2024-2025學年湖南省長沙市高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年湖南省長沙市高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知為純虛數(shù)，則（

）A．3 B． C． D．2．在空間直角坐標系中，已知點，若點與點關(guān)于平面對稱，則（

）A． B． C． D．3．若過點的直線的傾斜角為，且，則的方程為（

）A． B．C． D．4．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．5．6萬多年一遇的紫金山—阿特拉斯彗星是中國科學院紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的第8顆彗星，它于2024年10月12日最接近地球，在北半球可觀測到.已知某彗星的運行軌道是以太陽為一個焦點的橢圓，測得軌道的近日點（距太陽最近的點）距太陽中心0.6天文單位，遠日點（距太陽最遠的點）距太陽中心35天文單位，且近日點?遠日點及太陽中心在同一條直線上，則該橢圓的離心率約是（

）A．0.017 B．0.25 C．0.86 D．0.976．已知雙曲線的一個焦點到其漸近線的距離為，則的漸近線的斜率為（

）A． B． C． D．7．已知直線與拋物線相交于兩點，點在軸上，且，則點到坐標原點的距離為（

）A．4 B．2 C． D．8．已知正四面體的棱長為3，點在棱上，且，若點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線和圓，則（

）A．直線過定點B．直線與圓有兩個交點C．存在直線與直線垂直D．直線被圓截得的最短弦長為10．如圖，在直三棱柱中，分別為棱的中點，則（

）

A．B．平面C．D．點到平面的距離為11．已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為為上關(guān)于原點對稱的兩點（與的頂點不重合），則（

）A．的方程為B．C．的面積隨周長變大而變大D．直線和的斜率乘積為定值三、填空題（本大題共3小題）12．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則.13．曲線的周長為.14．已知雙曲線的左焦點為，過的直線交圓于，兩點，交的右支于點，若，則的離心率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若在區(qū)間上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.16．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且平面平面ABCD，．

(1)證明：平面PCD；(2)若，E為棱PC的中點，求直線PC與平面ABE所成角的正弦值．17．已知拋物線C：與橢圓E：的一個交點為，且E的離心率.(1)求拋物線C和橢圓E的方程；(2)過點A作兩條互相垂直的直線AP，AQ，與C的另一交點分別為P，Q，求證：直線PQ過定點.18．已知橢圓的左?右焦點分別為，短軸長為2.(1)求E的方程.(2)若為上一點，求的取值范圍.(3)判斷上是否存在不同的三點，使得線段（為坐標原點）的中點與的中點重合于直線上一點.若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.19．在平面直角坐標系中，定義為兩點的“切比雪夫距離”，又設點及直線上任意一點，稱的最小值為點到的“切比雪夫距離”，記作.(1)已知點和點，直線，求和.(2)已知圓和圓.①若兩圓心的切比雪夫距離，判斷圓和圓的位置關(guān)系；②若，圓與軸交于兩點，其中點在圓外，且，過點任作一條斜率不為0的直線與圓交于兩點，記直線為，直線為，證明.

答案1．【正確答案】B【詳解】依題意，，由是純虛數(shù)，得，所以.故選B.【思路導引】向量的數(shù)量積的求法：(1)求兩個向量的數(shù)量積，首先確定兩個向量的模及向量的夾角，其中準確求出兩向量的夾角是求數(shù)量積的關(guān)鍵．(2)根據(jù)向量數(shù)量積的運算律求解，向量的加、減與數(shù)量積的混合運算類似于多項式的乘法運算．2．【正確答案】A【詳解】由點與點關(guān)于平面對稱，可得，所以.故選：A．3．【正確答案】C【詳解】由及，可得，所以的斜率，所以由點斜式方程得的方程為:，即.故選：C.4．【正確答案】C求出函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)的單調(diào)性可求得原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】對于函數(shù)，，解得或.所以，函數(shù)的定義域為，內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，外層函數(shù)為增函數(shù)，由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：C.5．【正確答案】D【詳解】解析設該橢圓的半焦距為cc>0，長半軸長為，根據(jù)題意有，可得，，所以離心率.故選：D.6．【正確答案】A【詳解】設的半焦距為，則，根據(jù)對稱性，可知的上焦點到其漸近線的距離為，所以，所以的漸近線的斜率為.故選：A.7．【正確答案】D【詳解】設，將與聯(lián)立，得，所以.設，因為，所以0，解得，故點到坐標原點的距離為.故選：D．8．【正確答案】D【詳解】如圖，取的中點，連接，在線段上取點，使得，連接.

在中，.易知點為等邊的中心，所以.易知，所以.所以，點即為球心，球的半徑為，表面積為.故選：D.9．【正確答案】ABC【分析】利用直線方程求定點可判斷選項A；利用直線恒過定點在圓內(nèi)可判斷選項B；利用兩直線的垂直關(guān)系與斜率的關(guān)系判斷選項C；利用弦長公式可判斷選項D.【詳解】對A，由可得，，令，即，此時，所以直線l恒過定點，A正確；對B，因為定點到圓心的距離為，所以定點在圓內(nèi)，所以直線l與圓O相交，B正確；對C，因為直線的斜率為，所以直線l的斜率為，即，此時直線l與直線垂直，滿足題意，C正確；對D，因為直線l恒過定點，圓心到直線l的最大距離為，此時直線l被圓O截得的弦長最短為，D錯誤；故選：ABC.10．【正確答案】BC【詳解】如圖所示，

設是棱的中點，連接OC，因為，所以且，以為原點，直線，分別為軸，過作的平行線為軸建立空間直角坐標系，則，所以，，對于選項A，因為，所以CN與不垂直，故A錯誤；對于選項B，設平面的一個法向量為，則，即，所以取，因為平面，所以MN平面，故B正確；對于選項C，，故C正確；對于選項D，設平面的法向量為n=x,y,z則，可取，所以點到平面的距離為，故D錯誤.故選：BC.11．【正確答案】AD【分析】對于A，由橢圓的離心率求解；于B，由橢圓的對稱性知：，從而，借助基本不等式可得的最小值；對于，表示出周長和面積分析可得;對D:設,，則,，，由點，在橢圓上，即可化得的值.【詳解】由題易知，解得，故橢圓方程為：，故A正確；連接，由橢圓對稱性知為平行四邊形，當且僅當，時等號成立，故錯誤；對選項C:由選項B可知：，設,，則‘的面積為’由對稱性，不妨設在第一象限及正半軸上,故隨的增大而減小，的面積為隨的增大而增大，即的面積隨周長變大而變小，C錯誤；對選項D：設,，則,，又，所以，點，在橢圓上，結(jié)合選項C,，所以，故D正確；故選：AD.利用橢圓對稱性及定義推導出為平行四邊形是本題關(guān)鍵.12．【正確答案】4【詳解】因為，所以由正弦定理可得.故4.13．【正確答案】【詳解】當時，方程可化為，此時，曲線是一個半徑為的半圓，由對稱性可得曲線在各個象限內(nèi)都是半徑為的半圓，故曲線的周長是4個半徑為的半圓之和，即.故答案為.14．【正確答案】【詳解】設的半焦距為cc>0，如圖，設為坐標原點，的中點為的右焦點為，連接，.

因為，所以也是的中點.設，由雙曲線的定義得，所以，在中，由，得，所以，在中，由，得.故答案為.15．【正確答案】(1).(2).【詳解】（1）因為令，得.所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時，，在區(qū)間上的值域為，令，得，有，令，得，有.所以，得，即的取值范圍是.16．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）因為平面平面ABCD，，且平面平面，平面，可得平面ABCD，由平面ABCD，則，因為ABCD為正方形，則，且，平面PCD，所以平面PCD.（2）由（1）可知：平面ABCD，且ABCD為正方形，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：

由題意可得：，則，設平面ABE的法向量為，則，令，則，可得，且，所以直線PC與平面ABE所成角的正弦值為.17．【正確答案】(1)，(2)證明見解析【詳解】（1）因為點在拋物線C：y2=2px所以，得，所以拋物線方程為，因為點在橢圓E：上，離心率，所以，解得，所以橢圓方程為（2）由題意可知直線的斜率不為零，所以設直線為，，由，得，由，得，則，由題意可知直線，的斜率均存在且不為零，所以，，因為，所以，所以，則，所以，得，所以直線為，所以，所以直線恒過定點18．【正確答案】(1)(2)(3)或.【詳解】（1）因為，所以，因為的短軸長為2，所以，所以的方程為.（2）設Px,y，則，易知，所以.因為，所以，所以的取值范圍是.（3）方法一：由題意得直線的斜率存在，設直線的方程為，由得，所以，即，.因為的中點為，所以，①.因為點為線段的中點，所以，將點的坐標代入，得，與①式聯(lián)立，解得或均滿足，所以直線的方程為或，即，或.方法二：設點，則，由題意知直線的斜率存在，所以.將點坐標代入的方程，得，解得，所以.若與的中點重合，則.由點在上，得兩式相減，得，整理可得.當點坐標為時，，當點坐標為時，，所以直線的方程為或，即或.19．【正確答案】(1)3，.(2)①圓與圓相切；②證明見解析【詳解】（1）.設上任意一點為，則.當時，；當時，，所以的