《運籌學(xué)（第3版）》 課件 第2章 線性規(guī)劃的敏感性分析

第2章線性規(guī)劃的敏感性分析SensitivityAnalysisforLinearProgramming實用運籌學(xué)

－－運用Excel建模和求解（第3版）本章內(nèi)容要點線性規(guī)劃的敏感性分析利用Excel進行敏感性分析本章主要內(nèi)容框架圖2.1線性規(guī)劃的敏感性分析在第1章的討論中，假定線性規(guī)劃模型中的所有系數(shù)（包括目標(biāo)函數(shù)系數(shù)cj、工藝系數(shù)aij、約束條件的右邊項bi）都是確定的常數(shù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)解。2.1線性規(guī)劃的敏感性分析但事實上，系數(shù)cj、aij、bi都有可能變化，因此，要再對這些系數(shù)進行進一步的分析，以決定是否需要調(diào)整決策。敏感性分析研究的另一類問題是探討在原線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上增加一個變量或者一個約束條件對最優(yōu)解的影響。2.1線性規(guī)劃的敏感性分析對例1-1進行敏感性分析最優(yōu)解為（2，6），最優(yōu)值為36002.1線性規(guī)劃的敏感性分析問題1：如果門的單位利潤由原來的300元增加到500元，最優(yōu)解是否會發(fā)生變化？對總利潤又會產(chǎn)生怎樣的影響?問題2：如果門和窗的單位利潤都發(fā)生變化，最優(yōu)解會不會發(fā)生變化？對總利潤又會產(chǎn)生怎樣的影響?問題3：如果車間2的可用工時增加1小時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?問題4：如果同時改變多個車間的可用工時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?問題5：如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗由原來的2小時縮短為1.5小時,最優(yōu)解是否會發(fā)生變化？總利潤是否會發(fā)生變化？問題6：工廠考慮增加一種新產(chǎn)品（防盜門），總利潤是否會發(fā)生變化？問題7：如果工廠新增用電限制，是否會改變原來的最優(yōu)方案？2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析下面討論在假定只有一個系數(shù)cj發(fā)生變化，模型中的其他參數(shù)保持不變的情況下，單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的變化對最優(yōu)解的影響。例1-1的問題1：如果當(dāng)初對門的單位利潤估計不準(zhǔn)確，如把它改成500元，是否會影響求得的最優(yōu)解呢？方法1：利用電子表格進行互動分析（重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：利用“敏感性報告”尋找單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許變化范圍。2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進行互動分析（重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能）?？梢越柚娮颖砀窕拥卣归_敏感性分析。當(dāng)模型參數(shù)發(fā)生改變時，只要修改電子表格模型中相應(yīng)的參數(shù)，再重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能，就可以看出改變參數(shù)對最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響。需要逐個嘗試，效率略顯低下。求解結(jié)果為：最優(yōu)解沒有發(fā)生改變，仍然是（2，6）。由于門的單位利潤增加了500－300＝200（元），因此總利潤增加了200×2＝400（元）2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析方法2：利用“敏感性報告”尋找單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)的允許變化范圍。生成“敏感性報告”工作表；讀懂相應(yīng)的信息。當(dāng)門的單位利潤從300元增加到500元時，還是在c1允許的變化范圍內(nèi)，最優(yōu)解不會發(fā)生變化，仍然是（2，6）。c1允許的變化范圍：[300-300，300+450]

即[0,750]

2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析結(jié)果：最優(yōu)解沒有發(fā)生變化，仍然是（2，6）；由于門的單位利潤增加了500－300＝200（元），因此總利潤增加了200×2＝400（元）。2.2單個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變化的敏感性分析圖解法：直觀可以看到

最優(yōu)解（2，6）

保持不變

。2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化的敏感性分析多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化對最優(yōu)解的影響。例1-1的問題2：假如原先門的單位利潤（300元）低估了，現(xiàn)在升為450元；同時，以前窗的單位利潤（500元）高估了，現(xiàn)在降為400元。這樣的變化是否會導(dǎo)致最優(yōu)解發(fā)生變化呢？方法1：利用電子表格進行互動分析（重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：利用“敏感性報告”進行分析（目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化的百分之百法則）。2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進行互動分析，重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能?？梢钥闯?，最優(yōu)解并沒有發(fā)生變化，總利潤由于門和窗的單位利潤的改變相應(yīng)地改變了(450－300)×2＋(400－500)×6＝－3002.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化的敏感性分析方法2：利用“敏感性報告”進行分析。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化的百分之百法則：如果目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化，計算出每一系數(shù)變化量占該系數(shù)允許變化量（允許的增量或允許的減量）的百分比，然后將各個系數(shù)變化的百分比相加。如果所得的變化的百分比總和不超過100%，則最優(yōu)解不會改變；如果超過了100%，則不能確定最優(yōu)解是否改變（可能改變，也可能不變），可通過重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能來判斷。由于變化的百分比總和不超過100%，因而可以確定最優(yōu)解仍為（2，6）。2.3多個目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變化的敏感性分析但是變化的百分比總和超過了100%，并不表示最優(yōu)解一定會改變。例如，門和窗的單位利潤都減半變化的百分比總和超過了100%，但從右圖看最優(yōu)解還是（2，6），沒有發(fā)生改變。這是由于這兩個單位利潤同比例變化，等利潤直線的斜率不變，因此最優(yōu)解就保持不變。2.4單個約束右邊項變化的敏感性分析單個約束右邊項變化對目標(biāo)值的影響。例1-1的問題3：如果車間2的可用工時增加1小時，總利潤是否會發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會發(fā)生變化?方法1：利用電子表格進行互動分析（重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：從“敏感性報告”中獲得關(guān)鍵信息（影子價格，shadowprice）。2.4單個約束右邊項變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進行互動分析，重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能?？偫麧櫈?750元，增加了3750－3600＝150（元）。由于總利潤增加了，而目標(biāo)函數(shù)系數(shù)不變，因此最優(yōu)解一定會發(fā)生改變，從圖中可以看出，最優(yōu)解由原來的（2，6）變?yōu)椋?.667，6.5）。2.4單個約束右邊項變化的敏感性分析方法2：從“敏感性報告”中獲得關(guān)鍵信息。影子價格（shadowprice）：是指線性規(guī)劃模型在保持其他參數(shù)不變的前提下，某個約束的右邊項在一個微小的范圍內(nèi)變動一單位時，導(dǎo)致的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值的變動量。第二個約束條件（車間2的工時約束）的影子價格是150，說明在允許變化范圍[6，18]（即[12-6，12+6]）內(nèi)，再增加（或減少）1小時的可用工時，總利潤將增加（或減少）150（元）。2.4單個約束右邊項變化的敏感性分析圖解法：直觀可以看到

在這個范圍內(nèi)，車間2的約束右邊項每增加（或減少）1個單位，交點的移動就使利潤增長（或減少）1個影子價格的數(shù)量（150元）。2.5多個約束右邊項同時變化的敏感性分析多個約束右邊項同時變化對目標(biāo)值的影響。例1-1的問題4：將1小時的工時從車間3移到車間2，對總利潤所產(chǎn)生的影響。方法1：利用電子表格進行互動分析（重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能）；方法2：利用“敏感性報告”進行分析（約束右邊項同時變化的百分之百法則）。2.5多個約束右邊項同時變化的敏感性分析方法1：利用電子表格進行互動分析，重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能?？偫麧櫾黾恿?650-3600=50（元），影子價格有效。2.5多個約束右邊項同時變化的敏感性分析方法2：利用“敏感性報告”進行分析。約束右邊項同時變化的百分之百法則：如果約束右邊項同時變化，計算每一右邊項變化量占該約束右邊項允許變化量（允許的增量或允許的減量）的百分比，然后將各個約束右邊項的變化的百分比相加。如果所得的變化的百分比總和不超過100%，那么影子價格依然有效；如果超過了100％，就無法確定影子價格是否依然有效（可能有效，也可能無效），可通過重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能來判斷。由于變化的百分比總和不超過100%，因此用影子價格來預(yù)測這些變化的影響是有效的?？偫麧櫟淖兓繛椋海?3－12）×150－（18－17）×100＝50（元）2.5多個約束右邊項同時變化的敏感性分析在影子價格的有效范圍內(nèi)，總利潤的變化量可以直接通過影子價格來計算。比如將車間3的3個工時轉(zhuǎn)移給車間2，由于所以，總利潤的變化量為2.6約束條件系數(shù)變化的敏感性分析例1-1的問題5：車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗由原來的2小時縮短為1.5小時,此時最優(yōu)解是否會發(fā)生變化？總利潤是否會發(fā)生變化？利用電子表格進行互動分析(重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能)重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能后，最優(yōu)解發(fā)生了改變，變?yōu)椋?/3，8），總利潤也由原來的3600元增加到4200元?？梢?，車間2更新生產(chǎn)工藝后，為工廠增加了利潤。2.7增加一個新變量例1-1的問題6：例2-1工廠考慮增加一種新產(chǎn)品---防盜門，假設(shè)其單位利潤為400元。生產(chǎn)一扇防盜門占用車間1、車間2、車間3的時間分別為2小時、1小時、1小時。請問新產(chǎn)品是否能為工廠帶來利潤？利用電子表格進行互動分析（重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能)最優(yōu)解為(2,5.5,1）,總利潤為3750元?？梢娦庐a(chǎn)品為工廠增加了利潤。2.8增加一個約束條件例1-1的問題7：增加電量供應(yīng)限制。例2-2

在例1-1中，假定生產(chǎn)一扇門和窗需要消耗的電量分別為20kW·h和10kW·h，工廠可供電量最多為90kW·h，請問在此情況下工廠的利潤會發(fā)生何種變化?利用電子表格進行互動分析(重新運行Excel“規(guī)劃求解”功能)可見，電量約束的確限制了門的每周產(chǎn)量（而窗的每周產(chǎn)量不變），最優(yōu)解變成(1.5,6),總利潤也相應(yīng)地下降為3450元。2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例例2-3力浦公司是一家生產(chǎn)外墻涂料的建材企業(yè)。目前生產(chǎn)甲、乙兩種規(guī)格的產(chǎn)品，這兩種產(chǎn)品在市場上的單位利潤分別是4萬元和5萬元。甲、乙兩種產(chǎn)品均需要同時消耗A、B、C三種化工材料，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品甲需要消耗三種材料（資源）的情況是：1單位材料A、2單位材料B和1單位材料C；而生產(chǎn)1單位的產(chǎn)品乙需要1單位材料A、1單位材料B和3單位材料C。當(dāng)前市場上甲、乙兩種產(chǎn)品供不應(yīng)求，但是在每個生產(chǎn)周期（假設(shè)一年）內(nèi)，公司的A、B、C三種原材料的儲備量分別是45單位、80單位和90單位，年終剩余的資源必須無償調(diào)回，而且近期也沒有能籌集到額外資源的渠道。面對這種局面，力浦公司應(yīng)如何制訂生產(chǎn)計劃，才能獲得最大的市場利潤？2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例該公司在運營了一年后，管理層對第二年的運營進行了如下預(yù)想（假設(shè)以下問題均單獨出現(xiàn)）：問題1：由于資源市場受到其他競爭者活動的影響，公司市場營銷部門預(yù)測當(dāng)年的產(chǎn)品甲的價格將會產(chǎn)生變化，導(dǎo)致產(chǎn)品甲的單位利潤在3.8萬元～5.2萬元之間波動。應(yīng)對這種情況，公司該如何提前對生產(chǎn)格局做好調(diào)整預(yù)案？問題2：由于供應(yīng)鏈上游的化工原料價格不斷上漲，給力浦公司帶來資源購置上的壓力。公司采購部門預(yù)測現(xiàn)有45單位限額的材料A將會出現(xiàn)3單位的資源缺口，但是也不排除通過其他渠道籌措來1單位材料A的可能。對于材料A的資源上限的增加或減少，力浦公司應(yīng)如何進行新的規(guī)劃？問題3：經(jīng)過規(guī)劃分析已經(jīng)知道，材料B在最優(yōu)生產(chǎn)格局中出現(xiàn)了12.5單位的剩余，那么公司應(yīng)如何重新制訂限額，做好節(jié)約工作？2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例【解】例2-3力浦公司的線性規(guī)劃模型和電子表格模型。2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例力浦公司的敏感性分析（問題1、問題2和問題3）力浦公司的“敏感性報告”2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例問題1：當(dāng)產(chǎn)品甲的單位利潤在3.8萬元～5.2萬元之間變化時對規(guī)劃（最優(yōu)解和最優(yōu)值）的影響根據(jù)“敏感性報告”，分段分析。針對產(chǎn)品甲的單位利潤將會在3.8萬元～5.2萬元（[3.8,5.2]）之間波動的預(yù)測，力浦公司應(yīng)制訂兩套預(yù)案：當(dāng)單位利潤在3.8萬元～5萬元（[3.8,5]）之間時，甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量均為22.5單位；而單位利潤在5萬元～5.2萬元（[5,5.2]）之間時，甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)35單位和10單位?？梢钥闯觯?dāng)產(chǎn)品甲的單位利潤逐漸增加時，力浦公司一定會理性地將資源配置向產(chǎn)品甲傾斜。2.9敏感性分析的應(yīng)用舉例問題2：當(dāng)資源A的限額（儲備量）在42～46單位變化時對規(guī)劃（最優(yōu)值和最優(yōu)解）的影響從“敏感性報告”可知：當(dāng)資源A的儲備量在[30,50]范圍內(nèi)變化時，影子價格有效。如果資源A的儲備量從45減少到42（出現(xiàn)3單位的資源缺口），則可以方便地計算出最優(yōu)值（總利潤）為202.