2024-2025學(xué)年河南省信陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省信陽(yáng)市高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，，若，則m等于（）A． B． C．2 D．42．已知，B2,1，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C作直線l，若直線l與線段AB沒(méi)有公共點(diǎn)，則直線l的傾斜角的取值范圍為（）A． B．C． D．3．已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺(tái)設(shè)備年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.64．口袋中裝有質(zhì)地和大小相同的6個(gè)小球，小球上面分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，3，3，從中任取兩個(gè)小球，則兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于4的概率為（

）A． B． C． D．5．曲線的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．6．某大學(xué)選拔新生進(jìn)“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個(gè)社團(tuán)，據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立.假設(shè)某新生通過(guò)考核選拔進(jìn)入“籃球”“舞蹈”“美術(shù)”三個(gè)社團(tuán)的概率依次為，m，n，已知三個(gè)社團(tuán)他都能進(jìn)入的概率為，至少進(jìn)入一個(gè)社團(tuán)的概率為，則（）A．， B．，C．， D．，7．長(zhǎng)方體中，與平面所成的角為，與所成的角為，則下列關(guān)系一定成立的是（

）A． B．C． D．8．已知圓C：，P為直線l：上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A和B，當(dāng)四邊形PACB的面積最小時(shí)，直線AB的方程為（）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記錄每次的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件“第一次出現(xiàn)2點(diǎn)”，“第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”，“兩次點(diǎn)數(shù)之和為9”，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．與不互斥且相互獨(dú)立 B．與互斥且不相互獨(dú)立C．與互斥且不相互獨(dú)立 D．與不互斥且相互獨(dú)立10．已知圓：與圓相交于，兩點(diǎn)，直線，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，，（，為切點(diǎn)），則說(shuō)法正確的是（

）A．直線的方程為 B．線段的長(zhǎng)為C．直線過(guò)定點(diǎn) D．的最小值是．11．在三棱錐中，平面，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（

）A．動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圓B．平面平面C．三棱錐體積的最大值為3D．三棱錐外接球的半徑不是定值三、填空題（本大題共3小題）12．空間四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，若為該平面外一點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的值為13．已知事件A與事件B相互獨(dú)立，若，，則.14．若直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知圓的圓心在直線上，且與y軸相切于點(diǎn)．(1)求圓C的方程；(2)若圓C直線交于A，B兩點(diǎn)，_____，求m的值．從下列兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面問(wèn)題中并作答：條件①：；條件②：．16．某校田徑隊(duì)有三名短跑運(yùn)動(dòng)員，根據(jù)平時(shí)的訓(xùn)練情況統(tǒng)計(jì)：甲、乙、丙三人100m跑（互不影響）的成績(jī)?cè)?3s內(nèi)（稱為合格）的概率分別是，，.若對(duì)這三名短跑運(yùn)動(dòng)員的100m跑的成績(jī)進(jìn)行一次檢測(cè)，則：(1)三人都合格的概率與三人都不合格的概率分別是多少？(2)出現(xiàn)幾人合格的概率最大？17．如圖，在三棱錐中，，，，為等邊三角形，的中點(diǎn)分別為，且.(1)證明：平面平面.(2)若為的中點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離.18．在梯形ABCD中，，，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，，，，如圖，以EF為軸將平面ADEF折起，使得平面平面BCEF.(1)若M為EC的中點(diǎn)，證明：∥平面ABC；(2)證明：平面平面BCD；(3)若N是線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，平面BNE與平面ABF夾角的余弦值為，求DN的長(zhǎng).19．在平面直角坐標(biāo)系中，圓為ΔABC的內(nèi)切圓.其中.（1）求圓的方程及點(diǎn)坐標(biāo)；（2）在直線上是否存在異于的定點(diǎn)使得對(duì)圓上任意一點(diǎn)，都有為常數(shù))？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，，，得.解得.故選：B2．【正確答案】C【詳解】設(shè)直線l的斜率為，直線l的傾斜角為，則，因?yàn)橹本€的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與線段沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，或，即或，因?yàn)椋?，故直線l的傾斜角的取值范圍是．故選：C．

3．【正確答案】C【分析】找出代表事件“一年內(nèi)沒(méi)有1臺(tái)設(shè)備需要維修”的數(shù)組，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，代表事件“一年沒(méi)有1臺(tái)設(shè)備需要維修”的數(shù)組有：533

224

344

254

424

435

335

233

232

353

442共11組，因此，所求概率為.故選C.4．【正確答案】A【詳解】記兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字的小球分別為、，兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字的小球分別為、，兩個(gè)標(biāo)有數(shù)字的小球分別為、，從中任取兩個(gè)小球可能結(jié)果有，，，，，，，，，，，，，，共種情況，其中滿足兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于的有，，，，共種情況，所以兩個(gè)小球上的數(shù)字之和大于的概率.故選：A5．【正確答案】C【詳解】由，得，即，即或，所以曲線C表示兩個(gè)同心圓，且這兩個(gè)圓的半徑分別為，所以曲線C的周長(zhǎng)為．故選：C.6．【正確答案】A【詳解】因?yàn)樾律ㄟ^(guò)考核選拔進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)成功與否相互獨(dú)立，所以由題意得，解得.故選：A.7．【正確答案】D【分析】根據(jù)線面角以及線線角的定義可得，即可由銳角三角函數(shù)表示結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于平面，故,故由于的大小不確定，所以無(wú)法確定的大小，故的大小不確定，A錯(cuò)誤，由于,故，由于均為銳角，所以也是銳角，故，即.故選：D8．【正確答案】A【詳解】如圖所示，

由，得圓C的圓心，半徑.因?yàn)?，所以四邊形PACB的面積.所以當(dāng)PC最小時(shí)，S也最小，此時(shí)，.則PC斜率為1，故PC的方程為，即.聯(lián)立，解得，，即.由于過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)弦方程為，所以直線AB的方程為，化簡(jiǎn)得.故答案選：A.9．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次與第二次的結(jié)果互不影響，即與相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，第二次的點(diǎn)數(shù)小于5點(diǎn)可以同時(shí)發(fā)生，與不互斥；故A正確；對(duì)于B：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即與不相互獨(dú)立；第一次出現(xiàn)2點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和最大為8，即與不能同時(shí)發(fā)生，即與互斥，故B正確；對(duì)于C：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第二次的結(jié)果會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和，即與不相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為5，第二次的點(diǎn)數(shù)4點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為9，即與可以同時(shí)發(fā)生，即與不互斥，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：連續(xù)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，第一次的結(jié)果不會(huì)影響兩次點(diǎn)數(shù)之和的奇偶，即與相互獨(dú)立；若第一次的點(diǎn)數(shù)為2，第二次的點(diǎn)數(shù)3點(diǎn)，則兩次點(diǎn)數(shù)之和為5是奇數(shù)，即與可以同時(shí)發(fā)生，即與不互斥，故D正確.故選：ABD.10．【正確答案】BCD【詳解】由題知，聯(lián)立，兩式相減得，即直線的方程為，A錯(cuò)；聯(lián)立，解得或，所以，B正確；對(duì)于C，設(shè)，因?yàn)?，為圓的切點(diǎn)，所以直線方程為，直線的方程為，又設(shè)，所以，故直線的方程為，又因?yàn)?，所以，由得，即直線過(guò)定點(diǎn)，C正確；因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小，且最小為，所以此時(shí)，D正確.故選BCD.11．【正確答案】ABC【分析】首先底面建坐標(biāo)系，利用軌跡法求得點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)也在軌跡圓上，再根據(jù)幾何關(guān)系，以及體積公式，外接球的半徑問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合，即可求解.【詳解】A.因?yàn)?，所以在平面?nèi)，以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，，，由知，，化簡(jiǎn)為，即點(diǎn)的軌跡為圓，故A正確；B.根據(jù)以上證明可知，點(diǎn)和在圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，如上圖，由條件可知，點(diǎn)在圓上，則，而平面，平面,所以，所以是二面角的平面角，則平面平面，故B正確；C.當(dāng)點(diǎn)到的距離為2時(shí)，此時(shí)的面積最大，此時(shí)最大面積是,則三棱錐體積的最大值為，故C正確；D.由以上證明可知，，且，如圖，取的中點(diǎn)，作平面，且，所以，所以三棱錐外接球的半徑是定值，故D錯(cuò)誤.故選：ABC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，并在底面建立坐標(biāo)系，求點(diǎn)的軌跡，后面的選項(xiàng)就會(huì)迎刃而解.12．【正確答案】【詳解】解：因?yàn)榭臻g，，，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，則可設(shè)，又點(diǎn)在平面外，則，即，則，又，所以，解得，.故1313．【正確答案】0.28/【詳解】因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，所以事件與事件B相互獨(dú)立.因?yàn)?，，所?所以.故0.2814．【正確答案】【詳解】由題意，圓的半徑，圓心到直線的距離為.因?yàn)橹本€與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以，即，解得，則，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)選擇見(jiàn)解析，或【詳解】（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為，半徑為.由圓的圓心在直線上，知.又∵圓與軸相切于點(diǎn)，∴，，則.∴圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為.（2）如果選擇條件①：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.如果選擇條件②：，而，∴圓心到直線的距離，則，解得或.16．【正確答案】(1)；(2)出現(xiàn)2人合格的概率最大.【詳解】（1）設(shè)甲、乙、丙三人100m跑合格分別為事件，，，顯然，，相互獨(dú)立，且，，，設(shè)恰有人合格的概率為，則，.（2），，而，所以出現(xiàn)2人合格的概率最大.17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，分別是的中點(diǎn)，且，所以，所以.又，所以，即.因?yàn)?，，平面，所以平?又平面，所以平面平面.（2）連接，由于為等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以，又由（1）可知平面平面，且交線為，平面，所以平面.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.在直角中，可知，在直角中，可知，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積.又的面積，點(diǎn)到平面的距離為，所以三棱錐的體積.由，得，即點(diǎn)到平面的距離為.18．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）由，，得，.因?yàn)镸為EC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，，所以，且.所以四邊形BCMF為平行四邊形，所以.又平面ABC，平面ABC，所以∥平面ABC.（2）因?yàn)槠矫嫫矫鍮CEF，平面平面，，所以平面BCEF.又平面BCEF，所以.由，，，得.又，所以平面DEB.又平面BCD，所以平面平面BCD.（3）由（2），得EF，EC，ED兩兩垂直，則可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，則.設(shè)（），則.設(shè)平面BNE的法向量為.由，令，得.易知平面ABF的法向量為.所以，解得，此時(shí)，所以，即