2024-2025學年河北省高三上學期聯(lián)考數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年河北省高三上學期聯(lián)考數(shù)學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．2．已知表示不大于的最大整數(shù)，集合，則（）A． B． C． D．3．已知平面向量滿足，則向量與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°4．《志愿軍：存亡之戰(zhàn)》和《浴火之路》是2024年國慶檔的熱門電影.某電影院在國慶節(jié)的白天、晚上分別可以放映5場和3場電影，若上述兩部影片只放映一次，且不能都在白天放映，則安排放映這兩部電影不同的方式共有（）A．17種 B．32種 C．34種 D．36種5．如圖，正方體中，點在上，且，點在上，且，過點的平面將正方體分成上、下兩部分，則上、下這兩部分的體積比等于（）

A． B． C． D．6．已知定義在上的函數(shù)滿足且是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．一定不是奇函數(shù) B．一定不是偶函數(shù)C． D．7．已知是方程的兩個根，則（）A． B． C． D．8．已知直線，橢圓，直線與橢圓交于點、，點在第三象限，與交于點，設是坐標原點，若，則（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．有個樣本數(shù)據(jù)滿足，去掉后，新樣本的數(shù)字特征可能比原數(shù)據(jù)變小的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．標準差 D．極差10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱 D．函數(shù)在上單調(diào)遞增11．在數(shù)學中，雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，它是工程數(shù)學中重要的函數(shù)，也是一類很重要的初等函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)．已知雙曲正弦函數(shù)的解析式為，雙曲余弦函數(shù)的解析式為（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則下列說法正確的是（）A．B．函數(shù)為奇函數(shù)C．若直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，這三個交點的橫坐標分別為，則D．若存在，關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知△的內(nèi)角的對邊分別為，且成等差數(shù)列，，則角．13．已知數(shù)列滿足，設為數(shù)列的前項和，則．14．若袋子中有大小且形狀完全相同的黑球個，白球個，現(xiàn)從中隨機抽取3個球，表示抽到2個黑球1個白球的概率，則取得最大值時．四、解答題（本大題共5小題）15．為了解某校男生1000米測試成績與身高的關(guān)系，從該校2000名男生中隨機抽取100人，得到測試成績與身高的數(shù)據(jù)如下表所示：身高范圍（cm）測試成績合格312182215不合格29559(1)該校2000名男生中身高在175cm及以上的人數(shù)約為多少？(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析體育成績合格與身高在范圍內(nèi)是否有關(guān)．附：．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816．已知拋物線的焦點為，過點的直線交于、兩點，點在拋物線上，且，直線交直線于點（其中是坐標原點）．(1)求拋物線的方程；(2)求證：．17．如圖，正六邊形的邊長為2，將梯形沿翻折至，是的中點．

(1)若平面平面，求三棱錐的體積；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：．19．若數(shù)列對任意都有成立，則稱數(shù)列為“等距”數(shù)列，設為數(shù)列的前項和．(1)寫出一個滿足，且的“等距”數(shù)列的前5項；(2)若“等距”數(shù)列共有2024項，且，證明：對于任意整數(shù)，都有成立；(3)若“等距”數(shù)列滿足，請分析項數(shù)滿足的條件，并說明理由．

答案1．【正確答案】A【詳解】，即，則，所以，，故選：A.2．【正確答案】C【詳解】因為表示不大于的最大整數(shù)，且，所以，，所以，故選：C3．【正確答案】C【詳解】由，得，代入，得，所以，即向量與的夾角為，故選：C4．【正確答案】D【詳解】若均在晚上播放，則不同的安排方式有種，若白天一場，晚上一場，則有種，故放映這兩部電影不同的安排方式共有種，故選：D5．【正確答案】A【詳解】如圖，設正方體的棱長為，在上取點，使得，

在上取點，使得，連接，易得四邊形為平行四邊形，則，，在上取點，連接，使得，易得四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以過點的平面即平面，在上取點，使得，則，連接，在上取點，使得，則，連接，所以過點的平面分正方體下部分的體積為一個四棱錐和一個四棱錐，及三棱柱，所以，，所以.故選：A.6．【正確答案】D【詳解】設函數(shù)，則，，所以.又為奇函數(shù).所以滿足題意.又為奇函數(shù)，故A錯誤；為偶函數(shù)，故B錯誤；，故C錯誤；是奇函數(shù)，則，，又因為，所以，故D正確.故選：D7．【正確答案】D【詳解】因為是方程的兩個根，即也是方程的兩個根，所以，且可知，又由，則，再由兩角差的正切公式可得：，因為，所以，即，則，故選：D.8．【正確答案】B【詳解】聯(lián)立與，將代入可得：，則，所以點坐標為.求直線與橢圓的交點、的坐標（設）聯(lián)立與橢圓，將代入可得：因為在第一象限，所以，，即.由橢圓對稱性和可得.即，轉(zhuǎn)化成坐標即.即，解得.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】比如取個數(shù)為，，，10，則原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，去掉和10后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以平均數(shù)可能變小，故A對；當為偶數(shù)時，比如，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，所以中位數(shù)不變，當為奇數(shù)時，比如，原來和新數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為，所以中位數(shù)不變，故B錯；去掉后，數(shù)據(jù)波動性變小，所以標準差變小，故C對；由于，所以原來的極差為，新數(shù)據(jù)的極差為，所以極差變小，故D對；故選：ACD10．【正確答案】BCD【詳解】由圖象可知，函數(shù)的振幅，已知函數(shù)，圖象過點，將，代入函數(shù)，得到，即，因為，且在處的增長趨勢知道，所以，則，圖象還過，則，即，解得.由圖象可知，函數(shù)的周期，根據(jù)周期公式，可得，令滿足題意.故.因此，A錯誤，B正確.當，函數(shù)，則取得最小值.所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，C正確.，則，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，D正確.故選：BCD.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，，，化簡后得，故A錯誤；對于B，的定義域為R，，所以是偶函數(shù)；的定義域為R，，所以是奇函數(shù)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對于C，因為直線與函數(shù)和的圖象共有三個交點，在R上單調(diào)遞增，即直線與函數(shù)只有一個交點，所以直線與函數(shù)有兩個交點，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即，，解得，所以，則，故C正確；對于D，，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，又，當且僅當時，等號成立，所以最小值為1，因為存在，關(guān)于的不等式恒成立，所以，所以的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】由題意可得，又，不妨設，則，由余弦定理可得，且，所以.故13．【正確答案】【詳解】由，得，又，所以是首項為1公差為1的等差數(shù)列，可得，所以，，，兩式相減得，所以.故答案為.14．【正確答案】【詳解】由題意，，，，設函數(shù)，則，令，即，解得，，易知，，因此，當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減；又，且，，，則，因此，當時，有最大值，此時取最大值；故15．【正確答案】(1)1020(2)有關(guān).【詳解】（1）樣本中，身高在175cm及以上的頻率為：，用該頻率估計該校男生身高在175cm及以上的概率，則該校2000名男生中身高在175cm及以上的人數(shù)約為：（人）.（2）列列聯(lián)表如下：身高在身高不在合計合格403070不合格102030合計5050100所以，因為，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，體育成績合格與身高在范圍內(nèi)有關(guān).16．【正確答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）已知拋物線，其焦點的坐標為.因為點在拋物線上，所以.根據(jù)兩點間距離公式，，.由可得.把代入上式，.兩邊同時平方，展開括號得.即，化簡得，解得.所以拋物線的方程為.（2）在拋物線中，所以焦點的坐標為.不妨設A，B在第一象限，設過點的直線的方程為（存在且不為），當時，沒有交點，不滿足題意.將代入，得到，即，需滿足；設，，根據(jù)韋達定理，，.根據(jù)兩點間距離公式，，.因為，，所以（這里利用了，所以與同號）.由點在拋物線上，得，運用拋物線對稱性，可取來證明.，則直線MF的方程為.直線的方程為，因為，所以的方程為.聯(lián)立與，可得點縱坐標.根據(jù)兩點間距離公式及坐標運算，，.（因為，所以）.綜上所得，知道，即.原命題得證.17．【正確答案】(1)1(2)【詳解】（1）取的中點，連接，

，因為正六邊形的邊長為2，所以，則，所以，因為平面平面，，平面平面，所以平面，所以是三棱錐的一個高，所以，所以三棱錐的體積為1；（2）過點作，以點為原點，以所在的直線為軸，建立空間直角坐標系如圖所示：

，因為正六邊形的邊長為2，是的中點，二面角的大小為60°，所以，則,,，設平面的法向量為，則，令，則，所以，，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18．【正確答案】(1)在和上都是減函數(shù)；(2)；(3)證明見解析．【詳解】（1）定義域是，時，，則，令，則，時，，遞增，時，，遞減，所以，即，所以在和上都是減函數(shù)；（2）對任意恒成立，即在上，恒成立，設，則，當時，，，是增函數(shù)，所以，當時，時，遞減，，與已知矛盾，當時，，，單調(diào)遞減，則，與已知矛盾，綜上所述，的取值范圍是；（3）由（2）知時，，即，令，則，，讓從1取到，所得個不等式相加得：，所以19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)或（），理由見解析【詳解】（1）因為，，，設數(shù)列為.此時，且，，，，滿足“等距”數(shù)列的定義.（2）假設存在，使得.因為，從到，如果