2024-2025學年廣東省深圳市高三上學期第二次診斷性測試數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年廣東省深圳市高三上學期第二次診斷性測試數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．不等式的解集為（）A． B． C． D．3．已知邊長為2的正方形中，與交于點，則（）A．2 B． C．1 D．4．在斜三棱柱中，，分別為側(cè)棱，上的點，且知，過，，的截面將三棱柱分成上下兩個部分體積之比為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)若的值域為,則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．已知是等比數(shù)列，則甲：數(shù)列為遞增數(shù)列，乙：，恒成立，則甲是乙的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知實數(shù)，滿足，若下列四個數(shù)，，，經(jīng)過適當排序后構(gòu)成公差為的等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．8．若是函數(shù)的一個零點，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，是異面直線，點為空間中一點，且不在直線，上，則下列說法一定正確的是（

）A．存在過點的平面與，都相交 B．存在過點的平面與，都平行C．存在過點的直線與，都相交 D．存在過點的直線與，都垂直10．已知，記在的最小值為，在的最小值為，則下列情況可能成立的是（

）A．， B．，C．， D．，11．已知由實數(shù)構(gòu)成的數(shù)列滿足，則以下說法正確的是（）A．存在且，使B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列C．若，則數(shù)列的最大項為D．若，設，的前項和為，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知空間中三點，則點A到直線的距離為．13．已知圓臺的高為1，下底面的面積，體積為，則該圓臺的外接球表面積為．14．在平面直角坐標系中，已知點在曲線上運動，點在曲線上運動，點，為中點，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內(nèi)一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．16．已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的前項和．17．如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，平面，，．(1)證明：平面平面；(2)過作平面的垂線，垂足為，求到平面的距離．18．已知函數(shù).(1)當時，求證：①當時，；②函數(shù)有唯一極值點；(2)若曲線與曲線在某公共點處的切線重合，則稱該切線為和的“優(yōu)切線”.若曲線與曲線存在兩條互相垂直的“優(yōu)切線”，求，的值.19．已知集合，其中，，，…，是的互不相同的子集.記的元素個數(shù)為（），的元素個數(shù)為（）.(1)若，，，，，寫出所有滿足條件的集合（結(jié)論不要求證明）；(2)若，且對任意的，都有，求的最大值；(3)若給定整數(shù)，（）且對任意，都有，求的最大值.

答案1．【正確答案】D【詳解】由，得，所以,因為，所以,所以.故選：D.2．【正確答案】C【詳解】，則，解得，故原不等式的解集為．故選：C3．【正確答案】A【詳解】由題可知，,,所以故選：A4．【正確答案】A【詳解】設三棱柱的體積為側(cè)棱和上各有一動點，滿足，四邊形與四邊形的面積相等.故四棱錐的體積等于三棱錐的體積等于.則四棱錐的體積等于.故過，，三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積比為故選.

5．【正確答案】B【詳解】根據(jù)題意可得，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示：由圖可知，當或時，兩圖象相交，若的值域是，以實數(shù)為分界點，可進行如下分類討論：當時，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；同理當,值域也不是；當時，兩圖象相接或者有重合的部分，此時值域是；綜上可知，實數(shù)的取值范圍是.故選：B6．【正確答案】C【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則．當為遞增數(shù)列時，，即，恒成立，故充分性成立；當，恒成立時，，即，若，則或，當時，，與假設矛盾，舍去，故，此時，則為遞增數(shù)列；若，則或，當時，，與假設矛盾，舍去，故，此時，則為遞增數(shù)列．綜上所述，當，時，為遞增數(shù)列，故必要性成立；所以甲是乙的充要條件．故選：C．7．【正確答案】D【詳解】不相等的實數(shù)，滿足．當時，顯然有，要想構(gòu)成等差數(shù)列，則有：，這與矛盾；當時，，要想構(gòu)成等差數(shù)列，則有：或（舍去），此時四個數(shù)由大到小為，，，．故.故選：D8．【正確答案】A【詳解】因為，所以，可得，，即，解得，由，可得，即，，因為，所以，解得，.故選：A.9．【正確答案】AD【詳解】若點與直線所確定的平面與直線平行時，BC不可能成立；

任取直線上點，直線上點，使，，不共線，則平面與和相交，A正確；

過作直線和的平行線和，記和所確定的平面為，過作的垂線，則垂線與，都垂直，D正確；

故選：AD.10．【正確答案】ABC【詳解】依題意，，區(qū)間與的區(qū)間長度相同，

取，則，此時，，A可能；取，則，此時，，B可能；取，則，此時，，C可能；由三角函數(shù)性質(zhì)可知，假設，成立，必然有，則區(qū)間與的區(qū)間長度大于，根據(jù)的函數(shù)圖象可知，當區(qū)間長度大于，在區(qū)間與上的取值必然有正有負，此時，，與假設矛盾，D不可能.故選：ABC11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，假設存在且，，則，即，該方程無實根，故A錯誤；對于B，假設，則，又，則對于，，那么，數(shù)列是遞增數(shù)列，B正確；對于C，若，則，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，由B選項的分析可知，當時，，故數(shù)列的最大項為，C正確；對于D，由得，因為，所以，，，即，又因為，所以數(shù)列是以-1為首項，為公比的等比數(shù)列，，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】，,，，設點A到直線的距離為，則.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設上底面的半徑為，下底面的半徑為，外接球的半徑為，由下底面的面積為，則，圓臺的體積，即，解得或（舍）.當球心在圓臺的外側(cè)時，作出圓臺與外接球的軸截面，如下圖①所示，設，若．在和中，，，兩式聯(lián)立，解得，．所以圓臺外接球的表面積為．當球心在圓臺的內(nèi)側(cè)時，作出圓臺與外接球的軸截面，如下圖②所示，設，若．在和中，，，兩式聯(lián)立，解得（舍去），綜上，圓臺外接球的表面積為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】如圖：

直線關于點的對稱直線為：，設點關于點的對稱點為點，則點在直線上.因為點為中點，點為中點，所以.的最小值等于點到直線距離最小值.過點作曲線的切線，當切線與直線平行時，點到直線距離最?。驗?，由解得.因此，此時點到直線距離為.因此MN的最小值為.故15．【正確答案】（1）（2）【詳解】試題分析:（1）在三角形中，兩邊和一角知道，該三角形是確定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三邊.（2）利用同角三角函數(shù)的基本關系求角的正切值.（3）若是已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)大邊對大角進行判斷.（4）在三角形中，注意這個隱含條件的使用.試題解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.5分（2）設∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化簡得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.12分考點：（1）在三角形中正余弦定理的應用.（2）求角的三角函數(shù).16．【正確答案】(1)，，證明見解析(2)【詳解】（1）顯然為偶數(shù)，則，．所以，即．且．所以是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是，，．（2）記，則從而數(shù)列的前項和為：17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點，連接交于，連接，因為是菱形，所以，且是的中點．所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面，平面，所以．又因為，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）因為，，兩兩垂直．以為原點如圖建立空間直角坐標系則，，，，不共線因為在平面上，由平面向量基本定理知，存在實數(shù)、使得所以由得，解得因此，故所以到平面的距離為．18．【正確答案】(1)①證明見解析；②證明見解析(2)【詳解】（1）①當時，.記，則.所以在上是增函數(shù).所以當時，.所以當時，.②由得，且.當時，.因為，，所以.因為對任意恒成立，所以當時，.所以0是的唯一極值點.（2）設曲線與曲線的兩條互相垂直的“優(yōu)切線”的切點的橫坐標分別為，其斜率分別為，，則.因為，所以.所以.不妨設，則.因為，由“優(yōu)切線”的定義可知.所以.由“優(yōu)切線”的定義可知，所以.當，，時，取，，則，，，，符合題意.所以.19．【正確答案】(1)或或或(2)(3)【詳解】（1）因為，則和的元素個數(shù)均為1，又因為，則，若，，則或；若，，則或；綜上或或或.（2）集合共有32個不同的子集，將其兩兩配對成16組，使得，則不能同時被選中為子集，故.選擇的16個含有元素1的子集:，符合題意.綜上，.（3）結(jié)論:，令，集合符合題意.證明如下：①若中有一元集合，不妨設，則其它子集中都有元素1，且元素都至多屬于1個子集，所以除外的子集至多有個，故.②若中沒有一元集合，但有二元集合，不妨設.