2024-2025學(xué)年廣西桂林市高三上學(xué)期11月聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年廣西桂林市高三上學(xué)期11月聯(lián)合調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為（）A． B． C． D．2．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．3．已知，為非零向量，，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．5．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．10 B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，若曲線與恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．27．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為（

）A． B． C． D．8．已知正八面體的所有棱長(zhǎng)均為，將其沿平面切開后分成兩部分，將沿直線方向平移至的底面距離為且，則與公共部分的體積為：（）.A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是的一個(gè)周期 B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．為奇函數(shù) D．在區(qū)間上的最大值為10．對(duì)于隨機(jī)事件，，若，，，則（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，則（）A．若，則有三個(gè)零點(diǎn) B．若，則函數(shù)存在個(gè)極值點(diǎn)C．在單調(diào)遞減，則 D．若在恒成立，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知等差數(shù)列前項(xiàng)和為，，，則.13．已知，，則．14．點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上.在中，，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，AB邊上的中線，求的面積．16．已知函數(shù)，(1)若，求在點(diǎn)處的切線方程.(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.17．如圖所示，在三棱臺(tái)中，底面為等腰直角三角形，側(cè)面平面，．

(1)證明：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值．18．已知橢圓的離心率為，、分點(diǎn)是橢圓的左、右頂點(diǎn)，是橢圓上不同于、的一點(diǎn)，面積的最大值是2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)記直線、的斜率分別為、，且直線、與直線分別交于、兩點(diǎn)．①求、的縱坐標(biāo)之積；②試判斷以為直徑的圓是否過定點(diǎn)．若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.19．某汽車公司最新研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程（指新能源汽車所裝載的燃料或電池所能夠提供給車行駛的最遠(yuǎn)里程）的測(cè)試．現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下的頻率分布直方圖：(1)估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；(2)由頻率分布直方圖計(jì)算得樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為．根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本標(biāo)準(zhǔn)差．假設(shè)某企業(yè)從該汽車公司購買了20輛該款新能源汽車，記表示這20輛新能源汽車中單次最大續(xù)航里程位于區(qū)間的車輛數(shù)，求；(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在軸上從原點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都，客戶每擲一次硬幣，遙控車向右移動(dòng)一次，若擲出正面，遙控車向右移動(dòng)一個(gè)單位，若擲出反面，遙控車向右移動(dòng)兩個(gè)單位，直到遙控車移動(dòng)到點(diǎn)（勝利大本營）或點(diǎn)（失敗大本營）時(shí)，游戲結(jié)束．若遙控車最終停在“勝利大本營”，則可獲得購車優(yōu)惠券．設(shè)遙控車移到點(diǎn)的概率為，試證明數(shù)列是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并解釋這種游戲方案對(duì)意向客戶是否有吸引力．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以?fù)數(shù)的實(shí)部為，故選：D2．【正確答案】C【分析】利用全稱量詞命題的否定判斷即可.【詳解】命題“”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題“”的否定是.故選C.3．【正確答案】B【分析】由模長(zhǎng)的坐標(biāo)可得，再結(jié)合投影向量的定義進(jìn)行分析求解.【詳解】由題意可得，所以在上的投影向量為.故選B.4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，且.由，則，綜上可知.故選：D.5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)椋业恼归_式為，令，解得，可得；令，解得，不合題意；所以項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.6．【正確答案】B【詳解】設(shè)，則，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，，是偶函數(shù)，是偶函數(shù)，軸是它們的圖象的對(duì)稱軸，在上遞減，在上遞增，，因此它們的圖象在軸以外的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是偶數(shù)（含0），若，則，，易知它們的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意；若，則在上遞減，在上遞增，，因此它們的圖象如果有交點(diǎn)，交點(diǎn)不可能在軸上，從而交點(diǎn)個(gè)數(shù)為偶數(shù)，不合題意；若，則在上遞增，在上遞減，，它們的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得．故選：B．7．【正確答案】D【分析】根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系得到，又因?yàn)?，得到，再結(jié)合雙曲線的定義得到，即可求解.【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎切?，，所以為的中點(diǎn)，所以，所以，易知，所以，由雙曲線的定義知，即，得.故選D．8．【正確答案】C【詳解】由題得示意圖顯然兩個(gè)四棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，高為，因?yàn)閮蓚€(gè)底面距離為所以他們公共部分的高度也是，顯然公共部分是由兩個(gè)完全一樣的四棱臺(tái)構(gòu)成，一個(gè)四棱臺(tái)的高為，我們以頂點(diǎn)朝上的為例，此時(shí)四棱臺(tái)的下底面距離四棱錐的底面的距離為，四棱臺(tái)的上底面距離四棱錐的底面的距離為四棱錐的底面積為，高為所以四棱臺(tái)的下底面面積,上底面面積四棱臺(tái)的高為所以四棱臺(tái)體積所以公共部分體積為故選:C9．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B正確；對(duì)于C：由于，，故不是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，故D正確．故選：BD．10．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，故A正確；對(duì)于B：由，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所?所以.故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若，，，由，得：，當(dāng)x∈?1,1時(shí)，f'x<0，得：當(dāng)和1,+∞時(shí)，f'x>0，得：在和1,+∞上單調(diào)遞增；所以函數(shù)有極大值，有極小值，所以三次函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若，，由，得有兩個(gè)解，當(dāng)和時(shí)，f'x>0在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f'x在上單調(diào)遞減，所以存在兩個(gè)極值點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意可知：是解集的子集，當(dāng)時(shí)，顯然恒成立；當(dāng)時(shí)，，由于，可得：，即；綜上可得：，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)，令，則，令（），，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；故，則；當(dāng)，令，則，令（），，當(dāng)時(shí)，?'x>0，所以，則；綜上所述：若在恒成立，則，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD12．【正確答案】20【詳解】解：等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，解得，，．故20．13．【正確答案】【詳解】由得：,由得：,所以，,所以.故14．【正確答案】由正弦定理求得，根據(jù)拋物線的定義，得,即，則取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，將直線方程代入拋物線方程，由求得的值，即可求得的最大值【詳解】如圖，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義可得，由，在中正弦定理可知：，所以，所以，設(shè)的傾斜角為，則，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，則，即，所以，所以，即，則，則得最大值為故15．【正確答案】（1）（2）（1）由正弦定理可得，再利用誘導(dǎo)公式和倍角公式，求得，即可得答案；（2）利用余弦定理求出，再代入三角形的面積公式，即可得答案；【詳解】（1）依題設(shè)及正弦定理可得，，因?yàn)椋?，所以，又，所以，又，所以，?

（2）因?yàn)?，，所以，故為等腰三角形．則，在中由余弦定理可得，，即，解得，所以.16．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，①當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當(dāng)時(shí)，，則，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，則，而，則在上有唯一零點(diǎn)；由（1）知，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，在上有唯一零點(diǎn)；因此當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）由題可知，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?平面,所以平面因?yàn)槠矫嫠燥@然,平面，平面,，所以平面.（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

得,,,所以有，，由（1）可知，平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=則令，得所以平面的一個(gè)法向量為平面與平面的夾角的余弦值為18．【正確答案】(1)(2)①?8；②過定點(diǎn)，．【詳解】（1）由題意可得，解得，．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①由（1）可知，．直線的方程為，聯(lián)立解得則．同理可得故，設(shè)Px0,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則，故．②法一：由①可知，，

設(shè)存在定點(diǎn)，則，．由題意可知，則，所以恒成立，所以，．故以為直徑的圓過定點(diǎn)，．法二：由題意可知在軸的兩側(cè)，則以為直徑