2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年湖北省武漢市高二上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．直線在軸上的截距為（）A． B．2 C． D．2．已知直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到直線，則不過(guò)第（）象限．A．四 B．三 C．二 D．一3．已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺(tái)設(shè)備年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)這3臺(tái)設(shè)備都不需要維修的概率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.64．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（）A． B． C． D．5．現(xiàn)有一段底面周長(zhǎng)為厘米和高為15厘米的圓柱形水管，AB是圓柱的母線，兩只螞蟻分別在水管內(nèi)壁爬行，一只從A點(diǎn)沿上底部圓弧順時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛳屡佬?厘米到達(dá)P點(diǎn)，另一只從B沿下底部圓弧逆時(shí)針?lè)较蚺佬欣迕缀笤傧蛏吓佬?厘米爬行到達(dá)Q點(diǎn)，則此時(shí)線段PQ長(zhǎng)（單位：厘米）為（）A． B．12 C． D．6．概率論起源于博弈游戲17世紀(jì)，曾有一個(gè)“賭金分配”的問(wèn)題：博弈水平相當(dāng)?shù)募?、乙兩人進(jìn)行博弈游戲，每局比賽都能分出勝負(fù)，沒(méi)有平局．雙方約定：各出賭金210枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金．但比賽中途因故終止了，此時(shí)甲贏了2局，乙贏了1局，問(wèn)這420枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學(xué)家費(fèi)馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識(shí)，合理地給出了賭金分配方案．該分配方案是（）A．甲315枚，乙105枚 B．甲280枚，乙140枚C．甲210枚，乙210枚 D．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)由點(diǎn)向點(diǎn)發(fā)射一道粗細(xì)不計(jì)的光線，光線經(jīng)軸反射后與圓有交點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．如圖所示，四面體的體積為，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面與棱分別交于，設(shè)四面體的體積為，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．給出下列命題，其中是真命題的是（）A．已知是空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的一個(gè)基底B．平面經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，，，向量是平面的法向量，則C．若，則是銳角D．若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則M，A，B，C四點(diǎn)不共面10．下列命題正確的是（）A．設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，若，則A，B是相互獨(dú)立事件B．若，，則事件A，B相互獨(dú)立與A，B互斥有可能同時(shí)成立C．若三個(gè)事件A，B，C兩兩相互獨(dú)立，則滿足D．若事件A，B相互獨(dú)立，，，則11．平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離比值為一定值的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，此圓被稱為阿波羅尼斯圓，俗稱“阿氏圓”．已知平面內(nèi)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為，則下列命題正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡的方程是B．過(guò)點(diǎn)的直線被點(diǎn)的軌跡所截得的弦的長(zhǎng)度的最小值是C．直線與點(diǎn)的軌跡相離D．已知點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩條切線，切點(diǎn)為，則四邊形面積的最小值是4三、填空題（本大題共3小題）12．拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6”的概率為．13．已知曲線與直線有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．14．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，，，設(shè)點(diǎn)O關(guān)于所確定的平面對(duì)稱的點(diǎn)為，的長(zhǎng)度記為以為自變量的函數(shù)．若，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．“體育強(qiáng)則中國(guó)強(qiáng)，國(guó)運(yùn)興則體育興”．為備戰(zhàn)2025年杭州舉辦的國(guó)際射聯(lián)射擊世界杯，某射擊訓(xùn)練隊(duì)制訂了如下考核方案：每一次射擊中10環(huán)、中8環(huán)或9環(huán)、中6環(huán)或7環(huán)、其他情況，分別評(píng)定為A，B，C，D四個(gè)等級(jí)，各等級(jí)依次獎(jiǎng)勵(lì)6分、4分、2分、0分．假設(shè)評(píng)定為等級(jí)A，B，C的概率分別是，，．(1)若某射擊選手射擊一次，求其得分低于4分的概率；(2)若某射擊選手射擊兩次，且兩次射擊互不影響，求這兩次射擊得分之和為8分的概率．16．已知的頂點(diǎn)，邊AB上的中線CD所在直線方程為，邊AC上的高線BE所在直線方程為．(1)求邊BC所在直線的方程；(2)求的面積．17．如圖所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC上分別有一點(diǎn)和且，，其中．(1)求證：，，共面；(2)若，且，設(shè)為側(cè)棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．18．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足．(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)點(diǎn)P軌跡記為曲線C，若曲線C與x軸的交點(diǎn)為M，N兩點(diǎn)，Q為直線l：上的動(dòng)點(diǎn)，直線MQ，NQ與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，直線EF與x軸交點(diǎn)為K，求的最小值．19．對(duì)于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．(1)若，求及；(2)證明：對(duì)于任意，經(jīng)過(guò)若干次變換后，必存在，使；(3)已知，將再經(jīng)過(guò)次變換后，最小，求的最小值．

答案1．【正確答案】A【詳解】令則直線在軸上的截距為?2，故選：A.2．【正確答案】D【詳解】對(duì)于直線（為斜率），直線，其斜率，設(shè)其傾斜角為，根據(jù)，可得，又因?yàn)閮A斜角，所以.直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則直線的傾斜角.直線的斜率.因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程（為直線上一點(diǎn)，為斜率），可得直線的方程為，即.直線的斜率為負(fù)，截距為負(fù)，所以直線不過(guò)第一象限.故選：D.3．【正確答案】C【分析】找出代表事件“一年內(nèi)沒(méi)有1臺(tái)設(shè)備需要維修”的數(shù)組，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，代表事件“一年沒(méi)有1臺(tái)設(shè)備需要維修”的數(shù)組有：533

224

344

254

424

435

335

233

232

353

442共11組，因此，所求概率為.故選C.4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)槭录嗀，B互斥，所以它們都不發(fā)生的概率為，所以又因?yàn)?，所以所以故選：D.5．【正確答案】B【詳解】應(yīng)用圓柱的特征取上下底面的圓心連線為軸，BO所在直線為y軸，再過(guò)作的垂線為軸，如圖建系，過(guò)向圓作垂線垂足為，，設(shè)圓半徑為，所以，設(shè)，所以圓弧的長(zhǎng)度為：，，則，同理，過(guò)向圓O作垂線垂足為，則，所以.故選：B.6．【正確答案】A【詳解】由題可知，對(duì)單獨(dú)每一局游戲，甲乙獲勝的概率均為，若游戲繼續(xù)進(jìn)行，最多再進(jìn)行2局即可分出勝負(fù)，①第四局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；②第四局乙贏，第五局甲贏，比賽結(jié)束，甲勝出，概率為；③第四局乙贏，第五局乙贏，比賽結(jié)束，乙勝出，概率為；所以甲勝出的概率為，甲應(yīng)該分得賭金的，即甲分得賭金枚，乙分得賭金枚.故選：A.7．【正確答案】A【分析】作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn).解法一：利用直線與圓的關(guān)系計(jì)算圓心到反射光線的距離即可；解法二：利用反射光線與圓相切作臨近值，借助兩點(diǎn)距離公式、正切的和差角公式計(jì)算反射光線的斜率范圍，再利用截距的意義計(jì)算即可.【詳解】解法一：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則直線與圓有交點(diǎn)．又，所以直線的方程為，即．由題知，圓的圓心為，半徑為1，直線與圓有交點(diǎn)，即圓心到直線的距離小于等于1，所以，解得．解法二：作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，則直線與圓有交點(diǎn)，臨界情況為直線與圓相切．設(shè)切點(diǎn)為，令，易得，所以．因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的斜率．(正切的和差角公式)易得直線的方程為．所以．

故選A.【思路導(dǎo)引】解法一：對(duì)于光線的反射問(wèn)題一般作對(duì)稱點(diǎn)由入射光線得出反射光線所在直線，再利用直線與圓的位置關(guān)系計(jì)算即可；解法二：計(jì)算反射光線與圓相切時(shí)的斜率從而得出反射光線的斜率范圍，再結(jié)合直線的截距意義計(jì)算，計(jì)算略顯復(fù)雜，但也是一種很好的方向.8．【正確答案】C【詳解】連接，由題意知：；令，則，，四點(diǎn)共面，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，又，，，即的最小值為.故選：C.9．【正確答案】AB【詳解】若不是空間的一個(gè)基底，則共面，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以，，這是不可能的，A正確；，向量是平面的法向量，則，，.故選項(xiàng)B正確，當(dāng)夾角為時(shí)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,若，則，即，所以，，所以共面，所以四點(diǎn)共面，D錯(cuò)；故選：AD．10．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，已知，，，而，即，所以、是相互獨(dú)立事件，A選項(xiàng)正確.

對(duì)于B選項(xiàng)，若、互斥，則，.若、相互獨(dú)立，則（因?yàn)?，?所以事件，相互獨(dú)立與，互斥不可能同時(shí)成立，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)樣本空間，每個(gè)樣本點(diǎn)的概率為.定義，；，；，.，.，.，，所以A、B、C兩兩相互獨(dú)立.而，，，此時(shí).C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?、相互?dú)立，則與，與也相互獨(dú)立...所以，D選項(xiàng)正確.故選：AD.11．【正確答案】ACD【分析】對(duì)于A：設(shè)點(diǎn)，結(jié)合題意分析求解即可；對(duì)于B：分析可知點(diǎn)在圓內(nèi)，結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解；對(duì)于C：求圓心到直線的距離，即可判斷；對(duì)于D：分析可知當(dāng)時(shí)，取到最小值，四邊形面積取最小值，運(yùn)算求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，整理可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程是，圓心是，半徑是，且，可知點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的直線被圓所截得的弦最短時(shí)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得弦的最小值是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樗倪呅蚊娣e，由數(shù)形分析可知：當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以四邊形面積取最小值，故D正確；故選ACD．12．【正確答案】【詳解】拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的所有情況有：（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），共36種情況，其中“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是6”的有：（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1），5種，所以所求概率為.故13．【正確答案】【詳解】由題意，，直線是與平行的直線，如圖所示：

當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，(負(fù)舍)當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖形分析得的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】如圖所示，由已知可得，，，則，，即，，又，，平面，則平面，①①當(dāng)，兩點(diǎn)在平面同側(cè)或一點(diǎn)在平面上時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，有一點(diǎn)在平面上時(shí)取等號(hào)；即；②當(dāng)，兩點(diǎn)在平面異側(cè)時(shí)：設(shè)平面與直線交于點(diǎn)，將延拓，如圖所示，則，由，，，平面，則平面，即，抽象出平面如圖所示，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，由，且，，，則，即，，則，，又，則，即，所以，所以，符合故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)事件A，B，C，D分別表示“被評(píng)定為等級(jí)A，B，C，D”．由題意得，事件A，B，C，D兩兩互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率為；（2）設(shè)事件，，，表示“”第i次被評(píng)定為等級(jí)A，B，C，D，．則“兩次射擊得分之和為8分”為事件，且事件，，互斥，，，所以兩次射擊得分之和為8分的概率.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)椋栽O(shè)直線AC的方程為：，將代入得，所以直線AC的方程為：，聯(lián)立AC，CD所在直線方程：，解得，設(shè)，因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵谥本€BE上，在CD上，所以，，解得，，所以，，所以BC所在直線的方程為：，即．（2）由（1）知點(diǎn)到直線BC的距離為：，又，所以．17．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）因?yàn)?，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．?）取BC的中點(diǎn)為，在中，，，由余弦定理可得，所以，依題意，均為正三角形，所以，，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，所以在平面?nèi)作，則平面，以O(shè)A，OC，Oz所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，，，則，即，取得，依題意可知，則．設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，根據(jù)列式，再化簡(jiǎn)即可；（2）設(shè)的直線方程，與圓聯(lián)立方程，列出根與系數(shù)關(guān)系，再列出直線，的方程，求得Q點(diǎn)縱坐標(biāo)構(gòu)建方程，代入韋達(dá)定理，求得參數(shù)，算出直線必過(guò)點(diǎn)，再用幾何法求得最短弦即可.【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足，且，，所以，化簡(jiǎn)可得，，即，所以點(diǎn)P的軌跡方程為.（2）曲線C：中，令，可得，解得或，可知,當(dāng)直線為斜率為0時(shí)，即為直徑，長(zhǎng)度為8，當(dāng)直線為斜率不為0時(shí)，設(shè)的直線方程為，聯(lián)立消去可得：，化簡(jiǎn)可得；由韋達(dá)定理可得，因?yàn)椋?，的斜率為，又點(diǎn)在曲線C上，所以,可得，所以，所以，的方程為，，令可得，化簡(jiǎn)可得；，又在直線上，可得，，所以，化簡(jiǎn)可得；，又，代入可得，化簡(jiǎn)可得，，，所以或，當(dāng)時(shí)為，必過(guò)，不合題意，當(dāng)時(shí)為，必過(guò)，又即為圓的弦長(zhǎng)，所以當(dāng)直徑時(shí)弦長(zhǎng)最小，此時(shí)半徑圓心到直線的距離為綜上，的最小值.方法點(diǎn)睛：求必過(guò)點(diǎn)可用聯(lián)立方程，設(shè)而不求，算出參數(shù)關(guān)系.19．【正確答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)505【分析】（1）根據(jù)定義找出，，從而得到，；（2）利用反證法，假設(shè)對(duì)，然后導(dǎo)出矛盾，命題得證；（3）先求出，再通過(guò)變換，找到最小的時(shí)的情況.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所?（2）設(shè)，假設(shè)對(duì)，則均不為0．所以．即．因?yàn)?，?/p>