHCD,

①當(dāng)AC=AD時(shí)，ZACD=ZADC=-^(180°-46°)=67°,

2

.?.ZACB=67O+46°=113°,

②當(dāng)DA=DC時(shí)，ZACD=ZA=46°,

???ZACB=46°+46°=92°,

故答案為113°或92°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}

型.

13、19.（3分）（2017?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形

OA1A2的直角邊OAi在y軸的正半軸上，且OAi=AIA2=1,以O(shè)A2為直角邊作

第二個(gè)等腰直角三角形OA2A3,以O(shè)A3為直角邊作第三個(gè)等腰直角三角形

OA3A4,…，依此規(guī)律,得到等腰直角三角形OA2017A2018,則點(diǎn)A2017的坐標(biāo)為

（0,（爽）2016）或（。.

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到OAi=l,OA2=V2,OA3=（V2）2,…,

OA2oi7=（V2）2016?再利用Ai、A2、A3、…，每8個(gè)一循環(huán)，再回到y(tǒng)軸的正

半軸的特點(diǎn)可得到點(diǎn)A2017在y軸的正半軸上，即可確定點(diǎn)A2017的坐標(biāo).

【解答】解：???等腰直角三角形OA1A2的直角邊OAi在y軸的正半軸上，且

OAI=AIA2=1,以O(shè)A2為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形OA2A3,以O(shè)A3為直角

邊作第三個(gè)等腰直角三角形OA3A4,…，

/?OAi=l,OA2=V2?OA3=(V2)...?OA2oi7=(A/2)20,6

VAixA2、A3、…，每8個(gè)一循環(huán)，再回到y(tǒng)軸的正半軸,

20174-8=252...1,

???點(diǎn)A2017在第一象限，

VOA2017=（V2）2。叱

???點(diǎn)A2017的坐標(biāo)為（0,（V2）2016）即（0,21008）.

故答案為（0,（V2）236）或（0,2,008）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等腰直角三角形的性質(zhì)：等腰直角三角

形的兩底角都等于45。；斜邊等于直角邊的加倍.也考查了直角坐標(biāo)系中各象限

內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征.

14、20.（3分）（2017?綏化）在等腰aABC中，AD_LBC交直線BC于點(diǎn)D,

若AD=A.BC,貝IJZ\ABC的頂角的度數(shù)為30?；?50?；?0。.

2

【分析】分兩種情況；①BC為腰，②BC為底，根據(jù)直角三角形30。角所對(duì)的直

角邊等于斜邊的一半判斷出/ACD=30。，然后分AD在4ABC內(nèi)部和外部?jī)煞N

情況求解即可.

【解答】解：①BC為腰，

???AD_LBC于點(diǎn)D,AD=A.BC,

2

ZACD=30°,

如圖LAD在aABC內(nèi)部時(shí)，頂角NC=30。，

如圖2,AD在aABC外部時(shí)，頂角NACB=180°-30°=150。,

②BC為底，如圖3,

???AD_LBC于點(diǎn)D,AD=-1.BC,

2

AAD=BD=CD,

，NB=NBAD,ZC=ZCAD,

，NBAD+NCAD=LX180O=90°,

2

，頂角NBAC=90。，

綜上所述，等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30?；?50?；?0°.

故答案為：30?；?50?；?0。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了含30。交點(diǎn)直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，分類討

論是解題的關(guān)鍵.

15、21.（3分）（2017?綏化）如圖，順次連接腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形各邊中

點(diǎn)得到第1個(gè)小三角形，再順次連接所得的小三角形各邊中點(diǎn)得到第2個(gè)小三角

n個(gè)小三角形的面積為

【分析】記原來(lái)三角形的面積為s,第一個(gè)小三角形的面積為si,第二個(gè)小三角

形的面積為S2,…，求出SI,S2,S3,探究規(guī)律后即可解決問(wèn)題.

【解答】解：記原來(lái)三角形的面積為S,第一個(gè)小三角形的面積為SI,第二個(gè)小

三角形的面積為S2,…,

.?Sic=-l^S=—1

422

S2=—?§,

4

442

S3二士ts,

26

??Sn=-1■?s=>-1*2*2=--——,

22n22n22211-1

故答案為

22kl

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的中位線定理，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是循

環(huán)從特殊到一般的探究方法，尋找規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問(wèn)題.

16、12.（3分）（201分黃岡）如圖,在正方形ABCD的外側(cè),作等邊AADE,

則NBED的度數(shù)是一45。.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AR與AD的關(guān)系，/RAD的度數(shù)，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)，可得AE與AD的關(guān)系，NAED的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性

質(zhì)，可得NAEB與NABE的關(guān)系，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，可得NAEB的度數(shù)，

根據(jù)角的和差，可得答案.

【解答】解：???四邊形ABCD是正方形,

AAB=AD,ZBAD=90°.

???等邊三角形ADE,

???AD二AE,ZDAE=ZAED=60°.

ZBAE=ZBAD+ZDAE=90°+60°=150°,

AB=AE,

ZAEB=ZABE=（180°-ZBAE）4-2=15°,

ZBED=ZDAE-ZAEB=60°-15°=45°,

故答案為：45。.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，先求出NBAE的度數(shù),

再求出NAEB,最后求出答案.

17、16.（4分）（2017?懷化）如圖，在菱形ABCD中，ZABC=120°,AB=10cm,

點(diǎn)P是這個(gè)菱形內(nèi)部或邊上的一點(diǎn).若以P,B,C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角

形，則P,A（P,A兩點(diǎn)不重合）兩點(diǎn)間的最短距離為10立?10cm.

【分析】分三種情形討論①若以邊BC為底.②若以邊PB為底.③若以邊PC

為底.分別求出PD的最小值，即可判斷.

【解答】解：連接BD,在菱形ABCD中，

VZABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,

JZA=ZC=60°,

?,.△ABD,ABCD都是等邊三角形，

①若以邊BC為底，則BC垂直平分線上（在菱形的邊及其內(nèi)部）的點(diǎn)滿足題意,

此時(shí)就轉(zhuǎn)化為了“直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)連線的線段中垂線段最短”，即當(dāng)點(diǎn)

P與點(diǎn)D重合時(shí)，PA最小，最小值PA=10；

②若以邊PB為底，NPCB為頂角時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作圓，與AC

相交于一點(diǎn)，則弧BD（除點(diǎn)B外）上的所有點(diǎn)都滿足APBC是等腰三角形，當(dāng)

點(diǎn)P在AC上時(shí)，AP最小，最小值為10晶-10；

③若以邊PC為底，/PBC為頂角，以點(diǎn)B為圓心，BC為半徑作圓，則弧AC

上的點(diǎn)A與點(diǎn)D均滿足△PBC為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，PA最小,

顯然不滿足題意，故此種情況不存在；

綜上所述，PD的最小值為10>巧-1。（cm）；

故答案為：10^-10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

18、16.（3分）（2017?連云港）如圖，己知等邊三角形OAB與反比例函數(shù)

x

（k>0,x>0）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，將AOAB沿直線OB翻折，得到△OCB,

點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C,線段CB交x軸于點(diǎn)D,則毀的值為返工.（已知

DC-2~

sin15。=近返）

4

【分析】作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知：直線OM：

y=x,求出NBOF=15。，根據(jù)15。的正弦列式可以表示BF的長(zhǎng)，證明△BDFs4

CDN,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過(guò)O作OM_LAB于M,

VAAOB是等邊三角形，

AAM=BM,ZAOM=ZBOM=30°,

???A、B關(guān)于直線0M對(duì)稱，

???A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y二四（k>0,x>0）的圖象上，且反比例函數(shù)關(guān)于直

x

線y=x對(duì)稱，

，直線OM的解析式為：y=x,

.?.ZBOD=45°-30°=15°,

過(guò)B作BF_Lx軸于F,過(guò)C作CN_Lx軸于N,

sinZBOD=sin15。二匹近跡，

0B4

VZBOC=60°,ZBOD=15°,

ZCON=45°,

???△CNO是等腰直角三角形，

.\CN=ON,

設(shè)CN=x,則OC二小，

.'.OB=V2x?

.BF-V6-V2

一醞~r-，

...BF二（《T）x,

2

???BFJ_x軸，CN_Lx軸，

，BF〃CN,

??.△BDFs/XCDN,

.BD二%2二好1

?*CD^CNx2

故答案為：正L.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、等邊三角形的性質(zhì)、等

腰直角三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、翻折的性質(zhì)，

明確反比例函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱是關(guān)鍵,在數(shù)學(xué)題中常設(shè)等腰直角三角形的直

角邊為未知數(shù)x,根據(jù)等腰直角三角形斜邊是直角邊的加倍表示斜邊的長(zhǎng)，從而

解決問(wèn)題.

19、18.（3分）（2017?蘇力卜）如圖，在矩形ABCD中，將/ABC繞點(diǎn)A按逆

時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后，BC的對(duì)應(yīng)邊B'C交CD邊于點(diǎn)G.連接BB\CC,.若

AD=7,CG=4,AB^BG則馬二恒（結(jié)果保留根號(hào)）.

BB，一5一

【分析】先連接AC,AG,AC,構(gòu)造直角三角形以及相似三角形，根據(jù)AABB，

^△ACC,可得至池，設(shè)AB=AB'=x,貝IJAG=揚(yáng)，DG=x